Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

13
Smart Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusun oleh : Pak Anang

description

penyelesaian matematika un 2013

Transcript of Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Page 1: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Page 2: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 201

5. 2. Menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi.

Turunan Fungsi

Definisi

𝑓′(π‘₯) = limβ„Žβ†’0

𝑓(π‘₯ + β„Ž) βˆ’ 𝑓(π‘₯)

β„Ž

dengan catatan limit ini ada

Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri 𝑓(π‘₯) = 𝑐

β†’ 𝑓′(π‘₯) = 0

𝑓(π‘₯) = π‘Žπ‘₯𝑛 β†’ 𝑓′(π‘₯) = 𝑛. π‘Žπ‘₯π‘›βˆ’1

Sifat: 𝑓(π‘₯) = π‘˜π‘’

β†’ 𝑓′(π‘₯) = π‘˜π‘’β€²

𝑓(π‘₯) = 𝑒 Β± 𝑣 β†’ 𝑓′(π‘₯) = 𝑒′ Β± 𝑣′

𝑓(π‘₯) = 𝑒 βˆ™ 𝑣 β†’ 𝑓′(π‘₯) = 𝑒′𝑣 + 𝑒𝑣′

𝑓(π‘₯) =𝑒𝑣

β†’ 𝑓′(π‘₯) =

π‘’β€²π‘£βˆ’π‘’π‘£β€²

𝑣2

𝑓(π‘₯) = 𝑓(𝑒) β†’ 𝑓′(π‘₯) = 𝑓′(𝑒) βˆ™ 𝑒′

Aplikasi Turunan Fungsi

Gradien Garis Singgung Kurva 𝑦 = 𝑓(π‘₯) di titik π‘₯ = π‘Ž

π‘š = 𝑓′(π‘Ž)

Gradien garis singgung digunakan untuk melihat naik atau turunnya sebuah grafik fungsi.

Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Grafik Fungsi 𝑓 Naik Tidak Naik dan Tidak Turun Turun 𝑓′(π‘Ž) > 0 𝑓′(π‘Ž) = 0 𝑓′(π‘Ž) < 0

Titik dimana grafik fungsi 𝑓 tidak naik atau tidak turun disebut titik stasioner.

Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum β€œnaik – stasioner – naik” β€œnaik – stasioner – turun” atau β€œturun – stasioner – naik” β€œturun – stasioner – turun”

π¬π’π§π’™πœπ¨π¬π’™

βˆ’π¬π’π§π’™βˆ’πœπ¨π¬π’™

𝑓(π‘₯) = tan π‘₯

β†’ 𝑓′(π‘₯) = sec2 π‘₯

𝑓(π‘₯) = cot π‘₯ β†’ 𝑓′(π‘₯) = βˆ’csc2 π‘₯

𝑓(π‘₯) = sec π‘₯ β†’ 𝑓′(π‘₯) = sec π‘₯ tan π‘₯

𝑓(π‘₯) = csc π‘₯ β†’ 𝑓′(π‘₯) = βˆ’cscπ‘₯ cot π‘₯

Simbol

𝑓′(π‘₯) = 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑π‘₯=𝑑

𝑑π‘₯(𝑓(π‘₯))

Persamaan Garis Singgung di titik (π‘₯1, 𝑦1)

𝑦 βˆ’ 𝑦1 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘₯1)

Page 3: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 202 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Aljabar. Secara umum turunan fungsi aljabar sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 β†’ 𝒇′(𝒙) = 𝒏 βˆ™ π’‚π’™π’βˆ’πŸ

𝒏 βˆ™ 𝒂𝒙𝒏 𝒏 βˆ™ π’‚π’™π’βˆ’πŸ

Proses mencari turunan fungsi π‘Žπ‘₯𝑛:

1. Kalikan pangkatnya dengan fungsi! 2. Kurangi satu pangkatnya! 3. Selesai!

Page 4: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 203

LOGIKA PRAKTIS Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Sinus Kosinus. Secara umum turunan fungsi trigonometri sederhana bisa digambarkan pada diagram berikut: Cara membacanya:

𝐬𝐒𝐧 π’™πœπ¨π¬ 𝒙

βˆ’π¬π’π§ π’™βˆ’πœπ¨π¬ 𝒙

𝑦 = sin π‘₯ β†’ 𝑦′ = cos π‘₯

𝑦 = cos π‘₯ β†’ 𝑦′ = βˆ’sin π‘₯

𝑦 = βˆ’sin π‘₯ β†’ 𝑦′ = βˆ’cos π‘₯

𝑦 = βˆ’cos π‘₯ β†’ 𝑦′ = sin π‘₯

Jadi turunannya sinus adalah kosinus. Turunannya kosinus adalah negatif sinus.

KONSEP DASAR Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus. Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain diperoleh dengan menggunakan sifat turunan fungsi pembagian:

𝑦 =𝑒

𝑣 β†’ 𝑦′ =

𝑒′𝑣 βˆ’ 𝑒𝑣′

𝑣2

Contohnya bagaimana turunan dari fungsi tan π‘₯?

β‡’ 𝑦 = tanπ‘₯ =sinπ‘₯

cos π‘₯ β†’

𝑒 = sin π‘₯ β‡’ 𝑒′ = cos π‘₯𝑣 = cos π‘₯ β‡’ 𝑣′ = βˆ’sin π‘₯

β‡’ 𝑦′ =𝑒′𝑣 βˆ’ 𝑒𝑣′

𝑣2=cos π‘₯ cos π‘₯ βˆ’ sin π‘₯ (βˆ’ sin π‘₯)

cos2 π‘₯=cos2 π‘₯ + sin2 π‘₯

cos2 π‘₯=

1

cos2 π‘₯= sec2 π‘₯

Jadi, 𝑦 = tan π‘₯ β†’ 𝑦′ = sec2 π‘₯.

Silahkan temukan sendiri turunan fungsi cot π‘₯ , sec π‘₯ , dan csc π‘₯ menggunakan aturan dan sifat tersebut!!!

LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafalkan Turunan Fungsi Trigonometri Dasar Selain Sinus Kosinus.

π’š = π­πšπ§π’™π’š = πœπ¨π­π’™π’š = 𝐬𝐞𝐜 π’™π’š = 𝐜𝐬𝐜 𝒙

} β‡’

turunan dari fungsi yang berawalan huruf c selalu negatif

fungsi berawalan huruf c hanya kumpul dengan yang berawalan c juga

𝐭𝐚𝐧 𝒙 dan 𝐜𝐨𝐭 𝒙 turunannya kembar

⇓ tan π‘₯ cot π‘₯ sec π‘₯ csc π‘₯ β–‘πŸ β–‘πŸ Tips membaca LOGIKA PRAKTIS: Turunannya tan π‘₯ adalah sec2 π‘₯. Turunannya sec π‘₯ adalah sec π‘₯ tan π‘₯

Turunannya cot π‘₯ adalah – csc2 π‘₯. Turunannya csc π‘₯ adalah βˆ’csc π‘₯ cot π‘₯ β–‘πŸ

Cara membacanya: 𝑦 = tan π‘₯

β†’ 𝑦′ = sec2 π‘₯

𝑦 = cot π‘₯ β†’ 𝑦′ = βˆ’csc2 π‘₯

𝑦 = sec π‘₯ β†’ 𝑦′ = sec π‘₯ tan π‘₯

𝑦 = csc π‘₯ β†’ 𝑦′ = βˆ’csc π‘₯ cot π‘₯

Page 5: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 204 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Persamaan Garis Singgung Kurva). Kurva 𝑓(π‘₯) Tentukan turunan 𝑓(π‘₯) yaitu 𝑓′(π‘₯) Persamaan Garis Lurus melewati titik (π‘₯1, 𝑦1) Gradien Garis Singgung Kurva dengan gradien π‘š di π‘₯ = π‘Ž adalah adalah: π‘š = 𝑓′(π‘Ž) 𝑦 βˆ’ 𝑦1 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) Gradien Garis Singgung Kurva 𝑓(π‘₯) di titik (π‘₯1, 𝑦1) dengan gradien π‘š adalah: (𝑦 βˆ’ 𝑦1) = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘₯1)

Contoh Soal:

Diketahui β„Ž adalah garis singgung kurva 𝑦 = π‘₯3 βˆ’ 4π‘₯2 + 2π‘₯ βˆ’ 3 pada titik (1, βˆ’4). Titik potong garis β„Ž dengan sumbu X adalah ….

a. (βˆ’3,0) b. (βˆ’2,0) c. (βˆ’1,0)

d. (βˆ’1

2, 0)

e. (βˆ’1

3, 0)

Pembahasan:

Diketahui kurva 𝑓(π‘₯) yaitu: 𝑓(π‘₯) = π‘₯3 βˆ’ 4π‘₯2 + 2π‘₯ βˆ’ 3 β‡’ 𝑓′(π‘₯) = 3π‘₯2 βˆ’ 8π‘₯ + 2

Gradien garis singgung kurva di π‘₯ = 1 adalah:

π‘š = 𝑓′(π‘₯) β‡’ π‘š = 𝑓′(1)

= 3(1)2 βˆ’ 8(1) + 2= 3 βˆ’ 8 + 2= βˆ’3

Persamaan garis singgung kurva di titik (1, βˆ’4) dengan gradien π‘š = βˆ’3 adalah:

𝑦 βˆ’ 𝑦1 = π‘š(π‘₯ βˆ’ π‘₯1) β‡’ 𝑦 βˆ’ (βˆ’4) = βˆ’3(π‘₯ βˆ’ 1)⇔ 𝑦 + 4 = βˆ’3π‘₯ + 3⇔ 𝑦 = βˆ’3π‘₯ + 3 βˆ’ 4⇔ 𝑦 = βˆ’3π‘₯ βˆ’ 1

Jadi garis β„Ž adalah 𝑦 = βˆ’3π‘₯ βˆ’ 1. Titik potong garis β„Ž terhadap sumbu X terjadi saat 𝑦 = 0, sehingga:

𝑦 = 0 β‡’ 0 = βˆ’3π‘₯ βˆ’ 1⇔ 3π‘₯ = βˆ’1

⇔ π‘₯ = βˆ’1

3

Jadi, titik potong garis β„Ž terhadap sumbu X adalah (βˆ’1

3, 0).

Page 6: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 205

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi.

Hubungan antara Jarak (𝒔), Kecepatan (𝒗), dan Percepatan (𝒂). *)

Jika ada soal tentang hubungan antara jarak, kecepatan, dan percepatan pada gerak maka konsep berikut bisa membantu kita dalam mengerjakan soal tersebut:

𝒔

𝒗

𝒂 Contoh Soal 1:

Suatu peluru ditembakan ke atas. Jika tinggi β„Ž meter setelah 𝑑 detik dirumuskan dengan β„Ž(𝑑) = 120𝑑 βˆ’ 5𝑑2, maka tinggi maksimum yang dicapai peluru tersebut adalah …. meter.

a. 270 b. 320 c. 670 d. 720 e. 770

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan ketinggian peluru adalah β„Ž(𝑑). Fungsi yang menyatakan kecepatan peluru adalah 𝑣(𝑑). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

𝑣(𝑑) =𝑑

𝑑𝑑(β„Ž(𝑑)) β‡’ 𝑣(𝑑) =

𝑑

𝑑𝑑(120𝑑 βˆ’ 5𝑑2)

∴ 𝑣(𝑑) = 120 βˆ’ 10𝑑

Suatu peluru dikatakan telah berada di titik tertinggi apabila kecepatannya sama dengan nol.

𝑣(𝑑) = 0 β‡’ 120 βˆ’ 10𝑑 = 0⇔ βˆ’10𝑑 = βˆ’120

⇔ 𝑑 =βˆ’120

βˆ’10∴ 𝑑 = 12 s

Sehingga tinggi maksimum akan dicapai saat 𝑑 = 12 s, yaitu

β„Ž(𝑑) = 120𝑑 βˆ’ 5𝑑2 β‡’ β„Ž(2) = 120(12) βˆ’ 5(12)2

= 1440 βˆ’ 720= 720 m

Jadi tinggi maksimum peluru adalah 720 m.

Turun artinya turunan fungsi. Sehingga cara membacanya seperti ini:

Fungsi 𝑣 adalah turunan dari fungsi 𝑠. atau dinotasikan 𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑑= 𝑠′(𝑑)

Fungsi π‘Ž adalah turunan dari fungsi 𝑣. atau dinotasikan π‘Ž =𝑑𝑣

𝑑𝑑= 𝑣′(𝑑)

*) Dikutip dari SMART SOLUTION UN Fisika SMA 2013 SKL 2.1 Kinematika Gerak (http://pak-anang.blogspot.com/2012/12/smart-solution-un-fisika-sma-2013-skl.html)

turun

turun

Page 7: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 206 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Contoh Soal 2:

Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu 𝑑 diberikan oleh fungsi 𝑠(𝑑) =1

4𝑑4 βˆ’

3

2𝑑3 βˆ’ 6𝑑2 + 5𝑑.

Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat 𝑑 = …. detik

a. 6 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

Pembahasan:

Fungsi yang menyatakan jarak tempuh mobil adalah 𝑠(𝑑). Fungsi yang menyatakan kecepatan mobil adalah 𝑣(𝑑). Hubungan antara dua fungsi tersebut adalah:

𝑣(𝑑) =𝑑

𝑑𝑑(𝑠(𝑑)) β‡’ 𝑣(𝑑) =

𝑑

𝑑𝑑(1

4𝑑4 βˆ’

3

2𝑑3 βˆ’ 6𝑑2 + 5𝑑)

∴ 𝑣(𝑑) = 𝑑3 βˆ’9

2𝑑2 βˆ’ 12𝑑 + 5

Kecepatan maksimum akan tercapai jika sudah tidak ada lagi percepatan (π‘Ž(𝑑) = 0).

π‘Ž(𝑑) =𝑑

𝑑𝑑(𝑣(𝑑)) β‡’ π‘Ž(𝑑) =

𝑑

𝑑𝑑(𝑑3 βˆ’

9

2𝑑2 βˆ’ 12𝑑 + 5)

∴ π‘Ž(𝑑) = 3𝑑2 βˆ’ 9𝑑 βˆ’ 12

Sehingga, π‘Ž(𝑑) = 0 β‡’ 3𝑑2 βˆ’ 9𝑑 βˆ’ 12 = 0 (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– 3)

⇔ 𝑑2 βˆ’ 3𝑑 βˆ’ 4 = 0⇔ (𝑑 + 1)(𝑑 βˆ’ 4) = 0pembuat nol

β‡’ 𝑑 + 1 = 0 atau 𝑑 βˆ’ 4 = 0⇔ 𝑑 = βˆ’1 β€Šatau β€Š 𝑑 = 4

TM

Karena waktu tidak mungkin negatif, maka untuk 𝑑 = βˆ’1 adalah TM (tidak memenuhi). Jadi, kecepatan maksimum mobil akan dicapai saat 𝑑 = 4 detik.

Page 8: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 207

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Fungsi Naik dan Fungsi Turun). Kurva 𝑓(π‘₯) Tentukan turunan 𝑓(π‘₯) yaitu 𝑓′(π‘₯) Periksa nilai 𝑓′(π‘₯) pada interval [π‘Ž, 𝑏] 𝑓′(π‘₯) > 0 β‡’ Fungsi 𝑓 naik 𝑓′(π‘₯) < 0 β‡’ Fungsi 𝑓 turun

β€œFungsi Naik” β€œFungsi Turun”

Contoh Soal:

Grafik dari 𝑓(π‘₯) =2

3π‘₯3 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 12π‘₯ + 20 naik untuk interval ….

a. 3 < π‘₯ < βˆ’2 b. βˆ’2 < π‘₯ < 3 c. π‘₯ < βˆ’2 atau π‘₯ > 3 d. π‘₯ < 2 atau π‘₯ > βˆ’3 e. π‘₯ < βˆ’3 atau π‘₯ > βˆ’2

Pembahasan:

Naik atau turunnya grafik fungsi 𝑓(π‘₯) dapat dilihat dari nilai 𝑓′(π‘₯).

𝑓(π‘₯) =2

3π‘₯3 βˆ’ π‘₯2 βˆ’ 12π‘₯ + 20 β‡’ 𝑓′(π‘₯) = 2π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 12

Fungsi 𝑓(π‘₯) naik apabila 𝑓′(π‘₯) > 0. Sehingga,

𝑓′(π‘₯) = 0 β‡’ 2π‘₯ βˆ’ 2π‘₯ βˆ’ 12 > 0 (π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– 2)

⇔ π‘₯2 βˆ’ π‘₯ βˆ’ 6 > 0⇔ (π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 3) > 0pembuat nol

β‡’ π‘₯ + 2 = 0 atau π‘₯ βˆ’ 3 = 0⇔ π‘₯ = βˆ’2 β€Šatau β€Š π‘₯ = 3

Daerah penyelesaian pertidaksamaan tersebut pada garis bilangan:

Jadi grafik fungsi 𝑓(π‘₯) akan naik dalam interval π‘₯ < βˆ’2 atau π‘₯ > 3.

3 βˆ’2

βˆ’ + +

π‘Ž 𝑏 𝑓′(π‘₯)

+

π‘Ž 𝑏 𝑓′(π‘₯)

βˆ’

Page 9: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 208 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Titik Stasioner).

Kurva 𝑓(π‘₯) Tentukan turunan 𝑓(π‘₯) yaitu 𝑓′(π‘₯) Periksa nilai 𝑓′(π‘₯) pada π‘₯ = π‘Ž 𝑓′(π‘Ž) β‰  0 β‡’ Fungsi 𝑓 naik atau turun 𝑓′(π‘Ž) = 0 β‡’ Fungsi 𝑓 stasioner Menentukan jenis titik stasioner grafik fungsi 𝑓(π‘Ž) Metode grafis Metode analitis (Uji turunan pertama) (Uji turunan kedua) titik titik maksimum minimum

stasioner naik turun naik stasioner

titik belok

turun naik stasioner stasioner turun naik stasioner

TIPS Mengingat Titik Maksimum Minimum:

Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(π‘₯) = sinπ‘₯, 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°

TIPS Mengingat Titik Belok:

Perhatikan Grafik Fungsi 𝑓(π‘₯) = cosπ‘₯, 0Β° ≀ π‘₯ ≀ 360Β°

π‘Ž 𝑏 𝑓′(π‘₯)

βˆ’ + +

π‘Ž 𝑏 𝑓′(π‘₯)

βˆ’ βˆ’ + +

𝑐

𝑓′′(π‘Ž) < 0 𝑓′′(π‘Ž) = 0 𝑓′′(π‘Ž) > 0 Titik Maksimum Titik Belok Titik Minimum

360Β°

360Β°

cos π‘₯

sin π‘₯ π’Žπ’‚π’™

π’Žπ’Šπ’

π’ƒπ’†π’π’π’Œ

Page 10: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 209

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Masalah Maksimum Minimum). Nilai maksimum atau minimum fungsi 𝑓(π‘₯) pada interval π‘Ž ≀ π‘₯ ≀ 𝑏 Tentukan nilai 𝑓(π‘₯) pada ujung interval Tentukan nilai stasioner 𝑓(π‘₯) 𝑓(π‘Ž) dan 𝑓(𝑏) (Jika ada)

Pilih nilai terbesar nilai maksimum Pilih nilai terkecil nilai minimum

Contoh Soal:

Nilai maksimum dari fungsi 𝑓(π‘₯) =1

3π‘₯3 βˆ’

3

2π‘₯2 + 2π‘₯ + 9 pada interval βˆ’β‰€ π‘₯ ≀ 3 adalah ….

a. 92

3

b. 95

6

c. 10

d. 101

2

e. 102

3

Pembahasan:

Nilai 𝑓(π‘₯) pada ujung interval 0 ≀ π‘₯ ≀ 3.

π‘₯ = 0 β‡’ 𝑓(0) =1

3(0)3 βˆ’

3

2(0)2 + 2(0) + 9 = 9

π‘₯ = 3 β‡’ 𝑓(0) =1

3(3)3 βˆ’

3

2(3)2 + 2(3) + 9 = 9

Fungsi 𝑓(π‘₯) stasioner saat 𝑓′(π‘₯) = 0.

𝑓(π‘₯) =1

3π‘₯3 βˆ’

3

2π‘₯2 + 2π‘₯ + 9 β‡’ 𝑓′(π‘₯) = π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 2

𝑓′(π‘₯) = 0 β‡’ π‘₯2 βˆ’ 3π‘₯ + 2 = 0

⇔ (π‘₯ βˆ’ 1)(π‘₯ βˆ’ 2) = 0⇔ π‘₯ βˆ’ 1 = 0 atau π‘₯ βˆ’ 2 = 0⇔ π‘₯ = 1 atau π‘₯ = 2

Sehingga, dari sketsa kurva 𝑓(π‘₯) pada interval 0 ≀ π‘₯ ≀ 3 terlihat bahwa: 𝑓(π‘₯) maksimum di titik π‘₯ = 1 atau mungkin maksimum di π‘₯ = 3 dan 𝑓(π‘₯) minimum di π‘₯ = 2.

Periksa dulu apakah 𝑓(π‘₯) maksimum di π‘₯ = 1 atau di π‘₯ = 3 dengan membandingkan nilai 𝑓(π‘₯) pada kedua titik tersebut.

π‘₯ = 1 β‡’ 𝑓(0) =1

3(1)3 βˆ’

3

2(1)2 + 2(1) + 9 = 9

5

6

π‘₯ = 3 β‡’ 𝑓(0) =1

3(3)3 βˆ’

3

2(3)2 + 2(3) + 9 = 9

Jadi nilai maksimum 𝑓(π‘₯) adalah 95

6.

1 2 𝑓′(π‘₯)

βˆ’ + +

Page 11: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 210 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Aplikasi Turunan Fungsi (Penerapan Maksimum Minimum).

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik 𝑀 = (1

2π‘Ž,1

2𝑏)

Luas maksimum 𝐿 =1

4π‘Žπ‘

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik 𝑀 = (1

2

𝐢

𝐴 ,1

2

𝐢

𝐡)

Luas maksimum 𝐿 =1

4

𝐢2

𝐴𝐡

Luas persegi panjang akan maksimum jika bentuknya persegi.

𝑝 = 𝑠𝑙 = 𝑠

} 𝐿 = 𝑝 Γ— β„“ = 𝑠 Γ— 𝑠 = 𝑠2

Untuk penerapan maksimum minimum pada soal cerita, penyelesaiannya adalah sesuai alur berikut: Perhatikan apa yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan Ubah persamaan menjadi satu variabel saja, menggunakan substitusi / eliminasi Periksa keadaan stasioner fungsi Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_29.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Aplikasi Turunan Fungsi ini….

X

Y

π‘Ž

𝑏

𝑀(1

2π‘Ž,1

2𝑏)

X

Y

𝐢

𝐴

𝐴π‘₯ + 𝐡𝑦 = 𝐢 𝐢

𝐡

𝑀(1

2

𝐢

𝐴,1

2

𝐢

𝐡)

β„“

𝑝

Page 12: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 211

Contoh Soal:

Perhatikan gambar di samping! Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum apabila koordinat M adalah ….

a. (2, 5) b. (3, 4) c. (3, 5) d. (4, 3) e. (5, 3)

Pembahasan:

Persamaan garis lurus yang melewati titik (8, 0) dan (0, 6) adalah: 6π‘₯ + 8𝑦 = 48

Misal koordinat 𝑀 adalah (π‘₯, 𝑦). Jadi persegi panjang tersebut memiliki ukuran panjang π‘₯ dan lebar 𝑦. Panjang = π‘₯ Lebar = 𝑦, dari persamaan 6π‘₯ + 8𝑦 = 48 β‡’ 8𝑦 = 48 βˆ’ 6π‘₯

⇔ 𝑦 =48βˆ’6π‘₯

8

⇔ 𝑦 = 6 βˆ’3

4π‘₯

Jadi luas persegi panjang adalah:

𝐿 = 𝑝 Γ— β„“

= π‘₯ (6 βˆ’3

4π‘₯)

= 6π‘₯ βˆ’3

4π‘₯2

𝐿 = 6π‘₯ βˆ’3

4π‘₯2 β‡’ 𝐿′ = 6 βˆ’

3

2π‘₯

Luas persegi panjang akan maksimum jika 𝐿′ = 0

𝐿′ = 0 β‡’ 6 βˆ’3

2π‘₯ = 0

⇔ βˆ’3

2π‘₯ = βˆ’6

⇔ π‘₯ =βˆ’6

βˆ’32

⇔ π‘₯ = βˆ’6 Γ— (βˆ’2

3)

⇔ π‘₯ = 4

Substitusikan π‘₯ = 4 ke 𝑦 = 6 βˆ’3

4π‘₯ diperoleh:

𝑦 = 6 βˆ’3

4(4) = 6 βˆ’ 3 = 3

Jadi, luas persegi panjang diarsir akan maksimum jika koordinat 𝑀 = (4, 3)

Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:

Agar luas daerah arsir maksimum, maka:

Koordinat titik 𝑀 = (1

2π‘Ž,1

2𝑏)

Luas maksimum 𝐿 =1

4π‘Žπ‘

Karena π‘Ž = 8 dan 𝑏 = 6, dan supaya luas daerah arsir maksimum maka koordinat 𝑀 = (4, 3).

X

Y

8

6

𝑀

X

Y

π‘Ž

𝑏

𝑀(1

2π‘Ž,1

2𝑏)

Page 13: Smart Solution Un Matematika Sma 2013 (Skl 5.2 Aplikasi Turunan Fungsi)

Halaman 212 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya )2484( 2 xx dalam ribu rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp40.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp16.000,00

B. Rp32.000,00

C. Rp48.000,00

D. Rp52.000,00

E. Rp64.000,00

2. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang, dengan biaya 30105 2 xx dalam ribuan rupiah untuk

tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp50.000,00 tiap unit, maka keuntungan

maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah ....

A. Rp10.000,00

B. Rp20.000,00

C. Rp30.000,00

D. Rp40.000,00

E. Rp50.000,00

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.

π‘ˆ(π‘₯) = 40π‘₯ βˆ’ (4π‘₯2 βˆ’ 8π‘₯ + 24)π‘₯ = βˆ’4π‘₯3 + 8π‘₯2 + 16π‘₯ π‘ˆ(π‘₯)akan maksimum untuk π‘₯ yang memenuhi π‘ˆβ€²(π‘₯) = 0 β‡’ π‘ˆβ€²(π‘₯) = 0

⇔ βˆ’12π‘₯2 + 16π‘₯ + 16 = 0 (dibagi βˆ’ 4)

⇔ 3π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ βˆ’ 4 = 0⇔ (3π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 2) = 0

⇔ π‘₯ = βˆ’2

3 atau π‘₯ = 2

Karena π‘₯ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya π‘₯ = 2

Substitusikan π‘₯ = 2 ke π‘ˆ(π‘₯), diperoleh: π‘ˆ(π‘₯) = βˆ’4(2)3 + 8(2)2 + 16(2)

= βˆ’32 + 32 + 32 = 32

π‘ˆ(π‘₯) = 50π‘₯ βˆ’ (5π‘₯2 βˆ’ 10π‘₯ + 30)π‘₯ = βˆ’5π‘₯3 + 10π‘₯2 + 20π‘₯ π‘ˆ(π‘₯)akan maksimum untuk π‘₯ yang memenuhi π‘ˆβ€²(π‘₯) = 0 β‡’ π‘ˆβ€²(π‘₯) = 0

⇔ βˆ’15π‘₯2 + 20π‘₯ + 20 = 0 (dibagi βˆ’ 5)

⇔ 3π‘₯2 βˆ’ 4π‘₯ βˆ’ 4 = 0⇔ (3π‘₯ + 2)(π‘₯ βˆ’ 2) = 0

⇔ π‘₯ = βˆ’2

3 atau π‘₯ = 2

Karena π‘₯ mewakili jumlah barang, tidak mungkin negatif sehingga yang memenuhi hanya π‘₯ = 2

Substitusikan π‘₯ = 2 ke π‘ˆ(π‘₯), diperoleh: π‘ˆ(π‘₯) = βˆ’5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)

= βˆ’40 + 40 + 40 = Rp40