Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
-
Upload
wahab-abdullah -
Category
Documents
-
view
277 -
download
2
Transcript of Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
1/70
1
VISUALISASI ORBITAL ATOM HIDROGEN TANPA GANGGUAN DAN
DENGAN GANGGUAN MEDAN LISTRIK (EFEK STARK ATOM
HIDROGEN UNTUK KEADAAN EKSITASI PERTAMA) MENGGUNAKAN
BAHASA PEMROGRAMAN MATLAB
Wahab Abdullah
ABSTRAK
Atom hidrogen merupakan atom yang paling sederhana. Hasil pemecahan
persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen menghasilkan fungsi gelombang(orbital) yang bergantung pada jarak dari inti dan angular. Fungsi tersebut mengandungpolinomial Legendre dan polinomial Laguerre. Dalam bahasa pemrograman Matlab
tersedia fungsi khusus dari polinomial tersebut sehingga dapat digunakan untuk
visualisasi orbital atom hidrogen. Hasil visualisasi menunjukkan bahwa
ketergantungan orbital pada jarak dari inti ditentukan oleh bilangan kuantum utama ndan bilangan kuantum orbital l. Ketergantungan pada angular ditentukan oleh bilangan
kuantum orbital ldan bilangan kuantum magnetik m. Untuk keadaan eksitasi pertama,
bila ada gangguan medan listrik luar maka terjadi degenerasi nilai eigen energi yangdikenal dengan efek Stark orde pertama yang menyebabkan terjadinya polarisasi pada
orbital.
Kata kunci: atom hidrogen, orbital, efek Stark, degenerasi.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
2/70
2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Hidrogen, dengan hanya satu elektron, adalah sistem atom yang paling sederhana
yang mungkin. Masalah dari struktur atom hidrogen adalah masalah yang paling
penting dari struktur atom dan molekul, tidak hanya karena perlakuan teoritik dari atom
ini lebih sederhana daripada atom-atom dan molekul-molekul yang lain, tetapi juga
sebagai dasar bagi diskusi untuk banyak sistem atomik yang lebih kompleks (Pauling,
1935: 112). Sehingga masalah atom hidrogen umumnya menjadi materi wajib dalam
buku teks maupun perkuliahan fisika modern dan fisika kuantum.
Walaupun fungsi gelombang untuk elektron atom hidrogen hasil pemecahan
persamaan Schrodinger tidak mempunyai tafsiran fisis, tetapi kuadrat besaran
mutlaknya yang dicari pada suatu tempat tertentu berbanding lurus dengan peluang
(probabilitas) untuk mendapatkan elektron di tempat tersebut. Fungsi gelombang
tersebut ada yang bergantung pada pada jarak dari inti yang disebut fungsi gelombang
radial dan ada yang bergantung pada sudut angular yang disebut fungsi harmonik bola.
Solusi lengkapnya adalah perkalian dari fungsi-fungsi tersebut. Tetapi bila fungsi
besaran kuadrat dari fungsi-fungsi tersebut kita plot maka akan diperoleh hasil berupa
visualisasi orbital atom dari atom hidrogen. Fungsi gelombang elektron atom hidrogen
tersebut dikenal sebagai orbital.
1
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
3/70
3
Adanya medan listrik luar mengakibatkan adanya pergeseran (degenerasi) energi
pada atom hidrogen (efek Stark) sehingga fungsi gelombang ikut berubah. Pada
keadaan dasar tidak terjadi degenerasi, tetapi pada keadaan eksitasi pertama terjadi
degenerasi yang dikenal sebagai efek Stark orde pertama (linier di dalam medan listrik
).Pada penelitian ini yang divisualisasikan hanya efek Stark pada atom hidrogen pada
keadaan eksitasi pertama.
Salah satu kesulitan dalam visualisasi orbital atom hidrogen adalah fungsinya
mengandung polinom Legendre dan polinom Laguerre. Kesulitan ini dapat diatasi
dengan komputasi menggunakan program Matlab yang menyediakan fungsi khusus
Legendre dan Laguerre. Telah ada yang membuat program komputer untuk
memvisualisasikan orbital atom hidrogen antara lain buatan Kevin Chu dengan bahasa
pemrograman Matlab yang menampilkan plot 3D dari pemecahan persamaan
Schrodinger yang telah diketahui untuk orbital 1s, 2s, 2p_z, 3d_z2
dan 3d_xydan plot
fungsi dan probabilitas radialnya (Chu, 2005). Program dalam matlab yang lain adalah
buatan L. Kocbach yang menampilkan fungsi radial dan fungsi probabilitas radial serta
plot masing-masing (Kocbach, 2005). Ada juga dalam bahasa Maple buatan Takeuchi
yang mendemonstrasikan gambaran 3D dari berbagai variasi orbital atom hidrogen
atau probabilitas dari densitas kemungkinan keberadaan elektron (Takeuchi, 2005).
Program yang dipakai dalam penelitian ini adalah hasil modifikasi dari program
dalam bahasa Matlab buatan Goran Lindblad (Department of Physics Royal Institute
of Technology Stockholm Sweden) yang menampilkan plot fungsi dan probabilitas
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
4/70
4
radial serta plot 3D beberapa orbital (Lindblad, 2005). Yang menarik dari program ini
adalah control window dan menunya dan banyaknya gejala fisis yang ditampilkan.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang di atas, maka dirumuskan masalah:
1. Bagaimana membuat program komputer yang dapat memplot orbital atom hidrogen
(baik fungsi radial, probabilitas radial maupun fungsi harmonik bola dan
ketergantungannya terhadap sudut angular) dan orbital atom hidrogen pada keadaan
eksitasi pertama akibat efek Stark dengan bahasa pemrograman Matlab.
2. Bagaimana hasil plot program komputer tersebut di atas.
C. Tujuan Penelitian
1. Membuat program komputer (hasil modifikasi program buatan Goran Lindbald)
yang dapat memplot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial
maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan
orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark dengan
bahasa pemrograman Matlab.
2. Mengetahui hasil plot program komputer tersebut di atas.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
5/70
5
D. Manfaat Penelitian
1. Mengetahui plot orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas radial
maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut angular) dan
orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark.
2. Menambah pengetahuan tentang atom hidrogen, karena dengan adanya visualisasi
ini maka akan menambah tafsiran fisisnya.
3. Dapat digunakan untuk membuat media pembelajaran dalam perkuliahan fisika
modern dan fisika kuantum.
E. Batasan Masalah
1. Yang divisualisasikan adalah orbital atom hidrogen (baik fungsi radial, probabilitas
radial maupun fungsi harmonik bola dan ketergantungannya terhadap sudut
angular) dan orbital atom hidrogen pada keadaan eksitasi pertama akibat efek Stark
dengan bahasa pemrograman Matlab.
2. Program yang dipakai adalah modifikasi dari program buatan Goran Lindblad.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
6/70
6
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen
Sebuah atom hidrogen terdiri dari sebuah proton (partikel bermuatan +e) dan
sebuah elektron (partikel bermuatane) yang 1836 kali lebih ringan dari proton. Dalam
pembahasan di sini proton dianggap diam di pusat koordinat dan elektron bergerak
mengelilinginya dibawah pengaruh medan atau gaya Coulumb. Pendekatan lebih baik
dilakukan dengan memandang kedua partikel berotasi di sekitar pusat massa bersama
yang berada (sedikit) di dekat proton, tetapi efek ini diabaikan (Purwanto, 1997:115).
Persamaan Scrhodinger untuk elektron dalam tiga dimensi yang harus dipakai
untuk persoalan atom hidrogen adalah (Beiser, 1992: 204)
02
22
2
2
2
2
2
VE
m
zyx
e
(1)
dengan meadalah massa elektron. Energi potensial Vialah energi potensial listrik dari
suatu muatane pada jarak r dari muatan +e
r
eV
o4
2
(2)
Mengingat sistem mempunyai simetri bola, analisis menjadi lebih sederhana bila
persamaan Schrodinger dinyatakan dalam koordinat bola sehingga pers. (1) menjadi
(setelah mensubstitusikan pers (2))
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
7/70
7
04
2
sin
1
sinsin
11
2
22
2
22
22
2
2
r
eE
m
r
rrr
rr
o
e
(3)
Persamaan (3) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas, masing-masing
hanya mengandung satu koordinat saja. Fungsi gelombang(r,,) mengambil bentuk
perkalian tiga fungsi yang berbeda
rRr ,, (4)
Fungsi R(r) memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron berubah
sepanjang vektor jari-jari dari inti, dengan dan konstan. Fungsi ()memerikan
bagaimana fungsi gelombang elektron berubah terhadap sudut zenit sepanjang
meridian pada bola yang berpusat pada inti, dengan r dan konstan. Fungsi ()
memerikan bagaimana fungsi gelombang elektron berubah terhadap sudut azimut
sepanjang garis pada bola yang berpusat pada inti, dengan r dan konstan
(Beiser,1992: 207). Hasil pemisahan variabel dari persamaan (3) adalah:
02
2
2
md
d
(5)
0sin
1sinsin
12
2
mll
d
d
d
d (6)
0
1
4
212
0
2
2
2
R
r
llE
r
em
dr
dRr
dr
d
r
e
(7)
(Beiser, 1992: 209)
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
8/70
8
B. Solusi Persamaan Scrhodinger Untuk Elektron Dalam Atom Hidrogen
Solusi dari persamaan (5) adalah
2 imimm AeAe (8)
denganAadalah konstanta normalisasi yang besarnya 2/1 .
Solusi dari persamaan (6) adalah
cosmllmlm PN (9)
m
lP ditentukan dengan rumus Rodrigues untuk polinom Legendre
lml
mlm
l
m
l xdx
dx
lxP 11
!2
1 22/2
(10)
(Boass, 1982:505)
Nlmadalah konstanta normalisasi yang besarnya
!
!
2
12
ml
mllN
lm
(11)
(Yariv, 1982:66)
Fungsi yang berhubungan angular total adalah harmonik bola yaitu
mmlY 1, (12)
dengan *1 mlmml YY (Gate, 1989:17).
Solusi dari persamaan (7) adalah
122/ l ln
l
nlnl LeNrRrR (13)
Nnladalah konstanta normalisasi yang besarnya
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
9/70
9
2/1
3
3
0 !2
!12
lnn
ln
na
Nnl (14)
Besar adalah0
2
na
r dengan 22
0 / ema e .
12 lnlL adalah polinom Laguerre terasosiasi yang dapat ditentukan dengan rumus
xLdx
dxL pq
qqq
p 1 (15)
Lp(x) ditentukan dengan rumus
xpp
px
p exdx
dexL (16)
(Boass, 1982:533)
Jadi solusi lengkap persamaan fungsi gelombang elektron atom hidrogen adalah
,,, mlnlnlm YrRr (17)
Jika elektron dijelaskan oleh salah satu fungsi gelombang ini, dikatakan bahwa elektron
itu menempati orbital tersebut. Jadi, elektron yang digambarkan oleh fungsi
gelombang 100disebut menempati orbital dengan n=1, l=0, dan m=0.
C. Bilangan Kuantum
Tiga bilangan kuantum yang timbul dari pemecahan persamaan Scrhodinger
elektron atom hidrogen adalah n, ldan m. Bilangan ndinamakan bilangan kuantum
utama yang besarnya n=1,2,3.dan l dinamakan bilangan kuantum orbital yang
besarnya l=0,1,2,3,,(n-1) dan m dinamakan bilangan kuantum magnetik yang
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
10/70
10
besarnya m=0, 1, 2, , ,l. Bilangan n menentukan energi total elektron
22
0
2
4
132 n
emE en , bilangan l menentukan besar momentum sudut elektron
terhadap inti 1 llL , dan bilangan m menentukan arah momentum sudut
mLz .
Biasanya keadaan momentum sudut orbital diberi nama dengan huruf suntuk l =
0,puntuk l = 1, duntuk l = 2, funtuk l = 3,guntuk l = 4 dan seterusnya.
D. Peluang Mendapatkan Elektron
Peluang mendapatkan elektron pada titik r, , berbanding lurus dengan2
dengan2222
R . Peluang untuk mendapatkan elektron atom hidrogen pada
suatu tempat antara r dan r + drdari inti ialah (Beiser, 1992: 220)
drRr
dddrRr
dddrrdVdrrP
22
2
0
2
0
222
222
sin
sin
(18)
E. Efek Stark Dalam Atom Hidrogen
Sebelum membahas efek Stark, perlu diketahui dulu tentang teori gangguan
(perturbation theory). Alasan adanya teori gangguan adalah bahwa pada level terendah
dari (solusi) aproksimasi, dapat diketahui bagaimana pergeseran energi dan bagaimana
fungsi eigen berubah akibat perubahan potensial.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
11/70
11
Nilai eigen dan set lengkapdari fungsi eigen ternormalisasi untuk Hamiltonian
(tanpa gangguan)Ho
nnno EH
0 (19)
(Gasiorowicz, 2003: 174)
Adanya gangguan mengakibatkan
nnno EHH 1 (20)
(Gasiorowicz, 2003: 174)
Solusinya memberikan (untuk pergeseran orde pertama)
nnnn HE 1
1 (21)
JikaH1hanya tergantung pada r, maka
rrr nnn VrdE 31 (22)
(Gasiorowicz, 2003: 175)
Lebih jauh, persamaan pergeseran orde pertama
j
i
n
i
n
j
n EH 11 (23)
dengan merupakan koefisien. Ini merupakan masalah nilai eigen dimensi terbatas.
Sebagai contoh, jika ada dua garis degenerasi, dan jika kita menggunakan notasi
ji
i
n
j
n hH 1 , persamaan tersebut terbaca
2
1
222121
1
1
212111
n
n
Ehh
Ehh
(Gasiorowicz, 2003: 175)
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
12/70
12
Aplikasi teori gangguan pada masalah yang nyata adalah efek Stark pada atom
hidrogen. Efek Stark merupakan peristiwa pergeseran tingkat energi atom hidrogen
sebagai akibat gangguan medan listrik yang lemah dan serba sama pada atom tersebut
(Tjia, 1999:93). Hamiltonian tidak terganggu
r
e
mH
o
o42
22
p
(24)
yang fungsi eigennya rnlm . Potensial pengganggu
zeeH r1 (25)
(Gasiorowicz, 2003: 180)
di mana adalah medan listrik. Pergeseran energi dari keadaan dasar yang mana tidak
terdegenerasi diberikan oleh
zrrdezeE 2
100
3
100100
1
100 (26)
(Gasiorowicz, 2003: 180)
Integral ini lenyap karena kuadrat dari fungsi gelombang selalu berupa fungsi genap
sedang potensial pengganggu adalah fungsi ganjil. Jadi (26) menunjukkan tidak adanya
pergeseran energi untuk keadaan dasar yang linier di dalam medan listrik.
Sebagai contoh untuk mengilustrasikan teori gangguan degenerasi adalah efek
Stark pada keadaan eksitasi pertama (n= 2). Untuk sistem yang tak terganggu ada
empat keadaan n = 2 yang energinya sama yaitu 200 , 211 , 210 dan 1,1,2 . Fungsi
dengan l=0 mempunyai paritas genap dan l=1 mempunyai paritas ganjil. Kita ingin
memecahkan persamaan mirip pers. (23). Karena potensial pengganggu dalam z maka
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
13/70
13
ini hanya berhubungan dengan nilai-m yang sama, adanya paritas membuat potensial
pengganggu berhubungan dengan suku l=1 hingga l=0, yaitu
01,1,21,1,2 z (27)
(Gasiorowicz, 2003: 182)
kemudian matriks pada pers. (23) hanya matriks 2x2.
2
11
2
1
210210200210
210200200200
E
zz
zze (28)
Elemen-elemen diagonal adalah nol, karena paritas, dan elemen-elemen diagonal yang
lain sebanding, karena mereka adalah konjugat kompleks satu sama lain, dan masing-
masing boleh dipilih menjadi real. Kita punya
o
oo
ar
o
a
YYYd
a
r
a
readrrz o
3
3/4.
21
3
22
101000
0
/32
210200
(29)
(Gasiorowicz, 2003: 182)
dan kemudian pers. (28) menjadi
0
3
3
2
1
1
1
Eae
aeE
o
o (30)
(Gasiorowicz, 2003: 183)
Nilai eigen darinya adalah
oaeE 3
1 (31)
dan keadaan eigen yang berkorespondensi ketika dinormalisasi adalah
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
14/70
14
m = 0
m = +1
m = 0
4 degenerasi
keadaan n = 2
Gambar 2.1. Pola dari pemisahan Stark dari atom hidrogen pada eksitasi
pertama n = 2. Empat garis tebal degenerasi terpisah sebagian oleh efek
Stark. Keadaan m = + 1 tetap degenerasi dan tanpa pergeseran dalam efek
Stark (Gasiorowicz, 2003: 183).
1
1
2
1dan
1
1
2
1 (32)
(Gasiorowicz, 2003: 183)
Jadi efek Stark linier untuk n = 2 menghasilkan pemisahan (splitting) dari level-level
degenerasi seperti pada gambar 2.1.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
15/70
15
BAB III
METODE PENELITIAN
Secara garis besar metode penelitian ini ada tiga tahap, yaitu modifikasi program
komputer buatan Goran Lindblad, pengujian program tersebut dan penerapan program.
A. Modifikasi Program
Modifikasi-modifikasi program antara lain sebagai berikut:
1. Tampilan menu yang berbahasa Indonesia untuk memudahkan pengguna.
2. Keterangan keterangan pada m-file berbahasa Indonesia untuk memudahkan
pengembangan lebih lanjut dan penerapan pada program yang lain (karena
tampilan menunya yang menarik).
3. Untuk program fungsi radial dan distribusi probabilitasnya, masukannya bilangan
kuantum utama N dan orbital M, tidak lagi N saja.
4. Untuk program plot 3D atau ketergantungan harmonik bola pada angular,
masukannya tidak lagi L, tetapi L dan M (bilangan kuantum magnetik).
5. Membuat program untuk efek Stark pada atom hidrogen pada keadaan eksitasi
pertama (program ini tidak ada pada program buatan Goran Lindblad). Untuk polt
orbitalnya, dibuat berdasarkan program buatan Goran Lindblad sedangkan plot
probabilitas radialnya berdasarkan program buatan Kevin Chu.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
16/70
16
mula
Masukkan nilai N, L
y=radial1(N, L, x')
plot(x,
selesai
y=(x'.*ones).*y
plot(y)
plot(x,y.^2)
Gambar 3.1. Flowchart untuk program menampilkan
grafik fungsi radial dan probabilitasnya.
Berikut adalah flowchart beberapa program hasil penelitian ini.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
17/70
17
mula
Masukkan nilai L
x=linspace(0,1)
y1=ylm(L,x)
plot(x, y1)
for n=1:L+1
l1=plot(x, y1(n,:));
axis(x,y);set(l1,LineWidth,2)
plot(x, y1)
1
Gambar 3.2. Flowchart untuk
program harmonik bola.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
18/70
18
X=linspace(0,2*pi,200)
y1=ylm(L,cos(X))
for n=1:L+1
selesai
y2=y1(L+n,:).^2;yy=y2.*cos(X); xx=y2.*sin(X);
plot(xx,yy)
Gambar 3.3. Flowchart untuk
program harmonik bola (lanjutan).
1
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
19/70
19
mula
Masukkan nilai L, M
theta=pi*linspace(0,1,60); phi=2*pi*linspace(0,1,90);
sph=ylm(L,cos(theta));sph=sph(L+M+1,:);
dd=abs(sph' * cos(M*phi));
norm=max(max(dd));dd=dd/norm;
X=dd.*(sin(theta)'*cos(phi));
Y=dd.*(sin(theta)'*sin(phi));
Z=dd.*(cos(theta)'*ones(size(phi)));
selesai
mesh(X,Y,
Gambar 3.4. Flowchart untuk program ketergantunganharmonik bola pada angular.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
20/70
20
mula
Masukkan nilai N, L,
M
w=hydrogen(N,L,M,x,y);mm=max(max(abs(w)));
w=30*w./mm;
selesai
surf(x,y,w)
Gambar 3.5. Flowchart untuk program orbital.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
21/70
21
mula
Masukkan nilai N1, L1,
M1, N2, L2, M2
w1=hydrogen(N1,L1,M1,x,y);
w2=hydrogen(N2,L2,M2,x,y);mm1=max(max(abs(w1)));
mm2=max(max(abs(w2)));
w1=30*w1./mm1;
w2=30*w2./mm2;w=((1/sqrt(2))*(asinh(w1)-asinh(w2))).^2;
selesai
surf(x,y,w)
Gambar 3.6. Flowchart untuk program efek Stark.
a0=1;r=1/a0 * [-10:0.01:0];
psi_20=((1/(2*a0)) 1.5) * (2+r).*exp(r/2);psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r.*exp(r/2);
psi_1=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
r1=1/a0 * [0:0.01:10];
psi_20=((1/(2*a0)) 1.5) * (2-r1).*exp(-r1/2);psi_21=(1/sqrt(3))*((1/(2*a0))^1.5)*r1.*exp(-r1/2);
psi_2=(1/sqrt(2))*(psi_20 - psi_21);
plot(r, psi_1.^2, r1, psi_2.^2);
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
22/70
22
B. Pengujian Program
Untuk mengetahui benar atau tidaknya program yang dihasilkan dalam penelitian
ini perlu diadakan pengujian. Pengujian untuk program hasil modifikasi dilakukan
dengan membandingkan gambar hasil program dengan gambar hasil program aslinya,
selain itu juga dibandingkan dengan gambar-gambar yang relevan yang ada pada buku-
buku teks. Di dalam buku teks hanya ada beberapa gambar plot orbital untuk state-state
tertentu, sehingga gambar hasil program yang diuji juga untuk gambar-gambar tertentu.
Meskipun demikian, bila terjadi kecocokan antara gambar hasil program dan gambar
pada buku teks maka dianggap program ini benar dan bisa diterapkan.
Pengujian program HarmonikBola.m dilakukan dengan membandingkan
keluarannya dengan gambar 3.7. Gambar 3.7 ini dibandingkan dengan gambar 4.16
hingga gambar 4.25, setelah dibandingkan terlihat adanya kecocokan sehingga
program HarmonikBola.m dapat dipakai. Beberapa hasil program FungsiAngular.m
(orbital 3D) yaitu gambar 4.26, 4.28 dan 4.30 dibandingkan dengan gambar 3.8, terlihat
juga adanya kecocokan sehingga program FungsiAngular.m juga dapat dipakai. Hasil
program FungsiRadial.m dibandingkan dengan gambar 3.9. Gambar 3.9 ini
dibandingkan dengan gambar 4.7 hingga gambar 4.13. Didapatkan kecocokan dari
hasil perbandingan tersebut, sehingga program FungsiAngular.m dapat diterapkan.
Gambar 3.10 merupakan gambar pembanding hasil program orbital.m (orbital 2D)
yaitu gambar 4.25, 4.27 dan 4.28. Hasil perbandingan tersebut memperlihatkan
kecocokan sehingga program orbital.m dapat dipakai. Untuk program tentang efek
Stark, hasil keluarannya dibandingkan dengan gambar 3.11 yang berasal dari pustaka
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
23/70
23
Gambar 3.7. Beberapa sketsa distribusi |Ylm|2di bidang z-x
dalam diagram polar (Gasiorowicz, 2003: 141).
internet. Ternyata ada kecocokan antara progam efek Stark dengan gambar 3.11
(seperti yang terlihat pada gambar 4.36 hingga gambar 4.41). Secara umum hasil
pengujian memperlihatkan kecocokan sehingga program hasil penelitian ini benar dan
dapat diterapkan. Di dalam bab IV sebagian dari gambar-gambar berikut ditampilkan
untuk mempermudah dalam melakukan pembandingan.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
24/70
24
Gambar 3.8. Representasi polar untuk nilai-nilai absolut dari fungsi
gelombang angular untuk orbitalpdans(Pauling, 1935:150).
Gambar 3.9. Fungsi gelombang radial dan distribusi probailitas atom
hidrogen (Pauling, 1935: 142-143).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
25/70
25
Gambar 3.11. Efek Stark orbital atom H eksitasi pertama serta
probabilitas radialnya (www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html,2006).
Gambar 3.10. Orbital pzdan pxdalam 2D (Tung, Khoe Yao, 2003: 292-301).
http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.htmlhttp://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html -
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
26/70
26
C. Penerapan Program
Setelah melakukan modifikasi dan pengujian program, maka dilakukan penerapan
program untuk mendapatkan gambar-gambar hasil program kemudian dijelaskan arti
fisisnya seperti yang ada pada bab IV.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
27/70
27
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Secara garis besar hasil penelitian ini ada dua macam, yaitu program komputer
dalam bahasa MATLAB dan hasil terapan program komputer tersebut. Pembahasan
juga ada dua macam, yaitu pembahasan program komputer dan pembahasan hasil
terapan program secara fisis. Dibahas juga keunggulan dan keterbatasan program hasil
penelitian.
A. Program Komputer dan Pembahasan
Pada penelitian ini dihasilkan 19 file-file program yang dapat dilihat pada lampiran
2. File-file tersebut merupakan modifikasi dari file-file buatan Goran Lindblad dan satu
file tambahan untuk menampilkan orbital atom hidrogen pada eksitasi pertama di
dalam medan listrik (efek Stark). Berikut akan dibahas beberapa file.
1. File AtomHidrogen.m
File ini adalah menu untuk program-program beberapa eigenstate (keadaan eigen)
atom hidrogen. Dengan file ini kita dapat memanggil file-file: HarmonilBola.m
(tombol Harmonik Bola), FungsiAngular.m (tombol Orbital Atom 3D),
FungsiRadial.m (tombol Fungsi Gelombang Radial), orbital.m (tombol Orbital
Atom 2D) dan file EfekStark.m (tombol EfekStark). File AtomHidrogen.m ini juga
dilengkapi dengan tombol BERHENTI untuk keluar dari program.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
28/70
28
Gambar 4.1. Tampilan menu program AtomHidrogen.m.
Gambar 4.2. Tampilan menu program HarmonikBola.m.
2. File HarmonikBola.m
File HarmonikBola.m menampilkan harmonik bola untuk = 0.1 dan = 0 (dapat
dilihat pada lampiran 1) dengan masukan bilangan kuantum orbital L. Juga ditampilkan
harmonik bola Y(L, M)dalam plot kuadrat amplitudo dalam diagram polar.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
29/70
29
Gambar 4.3. Tampilan menu program FungsiAngular.m.
3. File FungsiAngular.m
File ini menampilkan ketergantungan harmonik bola pada angular dengan masukan
bilangan kuantum angular (orbital) L dan bilangan kuantum magnetik M. Besaran yang
ditampilkan adalah nilai absolut dari bagian real dari fungsi Ylm(,). File ini
menggunakan fungsi file ylm.m. Dalam file aslinya (buatan Goran Lindblad),
masukanya berupa L saja, jadi file tersebut menampilkan nilai absolut Ylm(,)secara
beruntun dan otomatis untuk nilai M = 0 hingga M = L sehingga lebih sulit dalam
penyimpanan gambar serta harus menunggu untuk memperoleh gambar yang kita
inginkan.
4. File FungsiRadial.m
File FungsiRadial.m menampilkan plot fungsi radial, plot fungsi radial dikalikan r
dan plot distribusi probabilitas radial. Fungsi gelombang radial didefinisikan dalam
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
30/70
30
Gambar 4.4. Tampilan menu program FungsiRadial.m.
bentuk polinomial Laguerre dan dihitung dengan menggunakan algoritma dalam fungsi
file radial1.m dan laguerre.m. Masukan file ini adalah bilangan kuantum utama N dan
bilangan kuantum orbital L. Berbeda dengan file aslinya yang menampilkan seluruh
fungsi gelombang radial untuk N dengan L = 0 hingga L = N - 1 dalam satu grafik
sehungga sulit untuk mengidentifikasi mana plot fungsi gelombang radial untuk N = 4
dan L = 2 misalnya, karena ada 4 plot (yaitu untuk M = 4 dan L = 0, 1, 2 dan 3).
5. File orbital.m
File ini menamplikan orbital hidrogen dengan masukan bilangan kuantum N, L,
M. File ini menghitung nilai real dari orbital hidrogen untuk = 0 dan amplitudo
digambar dalam colormap.Colormap yang dipakai adalahjet. Bila kita ingin tampilan
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
31/70
31
Gambar 4.5. Tampilan menu program orbital.m.
warna yang lain kita dapat mengganti colormap tersebut. File orbital.m ini
menggunakan fungsi file hydrogen.m.
6. File EfekStark.m
File ini tidak ada dalam file-file buatan Goran Lingblad. File ini menampilkan
orbital H untuk eksitasi pertama (n= 2) dalam medan listrik untuk = 0 dan amplitudo
digambar dalam colormap. File ini juga menampilkan fungsi distribusi probabilitas
radialnya.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
32/70
32
B.
Pembahasan Secara Fisis
Berikut akan dibahas tentang keadaan normal atom hidrogen, fungsi gelombang
radial atom hidrogen, ketergantungan fungsi gelombang pada pada sudut dan ,
orbitals,pdan dserta efek Stark untuk n = 2.
1. Keadaan normal dari atom hidrogen
Sifat-sifat dari atom hidrogen pada keadaan normalnya (n = 1, l = 0, m = 0)
diterangkan oleh fungsi gelombang (gambar 4.7)
oar
o
ea
/
3100
1
Orbital pada keadaan ini disebut juga orbital 1s. Interpretasi fisis mempostulatkan
untuk fungsi gelombang membutuhkan
oar
oea
/2
3
1
sebagai fungsi distribusi probabilitas untuk elektron relatif terhadap inti. Karena
ekspresi ini bebas dari dan , atom hidrogen normal adalah simetri bola. Simetri bola
ini merupakan sifat yang tidak diajukan oleh atom Bohr normal, untuk orbit Bohr
dibatasi ke sebuah bidang tunggal (single plane) (Pauling, 1935: 139).
Dengan menggunakan drRrdrr 22P diperoleh fungsi distribusi radial
oar
o
era
rP /22
3100
4 yang terlihat pada gambar 4.10 adalah fungsi dari r, jarak dari
inti.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
33/70
33
Gambar 4.7. Plot fungsi radial untuk N = 1, L
Probabibilitas yang mana elektron tetap di sekitaro
1Adari inti adalah besar, inilah
ukuran dari atom hidrogen yang sama dengan yang diberikan oleh atom Bohr. Jarak
yang paling mungkin dari elektron terhadap inti, yaitu nilai r pada P(r) saat nilai
maksimum adalah tepat jari-jari orbit Bohr normal aountuk hidrogen (Pauling, 1935:
140).
Fungsi2
100
mempunyai nilai maksimum pada r= 0, menunjukkan bahwa posisi
paling mungkin untuk elektron adalah dekat inti, maka dari itu kesempatan elektron
tinggal di dalam volume kecil sangat dekat inti adalah lebih besar daripada kesempatan
elektron tersebut tinggal di elemen volume dengan ukuran yang sama pada jarak yang
lebih besar dari inti (Pauling, 1935: 141).
2. Fungsi gelombang radial atom hidrogen
Fungsi gelombang radial rRnl untuk n = 1, 2 dan 3 dan l = 0 plotnya ditunjukkan
pada gambargambar berikut.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
34/70
34
Gambar 4.8. Plot fungsi radial untuk N = 2, L = 0.
Gambar 4.9. Plot fungsi radial untuk N = 3, L = 0.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
35/70
35
Gambar 4.10. Fungsi gelombang radial atom hidrogenRnl(r)
untuk n=1, 2 dan 3 dan l= 0 dan 1 (Pauling, 1935: 142).
Pada plot fungsi radial di atas sumbu horisontal merepresentasikan nilai r, oleh
karena itu skala horisontal harus ditingkatkan dengan faktor ndengan tujuan untuk
menunjukkanR(r)sebagai fungsi jarak elektron-inti r.
Gambar 4.10 berikut merupakan gambar pembanding dari gambar 4.7 hingga
gambar 4.9 di atas. Terlihat bahwa antara gambar hasil program dengan gambar yang
ada di buku teks terdapat kecocokan. Dengan demikian program file FungsiRadial.m
untuk plot fungsi radial benar dan dapat dipakai.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
36/70
36
Gambar 4.12. Plot kerapatan probabilitas radial untuk
Gambar 4.11. Plot kerapatan probabilitas radial untuk
Fungsi distribusi radial
22
nlP rRrr nl yang direpresentasikan dari fungsi r
dari keadaan-keadaan untuk n = 1, 2 dan 3 dan l= 0 plotnya ditunjukkan pada gambar
gambar berikut.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
37/70
37
Gambar 4.13. Plot kerapatan probabilitas radial untuk N=3, L=0.
Dari gambar 4.11 hingga gambar 4.13 dengan melihat puncak-puncak gelombang
dari plot di atas (denga l= 0 untuk n= 1 ada satu puncak, untuk n= 2 ada dua puncak
dan untuk n= 3 ada tiga puncak) kita boleh mengatakan bahwa selama waktu satu
periode elektron mungkin dipertimbangkan, pada keadaan normal (n = 1, l = 0)
membentuk sebuah bola sekitar inti, pada keadaan 2s(n= 2, l= 0) membentuk sebuah
bola dan sebuah lapisan yang lebih luar, pada keadaan 3s (n= 3, l= 0) membentuk
sebuah bola dan dua lapisan yang terpusat demikian seterusnya (Pauling, 1935: 143).
Gambar 4.14 berikut adalah gambar pembanding dari gambar 4.11 hingga gambar
4.13. Seperti pada fungsi radial sebelumnya, terlihat adanya kecocokan antara gambar
hasil program dengan gambar yang ada pada buku teks, sehingga program file
FungsiAngular.m untuk plot probabilitas radial benar dan dapat dipakai.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
38/70
38
Gambar 4.14. Fungsi distribusi electron 4r2[Rnl(r)]2untuk
atom hidrogen (Pauling, 1935: 143).
3. Ketergantungan fungsi gelombang pada sudut dan
Fungsi gelombang dengan nilai l yang sama dan nilai m yang berbeda
merepresentasikan keadaan-keadaan dengan momentum angular yang sama tetapi
dengan orientasi-orientasi yang berbeda dalam ruang.
Plot fungsi distribusi pada keadaan-keadaan dengan m= l dan untuk l = 0, 1, 2
dan 3 terlihat pada gambar - gambar berikut (terdapat pula sebagian gambar-gambar
pembanding dari buku teks).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
39/70
39
Gambar 4.16. Plot kuadrat amplitudoY(1, 1) dalam diagram polar.
Gambar 4.15. Plot kuadrat amplitude Y (0, 0) dalam diagram polar.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
40/70
40
Gambar 4.18. Plot kuadrat amplitudoY (2, 2) dalam diagram polar.
Gambar 4.17. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY (1, 1).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
41/70
41
Gambar 4.19. Plot kuadrat amplitudoY (3, 3) dalam diagram polar.
Dari gambar-gambar harmonik bola di atas terlihat bahwa lmeningkatkan fungsi
distribusi probabilitas menjadi lebih terkonsentrasi sekitar bidang xy(Pauling, 1923:
147). Hal tersebut ditunjukkan oleh sumbu horisontalnya yang semakin melebar. Hal
ini karena besar momentum sudut yang dimiliki elektron semakin besar ketika lmakin
besar. Terlihat pula bahwa untuk selain l= 0, probabilitas dekat inti adalah kecil, ini
alibat efek sentrifugal (adanya momentum sudut) yang menjauhkan elektron dari inti.
Kelakuan dari fungsi dristibusi untuk nilai-nilai l = 3 dan m = 0, 1, 2 dan 3
ditunjukkan pada gambar-gambar berikut.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
42/70
42
Gambar 4.21. Plot kuadrat amplitudo Y (3, 1) dalam diagram polar.
Gambar 4.20. Plot kuadrat amplitudo Y (3, 0) dalam diagram polar.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
43/70
43
Gambar 4.23. Plot kuadrat amplitudoY(3, 2) dalam diagram polar.
Gambar 4.22. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY (3, 1).
.
Gambar 4.24. Gambar pembanding untuk kuadrat amplitudoY(3, 2).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
44/70
44
Gambar 4.25. Plot kuadrat amplitudo Y(3, 3) dalam diagram polar.
Terlihat dari plot-plot kuadrat harmonik bola di atas, bahwa mmenentukan arah
dari momentum sudut elektron, untuk lyang sama, semakin besar mfungsi distribusi
semakin menjauh dari sumbu z.
Dengan melihat gambar hasil program file HarmonikBola.m dengan gambar yang
ada pada buku teks, terlihat adanya kecocokan sehingga program file tersebut dapat
benar dan dapat diterapkan atau digunakan.
Semua gambar di atas adalah untuk ketergantungan pada dengan konstan.
Ketergantungan fungsi distribusi probabilitas pada angular dalam bentuk nyata (dan
) seperti terlihat pada gambar-gambar berikut (bersama dengan gambar-gambar dari
buku teks sebagai pembanding, yaitu gambar 4.27 dan gambar 4.29).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
45/70
45
Gambar 4.28. Ketergantungan Y(1, 0) pada angular (dan
Gambar 4.26. Ketergantungan Y(0, 0) pada angular (dan )untuk orbitals.
Gambar 4.27. Gambar pembanding untuk orbitals.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
46/70
46
Gambar 4.29. Gambar pembanding untuk Orbital pz.
Yang diamati dari gambar 4.26 dan gambar 4.28 hanyalah tumpahan distribusi
elektron, dengan distribusi ruang yang diberikan oleh probabilitas2
, kita tidak
mungkin mengamati secara langsung gerak elektron di dalam atom hidrogen
(Krane,1992: 280).
Dari perbandingan gambar hasil program FungsiAngular.m dengan gambar dari
buku teks terlihat adanya kecocokan sehingga program tersebut benar dan dapat
digunakan.
4. Orbital s
Kurva rapat elektron untuk orbital 2smengungkapkan dua daerah dengan rapat
elektron tinggi yang terpisah oleh titik nol (gambar 4.12). Titik nol ini disebut simpul,
dan menyatakan daerah dalam ruang yang kebolehjadian menemukan sebuah elektron
sangat kecil. Semua orbital kecuali orbital 1smempunyai simpul (Fessenden, 1997: 2).
Semua orbitalsadalah simetri bola, karena tidak mengandung komponen angular.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
47/70
47
5. Orbital p
Sebuah elektron p mempunyai momentum sudut (dengan besaran 2 ), dan
momentum ini mempunyai efek yang besar pada bentuk fungsi gelombang di dekat
inti: orbital pmempunyai amplitudo nol pada r = 0. Hal ini dapat dipahami secara
klasik, berkenaan dengan efek sentrifugal momentum sudut, yang menjauhkan elektron
itu dari intinya. Hal ini juga merupakan sesuatu yang kita duga dari bentuk energi
potensial efektif, yang naik sampai tak terhingga ketika rmenuju nol dan mengeluarkan
fungsi gelombang dari inti.
Efek sentrifugal yang sama, tampak pada semua orbital dengan l > 0,
konsekuensinya amplitudo nol pada inti sehingga peluang menemukan elektron pada
inti adalah nol (Atkins, 1994: 387). Setiap orbital p mempunyai dua cuping yang
terpisah oleh simpul (bidang simpul dalam hal ini) pada inti. Orbital p, dapat
diandaikan mempunyai berbagai orientasi sekeliling inti. Ketiga orbital 2p terdapat
pada sudut yang saling tegak lurus. Orbitalpyang saling tegak lurus kadang-kadang
ditandai sebagaipx,py,pz. Huruf subskripx,y,zyang dapat digambarkan lewat gambar
dari orbitalpini (Fessenden, 1997: 3).
Orbital 2pdibedakan karena tiga nilai myang berbeda. Karena bilangan kuantum
mmenyatakan momentum sudut disekitar sumbu maka perbedaan nilai mmenyatakan
orbital tempat elektron mempunyai momentum sudut yang berbeda disekitar sumbu-z
sembarang, tetapi besaran momentumnya sama (karena lnya sama). Misalnya, orbital
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
48/70
48
Gambar 4.30. Orbitalp(px).
dengan m = 0 mempunyai momentum sudut di sekitar sumbu-z sama dengan nol.
Orbital ini membentuk f(r) cos, kerapatan elektron yang sebanding dengan cos2
mempunyai nilai maksimum pada kedua sisi inti, sepanjang sumbu-z (untuk = 0 dan
180o). Karena alasan ini, orbital ini disebut pz(gambar 4.28). Orbital dengan m = 1
(yang sebanding dengan iesin ) mempunyai sudut disekitar sumbu-z. Orbital
dengan faktor ie berkaitan dengan rotasi satu arah dan orbital dengan faktor ie ,
berkaitan dengan gerakan dengan arah yang berlawanan. Orbital itu mempunyai
amplitudo nol bila = 0 dan 180o(sepanjang sumbu-z) dan amplitudonya maksimum
pada saat = 90o, yang berada pada bidangxy. Untuk menggambarkan fungsi itu, biasa
diambil kombinasi linier real
yffeef
xffeef
ii
ii
sinsinsin
cossinsin
yang (jika ternormalisasi) disebut orbitalpx(gambar 4.23) danpy(Atkins, 1994: 387).
Karena orbital 2pekuivalen dalam bentuk dan dalam jarak dari inti mereka mempunyai
energi yang sama. Orbital yang memiliki energi yang sama, seperti orbital 2p,
dikatakan terdegenerasi(Fessenden, 1997: 4).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
49/70
49
Gambar 4.31. Orbital 2d, terlihat seperti penggabungan dua orbitalp.
6. Orbital d
Jika n = 3, l dapat bernilai 0, 1, atau 2. Hasilnya adalah satu orbital 3s, tiga orbital
3p, dan lima orbital 3d. Kelima orbital dmempunyai m = 2, 1, 0, -1, -2 dan berkaitan
dengan lima momentum sudut yang berbeda disekitar sumbu-z (tetapi besarannya
sama, karena pada setiap kasus l = 2). Berbeda dengan orbitalp, orbital ddengan nilai
m yang berlawanan (sehingga arah gerakannya disekitar sumbu-z juga berlawanan)
dapat digabungkan secara berpasangan seperti pada gambar 4.31 (Atkins, 1994: 387).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
50/70
50
Gambar 4.32. Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=0 dan M=0.
Gambar 4.33. Orbital atom hidrogen untuk N=2, L=0 dan M=0.
Terlihat bahwa jarak dari inti lebih lebar dari gambar 4.25
Berikut adalah beberapa gambar orbital atom hidrogen dalam colormap dari
amplitudo hasil dari program file orbital.m.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
51/70
51
Gambar 4.34. Orbital atom hidrogen untuk N=1, L=1 dan M=1.
Gambar 4.35. Gambar pembanding untuk orbital N = 1, L = 1
dan M = 1.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
52/70
52
Gambar 4.36. Akibat adanya medan listrik terjadi polarisasi
Dari perbandingan gambar 4.34 dan gambar 4.35 terlihat adanya kecocokan
sehingga program file orbital.m benar dan dapat diterapkan.
7. Efek Stark
Berikut adalah gambar-gambar dari orbital atom hidrogen yang terdegenerasi
dalam medan medan listrik untuk keadaan eksitasi pertama.
Gambar 4.37. Gambar pembanding untuk gambar 4.36.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
53/70
53
Gambar 4.38. Plot probabilitas radial untuk gambar 4.29.
Gambar 4.39. Gambar pembanding untuk gambar 4.38.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
54/70
54
Gambar 4.41. Probabilitas radial untuk gambar 4.31.
Gambar 4.40. Polarisasi orbital atom H akibat medan listrik. Energi
orbital ini lebih rendah daripada orbital pada gambar 4.29.
Dari perbandingan gambar-gambar hasil program file EfekStark.m di atas dengan
gambar-gambar pembandingnya terlihat adanya kecocokan sehingga program tersebut
benar dan dapat digunakan.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
55/70
55
Dari gambar 4.36 hingga gambar 4.41 terlihat bahwa fungsi distribusi
terkonsentrasi pada sumbuzdan terpolarisasi. Dari plot fungsi distribusi radial, terlihat
bahwa probabilitas tertinggi adalah dekat inti.
Untuk mendapatkan beberapa dugaan intuisi dari apa yang terjadi, kembali ke teori
klasik tentang gerak partikel di bawah pengaruh gaya kuadrat terbalik, orbit-orbit
adalah berbentuk elips yang mempunyai pusat tarik-menarik pada salah satu fokus.
Karena partikel bergerak lebih lambat ketika benda lebih jauh dari pusat, partikel
tersebut menghabiskan waktu lebih lama pada salah satu sisi dari pusat daripada sisi
yang lain, jadi sebuah atom bila digambarkan dengan cara ini adalah secara efektif
terpolarisasi. Kombinasi-kombinasi linier 1 dan 2 adalah fungsi gelombang yang
sekurang-kurangnya secara kasar berkorespondensi dengan orbit-orbit Keplerian
klasik. Orbit-orbit itu dikenal sebagai orbit berpolarisasi stasioner, yang muncul hanya
untuk sebuah gaya kuadrat terbalik dan beberapa kasus yang lain. Pada mekanika
kuantum, degenerasi di antara state-state dari lyang berlainan yang mana membuat
segala sesuatu mungkin lenyap sesegera setelah gaya tarik-menarik tidak lagi kuadrat
terbalik. Jadi, gaya kuadrat terbalik bertanggung jawab terhadap keberadaan dari
momen listrik permanen menurut kedua teori (Park, 1992: 229-230).
C. Keunggulan dan Keterbatasan Program
1. Keunggulan
a. Dapat memplot 3D untuk orbital dengan masukan ldan msembarang (harus
diingat batasan dari nilai-nilainya). Dengan demikian kita dapat memperoleh
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
56/70
56
informasi (gambar-gambar) yang lebih banyak dari yang ada pada buku-buku
teks.
b. Sama dengan poin satu di atas untuk plot fungsi radial dan probabilitasnya
dengan masukan ndan l.
c. Sama dengan poin satu di atas untuk plot harmonik bola dalam diagram polar
dengan masukan l.
d. Sama dengan poin satu di atas untuk plot orbital 2D dengan masukan n,ldan
m.
2. Keterbatasan
a. Tidak dapat menampilkan untuk masukan myang negatif.
b. Tidak dapat menampilkan bentuk matematis (persamaan gelombang).
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
57/70
57
BAB V
SIMPULAN DAN SARAN
A. Simpulan
1. Penelitian ini menghasilkan program komputer dalam bahasa pemrograman Matlab
yang dapat memvisualisasikan orbital atom hidrogen tanpa gangguan (fungsi radial
dan distribusi probabilitasnya serta ketergantungan harmonik bola pada angular)
dan dengan gangguan medan listrik untuk keadaan eksitasi pertama (efek Stark).
2. Hasil visualisasi menunjukkan:
a.Bentuk orbital atom hidrogen bergantung pada jarak dari inti rdan juga pada
angular (, ). Ketergantungan pada rditentukan oleh state dari elektron dengan
bilangan kuantum utama ndan bilangan kuantum orbital l. Ketergantungan pada
angular ditentukan bilangan kuantum orbital ldan bilangan kuantum magnetik
m.
b.Adanya gangguan medan listrik menyebabkan terjadinya degenerasi nilai eigen
energi untuk keadaan eksitasi pertama (efek Stark orde pertama). Adanya medan
ini menyebabkan terpolarisasinya orbital atom hidrogen.
B. Saran
Program hasil penelitian ini tidak menampilkan bentuk matematis dari persamaan
elektron untuk atom hidrogen (orbital). Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk
menampilkan persamaan tersebut serta efek Stark untuk keadaan eksitasi yang lebih
tinggi.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
58/70
58
DAFTAR PUSTAKA
Atkins, P.W. 1994.Kimia Fisika (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Beiser, Arthur. 1992.Konsep Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Boass, Mary. 1982.Mathematical Methods in the Physical Sciences. New York: JohnWilley & Sons. Inc.
Chu, Kevin. http: // www.princenton.edu/ ~ktchu/ misc/ archives/ quantum_plots/H_atoms/.Tanggal 12 Desember 2005.
Fessenden, Ralp. 1997.Kimia Organik (Terjemahan). Jakarta: Erlangga.
Gasiorowicz, Sthepen. 2003. Quantum Physics. Third edition. New York: John Wiley& Sons Inc.
http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html. Tanggal 12 Desember 2005.
Kocbach. http://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/.Tanggal 12 Desember 2005.
Krane, Kenneth. 1992.Fisika Modern (Terjemahan). Jakarta: UI-Press.
Lindblad,Goran.http://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.html.Tanggal 12
Desember 2005.
Lindblad,Goran. http://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gz. Tanggal 12
Desember 2005.
Park, D. 1992. Introduction to the Quantum Theory. Third Edition. New York:
McGraw Hill.
Pauling, Linus. 1935. Introduction to Quantum Mechanics with Applications toChemistry. Tokyo: Kogakusha Company, Ltd.
Purwanto, Agus. 1997.Pengantar Fisika Kuantum.Surabaya: Citra Media.
Takeuchi. http://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.html. Tanggal 12 Desember
2005.
http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html.%20Tanggal%2012%20Desember%202005http://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/http://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.htmlhttp://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gzhttp://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.htmlhttp://www.alfredstate.edu/takeuchi/home.htmlhttp://mathphys.physics.kth.se/mathphys/schrod7.ps.gzhttp://www.theophys.kth.se/mathphys/schrodinger.htmlhttp://www.fi.uib.no/AMOS/hydro/http://www.physics.csbsju.edu/QM/H.10.html.%20Tanggal%2012%20Desember%202005http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/http://www.princenton.edu/%20~ktchu/%20misc/%20archives/%20quantum_plots/%20H_atoms/ -
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
59/70
59
57
Tjia, M.O. 1999.Mekanika Kuantum.Bandung: Penerbit ITB.
Tung, Khoe Yao. 2003. Visualisasi dan Simulasi Fisika Dengan Aplikasi ProgramMaple. Yogyakarta: Penerbit Andi.
Woodgate, G.K. 1989. Elementary Atomic Structure. London: Oxford University
Press.
Yariv, Amnon. 1982. An Introduction to Theory and Applications of Quantum
Mechanics. New York: John Wiley & Sons. Inc.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
60/70
60
LAMPIRAN
PEMECAHAN PERSAMAAN SCHRODINGER UNTUK ELEKTRON DALAM
ATOM HIDROGEN
A. Persamaan Schrodinger untuk Elektron dalam Atom Hidrogen
Persamaan Schrodinger untuk elektron atom hidrogen adalah
EH (1) *
dengan: rVm
He
22
2
2
2
2
2
2
22
zyx
2
2
2222
2
2
2
sin
1sin
sin
11
rrr
rrr
r
eV
o4
2
Bila ditulis lengkap persamaan (1)* menjadi
02
22
2
2
2
2
2
VE
m
zyx
e
(2)*
Dalam koordinat bola (setelah memasukkan nilai V) persamaan (1)* menjadi
04
2
sin
1
sinsin
11
2
22
2
22
22
2
2
r
eE
m
r
rrr
rr
o
e
(3)*
Untuk memecahkan persamaan (3)* digunakan teknik pemisahan variabel
rRr ,, (4)*
Substitusi pers. (4)* ke pers. (3)* diperoleh
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
61/70
61
04
2
sin
1
sinsin
11
2
22
2
22
22
2
2
Rr
eE
mR
r
R
rr
Rr
rr
o
e
kemudian dibagi dengan R diperoleh
04
2
sin
1
sinsin
11
2
22
2
22
22
2
2
r
eE
m
r
rr
Rr
rRr
o
e
kemudian dikalikan dengan 22
sinr diperoleh
04
sin21
sinsinsin
222
22
2
22
r
eEr
m
r
Rr
rR
o
e
(5)*
misalkan 22
21
m
maka :
1. 022
2
mdd
(6.a)*
2. 04
sin2
sinsinsin
222
2
222
r
eEr
mm
r
Rr
rR o
e
(6.b)*
(6.b)*dibagi dengan 2
sin diperoleh
0sin
sinsin
1
4
212
222
2
2
m
r
eEr
m
r
Rr
rR o
e
misalkan
14
21 2
2
2
2
llr
eEr
m
r
Rr
rR o
e
maka
75
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
62/70
62
1sin
sinsin
12
2
ll
m
dengan sedikit aljabar diperoleh
0sin
1sinsin
12
2
mll
d
d
d
d (7)*
0
1
4
212
0
2
2
2
R
r
llE
r
em
dr
dRr
dr
d
r
e
(8)*
B. Solusi persamaan (6.a)*
02
2
2
md
d
persamaan karakteristiknya
022 m im , solusinya imim BeAe
Karena tidak ada gelombang pantul maka suku yang ada konsanta B bernilai nol.
Dari gambar terlihat bahwa dan 2 keduanya mengidentifikasi bidang meridian
yang sama sehingga 2 atau
Gambar L.3.1. Sudut dan keduanya
mengidentifikasi bidang meridian yang sama.
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
63/70
63
2 imimm AeAe (9)*
Karena fungsi gelombang harus bernilai tunggal maka untuk memenuhi pers (9) *, m
harus berupa bilangan bulat.
m = 0, 1, 2, 3, ,l (10)*
Syarat normalisasi
2
0
*1d memberikan
2
1A .
C. Solusi persamaan (7)*
0sin1sinsin1
2
2
mlldd
dd
misal:
cosz dan zP maka ddz sin ,
221sin z dan
sin
dz
dP
d
dz
dz
dP
d
d
sehingga pers (8)*menjadi
01121 22
2
222
Pzm
lldz
dP
zdz
Pd
z (11)*
Persamaan (11)*identik dengan persamaan Legendre
01
1'2"12
22
y
x
mllxyyx ,
22lm (12)*
yang solusinya
xPdx
dxxP lm
mmm
l
2/21 (fungsi Legendre terasosiasi)
lml
mlm
l
m
l xdx
dx
lxP 11
!2
1 22/2
(formula Rodriguez) (13)*
l= 0, 1, 2, 3,
dengan konstanta normalisasi
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
64/70
64
!
!
12
221
1 ml
ml
ldxxPml
(14)*
Beberapa referensi mendefinisikan mlP untuk lml dengan
m
lP (Boass, 1982:
505).
Jadi solusi pers (7)*atau pers (11)*
zPNzP mllm
cosmllmPN (15)*
lmN dicari dengan normalisasi dengan bantuan pers (14)*diperoleh
!
!
2
12
ml
mllNlm
(16)*
Dari hubungan lml dan l= 0, 1, 2, 3, diperoleh
m= 0, 1, 2, 3,, l.
l= |m|, |m| + 1, |m| + 2,
D. Solusi persamaan (8)*
0
1
4
212
0
2
2
2
R
r
llE
r
em
dr
dRr
dr
d
r
e
Diasumsikan inti diam dan karenanya energi kinetiknya nol, sehingga dengan
memilih referensi energi nol, keadaan batas dari sistem memiliki energi negatif:
E = -|E|
Dan didefinisikan
2
2 8
Eme
r 0
2
4
2
eme (17)*
maka pers (8)*menjadi
0
4
1112
2
2
R
lldR
d
d
, 0 (18)*
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
65/70
65
dekat solusinya dapat diaproksimasi dengan 04
12
2
Rd
Rd
yang mempunyai
solusi 2/eR . Solusi 2/e adalah tidak dapat diterima untuk sebuah fungsi eigen,
karena meningkat tanpa batas ketika . Diasumsikan
2/ eLR s (19)*
di manaL()adalah sebuah polinomial
vvo aaaaL ...2
21 (20)*
dengan 0oa dan sadalah bilangan positif (jika s< 0 maka R jika 0 ).
Substitusi pers (19)*ke pers (18)*diperoleh
0111122
22 Lllsss
d
dLs
d
Ld
(21)*
Untuk persaman (21)*, supaya menjaga validnya persamaan maka
011 llss sehinggas = lataus = - l(l+1), karena 0l makas =-l(l+1) tidak
dapat diterima karena perlakuan pada pers (19)* di mana s adalah bilangan positif.
Dengan menggunakans = lmaka pers (21)*menjadi
01122
2 Ll
ddLl
dLd
(22)*
substitusi pers (20)*ke (22)*dan dengan pengaturan koefisien dari diperoleh :
0...1
...32
...3212
1...1262
3
3
2
210
12
321
12
321
13
4
2
32
v
v
v
v
v
v
v
v
vaaaaa
vaaaa
vaaaa
avvaaa
Untuk koefisien 0
0112 01 alal atau 010 2201010
al
la
Untuk koefisien 1
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
66/70
66
0121221122 alaala atau 111 22111
11a
l
la
Jadi secara umum
vv a
lvv
lva
221
11
(23)*
Deret (20) harus berakhir pada beberapa nilai terbatas dari v. Dengan kata lain,
mengikuti pers (23)* ketika v , vaa vv /1 , jadi , eL akan
divergen. Untuk menjamin pembatasan ekspansi deret (20)*setelah (katakanlah) suku
v+1, dibutuhkan (menurut (23)*) pemenuhan
positifbulatbilangannlv 1 (24)*
Karena nilai terendah vdapat diasumsikan nol, maka
1 ln atau l= 0, 1, 2,, (n-1) (25)*
Dengan meletakkan n pada pers (22)*maka
01122
2
nlnlnl Lln
d
dLl
d
Ld
(26)*
Matematikawan, dengan alasan yang mereka punyai, telah memilih sebuah fungsi
pqL yaitu polinomial Laguerre terasosiasi yang mana memenuhi
0122
2
pq
p
q
p
qLpq
d
dLp
d
Ld
(27)*
sebuah perbandingan dari (26)*dan (27)*menyatakan bahwa
12 l
lnnl LL (28)*
menggunakan (20)*dan (28)*sertas = ldiperoleh
122/ l ln
l
nlnl LeNRR (29)*
Untuk menentukan nilai eigen (yaitu energi), dari keadaan (n, l, m) kita kembali ke
pers (16)*, dengan meletakkan n diperoleh
22
0
2
41
32 n
emE en
(30)*
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
67/70
67
Menggunakan (30)*pada ekspresi (16)* untuk diperoleh0/2 na . Jadi dengan
meletakkan r memberikan
012/
0 /2/2 0 narLenarNRrR l ln
narl
nlnl
(31)*
Syarat normalisasi memberikan
120
2122
3
2
dLe
N lln
lnl
Menggunakan tabel integral tentu
!1
!2 3
2
0
2122
ln
lnndLe l ln
l
diperoleh (di mana kita menggunakan 0/2 na )
2/1
3
3
0 !2
!12
lnn
ln
naNnl (32)
*
E. Bilangan Kuantum Orbital
Dari persamaan
0
1
4
212
0
2
2
2
R
r
llE
r
em
dr
dRr
dr
d
r
e
(33)*
Persamaan ini hanya mempersoalkan gerak elektron dari aspek radial, yaitu gerak
mendekati atau menjauhi inti, di persamaan tersebut kita melihat E, energi total
elektron. Energi totalEmencakup energi kinetik gerak orbital yang tak berhubungan
langsung dengan gerak radial.
Kontradiksi ini dapat dihilangkan degan jalan pikiran sebagai berikut: Energi
kinetik K elektron tersebut terdiri dari dua bagian, Kradialyang ditimbulkan oleh gerak
mendekati atau menjauhi inti, dan Korbitalyang ditimbulkan oleh gerak mengelilingi
inti. Energi potensial Vdari elektron adalah energi listrik:
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
68/70
68
r
eV
o4
2
Jadi energi total elektron ialah
r
eKK
VKKE
o
orbitalradial
orbitalradial
4
2
Dengan memasukkan rumusanEke persamaan (33), setelah mengadakan pengaturan
kita peroleh
0
2
12122
2
2
R
mr
KKm
dr
dRr
dr
d
r orbitalradial
Jika kedua suku yang terakhir dalam tanda kurung persegi dalam persamaan itu saling
meniadakan, sehingga kita peroleh apa yang kita inginkan yaitu persamaan diferensial
R(r) hanya mengandung fungsi dari vektor radius rsaja. Jadi disyaratkan
2
2
1
mrKorbital
(34)*
Energi kinetik orbital elektron adalah
2
2
1orbitalorbital mvK
karena momentum sudut elektronLialah
rmvL orbital
maka energi kinetik orbital
2
2
2mr
LKorbital
Jadi persamaan (2)
2
2
2
2
2
1
2 mrmr
L
atau
1L (35)*
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
69/70
69
Jempol searah denganvektor momentum sudut
Jari tangan searah
dengan gerak rotasional
L
Gambar L.3.2. Aturan tangan kanan untuk momentum sudut.
SepertiE, momentum sudut terkuantisasi dan kekal.Kuantitas
sJx
h
.10054,12
34
merupakan satuan alamiah dari momentum sudut.
F. Bilangan Kuantum Magnetik
Elektron yang mengelilingi inti dapat dipikirkan sebagai sosok arus kecil dan
memiliki dwikutub magnetik. Jadi elektron yang memiliki momentum sudut
berinteraksi dengan medan magnetik eksternal B. Bilangan kuantum magnetik m
memberi spesifikasi arah L dengan menentukan komponen L dalam arah medan.
Gejala ini dikenal dengan kuantisasi ruang.
Jika kita ambil arah medan magnetik sejajar sumbu z, komponen Ldalam arah
itu ialah
mLz (35)*
-
7/25/2019 Skripsi Tentang Simulasi Orbital Atom
70/70
70
Gambar L.3.3. Kuantisasi ruang momentumsudut
orbital. Di sini bilangan kuantum orbital l = 2,
sehingga terdapat 2l + 1 = 5 harga yang mungkin
untuk bilangan kuantum magnetic mdengan masing-
Pembuktian persamaan (35)*sebagai berikut, kita punya operator momentum angular
izL^
(36)*
dan persamaan eigen
zLi
(37)*
dimanaLzadalah nilai eigen dari zL
^
. Solusi (37)*
adalah