Skripsi Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta Pada Bilangan Kompleks

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS

Skripsi

Untuk memenuhi persyaratan dalam menyelesaikan program sarjana strata-1 Matematika

Oleh

Megawati NIM J1A106023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

BANJARBARU

AGUSTUS 2010

Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)

http://www.novapdf.com


SKRIPSI

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS

Oleh

Megawati NIM. J1A106023

Telah dipertahankan di depan Penguji pada tanggal 27 Juli 2010.

Susunan Penguji:

Penguji:

1. Dewi Sri Susanti, S.Si, M.Si

2. Nur Salam, S.Si, M.Sc

3. Drs. Faisal, M.Si

Pembimbing Pendamping

M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc NIP. 198202082005011003 Banjarbaru, Juli 2010

Ketua Program Studi Matematika FMIPA UNLAM

Drs. Faisal, M.Si NIP. 196309021992031001

Pembimbing Utama

Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si NIP. 197911222008012013




“Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Penyayang”

Saya memulai menulis skripsi ini dengan menyebut nama Allah, karena setiap pekerjaan yang baik, hendaknya dimulai dengan menyebut asma Allah. Allah ialah nama zat yang Maha suci, yang berhak disembah dengan sebenar-benarnya, yang tidak membutuhkan makhluk-Nya, tapi makhluk yang membutuhkan-Nya. Ar Rahmaan (Maha Pemurah): salah satu nama Allah yang memberi pengertian bahwa Allah melimpahkan karunia-Nya kepada makhluk-Nya, sedang Ar Rahiim (Maha Penyayang) memberi pengertian bahwa Allah senantiasa bersifat rahmah yang menyebabkan dia selalu melimpahkan rahmat-Nya kepada makhluk-Nya.

“Dan kelak Tuhanmu pasti memberikan karunia-Nya kepadamu, lalu (hati) kamu menjadi puas”. (QS. Adh Dhuhaa: 5)

“Segala puji bagi Allah, Tuhan semesta alam” Kusadari hidup ini indah

Penuh dengan karunia Satu yang aku dambakan

‘MAMPU MEMBUAT HIDUP JADI LEBIH BERMAKNA. Melalui skripsi ini yang aku persembahkan teruntuk:

1. Ayah dan Ibuku tercinta yang penuh kasih dan sayang memberikan perhatiannya padaku

2. Kakakku terkasih yang selalu mendukungku dan memberikan arahan-arahan dengan pengalaman-pengalamannya

3. Adikku tersayang yang senantiasa dapat membuatku bersemangat dan tersenyum dalam lika-liku perjalanan pembuatan skripsi ini.

Motto hidup: “Sedikit Bicara Banyak Berkarya”




PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam skripsi ini tidak terdapat karya

yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan

Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat

yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis

diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam Daftar Pustaka.

Banjarbaru, 27 Juli 2010

Megawati NIM. J1A106023




ABSTRAK

FUNGSI GAMMA DAN FUNGSI BETA PADA BILANGAN KOMPLEKS (Oleh Megawati; Pembimbing: Na’imah Hijriati dan M. Ahsar Karim; 2010; 60 halaman)

Himpunan bilangan terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangan kompleks. Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan bagian imajiner (khayal), yang secara matematis berbentuk iba dengan a dan b bilangan-bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilangan imajiner i yang didefinisikan sebagai 1i . Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik dari dua fungsi khusus yang terdapat dalam kajian kalkulus tingkat lanjut yang dibangun pada bilangan kompleks, yaitu fungsi gamma : C → C yang didefinisikan sebagai )(z dan fungsi beta :B C C → C yang didefinisikan sebagai ),( 21 zzB dengan 21,, zzz C.

Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur, mengumpulkan berbagai referensi yang terkait dengan materi tentang permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan fungsi beta. Dengan mengkaji beberapa karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma, maka selanjutnya fungsi beta pada bilangan kompleks dapat secara langsung dikaji

dengan menggunakan hubungan )()()(),(

21

2121 zz

zzzzB

, untuk setiap 21 , zz c

dengan z }}0{{ Z . Setelah fungsi gamma dan fungsi beta dikaji pada bilangan kompleks,

diperoleh )()( zz yang berakibat ),(),( 212 zzBzzB , dan

)Re()( zz yang berakibat )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB , dimana

21,, zzz C dengan 0)Re(,0)Re(,0)Re( 21 zzz . Jika bilangan kompleks z

adalah bilangan imajiner murni maka diperoleh bb

ib

sinh

)( 2 dan

2121

2121221 sinhsinh

)(sinh)(),(bbbb

bbbbibibB

, untuk setiap 21,bb R dengan

0,, 21 bbb . Jika 21)Re( z maka diperoleh sifat khusus

bib

cosh)( 2

21

dan 222

112

1 )(),( ibibB 21

21

21 coshcosh)(sinh

)( bbbb

bb

.

Kata kunci: bilangan kompleks, fungsi gamma, fungsi beta.




ABSTRACT

GAMMA FUNCTION AND BETA FUNCTION AT COMPLEX NUMBER (By: Megawati; Supervisors: Na’imah Hijriati and M. Ahsar Karim; 2010; 60 pages)

The biggest set of numbers in mathematics is the set of complex number. Generally, complex number consisted of two parts, those are real part and imaginary part (illusion), that mathematically is in the form of iba with a and b are real numbers. The imaginary part has characteristic by its imaginary number i which is defined as 1i . The objective of this research is to explain the characteristics of two special functions which are in advanced calculus study which constructed on complex number, those are gamma function : C → C which is defined as )(z and beta function :B C C → C which is defined as

),( 21 zzB with 21,, zzz C. This research is conducted with literature study method, by collecting

various references which are related to the theories of complex number problems, gamma function and beta function. By observing some characteristics of complex numbers in gamma function, then the observation can be straightaway held in beta function at complex number by using the equation below:

)()()(),(

21

2121 zz

zzzzB

, for each 21 , zz c with z }}0{{ Z .

After the gamma function and beta function are observed at complex numbers, )()( zz is obtained, hence ),(),( 212 zzBzzB , and

)Re()( zz is obtained, therefore )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB , where

21,, zzz C with 0)Re(,0)Re(,0)Re( 21 zzz . If the complex number z is a

pure imaginary number, then bb

ib

sinh

)( 2 and

2121

2121221 sinhsinh

)(sinh)(),(bbbb

bbbbibibB

are obtained, for each 21,bb R with

0,, 21 bbb . If 21)Re( z then the special characters

bib

cosh)( 2

21 and

222

112

1 )(),( ibibB 21

21

21 coshcosh)(sinh

)( bbbb

bb

are obtained.

Keyword: complex number, gamma function, beta function.




PRAKATA

Puji syukur kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’ala, atas segala rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini yang

berjudul Fungsi Gamma dan Fungsi Beta pada Bilangan Kompleks. Sholawat dan

salam semoga selalu tercurah kepada Nabi Muhammad Salallahu ‘Alaihi

Wasallam yang telah menuntun manusia menuju jalan kebahagiaan hidup di dunia

dan akhirat.

Banyak pihak yang telah membantu penulis dalam penyusunan hingga

terwujudnya skripsi ini. Oleh karena itu dengan segala kerendahan hati, penulis

ingin mengucapkan rasa terima kasih dan perhargaan yang tulus kepada:

1. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lambung Mangkurat Banjarbaru.

2. Ketua Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru.

3. Ibu Na’imah Hijriati, S.Si, M.Si selaku dosen pembimbing utama skripsi yang

telah bersedia meluangkan pikiran dan waktu serta memberikan saran yang

berharga serta tidak henti memotivasi penulis hingga akhirnya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak M. Ahsar Karim, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing pendamping

skripsi yang telah membimbing dengan sabar dan memberikan banyak

masukan dan saran selama penyusunan skripsi ini.




5. Bapak Nur Salam, S.Si, M.Sc selaku dosen pembimbing akademik yang telah

memberikan bimbingan akademik selama penulis kuliah.

6. Dosen-dosen di Fakultas MIPA UNLAM terutama dosen-dosen pengajar di

Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis.

7. Ibu dan Ayahku serta kakak dan adikku, terima kasih atas segala dukungan,

doa, dan suasana penuh cinta dan kasih sayang yang selalu dihadirkan di

tengah keluarga, terima kasih atas segala kejutan dan kebahagiaan yang

senantiasa kalian berikan padaku.

8. Sahabat-sahabat terbaikku Hj. Nor Latifah, Yuana Sukmawaty, dan Hani

Ghalib Alkathiri, terima kasih atas segala doa, dukungan semangat, perhatian,

dan bantuan ilmunya.

9. Seluruh rekan mahasiswa matematika FMIPA UNLAM, khususnya angkatan

2006 serta semua pihak yang telah memberikan bantuan, baik berupa

masukan, saran, maupun nasihat kepada penulis selama proses penulisan

skripsi ini.

Semoga segala amal kebaikan kalian mendapat balasan yang setimpal dari

Allah Subhanahu Wa Ta’ala. Penulis mohon maaf atas segala kesalahan yang

pernah dilakukan baik sengaja maupun tidak sengaja. Penulis sadar bahwa tulisan

ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, saran dan kritik selalu penulis

harapkan demi perbaikan tulisan ini. Akhir kata, penulis berharap semoga skripsi

ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Banjarbaru, Juli 2010

Penulis




DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ................................................................................. i

HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... ii

PERNYATAAN ........................................................................................ iii

ABSTRAK ................................................................................................ iv

ABSTRACT .............................................................................................. v

PRAKATA ................................................................................................ vi

DAFTAR ISI ............................................................................................. viii

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN .................................................... x

BAB I PENDAHULUAN ..................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 2

1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................. 2

1.4 Manfaat Penelitian ........................................................................... 2

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................. 3

2.1 Sistem Bilangan Kompleks .............................................................. 3

2.2 Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks ............................................ 4

2.3 Geometri Bilangan Kompleks .......................................................... 6

2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks ........................................... 6

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen ..................................................... 8

2.4 Limit Fungsi Kompleks ................................................................... 10

2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks ................................................. 15

2.6 Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks ......................................... 17

2.7 Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks ............................................ 18

2.8 Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks ............................................. 18

2.9 Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga ............................................. 19

2.10 Notasi Faktorial ............................................................................... 20

2.11 Fungsi Gamma ................................................................................. 20

2.12 Fungsi Beta ...................................................................................... 24




BAB III METODE PENELITIAN ........................................................... 27

3.1 Materi Penelitian .............................................................................. 27

3.2 Cara Penelitian ................................................................................. 27

3.3 Prosedur Penelitian .......................................................................... 27

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN .................................................. 28

4.1 Karakteristik Dasar )(z ................................................................. 28

4.2 Sifat-Sifat Khusus )(z ................................................................... 41

4.3 Definisi ),( 21 zzB dan Hubungannya dengan )(z .......................... 49

BAB V PENUTUP ................................................................................. 58

5.1 Kesimpulan ...................................................................................... 58

5.2 Saran ............................................................................................... 59

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 60




ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

Simbol Arti

Elemen (anggota)

Untuk setiap

Delta

Epsilon

C Himpunan bilangan kompleks

R Himpunan bilangan riil ZZZ ,, Himpunan bilangan bulat, himpunan

bilangan bulat positif, himpunan

bilangan bulat negatif

Sama dengan

Tidak sama dengan

Lebih kecil dari

Lebih kecil dari atau sama dengan

Lebih besar dari

Lebih besar dari atau sama dengan

n

iif

0 Jumlah dari 0f sampai dengan nf

n

iif

1 Perkalian dari 1f sampai dengan nf

lim Limit

ln Logaritma natural

Fungsi gamma

B Fungsi beta




BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Himpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan

bilangan kompleks. Himpunan bilangan riil yang biasa dipakai sehari-hari

merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks. Secara umum

bilangan kompleks terdiri dari dua bagian, yaitu bagian riil dan bagian imajiner

(khayal), yang secara matematis berbentuk iba dengan a dan b bilangan-

bilangan riil. Bagian imajiner bercirikan adanya bilangan imajiner i yang

didefinisikan sebagai 1i .

Dalam kajian kalkulus tingkat lanjut, dikenal dua fungsi khusus yaitu

fungsi gamma dan fungsi beta. Kedua fungsi tersebut biasanya digunakan di

dalam menyelesaikan permasalahan di bidang fisika dan teknik. Fungsi gamma

yang disimbolkan sebagai dan fungsi beta dengan simbol B pada dasarnya

dapat didefinisikan pada bilangan riil dan kompleks dengan beberapa syarat

tertentu. Dasar-dasar teori fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan riil akan

sangat membantu di dalam mengkaji sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta

yang didefinisikan pada bilangan kompleks.

Oleh sebab itu, untuk memahami lebih mendalam akibat dari karakteristik

bilangan kompleks terhadap nilai fungsi gamma dan fungsi beta, maka perlu

dibahas beberapa sifat khusus yang terjadi akibat penurunan rumus-rumus dasar

nilai fungsi gamma dan fungsi beta yang dikaji pada bilangan kompleks.




1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah pada penelitian

ini adalah bagaimana karakteristik fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan

kompleks.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan karakteristik )(z dan

),( 21 zzB dengan 21,, zzz C.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan bermanfaat sebagai bahan kajian di dalam

mempelajari sifat-sifat fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks

yang berguna di dalam menambah pengetahuan di bidang matematika yang dapat

diaplikasikan baik di bidang matematika atau lainnya seperti fisika dan teknik.




BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Sistem Bilangan Kompleks

Sistem bilangan kompleks dapat dinyatakan secara formal dengan

menggunakan konsep pasangan terurut (ordered pair) bilangan riil (a,b).

Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai

padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks (Wibisono, 1975).

Definisi 2.1.1 (Wibisono, 1975)

Himpunan bilangan kompleks adalah keseluruhan besaran yang berbentuk

iba atau bia ,

dengan a dan b bilangan-bilangan riil dan .12 i

Jika ibabaz ),( merupakan suatu bilangan kompeks, maka a

dinamakan bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner

(imaginary part) dari z yang secara berturut-turut dinyatakan dengan )zRe( dan

)zIm( . Lambang z yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan

kompleks dinamakan peubah kompleks.

Bilangan riil dapat dipandang sebagai bagian dari himpunan bilangan

kompleks dengan 0b . Jika 0a , maka ib0 atau ib dinamakan bilangan

imajiner murni (Spiegel, 1994).




2.2 Sifat-Sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Operasi penjumlahan dan perkalian dua bilangan kompleks didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 2.2.1 (Sardi, 2008)

Jika 111 ibaz dan 222 ibaz adalah bilangan kompleks, maka:

i. )()()()( 2121221121 bbiaaibaibazz

ii. )()())(( 12212121221121 babaibbaaibaibazz .

Pada bilangan kompleks juga diperkenalkan suatu operasi yang disebut

kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:


Jika ibabaz ),( , maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis z dan

didefinisikan sebagai ibabaz ),( .

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan

kompleks memenuhi sifat-sifat berikut:

Teorema 2.2.3 (Sardi, 2008)

i. Jika z bilangan kompleks, maka

1). zz

2). 22 )zIm()zRe(zz .

ii. Jika 21 , zz bilangan kompleks, maka

1). 2121 zzzz

2). 2121 zzzz




3). .0, 22

1

2

1

z

zz

zz

Bukti:

i. Misalkan ibaz , maka ibaz , maka

1). zibaibaz .

2). .)Im()Re())(( 2222 zzbaibaibazz ■

ii. Misalkan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka

1). )()( 221121 ibaibazz

)()( 2121 bbiaa

)()( 2121 bbiaa

)()( 2211 ibaiba

21 zz .

2). ))(( 221121 ibaibazz

)()( 12212121 babaibbaa

)()( 12212121 babaibbaa

)()( 12212121 babaibbaa

))(( 2211 ibaiba

21zz .

3).

22

11

2

1

ibaiba

zz

))(())((

2222

2211

ibaibaibaiba




2

22

2

12212121 )()(ba

babaibbaa

22

22

12212121 )()(ba

babaibbaa

22

22

12212121 )()(ba

babaibbaa

))(())((

2222

2211

ibaibaibaiba

)()(

22

11

ibaiba

.0, 22

1 zzz ■

2.3 Geometri Bilangan Kompleks

Arti geometri dari bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami

sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut

dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks iba pada bidang

datar xy dapat diidentifikasikan berpangkal pada titik pusat dan berujung pada titik

(a,b) (Wibisono, 1975).

2.3.1 Modulus dari Bilangan Kompleks

Untuk sebarang bilangan kompleks ibaz , modulus (nilai mutlak) dari

bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z didefinisikan sebagai

berikut:




Definisi 2.3.1.1 (Sardi, 2008)

Jika ibaz bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z didefinisikan

sebagai 22 baibaz .

Definisi ini menunjukkan bahwa z merupakan bilangan riil positif atau

nol. Arti geometri z menyatakan panjang vektor ),( ba , yaitu jarak dari titik asal

)0,0(O terhadap titik ),( baz .

Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari modulus

atau nilai mutlak dari bilangan kompleks, yaitu:

Teorema 2.3.1.2 (Sardi, 2008)

i. Jika z bilangan kompleks, maka

1). 222 ))z(Im())z(Re(z

2). zz

3). zzz 2 .

ii. Jika 21 , zz bilangan kompleks, maka

1). 2121 zzzz

2). 0, 22

1

2

1 zzz

zz .

Bukti:

i. Misalkan ibaz , maka

1). 22222

222 ))(Im())(Re( zzbabaz .




2). ibaz , sehingga zbabaz 2222 )( .

3). zzibaibabaz ))((222 . ■

ii. Misalkan 21 , zz bilangan kompleks, maka

1). 22

21221121212121

221 ))(())(( zzzzzzzzzzzzzzzz .

Jadi, 2121 zzzz .

2). 2

12

1 1z

zzz

, sehingga:

21

21

2

21

2

2

1 111z

zz

zz

zzz

2

1

21

1zz

zz

2

1

2

1

zz

zz

22

11

zzzz

22

21

zz

.

Jadi, 2

1

2

1

zz

zz

, 02 z . ■

2.3.2 Bentuk Polar dan Eksponen

Dalam koordinat polar, bilangan kompleks ),( baz dinyatakan dalam r

dan θ yaitu ),( rz . Pada Gambar 1 diperoleh hubungan sebagai berikut:

sin;cos rbra , dengan:




zbar 22

θ : sudut antara sumbu x positif dengan Oz.

),( baz

Untuk 0z , sudut θ dihitung dari ab

tan dan untuk 0z maka 0r

dan θ dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks ibaz

dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:

).sin(cos irz

Definisi 2.3.2.1 (Sardi, 2008)

Diberikan bilangan kompleks )sin(cos irz . Sudut θ disebut argument dari

z, ditulis .arg z Sudut θ dengan 20 atau disebut

argument utama dari z, ditulis .zArg Pembahasan untuk θ tersebut dipilih

salah satu saja.

Dengan menggunakan rumus Euler

sincos ie i ,

maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi

ireirz )sin(cos .

O

Gambar 1.

r

θ




Penulisan irez merupakan bentuk eksponen dari bilangan kompleks z.

Selanjutnya bilangan kompleks sekawan dari z adalah:

)sin(cos irz

))sin()(cos( ir

ire .

2.4 Limit Fungsi Kompleks

Secara formal definisi limit untuk suatu fungsi kompleks )(zf ditulis

sebagai berikut:


Diberikan fungsi f: C → C dan misalkan fungsi )(zfw terdefinisi pada daerah

D kecuali di 0z (titik 0z di dalam D atau batas D). Limit dari )(zf adalah 0w

untuk z menuju 0z , jika untuk setiap 0 terdapat 0 sehingga

0)( wzf , apabila 00 zz ditulis 0)(lim0

wzfzz

.

Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang diberikan

masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian dan pembagian

fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama dengan jumlah, selisih,

perkalian dan pembagian masing-masing limit yang diberikan.

Teorema 2.4.2 (Saff, 2003)

Diketahui Azfzz

)(lim0

dan Bzgzz

)(lim0

, maka

1). BAzgzfzgzfzzzzzz

)(lim)(lim)()(lim000




2). BAzgzfzgzfzzzzzz


3). ABzgzfzgzfzzzzzz


4). .0,)(lim

)(lim

)()(lim

0

0

0

Bjika

BA

zg

zf

zgzf

zz

zz

zz

Bukti:

1). Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 2 adalah positif.

Karena Azfzz

)(lim0

, maka terdapat suatu bilangan positif 1 sedemikian

sehingga

100 zz2

)( Azf .

Karena Bzgzz

)(lim0


sehingga

200 zz2

)( Bzg .

Pilih };,min{ 21 yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1 dan

2 , maka 00 zz menunjukkan

BzgAzfBAzgzf )()()()()(

BzgAzf )()(

22.

Jadi, )(lim)(lim)()(lim000

zgzfBAzgzfzzzzzz

.




2). Berdasarkan bukti 1), maka dapat ditunjukkan

)()1()(lim)()(lim00

zgzfzgzfzzzz

)()1(lim)(lim00

zgzfzzzz

,

dengan sifat bahwa );(lim)(lim00

zgkzkgzzzz

k konstanta, yang dapat

dibuktikan sebagai berikut:

Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1k

adalah positif.

Karena Bzgzz

)(lim0


sehingga

100 zz1

)(

k

Bzg .

Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 00 zz yang

menunjukkan

BzgkkBzkg )()(

Bzgk )(

1

kk

.

Jadi, );(lim)(lim00

zgkkBzkgzzzz

k konstanta.

Oleh karena itu,

)(lim)1()(lim)()(lim000

zgzfzgzfzzzzzz




)(lim)(lim00

zgzfzzzz

BA .

3). Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1)(2

1zg

adalah

positif. Karena Azfzz

)(lim0

, maka terdapat suatu bilangan positif 1

sedemikian sehingga

100 zz1)(2

1)(

zg

Azf .

Karena Bzgzz

)(lim0


sehingga

200 zz12

1)(

A

Bzg .

Pilih },min{ 21 , maka 00 zz menunjukkan

ABzAgzAgzgzfABzgzf )()()()()()(

BzgAAzfzg )()()(

BzgAAzfzg )()()(

BzgAAzfzg )()()(

121)(2)(

AA

zgzg

22.

Jadi, )(lim)(lim)()(lim000

zgzfABzgzfzzzzzz

.




4). Berdasarkan bukti 3), maka dapat ditunjukkan

)(1)(lim

)()(lim

00 zgzf

zgzf

zzzz

)(

1lim)(lim00 zg

zfzzzz

,

dengan )(lim

1)(

1lim0

0 zgzgzz

zz

, yaitu dengan diberikan bilangan positif ,

maka Bzg )(21 adalah positif. Karena Bzg

zz

)(lim

0

, maka terdapat suatu

bilangan positif 1 sedemikian sehingga

100 zz BzgBzg )(21)( .

Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 00 zz yang

menunjukkan

Bzg

BzgBzgzgB

Bzg )()(

)()(1

)(1

BzgBzg

)()(

BzgBzg

)()(

BzgBzg

)(1)(

21

2

.




Jadi, )(lim

11)(

1lim0

0 zgBzgzz

zz

.

Oleh karena itu,

)(lim1)(lim

)()(lim

0

00 zgzf

zgzf

zzzzzz

BA

. ■

2.5 Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai:

)sin(cos bibeeew aibaz ,

dengan ...71828,2e adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a

bilangan riil positif, maka didefinisikan azz ea ln , dengan aln adalah logaritma

natural (asli) dari a. Jika ea maka direduksi kembali menjadi w (Spiegel,

1994).

Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi

pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, yaitu:

Teorema 2.5.1 (Wibisono, 1975)

i. Untuk setiap peubah kompleks 1z dan 2z berlaku sifat-sifat berikut:

1). 2121 zzzz eee

2). 2

121

z

zzz

eee .

ii. Jika ibaz , maka

1). zz ee




2). bedanee zaz )arg( .

Bukti:

i. Misalkan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka

)sin(cos 1111 bibee az dan )sin(cos 22

22 bibee az .

1). )sin)(cossin(cos 22112121 bibbibeeee aazz

)sincossin(cos)sinsincos(cos 1221212121 bbbbibbbbe aa

)sin()cos( 212121 bbibbe aa

21 zze .

2). )()( 212121 bbiaazz , maka

)sin()cos( 21212121 bbibbee aazz

)sincoscos(sin)sinsincos(cos 212121212

1

bbbbibbbbee

a

a

211211 sin)sin(coscos)sin(cos2

1

bibibbbibee

a

a

)sin)(cossin(cos 22112

1

bibbibee

a

a

21

2

1ibib

a

a

eeee

2

1

2

1

ib

ib

a

a

ee

ee

22

11

iba

iba

ee

2

1

z

z

ee

. ■




ii. Misalkan ibaz , maka beibebibee aaaz sincos)sin(cos ,

sehingga:

1). Karena ibaz maka ibaz , sehingga:

ibaz ee

ibaee

)sin(cos bibe a

biebe aa sincos

biebe aa sincos

)sin(cos bibe a

ze .

2). aaaaz ebbebebee )sin(cos)()sin()cos( 22222 ,

dan bbarcbebearce a

az

)tan(tan

cossintan)arg( . ■

2.6 Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks

Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan Rumus Euler, yaitu untuk

setiap b bilangan riil,

bibe ib sincos dan bibe ib sincos .

Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus tersebut diperoleh

ieebeeb

ibibibib

2sin;

2cos

,

sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z,

sebagai berikut:




2cos

iziz eez

(2.1)

dan

ieez

iziz

2sin

(2.2)

(Sardi, 2008).

2.7 Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks

Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat

(eksponen), sebagai berikut:

Sinus hiperbolik didefinisikan dengan

2sinh

zz eez

; z C (2.3)

dan cosinus hiperbolik dengan

2cosh

zz eez

; z C (2.4)

(Sardi, 2008).

2.8 Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks

Jika wez , maka dapat dituliskan zw ln , yang dinamakan logaritma

natural (asli) dari z. jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi pangkat

dan dapat didefinisikan sebagai:

Definisi 2.8.1 (Boas, 2006)

Misalkan bilangan kompleks biaz , yang dalam bentuk eksponen ditulis

irez , maka




irerrezw ii lnlnln)ln(ln ,

dengan rln adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e, dan r

adalah suatu bilangan riil positif.

2.9 Kekonvergenan Perkalian Tak Hingga

Analog dengan deret bilangan (jumlahan yang banyak sukunya tak hingga

terhitung), maka pada perkalian n suku pertama juga analog dengan jumlah n suku

pertama deret, dengan definisi sebagai berikut:

Definisi 2.9.1 Perkalian Parsial (Arfken, 2005)

Jika np adalah suatu perkalian parsial, maka np didefinisikan sebagai:

n

inin fffffp

1321 ; n bilangan asli.

Berdasarkan kenyataan tersebut, dapat disusun pengertian untuk

kekonvergenan perkalian tak hingga sebagai berikut:

Definisi 2.9.2 Konvergen (Arfken, 2005)

Perkalian tak hingga

1iif dikatakan konvergen ke suatu bilangan P (P bukan 0

ataupun ∞) jika

n

iinnn

PfatauPp1

limlim ; n bilangan asli.

Pada kasus fungsi trigonometri, dipunyai dua pengertian penting dalam

bentuk perkalian tak hingga sebagai berikut:

Definisi 2.9.3 Sinus dan Cosinus (Arfken, 2005)

Dalam perkalian tak berhingga, untuk setiap x bilangan riil, sin x dan cos x pada

fungsi trigonometri didefinisikan sebagai:




122

2

1sinn n

xxx

;

1

22

2

)12(41cos

n nxxx

.

2.10 Notasi Faktorial

Definisi dasar untuk notasi faktorial dinyatakan sebagai berikut:

Definisi 2.10.1 (Siang, 2002)

Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol !n )

didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara 1 hingga n.

n1n321n )....(..! .

2.11 Fungsi Gamma

Terdapat dua definisi penting untuk mendefinisikan fungsi gamma, yaitu:

Definisi 2.11.1 (Boas, 2006)

Diberikan fungsi : r → r. Fungsi gamma pada bilangan riil yang dinyatakan

oleh )(n didefinisikan sebagai:

dtten nt 1

0

)(

; 0n (2.5)

dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.

Dari persamaan (2.5) di atas diperoleh:

0 0

2

0

,)3(,)2(,)1( dttedttedte ttt

dan seterusnya. Kemudian untuk menentukan nilai integral di atas, digunakan

rumus integral parsial, sehingga untuk n bilangan bulat positif diperoleh:

0

2

00

11

0

1 )1()( dttentedetdtten ntnttnnt .




Apabila di dalam bentuk 1 ntte atau t

n

et 1

peubah t diganti dengan , maka

diperoleh bentuk tak tentu , sehingga digunakan aturan De L’Hopital, yaitu

)()(lim

)()(lim '

'

tgtf

tgtf . Dengan demikian, diperoleh:

t

n

tt

n

t

nt

t etn

ette

211 )1(limlim)(lim

t

n

t etnn 3)2)(1(lim

01)3)(2)(1(lim

tt e

nnn .

Jadi,

0

2

0

1 )1()00( dttendtte ntnt atau )1()1()( nnn . Dengan

demikian diperoleh:

)()1( nnn ; n Z . (2.6)

Dari persamaan (2.5) diperoleh:

0

01)10()1( tt edte ,

sehingga

.!)()1(

!4!3.4)4(.4)5(!3!2.3)3(.3)4(!21.2)2(.2)3(

11.1)1(.1)2(1)1(

nnnn




Jadi diperoleh:

!)1( nn ; n Z . (2.7)

Selanjutnya !n dapat didefinisikan ke dalam bentuk fungsi integral sebagai berikut:

0

)1(! dttenn nt ; 1n , (2.8)

dan !0 dapat didefinisikan sebagai:

1)1(!0 . (2.9)

Nilai )(n untuk 21 n dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini adalah

tabel beberapa nilai )(n untuk 21 n .

Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma

n )(n

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

1

0,9513507699

0,9181687424

0,8974706963

0,8872638175

0,8862269255

0,8935153493

0,9086387329

0,9313837710

0,9617658319

1

Nilai )(n dapat ditentukan untuk semua 1n , dengan n sebarang bilangan riil

dengan menggunakan rumus rekursif )()1( nnn .




Contoh 1.

Hitunglah nilai )4,3( .

Jawab:

981206427,28872638175,04,14,2)4,1(4,14,2)4,2(4,2)4,3( .

Untuk 1n , nilai )(n dapat dihitung dengan rumus n

nn )1()( .

Contoh 2.

Hitunglah nilai )6,0( dan )7,1( .

Jawab:

489192249,16,0

8935153493,06,0

)6,1()6,0(

.

7,0)3,0(

7,11

7,1)7,0()7,1(

3,0)3,1(

7,01

7,11

3,08974706963,0

7,01

7,11

.513923519,2

Namun )(n tidak terdefinisi untuk setiap n sama dengan nol atau bilangan bulat

negatif, sebab 01

0)1()0(

(tidak terdefinisi). Demikian pula

1)0()1(

,

2)1()2(

, dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari fungsi

gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1990).




Selanjutnya fungsi gamma dapat juga didefinisikan dalam bentuk yang

dikenal sebagai rumus Euler sebagai berikut:

Definisi 2.11.2 (Arfken, 2005)

Fungsi gamma adalah:

z

nn

nzzzznz

)()2)(1(321lim)(

dimana z bilangan riil atau kompleks, dan z })0{( Z .

2.12 Fungsi Beta

Dari rumus faktorial dapat dituliskan hasil kali dua fungsi faktorial sebagai

perkalian dari dua fungsi integral. Dengan mengganti variabel dan integral

berbatas, diperoleh:

a anvmu

advveduuenm

0 0

,lim!! 1,1 nm . (2.10)

Jika u dan v masing-masing diganti dengan 2x dan 2y , maka

didapatkan:

a anymx

adyyedxxenm

0 0

1212 22

4lim!! . (2.11)

Dengan memandang x dan y sebagai koordinat-koordinat di dalam sistem

koordinat Cartesian serta mentransformasikan persamaan (2.11) ke dalam sistem

koordinat polar, maka menurut hubungan ,sin,cos ryrx dan

ddrrdydx diperoleh:

anmnmr

addrrenm

0

2/

0

1212322 sincos4lim!!2

.




Kemudian dilakukan variasi bentuk lain dari )(n yang dapat dibentuk menjadi

persamaan bentuk integral lain dengan dimisalkan 2st . Karena dssdt 2 ,

maka diperoleh:

dsssen ns 2)()( 12

0

2

dsse ns 12

0

2

2

.

Untuk ts , maka didapatkan variasi lain dari )(n dengan bentuk sebagai

berikut:

0;2)( 12

0

2

ndtten nt , (2.12)

sehingga diperoleh:

0

2/

0

12121)2(2 sincos22!!2

ddrrenm nmnmr

dnm nm 2/

0

1212 sincos2)2(

dnm nm 2/

0

1212 sincos2)!1(

)1,1()!1( nmBnm , (2.13)

dengan 2/

0

1212 sincos2)1,1(

dnmB nm . (2.14)

Jadi, )!1(

!!)1,1(

nmnmnmB . (2.15)

Persamaan (2.15) dikenal sebagai fungsi beta (Soedojo, 1995).




Selanjutnya dari persamaan (2.14) dimisalkan t2cos , jika 0 maka

1t , dan jika 2 maka 0t , sehingga diperoleh:

0

1

22

sincos2sinsincoscos2)1,1(

dtnmB nm

1

0

)1( dttt nm . (2.16)

Oleh karena itu, jika diberikan :B R R → R, maka fungsi beta yang dinyatakan

dengan ),( nmB dapat ditulis sebagai:

dtttnmB nm 1

0

11 )1(),( ; 1m dan 1n . (2.17)

Jika dalam persamaan (2.17) diadakan substitusi st 1 , maka

1

0

110

1

11 ),()1()()()1(),( mnBdsssdsssnmB mnnm (2.18)

yang berarti bahwa fungsi beta bersifat simetri terhadap pertukaran peubahnya.

Kemudian berdasarkan persamaan (2.15), diperoleh hubungan antara

fungsi beta dan fungsi gamma sebagai berikut:

)()()(

)!1()!1()!1(),(

nmnm

nmnmnmB

(2.19)

(Arfken, 2005).




BAB III

METODE PENELITIAN

3.1 Materi Penelitian

Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah buku-buku dan jurnal

yang terkait dengan materi permasalahan bilangan kompleks, fungsi gamma dan

fungsi beta.

3.2 Cara Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari materi penelitian

baik buku maupun jurnal serta referensi pendukung yang digunakan pada

penelitian ini.

3.3 Prosedur Penelitian

Prosedur penelitian yang dilakukan meliputi langkah-langkah sebagai

berikut:

1. Mempelajari sifat-sifat bilangan kompleks

2. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi gamma

3. Mempelajari dasar-dasar teori fungsi beta

4. Mempelajari hubungan antara fungsi gamma dan fungsi beta

5. Melakukan pengkajian karakteristik bilangan kompleks yang dikenakan pada

fungsi gamma dan selanjutnya dikaji pada fungsi beta dengan menggunakan

hubungan antara kedua fungsi tersebut.




BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Karakteristik Dasar )z(

Fungsi gamma merupakan generalisasi bentuk !n , dengan n adalah

sebarang bilangan rill atau bilangan kompleks dengan syarat tertentu. Dalam hal n

sebagai bilangan bulat positif, fungsi gamma dari n ditulis sebagai )!1()( nn

(Renreng, 1990).

Pengertian di atas digeneralisasi oleh Euler pada Definisi 2.11.2.

Berdasarkan definisi tersebut, dapat diturunkan hubungan dasar fungsi gamma

sebagai berikut:

Dengan mensubstitusi 1z ke z, diperoleh persamaan:

1

)1()3)(2)(1(321lim)1(

z

nn

nzzzznz

z

nn

nzzzzn

nznz

)()2)(1(321

1lim

)(zz . (4.1)

Persamaan (4.1) merupakan rumus rekursif untuk fungsi gamma (Arfken, 2005).

Proses selanjutnya dapat dilakukan secara terus-menerus sehingga diperoleh

hubungan ,!1.2.3)2)(1()1()1()()1( zzzzzzzzzz jika z

bilangan bulat positif, sehingga pada perhitungan berikutnya dengan z bilangan

kompleks yang dikenakan pada fungsi gamma dapat digunakan hubungan

)!1()( zz sebagai generalisasi dari bentuk !z .




Dari Definisi 2.11.2 tersebut, dapat dinyatakan bahwa:

1)1(321

321lim)1(

n

nnn

n.

Kemudian dengan menggunakan persamaan (4.1), diperoleh:

1)1(1)2(

2)2(2)3(

)!1()1(321)( nnn , untuk n bilangan bulat positif.

Pada bilangan kompleks dikenal istilah bilangan kompleks sekawan dari z

menurut Definisi 2.2.2. Jika dikenakan bilangan kompleks ibaz pada fungsi

gamma, maka dari definisi 2.11.2, dapat diperlihatkan sifat sekawan dari nilai

)(z sebagai berikut:

Sifat 4.1.1

Untuk sebarang bilangan kompleks z, maka )()( zz .

Bukti:

Diambil sebarang z C, maka

)()2)(1(

!lim)(nzzzz

nnzz

n

)()2)(1(!lim nzzzznn z

n

)()2()1(!lim

nzzzznn z

n

.

Karena nznz eenz lnln , dengan ibaz sehingga ibaz , maka




nibnanibanz eee lnlnln)(ln

nibnae lnln

nibae ln)(

nze ln

zne ln .

Diklaim bahwa:

zz lnln ; z C,

yang dapat dibuktikan sebagai berikut:

Berdasarkan Definisi 2.8.1, irrez i ln)ln(ln maka

irrez i ln)ln(ln

ir ln

ireln

zln .

Dengan demikian, secara analog dapat ditunjukkan bahwa zz nnzn eee lnlnln ,

sehingga zz nn . Jadi,

)()2)(1(!lim)(

nzzzznnz

z

n

)(z . ■

Pembuktian Sifat 4.1.1 di atas akan sama saja jika digunakan hubungan

)!1()( zz dengan berdasarkan sifat kesekawanan bilangan kompleks pada

Teorema 2.2.3, yaitu:




Jika diambil sebarang z C, dengan ibaz , maka

)!1()!1()( ibazz

)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba

)!2()1()(...)3()2()1( ibmaibmaibmaibaibaiba

)!2)(1)((..).3)(2)(1( ibmaibmaibmaibaibaiba

)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba

)!1( iba

)!1( z

)(z .

Kemudian, untuk setiap z bilangan kompleks dengan sifat kesekawanan

yang dimilikinya pada Teorema 2.2.3 dapat diperoleh sifat kesekawanan pada

fungsi gamma sebagai berikut:

Sifat 4.1.2.

Untuk setiap 21 , zz C, dengan 111 ibaz dan 222 ibaz maka berlaku:

i. )()())(( 2121 zzzz

ii. )()(

)()(

2

1

2

1

zz

zz

.

Bukti:

Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz dan 222 ibaz , maka

i. )!1()!1())(( 2121 zzzz

)!1()!1( 2211 ibaiba




)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(

)1)()...(3)(2)(1(

2222

2222222211

1111111111

mibamibamibaibaibaibamiba

mibamibaibaibaiba

)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(

)1)()...(3)(2)(1(

2222

2222222211

1111111111

ibmaibmaibmaibaibaibaibma

ibmaibmaibaibaiba

)!2()1(

)(...)3()2()1()!2(

)1()(...)3()2()1(

2222

2222222211

1111111111

ibmaibma

ibmaibaibaibaibma

ibmaibmaibaibaiba

)!2)(1())...(3)(2)(1()!2(

)1)()...(3)(2)(1(

2222

2222222211

1111111111

ibmaibmaibmaibaibaibaibma

ibmaibmaibaibaiba

)!1()!1( 2211 ibaiba

)!1()!1( 2211 ibaiba

)!1()!1( 2211 ibaiba

)!1()!1( 21 zz

)()( 21 zz

)()( 21 zz .

ii.

)(1)(

)(1)(

)()(

21

21

2

1

zz

zz

zz

)!1(

1)(2

1 zz

)!3)(2)(1(

1)(222222

1 ibaibaibaz




)!3)(2)(1(1)(

2222221 ibaibaiba

z

)!1(1)(

21

zz

)()(

)(1)(

2

1

21 z

zz

z

. ■

Selanjutnya, fungsi gamma berdasarkan Definisi 2.11.1 sebagai bentuk

integral Euler dengan peubah kompleks, yaitu jika diberikan fungsi : C → C,

maka fungsi gamma pada bilangan kompleks dapat ditulis sebagai:

0)Re(,)( 1

0

zdttez zt (4.2)

(Arfken, 2005).

Pada bilangan kompleks telah didefinisikan modulus (nilai mutlak) yang

terdapat pada Definisi 2.3.1.1. Jika bilangan kompleks ibaz dikenakan pada

fungsi gamma, maka berdasarkan persamaan (4.2) di atas dapat diperoleh sifat

berikut ini:

Sifat 4.1.3

Jika diberikan z C dengan 0)Re( z , maka berlaku

)Re()( zz .

Bukti:

Diambil sebarang z C dengan .0)Re( z Kemudian dituliskan modulus dari

nilai fungsi gamma sebagai berikut:




0

1)( dttez zt . Karena berdasarkan persamaan (2.7) dari perhitugan berturut-turut untuk nz ,

dengan n Z menghasilkan )!1()( nn yang kemudian direduksikan ke

dalam )!1()( zz , dengan z C, maka diperoleh:

dttez zt

0

1)(

dtte zt

0

1 .

Karena

tztz eetz ln)1(ln1 1

tibae ln)1(

tibtae lnln)1(

tibta ee lnln)1(

)lnsin()lncos(ln)1( tbitbe ta ,

sehingga

)lnsin()lncos(ln)1(1 tbitbet taz tae ln)1(

1ln

ate

1 at

1)Re( zt .

Dengan demikian,

dttez zt 1)Re(

0

)(




dtte zt

0

1)Re(

dtte zt

0

1)Re(

dtte zt

0

1)Re(

)Re(z .

Jadi, )Re()( zz . ■

Contoh 3.

Tentukan nilai perkiraan yang lebih tepat untuk )69,2( i dan

)43,3( i dengan membandingkan perhitugan secara langsung dan perhitungan

tak langsung menggunakan Tabel 1.

Jawab:

1. Perhitungan langsung

9617658319,09,1)9,1(9,1)9,2()69,2( i

827355081,1 827355081,1 .

)3,0)(3,1)(3,2)(3,3()3,1()3,3()43,3(

i

9601,28974706963,0

3031893167,0

3031893167,0 .




2. Perhitungan tak langsung

)69,1(69,1)69,1()69,1()69,2( iiiii

)9,1()6()9,1( 22

9617658319,03661,3

9617658319,0293647591,6

053015211,6 .

)43,0)(43,1)(43,2)(43,3()43,1()43,3(

iiiiii

)43,0)(43,1)(43,2)(43,3()43,1(

iiiii

iiii 43,043,143,243,3)3,1(

22222222 4)3,0(4)3,1(4)3,2(4)3,3(

8974706963,0

)1609,0)(1669,1)(1629,5)(1689,10(8974706963,0

10022328484,0 .

Jadi, nilai perkiraan yang lebih tepat adalah 827355081,1)69,2(0 i dan

10022328484,0)43,3(0 i . Hal ini dikarenakan sifat )Re()( zz

dapat digunakan secara langsung jika 0)Re( z .

Akibat dari Sifat 4.1.3, diperoleh sifat sebagai berikut:




Sifat 4.1.4

Jika diberikan bilangan kompleks ibaz , maka )!(! ibaa untuk setiap a

dan b bilangan riil.

Bukti:

Diambil sebarang z C dengan baibaz ,, R. Berdasarkan )1(! zz ,

maka diperoleh:

)1()1()!(! ibaibaibaz .

Misal ,)1( ibaw maka ,1)Re( aw dan berdasarkan Sifat 4.1.3 diperoleh:

)Re()( ww

!)1()1( aaiba .

Dengan demikian,

)!(! ibaa . ■

Selanjutnya dengan meninjau kembali Definisi 2.11.2 bahwa,

z

nn

nzzzznz

)()2)(1(321lim)(

zn

mnn

zmm

z

1

1lim

1

1

1lim1

n

m

z

n mzn

z. (4.3)

Berdasarkan invers persamaan (4.3), dan diketahui bahwa ,ln nzz en maka

diperoleh:

n

m

zn

n mzez

z 1

)ln( 1lim)(

1




n

mn

zn

n mzez

1

)ln( 1limlim

mz

mz e

mzeez

n

mn

znn

mn

1

)ln(

11limlim . (4.4)

Karena ,131

211exp

1

/

n

m

mzezn

maka persamaan (4.4) dapat

dituliskan sebagai berikut:

zn

nz

z nln1

31

211explim

)(1

mz

n

mne

mz /

1

1lim .

dengan ...5772156619,0ln1limln131

211

1

nm

nn

n

mn yang

dikenal sebagai tetapan Euler. Dengan demikian dapat didefinisikan:

nz

n

z enzze

z/

11

)(1

. (4.5)

Persamaan (4.5) dikenal sebagai bentuk Weiertrass (Arfken, 2005).

Kemudian dengan menggunakan bentuk Weiertrass di atas, diperoleh sifat

sebagai berikut:

Sifat 4.1.5

Untuk sebarang bilangan z riil atau kompleks dengan z tidak sama dengan 0 atau

bilangan bulat negatif, berlaku

zzz

sin)1()( .

Bukti:

Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z , maka




1

/1)(

1n

nzz enzze

z

1

1

/1)(

n

nzz enzzez

1

1

/1

1

/ 11)()(

n

nzz

n

nzz enzzee

nzzezz

1

1

/

1

/ 11

n

nz

n

znzz enzzee

nzze

1

12

22 1

n nzz .

Kemudian dari Definisi 2.9.3 diperoleh:

122

22

1sinn n

zzz

12

22 1

sinn n

zzzz .

Dengan demikian,

zzzz

sin)()( ; z }}0{{ Z . (4.6)

Karena dari persamaan (4.1) telah ditunjukkan bahwa ),()1( zzz maka

dengan pengembangan matematik diperoleh )()1( zzz . Jadi,

)()()1()( zzzzz

)()( zzz

zzz

sin (akibat 4.6)




z

sin ; z }}0{{ Z . ■

Akibat dari Sifat 4.1.5, diperoleh sifat sebagai berikut:

Sifat 4.1.6


bilangan bulat negatif , berlaku

zzzz

sin

)1()1( .

Bukti:

Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z , dan berdasarkan persamaan

(4.1), maka diperoleh:

)1()()1()1( zzzzz

zz

sin

; z }}0{{ Z . ■

Untuk 21z , maka dengan menggunakan Sifat 4.1.5, diperoleh

2sin

)1( 221

21

21 . Jadi, 2

1 .

Contoh 4.

Hitunglah nilai )( 25 dan )( 2

3 .

Jawab:

43)(

21

23)(

23)( 2

123

25 .

34)(

32)(

)(2121

2321

23

.




4.2 Sifat-Sifat Khusus )z(

Fungsi gamma pada dasarnya dapat didefinisikan pada bilangan kompleks

dengan syarat tertentu yang kemudian akan didapatkan beberapa sifat penting

sebagai akibat sifat-sifat mendasar dari bilangan kompleks dan sifat-sifat fungsi

gamma yang telah terbentuk sebelumnya.

Pada bilangan kompleks, salah satu sifat modulusnya yang terdapat pada

Teorema 2.3.1.2 adalah zzz 2 . Jika bilangan kompleks ibaz dikenakan

pada fungsi gamma, maka diperoleh sifat berikut:

Sifat 4.2.1

Jika diberikan fungsi : C → C, maka

i. Untuk sebarang bilangan kompleks ibaz , dengan a dan b bilangan riil,

berlaku )()()( 2 zzz .

ii. Untuk setiap 21 , zz C, berlaku:

a. )()()()( 2121 zzzz

b. )()(

)()(

2

1

2

1

zz

zz

.

Bukti:

i. Diambil sebarang bilangan kompleks ibaz , dengan ba, R, maka

22 )()( ibaz

2)!1( iba

2)!2)(1)((..).3)(2)(1( mibamibamibaibaibaiba




222222 )!2(1...321 ibmaibmaibmaibaibaiba

2)!2()1)(1)()((

...)3)(3)(2)(2)(1)(1(

ibmaibmaibmaibmaibma

ibaibaibaibaibaiba

)!2)(1)((...)3)(2)(1()!2)(1)((...)3)(2)(1(

ibmaibmaibmaibaibaibaibmaibmaibmaibaibaiba

)!1()!1( ibaiba

)()( ibaiba

)()( zz . ■

ii. Akibat bukti (i), dapat ditunjukkan bahwa:

a. 21111

221 )!1()!1()()( babazz

)!1()!1()!1()!1( 11111111 babababa

)()()()( 2121 zzzz

)()()()( 2121 zzzz (Sifat 4.1.2)

)()()()( 2211 zzzz

22

21 )()( zz .

Jadi, )()()()( 2121 zzzz .

b.

)(1)(

)(1)(

)(1)(

)()(

21

21

2

21

2

2

1

zz

zz

zz

zz

)()(

)()(

2

1

2

1

zz

zz

)()(

)()(

2

1

2

1

zz

zz

(Sifat 4.1.2)




)()()()(

22

11

zzzz

22

21

)(

)(

z

z

.

Jadi, )()(

)()(

2

1

2

1

zz

zz

. ■

Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang diberikan adalah bilangan

imajiner murni, artinya 0)Re( z , maka diperoleh:

Sifat 4.2.2

Jika b R sebarang dengan 0b , maka

bbib

sinh)( 2 .

Bukti:

Diambil sebarang b R, dengan 0b . Berdasarkan Sifat 4.2.1, diperoleh:

)()()( 2 ibibib .

Dengan menggunakan persamaan (4.6), maka

ibibib

sin)( 2

)()(

21 ibiibi eei

ib

(akibat 2.2)

)()(

21 bb eeb




)()(

21 xx eeb

bb

sinh

, 0b . ■ (akibat 2.3)

Dengan demikian, untuk setiap bilangan kompleks z dengan )Re(z Z dapat

ditentukan nilai )(z berdasarkan Sifat 4.2.2 dan persamaan (4.1).

Contoh 5.

Tentukan nilai dari:

1. )5( i dan )32( i

2. )5( i dan )23( i

Jawab:

1. )())(1)(2)(3)(4()5( iiiiiii

)()()1()2()3()4( iiiiii

sinh111121314 222222222

sinh)1)(2)(5)(10)(17(

sinh1700

sinh1710 .

)3()3)(31()32( iiii

)3()3()31( iii




)3(sinh)3()3()3(1 222

33

21 (3

)9)(10(ee

)(30

3321

ee

3sinh

30 .

2. )1)(2)(3)(4)(5(

)()5()4()5(

iiiiii

iii

)1()2()3()4()5()(

iiiiii

2222222222 1)1(1)2(1)3(1)4(1)5(sinh

sinh)2)(5)(10)(17)(26(

sinh44200

sinh44210

1 .

)21)(22)(23()2()23(

iiiii

)21()22()23()2(

iiii




222222 )2()1()2()2()2()3(

)2(sinh)2(

22

21 ()2)(5)(8)(13( ee

)(6541

2221

ee

2sinh6541

.

Sesuai bentuk generalisasi !)1( zz dan !)1( zz , melalui Sifat

4.1.6 diperoleh bentuk sebagai berikut:

zzzz

sin

)!(! ; z C dengan z }}0{{ Z . (4.7)

Kemudian, berdasarkan Sifat 4.2.1 dan persamaan (4.7) di atas, terbentuk sifat

berikut ini:

Sifat 4.2.3

Jika b R sebarang dengan 0b , maka

bbib

sinh

)!( 2 .

Bukti:

Diambil sebarang b R, dengan 0b . Berdasarkan bentuk !)1( zz dapat

dibentuk hubungan sebagai berikut:

)1()1()!( ibibib ,

sehingga dengan mengunakan Sifat 4.2.1 diperoleh:




)1()1()1( 2 ibibib

)1()1( ibib

)!()!( ibib .

Karena 222 )1()1()!( ibibib , maka )!()!()!( 2 ibibib . Berdasarkan

persamaan (4.7) diketahui bahwa:

ibibibib

sin

)!()!( ,

sehingga diperoleh:

ibibib

sin

)!( 2

)()(

21 ibiibi eei

ib

(akibat 2.2)

)()(

21 bb ee

b

)()(

21 bb ee

b

b

b

sinh

, 0b . ■ (akibat 2.3)

Selanjutnya, jika bilangan kompleks z yang dikenakan pada fungsi gamma

ke dalam Sifat 4.2.1 adalah bilangan kompleks dengan 21)Re( z , maka akan

diperoleh sifat khusus berikut ini:




Sifat 4.2.4

Diberikan sebarang bilangan kompleks ibaz . Jika 21a maka

bib

cosh)( 2

21 , b R.

Bukti:

Diambil sebarang z C dengan ibaz . Ditentukan 21)Re( az dan b R,

maka berdasarkan Sifat 4.2.1 dan Sifat 4.1.5 diperoleh:

)()()( 21

212

21 ibibib (Sifat 4.2.1)

)(1)( 21

21 ibib

)(sin 21 ib

(Sifat 4.1.5)

bibi

sin2

coscos2

sin

bi

cos

)()(

21 biibii ee

(akibat 2.1)

bb ee

21

bb ee

21

b

cosh

, b R. ■ (akibat 2.4)




Contoh 6.

Hitunglah nilai i223 dan i 2

1 .

Jawab:

iiii 2)2(122 21

21

21

23

ii 22 21

21

2cosh41 4

2cosh1721

=

2cosh

1721 .

ii

ii

i

2121

2121

21

)()(

141

cosh

cosh52 .

4.3 Definisi )z,z(B 21 dan Hubungannya dengan )z(

Misalkan fungsi :B C C → C adalah suatu fungsi yang didefinisikan

sebagai berikut:

1

021

1121 ,;)1(),( 21 zzdtttzzB zz C dengan 0)Re(,0)Re( 21 zz . (4.8)




B disebut sebagai fungsi beta, dan persamaan (4.8) merupakan fungsi beta pada

bilangan kompleks (Remmert, 1996).

Sebelumnya karakteristik bilangan kompleks telah diuji pada fungsi

gamma, maka selanjutnya untuk menguji karakteristik bilangan kompleks pada

fungsi beta dapat digunakan hubungan langsung antara fungsi beta dan fungsi

gamma berdasarkan persamaan (2.19) dengan ketentuan peubahnya berupa

bilangan kompleks yang dapat dituliskan sebagai berikut:

),()()()(

)()()(),( 21

21

21

21

2121 zzB

zzzz

zzzzzzB

; 21 , zz C (4.9)

Berikut ini sifat-sifat yang dapat diperoleh pada fungsi beta sebagai akibat

hubungannya dengan fungsi gamma pada bilangan kompleks.

Sifat 4.3.1

Untuk setiap 21 , zz C dengan 0)Re(,0)Re( 21 zz , berlaku:

i. ),(),( 2121 zzBzzB

ii. )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB .

Bukti:

Diambil sebarang 21 , zz C dengan 0)Re( 1 z dan 0)Re( 2 z .

i. Berdasarkan Sifat 4.1.1 yaitu )()( zz , maka untuk 21 zzz berakibat

)()( 2121 zzzz , sehingga dengan mengunakan persamaan (4.9)

diperoleh:

)()()(

),(21

2121 zz

zzzzB




)()()(

21

21

zzzz

(Sifat 4.1.2)

21

21 )()(zzzz

(Sifat 4.1.2)

)()()(

21

21

zzzz

(Sifat 4.1.1 dan Teorema 2.2.3)

),( 21 zzB . ■

ii. Berdasarkan Sifat 4.1.3, bahwa )Re()( zz maka untuk 21 zzz

berakibat )Re()( 2121 zzzz , sehingga pada fungsi beta juga

berlaku

)()()(

),(21

2121 zz

zzzzB

)()()(

21

21

zzzz

(Sifat 4.2.1)

)()()(

21

21

zzzz

(Sifat 4.2.1)

)Re(

)Re()Re(

21

21

zzzz

(Sifat 4.1.3)

)Re(

)Re()Re(

21

21

zzzz

)Re(

)()Re(

21

21

zzzz

.

)Re(),Re( 21 zzB . ■




Sifat 4.3.2


bilangan bulat negatif, berlaku

zzzzB

sin

)1,1( .

Bukti:

Diambil sebarang bilangan z dengan z }}0{{ Z . Dengan menggunakan

persamaan (4.9) dan Sifat 4.1.6, maka diperoleh:

)2()1()1()1,1(

zzzzB

)1()1( zz

zz

sin

; z }}0{{ Z . ■ (Sifat 4.1.6)

Selanjutnya, beberapa karakteristik bilangan kompleks yang membentuk

sifat-sifat khusus pada fungsi beta dapat diperlihatkan sebagai akibat sifat-sifat

khusus fungsi gamma pada bilangan kompleks, sebagai berikut:

Sifat 4.3.3

Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks 111 ibaz dan 222 ibaz , maka

),(),(),( 21212

21 zzBzzBzzB , 2121 ,,, bbaa R.

Bukti:

Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz , 222 ibaz , dan

2121 ,,, bbaa R, maka berdasarkan hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma

dari persamaan (4.9), dapat dituliskan sebagai berikut:




2

21

21221 )(

)()(),(

zzzzzzB

2

2121

2211

)()()()(

bbiaaibaiba

2

2121

2211

!)()1()!1()!1(

bbiaaibaiba

22121

22211

!)()1(

)!1()!1(

bbiaa

ibaiba

22121

222

211

!)()1(

)!1()!1(

bbiaa

ibaiba

!)()1(!)()1()!1()!1()!1()!1(

21212121

22221111

bbiaabbiaaibaibaibaiba

(Sifat 4.2.1)

)()()()()()()()(

21212121

22221111

bbiaabbiaaibaibaibaiba

2121

2211

)()()()()(

zzzzzzzz

)()()(

)()()(

21

21

21

21

zzzz

zzzz

),(),( 2121 zzBzzB . ■

Jika bilangan imajiner murni dikenakan pada Sifat 4.3.3, maka akan

diperoleh sifat berikut:

Sifat 4.3.4

Jika 21,bb R sebarang dengan 0, 21 bb , maka

2121

2121221 sinhsinh

)(sinh)(),(bbbb

bbbbibibB

.




Bukti:

Diambil sebarang 21,bb R, dengan 0, 21 bb . Berdasarkan Sifat 4.3.3,

diperoleh:

),(),(),( 21212

21 ibibBibibBibibB

)()()()(

)()()(

21

21

21

21

ibibibib

ibibibib

(akibat 4.9)

)()()()()()(

2121

2211

bbibbiibibibib

221

22

21

)(

)()(

bbi

ibib

(Sifat 4.2.1)

)(sinh)(

sinhsinh

2121

2211

bbbb

bbbb

(Sifat 4.2.2)

2121

2121

sinhsinh)(sinh)(

bbbbbbbb

; 0, 21 bb . ■

Kemudian, jika masing-masing bilangan kompleks 1z dan 2z yang

dikenakan pada fungsi beta adalah bilangan kompleks dengan

21)Re()Re( 21 zz , maka akan diperoleh sifat khusus berikut ini:

Sifat 4.3.5

Jika diberikan bilangan-bilangan kompleks 111 ibaz dan 222 ibaz ,

dengan 21)Re()Re( 21 zz , maka dapat ditunjukkan bahwa:




21

21

21

222

112

1

coshcosh)(sinh

)()(),(

bbbb

bbbbB

, 21 ,bb R.

Bukti: Diambil sebarang 21 , zz C, dengan 111 ibaz , 222 ibaz , dan

2121 ,,, bbaa R. Ditentukan 21)Re()Re( 2211 azaz maka berdasarkan

hubungan fungsi beta terhadap fungsi gamma dari persamaan (4.9), diperoleh:

222

112

1221 )(),(),( ibibBzzB

2

21

221

121

)(1)()(

bbiibib

(akibat 4.9)

221

222

112

1

)(1

)()(

bbi

ibib

(Sifat 4.2.1)

2

21

222

1212

1

)(1

)()(

bbi

ibib

(Sifat 4.2.1)

2

21

21

!(coshcoshbbi

bb

(Sifat 4.2.4)

)(sinh)(

coshcosh

21

21

21

2

bbbb

bb

(Sifat 4.2.3)

21

21

21 coshcosh)(sinh

)( bbbb

bb

. ■

Contoh 7.

Hitunglah:

1. iiB 71,2 31




2. iiB 4, 23

61

25

3. iiB 41

27,31

Jawab:

1. )1(

)71()2(71,2

322

31

31

iii

iiB

)()()71(

)7()())(1(

322

322

31

31

31

iii

iiii

)7()7()(

))(71())(1(

31

31

322

31

31

iiii

iiii

iiBii

ii7,

)()71()()1(

31

322

31

31

9

78491

910

)50(

7sinhsinh)7(sinh)7(

337

31

31

7sinhsinh82320sinh

3

322

322

7sinhsinh)3)(105(sinh22

281

3

322

7sinhsinh315sinh22

281

3

322

.

2. )4(

)4()(4,

623

23

61

25

23

61

25

iii

iiB

)1()1)(2)(3()4()4()())((

623

623

623

623

21

21

61

21

61

21

61

23

iiiiiiiii




)4(1()4()(

)1()2()3()4()()(

61

21

61

21

623

623

623

21

61

21

61

23

iii

iiiiii

iiB 4,)(1)(2)(3

)4()()()()()(21

61

21

262322

62322

6232

22212

612

212

612

23

)4cosh(cosh)4(sinh

)4()1)(4)(9()16)()((

6

61

61

36529

36529

36529

41

361

41

361

49

)(cosh))()()((

sinh))()((44

21

6623

36565

36673

36853

623

465

3610

3682

ee

)(cosh)23)(565)(673)(853(

sinh)65)(205)(6)(36(44

21

6

623

ee

4coshcosh1492005331sinh15990

66

623

.

3. )(

)()31(,31

413

21

41

23

41

23

iii

iiB

)()(

))(()(

)3()3(

413

21

413

21

41

21

41

23

41

21

ii

iii

ii

)())(()()3())(3(

413

21

41

21

41

23

41

21

413

21

iiiiiii

)()()()()3()()3(

413

21

41

21

41

23

41

21

413

21

iiiiiii

413

4116

173

cosh

cosh3sinh3))(9(

41

413

cosh3sinh3cosh173

43

.




BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian tentang fungsi gamma dan

fungsi beta pada bilangan kompleks ini adalah:

1. Karakteristik dasar yang dapat dibangun oleh bilangan kompleks yang

dikenakan pada fungsi gamma dan fungsi beta adalah sebagai berikut:

a. Jika )()( zz maka untuk 21 zzz berakibat

)()( 2121 zzzz , sehingga ),(),( 2121 zzBzzB , untuk setiap

21,, zzz C.

b. Jika )Re()( zz maka untuk 21 zzz berakibat

)Re()( 2121 zzzz , sehingga )Re(),Re(),( 2121 zzBzzB ,

untuk setiap 21,, zzz C dengan 0)Re(,0)Re,0)Re( 21 zz .

2. Sifat-sifat khusus fungsi gamma dan fungsi beta pada bilangan kompleks

dengan syarat tertentu dapat diberikan sebagai berikut:

a. Jika 0)Re( z , atau dengan kata lain bilangan kompleks z adalah

bilangan imajiner murni maka diperoleh sifat bb

ib

sinh

)( 2 dan

2121

2121221 sinhsinh

)(sinh)(),(bbbb

bbbbibibB

, untuk setiap 21,bb R,

dengan 0,, 21 bbb .




b. Jika 21)Re( z , dengan z bilangan kompleks, maka dapat diperoleh

sifat khusus berikut:

i. b

ib

cosh

)( 221

ii. 222

112

1 )(),( ibibB 21

21

21 coshcosh)(sinh

)( bbbb

bb

.

5.2 Saran

Penelitian lebih lanjut untuk dikaji karakteristik fungsi gamma dan fungsi

beta pada bilangan kompleks hingga dapat diperluas ke dalam bentuk bidangnya

yang berhubungan dengan diagram Argand yang ada pada bilangan kompleks

yang dapat dihubungkan dengan keanalitikan berdasarkan bentuk-bentuk fungsi

kompleks.




DAFTAR PUSTAKA

Arfken, G.B. dan Hans J.W. 2005. Mathematical Methods for Physicist. Elsevier Academic Press, United States of America.

Boas, M.L. 2006. Mathematical Methods in the Physical Sciences. DePaul

University, United States of America. Pallouras, J.D. 1975. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Terjemahan

Wibisono Gunawan. Erlangga, Surabaya. Remmert, R. 1996. Wielandt's Theorem About the Γ-Function. The American

Mathematical Monthly; March 1996; 103, 3; Mathematical Association of America; pg. 214-220.

Renreng, A. 1990. Asas-Asas Metode Matematika dalam Fisika. Angkasa,

Bandung. Saff, E.B. dan A.D. Snider. 2003. Fundamental of Complex Analysis with

Aplications to Engineering and Science. Pearson Educational International, New Jersey.

Sardi, H. 2008. Fungsi Kompeks. Universitas Terbuka, Jakarta. Siang, J.J. 2002. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer.

ANDI, Yogyakarta. Soedojo, P. 1995. Asas-Asas Matematika, Fisika, dan Teknik. Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Spiegel, M.R. 1990. Advanced Calculus. McGraw-Hill, New York. Spiegel, M.R. 1994. Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal

dan Penerapannya. Terjemahan Koko Martono. Erlangga, Jakarta.




RIWAYAT HIDUP

Megawati dilahirkan di Kertak Hanyar, tepatnya

pada tanggal 14 Februari 1988 dari pasangan Bapak

H. Husni Tamberin dan Ibu Hj. Arbayah. Mega

merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Mega

memulai pendidikan formalnya di TK Dolog pada

tahun 1993, kemudian melanjutkan ke SD Negeri

Kertak-Hanyar I-I pada tahun 1994. Setelah lulus

SD, Mega melanjutkan sekolahnya di SLTP Negeri 3

Banjarmasin pada Tahun 2000. Mega melewati masa

SLTAnya di SMA Negeri 3 Banjarmasin dan menyelesaikan studinya pada tahun

2006. Pada tahun 2006, Mega melanjutkan studinya di FMIPA program studi S-1

Matematika Universitas Lambung Mangkurat dan menyelesaikan kuliahnya pada

tahun 2010. Pengalaman organisasi Mega selama kuliah, yaitu anggota

HIMATIKA “REAL” staf Departemen Pendidikan, Sains dan Teknologi. Dalam

masa perkuliahan Mega diberi kepercayaan sebagai asisten dari beberapa

matakuliah wajib, yaitu Kalkulus 1, Kalkulus 2, Kalkulus Peubah Banyak,

Statistika Elementer, Statistika Matematika, Statistika Inferensi, dan Analisis Riil

2, serta sebagai asisten pelatihan SPSS dalam Rancangan Percobaan. Mega juga

termasuk penerima beasiswa PPA. Alamat orang tua Mega adalah JL. Mahligai

RT.05 Kertak-Hanyar II, Komplek Mahligai Permata 2, Kabupaten Banjar. Untuk

menghubungi Megawati bisa melalui email: [email protected].


mailto:[email protected].



Skripsi Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta Pada Bilangan Kompleks

Documents

Transcript of Skripsi Fungsi Gamma Dan Fungsi Beta Pada Bilangan Kompleks