Soal aril 2003

5/13/2018 Soal aril 2003 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/soal-aril-2003 1/11

Soal-soal Analisa Real dan Pembahasannya

1. Buktikan bahwa

a.

b.

c.

Solusi:

a. Misalkan , maka

b. Misalkan ,

akibatnya

c. Misalkan ,

akibatnya

2. Tunjukkan bahwa

Solusi:

(i)

artinya jika maka

akan ekuivalen dengan kontraposisinya yaitu

jika maka



ini berarti jika maka

dari sini kita bisa menyimpulkan bahwa

(ii)

artinya jika maka

ekuivalen dengan jika maka

pernyataan ini akan ekuivalen dengan kontraposisinya yaitu

jika maka , ini berarti bahwa

Maka, dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan

3. Tentukan jumlah elemen dari setiap himpunan berikut

a. A={x : x2 = 4}

b. L={x : x > x+2}

c. P={huruf abjad sebelum huruf m}

Solusi:

a. Hanya ada 2 akar, yaitu x=2 dan x= -2 yang memenuhi A. sehingga n(A)=2

b. Tidak ada x yang memenuhi kondisi pada L. maka , sehingga n(L)=0

c. Ada 12 huruf abjad sebelum m, sehingga n(P)=12

4. Buktikan hukum involusi bahwa

Solusi:

(i)

Misalkan , ini berarti bahwa , dan akibatnya

Jadi

(ii)

Misalkan , ini berarti bahwa , dan akibatnya



Jadi

Dari (i) dan (ii) maka

5. Jika diketahui P={1,2,3,4,5}, Q={x : x bilangan prima kurang dari 15} dan R={ y : y=2n,

n 8 dan n }

Tentukan

a.

b.

c.

d.

e. jika

Solusi:

P={1,2,3,4,5}, Q={2,3,5,7,11,13}, dan R={2,4,6,8,10,12,14,16}

a.

b.

c.

d.

e.

6. Misalkan A dan B adalah dua himpunan berhingga yang saling asing atau lepas. Maka

buktikan bahwa n(A B)= n(A) + n(B)

Solusi:

Dalam menghitung elemen-elemen A B, pertama hitung jumlah elemen pada A yaitu

n(A).Elemen lain dari A B ada pada B tetapi bukan di A. tetapi karena A dan B saling

asing, maka tidak ada elemen B di A. Sehingga ada n(B) elemen di B yang bukan di A.

dengan demikian (A B)= n(A) + n(B)



7. Berikan sebuah contoh fungsi dan A dan B merupakan subset dari X

sedemikian sehingga

Solusi:

Definisikan dimana

Jika dan , maka

8. Diberikan fungsi dan . jika maka buktikan bahwa

Solusi:

Misalkan bahwa

9. Buktikan bahwa komposisi fungsi memenuhi hukum asosiatif.

Solusi:

Misalkan

Maka yang akan ditunjukkan adalah

Perhatikan bahwa untuk setiap kita memiliki

Jadi,

10.Misalkan ( ) x x f = dan ( ) 12−−= x x g

a. apakah f g dan g f ada?

b. jika ada carilah domainnya

solusi

a. ( ) x x f = maka

[ )

[ )∞=

∞=

,0

,0

f

f

R

D



( ) 12−= x x g

( ]

1

01

1

1

,

2

−≤

≥−−

−−=

−−=

−∞−=

=

y

y

y x

x y

R

R D

g

g

f g ada jika [ ) [ ) ada f g jadi R D R g f φ φ ≠∞=∩∞=≠∩ ,0,0

g f ada [ ) [ ) g f jadi D R f g φ φ =∞∩−∞−=≠∩ ,01, tidak ada

b.

= [ )),0(1 ∞− f

Artinya jika maka

Sehingga

11. Misalkan I = {x / x bilangan irasional}. Buktikan bahwa I himpunan uncountable.

Solusi:

Misalkan Q = himpunan semua bilangan rasional.

Andaikan I himpunan countable

Dari teorema 3.3 diperoleh I ∪ Q = R himpunan countable

Hal ini bertentangan dengan R himpunan uncountable

Jadi I haruslah uncountable.

12.misalkan A dan B dua himpunan dan B A⊆ , buktikan bahwa jika A uncountable maka B

uncountable.

Solusi:

Diketahui A uncountable dan B A⊆

Karena B A⊆ maka B B A =∪ dan A B A =∩



Andaikan B countable, maka dari B B A =∪ countable (berdasarkan definisi) akibat A

countable.

Jadi pengandaian bahwa B countable salah, maka seharusnya B uncountable

13. Misal A uncountable dan B countable, periksa kecountabilitas A+B dan B-A!

Solusi:

a. Andaikan A + B countable maka ((A ∪ B)-(B∩ A)) ∪ A ∪ B = A ∪ B countable

Kontradiksi dengan A ∪ B yang countable (soal sebelumnya),

jadi A + B haruslah uncountable

b. Andai B-A uncountable,

Maka menurut teorema (B-A) ∪ B = B uncountable kontradiksi dengan B yang

14.Buktikan bahwa jika A B ⊆ maka B = A – (A – B)

Solusi:

Andaikan B ≠ A – (A – B)

Perhatikan

A – (A – B) = ( )c B A A ∩−

= ( )cc B A A ∩∩

= ( ) B A Ac

∪∩

= ( ) B A A Ac

∩∪∩

= ( ) B A ∩∪φ

= A Bkarena B A ⊆∩

= B

Jadi kontradiksi dengan pengandaian B ≠ A – (A – B), seharusnya B = A – (A – B)



15.Jika {A1,A2,….. An} merupakan koleksi dari himpunan dan E himpunan sembarang

buktikan bahwa ( )

n

i

n

i

A E A E 1 1

11

= =

∪=∪

Solusi:

Akan dibuktikan

(i). ( )

n

i

n

i

A E A E 1 1

11

= =

∪⊆∪

(ii).

n

i

n

i

A E A E 1 1

11

= =

∪⊆∪

Bukti

(i).

( )

n

i

n

i

A E A E 1 1

11

= =

∪⊆∪

misalkan

n

i A E x

1

1

=

∪∈

atau E x∈

n

i

A x

1

1

=

∈

atau E x∈1 A x∈ untuk setiap i =1,2,3,…n

1 A E x ∪∈ untuk setiap i = 1,2,3,....n

( )n

i

A E x1

1

=

∪∈ …………..(1)

(ii). ( )

n

i

n

i

A E A E 1

1

1

1

==

∪⊆∪



misalkan ( )

n

i

A E x1

1

=

∪∈

1 A E x ∪= untuk setiap I =1,2,3…….n

E x ∈ atau 1 A x∈ untuk setiap 1 = 1,2,3 ….n

E x ∈ atau

n

i

A x

1

1

=

∈

n

i

A E x1

1

=

∪∈ …..(2)

Berdasarkan persaman (i) dan (ii) maka ( )

n

n

n

i

A E A E 1

1

1

1

−=

∪=∪

16.Misalkan f : A DC:gdanB →→ dan misalkan bisa dibuat. Buktikan bahwa jika

injektif maka f injektif!

Solusi:

Jika akan dibuktikan f (a) = f (b) dengan a = b

)(b)(f g)(a)(f g =⇒

(b)f ydan(a)f untuk x,(y)g(x)g ===⇒

⇒ x = y , karena g o f injektif

⇒ f (a) = f (b) , jadi f injektif.

17.Misalkan A dan B himpunan countable buktikan bahwa A x B countable.

Solusi:

A x B = ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈,

Karena A countable maka A ={a1,a2,…..}

Karena B countable maka B ={b1,b2,…..}

Selanjutnya A1= ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈ 11,



A2 = ( ){ } Bbdan Aaba ∈∈ 22,

An = ( ){ } Bbdan Aaba nn ∈∈,

Jelas A1, A2, A3,….. An, ekivalen dengan A atau B, maka A1, A2, A3,….. An countable.

Berdasarkan definisi maka A x B =ni

A1

1

=

himpunan countable.

18.Misalkan A dan B dua himpunan A countable dan B uncountable bahwa :

a. B A∩ himpunan countable

b. B A∪ himpunan uncountable

Solusi

a. A countable dan B uncountable, maka dapat dikatakan B A⊆ dimana A B A =∩ dan

B B A =∪ jadi A B A =∩ karena A himpunan countable

b. B B A =∪ himpunan countable karena B himpunan uncountable

19.Misal A countable, B uncountable. Periksalah kecountabilitasan )( B A A ∩× !

Solusi:

A ∩ B⊆A karena A countable maka A ∩ B countable.

Misal A x ∈

Tulis Zx = {( x,y) y∈( A∩ B)}countable

Karena (A ∩ B) countable∈ Zx ∞ (A∩ B) maka Zx countable

Dari teorema diperoleh )( B A A A x x ∩×=

∈ Z countable.

20.Misalkan A himpunan countable dan { }3,2,1= B . Buktikan himpunan AxB countable.

Solusi;



Dimiliki ( ){ Aaba B A ∈=× /, dan } Bb∈ . Karena A countable, maka dapat ditulis

menjadi { },...,, 321 aaa A = ,

Selanjutnya sebut ( ){ } A x x A ∈= /1,1

( ){ } A x x A ∈= /2,2 dan

( ){ } A x x A ∈= /3,3

Jelas 321 ,, A A A masing-masing himpunan yang ekuivalen dengan A, karena itu

321 ,, A A A himpunan uncountable.

Jadi, menurut teorema diperoleh bahwa 31=

=×

i

i A B A himpunan countable

21.Misalkan R= himpunan semua bilangan riil dan Selanjutnya di buat f :

yang di definisikan oleh f(x)= . Tentukanlah ?

Solusi:

f(x) jika :

X+1 0

X 0

0

0

x-2



2x

x

{x|x 1, x }

={y|y 0 }

22.Berikan dua contoh fungsi dan tetapi

Solusi:

Misalkan ( ) x x f 4= dan ( ) x x g 3= maka

( )( ) x g f g f =

( )

( )

x

x

x f

12

34

3

=

=

=

( )( ) x f g f g =

( )

( ) x x

x g

1243

4

=

=

=

Soal aril 2003

Documents

Transcript of Soal aril 2003