Slide fem 2d-20131029_6

Pengenalan FEM:

Perambatan Panas

FI4148 Komputasi Sistem Fisiks 29 Oktober 2013 1

Perambatan Panas

Sparisoma Viridi*, Novitrian, dan SuprijadiPhysics Department,

Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia

*[email protected]

Outline

• Teorema divergensi

• Metoda Galerkin

• Perambatan panas

• Diskritisasi elemen hingga


• Diskritisasi elemen hingga

• Perumusan

• Hubungan q dan T

• Persamaan FE

• Elemen segitiga

Teorema divergensi

• Integral volume V dan permukaan tertutup S

(1)( )∫ ∫ ⋅=⋅∇V S

SdFdVFrrrr


• Bila maka

(2)

V S

HgFrr

=

( ) ( )[ ]∫ ∫ ⋅=⋅∇+∇⋅V S

SdHgdVHggHrrrrrr

Metoda Galerkin

• Bila suatu fungsi f(x) sulit dibuat nol maka

dapat dibuat pembobotan sehingga

integralnya menjadi nol


(3)

yang tidak lain adalah metoda variasi

parameter

( ) ( ) 0=∫ dxxwxf

Perambatan panas

• Persamaan tranfer panas

(4)t

TcQq

∂∂

=+⋅∇− ρrr


q (W·m–2); Q (W·m–3); ρ (kg·m–3); c (J·kg–1·K–1);

T (K); t (s); x, y, z (m)

• Teringat persamaan Gauss dan divergensi?

t∂

URI http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/9781848829718-c1.pdf

[20131028.1640]

Perambatan panas (cont.)

• Hukum Fourier

(5)Tkq ∇−=rr


q (W·m–2); k (W·m–1·K); T (K); x, y, z (m)

• Masih ingat hubungan energi potensial dan

gaya konservatif?


• (5) � (4)

(6)( )t

TcQTk

∂∂

=+∇⋅∇ ρrr


merupakan persamaan dasar transfer panas

t∂


• Syarat batas: nilai temperatur ditentukan

(7)( )tzyxTTs ,,,1=


pada S1

Ts temperatur pada suatu permukaan


• Syarat batas: aliran panas ditentukan

(8)sqnq −=⋅rr


pada S2

qs aliran panas pada suatu permukaan

n konstanta tak berdimensi


• Syarat batas: konveksi

(9)( )es TThnq −=⋅rr


pada S3

h koefisien konveksi

Te temperatur pertukaran konveksi


• Syarat batas: radiasi

(10)rs qTnq ασε −=⋅ 4rr


pada S4

σ konstanta Stefan Boltzmann

ε koefisien emisivitas permukaan

α koefisien absorbsi permukaan

qr aliran panas radiasi datang per satuan luas


• Untuk permasalahan transien

(11)( ) ( )zyxTzyxT ,,0,,, 0=


medan temperatur inisial sistem pada t = 0

Diskritisasi elemen hingga

• Domain volume V dibagi dalam elemen-ele-

men hingga yang terkoneksi pada noda-noda

• Fungsi bentuk (shape function ) Ni digunakan

untuk interpolasi variabel yang dicari (tempe-


untuk interpolasi variabel yang dicari (tempe-

ratur T dalam kasus ini) dalam suatu elemen

Diskritisasi elemen hingga (cont.)

(12)

(13)

[ ]{ }TNT =

[ ] [ ]..21 NNN =


(14){ } { }..21 TTT =


• Apa kira-kira arti dari jenis kurung yang

digunakan?

• { .. } untuk apa?

• [ .. ] untuk apa?


• [ .. ] untuk apa?

• Lebih jelas bila diketahui bahwa { .. }T = [ .. ]?


• Operator diferensial: gradien

gunakan (12) – (14)

NNT

∂∂

∂

..21


(15){ } [ ]{ }TBT

x

N

z

N

y

N

y

Nx

N

x

N

z

T

y

Tx

T

=

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=

∂∂∂∂∂∂

..

..

..

21

21

21


• {T} vektor temperatur pada noda-noda

• [N]matriks fungsi bentuk

• [B]matriks interpolasi gradien temperatur


Perumusan

• Ingin diperoleh (4) = 0

• Terapkan metoda Galerkin (3)

• Gunakan fungsi bentuk (13)


(16)∫

∂∂

+−⋅∇V

idVNt

TcQq ρ

rr

Perumusan (cont.)

• Bahas suku pertama dengan teorema

divergensi

( )∫ ⋅∇ dVNqrr


(17)

( )

( ) ( )

( )∫∫

∫∫

∫

⋅∇−⋅=

⋅∇−⋅∇=

⋅∇

V

i

S

i

V

i

V

i

V

i

dVqNSdqN

dVqNdVqN

dVNq

rrrr

rrrr

Perumusan (cont.)

• (17) � (16)

( )∫∫ ⋅∇−∂∂

ii dVqNdVNt

Tc

rrρ


(18)∫∫

∫∫

⋅−=

∂

S

i

V

i

VV

SdqNdVQN

trr

Perumusan (cont.)

• Elemen luas permukaan dan vektor normalnya

(19)dSnSd = ˆ

r


(19)

(20)

( ){ }dSn

dSenenen

dSnSd

zzyzxx

=

++=

=

ˆˆˆ

ˆ

{ } [ ]zyx nnnn =T

Perumusan (cont.)

• Vektor aliran panas

(21){ } [ ]zyx qqqq =T


Perumusan (cont.)

• [(19), (20), (21)] � (18)

{ }∫∫

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂∂ iii

i dVqy

N

y

N

x

NdVN

t

Tcρ


(22){ } { }∫∫

∫∫

−=

∂∂∂∂

S

i

V

i

VV

dSNnqdVQN

yyxt

T

Penerapan syarat batas

• [(7), (8), (9), (10)] � (22): SB+⋅→⋅ nqnqrrrr

{ }∫∫

∂

∂

∂

∂

∂

∂−

∂∂

V

iii

V

i dVqy

N

y

N

x

NdVN

t

Tcρ


(23)

{ } { }

( ) ( )∫∫

∫∫∫

∫∫

−−−−

+−=

∂∂∂∂

43

21

4

T

S

ir

S

ie

S

is

S

i

V

i

VV

dSNqTdSNTTh

dSNqdSNnqdVQN

yyxt

ασε

Hubungan q dan T

• Hukum Fourier (5) dan menggunakan (15)

(24){ } [ ]{ }Τ−= Bkq


Persamaan FE

• Definsikan suku-suku konstanta

{ } [ ]∫=4

T

S

rr dSNqR α { } [ ]∫=V

Q dVNQRT


4S

{ } [ ]∫=3

T

S

eh dSNhTR { } [ ]∫=2

T

S

sq dSNqR

V

{ } { } { }[ ]∫−=1

T

S

T

T dSNnqR

Persamaan FE (cont.)

dan suku-suku bergantung posisi dan waktu

[ ]{ } [ ]∫−= T4

S

r dSNTTK σε


4S

[ ] [ ] [ ]dVBBkKV

c ∫= T


[ ] [ ] [ ]∫=V

dVNNcCTρ

[ ] [ ] [ ]∫= TdSNNhK


dengan menggunakan (12) – (14)

[ ] [ ] [ ]∫=3

T

S

h dSNNhK


• (23) dan (24) akan menjadi

(25)[ ]{ } [ ] [ ] [ ]( ){ }{ } { } { } { } { }

rhc

RRRRR

TKKKTC

++++=

+++&


yang merupakan persamaan yang dapat

dipecahkan secara numerik

{ } { } { } { } { }rhqQT RRRRR ++++=

Elemen segitiga: kasus 2-d

• Distribusi temperatur dalam elemen

(26)( ) ( )

( ) ( ) 3322

11

,,

,,

TyxNTyxN

TyxNyxT

++

=


dengan fungsi bentuk (interpolasi) linier

(27)

( ) ( ) 3322 ,, TyxNTyxN ++

( ) yxyxN iiii γβα ++=,

Elemen segitiga: kasus 2-d (cont.)

• Harus terpenuhi syarat

(28)( ) 3,2,1,, == iTyxT iii



[20131028.1640]


(29)

(30)

( )ycxbaN iiii ++∆

=2

1

++++ −= yxyxa(30)

(31)

(32)


1221 ++++ −= iiiii yxyxa

21 ++ −= iii yyb

12 ++ −= iii xxc


• di mana ∆ adalah luas elemen

(33)

( )3123122113322

1yxyxyxyxyxyx −−−++=∆

(33)

• Matriks konduktivitas

(34)


2

[ ] [ ] [ ]∫=A

c dxdyBBkKT


• Matriks diferensiasi temperatur

[ ] =

∂∂

∂∂

∂∂

= 321

321

1 bbbz

N

y

N

x

N


[ ]

∆=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂=321

321

321 2

1

ccc

bbb

z

N

y

N

y

N

zyxB


• Kebetulan untuk kasus ini [B] tidak bergan-

tung posisi (x dan y) sehingga mudah dihitung

+++ 31312121

2

1

2

1 ccbbccbbcb


[ ]

+++

+++

+++

=2

3

2

332323131

3232

2

2

2

22121

3131212111

cbccbbccbb

ccbbcbccbb

ccbbccbbcb

Kc


• Vektor aliran panas

{ } [ ] [ ] ....

1

0

21

T ++== ∫∫ LdtNNqdLNqR s

L

sq

dengan fungsi bentuk

sehingga diperoleh


0L

tNtN =−= 21 ,1

[ ] ....1

1

2++

=

LqR sq


[20131028.1640]


• Matriks-matriks elemen dan vektor-vektor

dihitung untuk semua elemen dalam suatu

mesh dan disusun membentuk sistem

persamaan globalpersamaan global

• Setelah itu penggabungan hasil-hasil

perhitungan ini sistem persamaan global akan

menghasilkan temperatur-termperatur pada

noda-noda


Terima kasih


Terima kasih

Slide fem 2d-20131029_6

Documents

Transcript of Slide fem 2d-20131029_6