Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

43
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear 0

description

SPL dan SPtL

Transcript of Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Page 1: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear 0

Page 2: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat –Nya yang telah memberikan kekuatan dan

kesehatan sehingga penyusunan Buku Siswa dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Buku

Siswa ini ini disajikan untuk memenuhi tugas mata kuliah Problematika Matematika Sekolah II.

Tugas ini tidak akan terselesaikan tepat waktu tanpa adanya bantuan dan kerjasama yang

baik dari berbagai pihak. Terimakasih kepada Bapak Prof. Purwanto, Ph.D yang telah

memberikan saran dan masukan sehingga Buku Siswa ini terselesaikan dan terimakasih kepada

semua pihak yang telah membantu sehingga Buku Siswa ini dapat terselesaikan.

Penulis selalu berdoa semoga amal kebaikan semua pihak dibalas oleh Allah dengan

kebaikan yang berlipat ganda. Penulis menyadari bahwa penyusunan Buku Siswa ini masih jauh

dari sempurna, namun harapan kami semoga penulisan Buku Siswa ini dapat bermanfaat bagi

semua pihak khususnya pelaksana di dunia pendidikan.

Malang, Juni 2014

Penulis

1

Page 3: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

1

SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

BAB 3

Setelah mengikuti pembelajaran sistem persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu:

1. menghayati rasa percaya diri, motivasi internal dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan dan bisnis dan dalam kehidupan sehari-hari;

2. memahami konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linearmdua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam penyelesaian masalah matematika;

3. menggunakan SPLDV, SPLTV dan system pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan;

4. Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya;

5. membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel yang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.

Melalui pembelajaran materi system persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa memperoleh pengalaman belajar: menjelaskan karakteristik masalah

otentik yang penyelesaiannya terkait dengan model matematika sebagai SPLDV atau SPLDV;

merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang merupakan SPLDV atau SPLDV;

menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;

menginterpretasikan hasil penyelesaian masalah yang diberikan;

menemukan ciri-ciri SPLDV atau SPLDV dari model matematika;

menuliskan konsep SPLDV atau SPLDV berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri.

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Pengalaman BelajarKompetensi Dasar

Page 4: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear 2

Page 5: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

A. PERSAMAAN LINEAR

Pengantar

Persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari saat

duduk di kelas VIII SMP. Pada saat ini kita perdalam kajian, pemahaman dan jangkauan

pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah miliki

sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini, kamu

berupaya menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi

penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, berdiskusi dengan teman, mengajukan

pertanyaan kepada guru dan teman kelompok.

Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan

lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-

permasalahan

tersebut kita jadikan bahan inspirasi dan menyusun model-model Matematika yang

ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, kita jadikan bahan

abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan

linear dua variabel.

Untuk memahami sebuah sistem persamaan liner, akan diberikan ilustrasi sebagai

berikut :

Ilustrasi pertama

Dua orang anak belanja pada toko yang sama, kebetulan membeli barang yang sama

dengan jumlah yang berbeda. Anak pertama membeli 2 sikat gigi dan 2 pasta gigi

sedangkan anak yang kedua membeli 3 sikat gigi dan 5 pasta gigi. Anak pertama

membayar sejumlah Rp. 14.000,00 sedangkan anak yang kedua membayar Rp. 29.000,00.

Dari ilustrasi diatas setiap anak membeli 2 jenis barang. Misalkan:

harga satu sikat gigi adalah a rupiah, harga satu pasta gigi adalah b rupiah. Anak pertama

membeli 2 sikat gigi dan 2 pasta gigi seharga Rp.14.000,00, sehingga

2a + 2b = 14.000.

Anak kedua membeli 3 sikat gigi dan 5 pasta gigi seharga Rp.29.000,00, sehingga

3a + 5b = 29.000.

Dua model matematika di atas adalah dua persamaan linear yang memuat dua variabel.

Kumpulan dari dua persamaan linear tersebut,

3

Page 6: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

2a + 2b = 14.000

3a + 5b = 29.000

disebut sistem persamaan linear.

Ilustrasi Kedua

Sebuah Perusahaan Sepatu “X” membuat tiga jenis sepatu, yaitu Sepatu Olah Raga, Sepatu

Kerja dan Sepatu Santai. Setiap jenis sepatu memerlukan tiga tahapan terpisah yang

dikerjakan oleh bagian-bagian tertentu, dengan ketentuan sebagai berikut :

Tabel.1. Waktu yang diperlukan dalam setiap tahapan dalam pembuatan sepatu

Jenis SepatuWaktu yang dibutuhkan tiap tahapan (menit)

Memotong Mengelem Menjahit

Olah Raga 24 18 9

Kerja 16 12 8

Santai 18 9 4

Dimana pada bagian memotong menyediakan 50 jam orang per hari. Pada bagian

mengelem menyediakan 33 jam orang per hari. Pada bagian menjahit menyediakan 18 jam

orang per hari. Supaya memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja, berapa banyak setiap

jenis sepatu harus dihasilkan setiap hari?

Untuk menganalisis keadaan tersebut kita misalkan :

x = banyaknya sepatu olah raga yang dihasilkan

y = banyaknya sepatu kerja yang dihasilkan

z = banyaknya sepatu santai yang dihasilkan

Sehingga :

Pemanfaatan total bagian memotong adalah : 24x + 16y +18 z menit

Karena tenaga pemotong tersedia sebanyak 50 jam atau 3000 menit maka :

4

Page 7: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

24x + 16y +18 z = 3000

Pemanfaatan total bagian mengelem adalah : 18x + 12y +9 z menit

Karena tenaga mengelem tersedia sebanyak 33 jam atau 1980 menit maka :

18x + 12y +9 z = 1980

Pemanfaatan total bagian menjahit adalah : 9x + 8y +4 z menit

Karena tenaga penjahit tersedia sebanyak 18 jam atau 1080 menit maka :

9x + 8y +4 z = 1080

Sehingga unsur-unsur x,y,z yang tidak diketahui harus memenuhi persamaan berikut :

24x + 16y +18 z = 3000

18x + 12y + 9 z = 1980

9x + 8y + 4 z = 1080

Kasus di atas merupakan salah satu ilustrasi dari sistem persamaan linear.

Tiap-tiap persamaan di atas yaitu

24x + 16y +18 z = 3000,

18x + 12y + 9 z = 1980 dan

9x + 8y + 4 z = 1080

Dari ilustrasi diatas tampak bahwa 3 persamaan linear diatas adalah sistem persamaan

linear dengan 3 variabel.

B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Untuk mengilustrasikan kemungkinan yang terjadi dalam menyelesaikan sistem persamaan

linear, kita lihat dulu arti geometri persamaan linear dari dua variabel x dan y. Misalnya

diberikan sistem persamaan linear :

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

dengan a1,b1,c1, a2, b2, c2 bilangan real yang diketahui.

Telah kita ketahui bahwa persaman ax + by = c dapat digambarkan sebagai garis di

bidang. Sehingga sistem persamaan linear di atas dapat digambarkan sebagai dua garis L1

dan L2 di bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan kedua garis tersebut, yaitu :

1. Garis L1 dan L2 berpotongan

2. Garis L1 dan L2 sejajar

3. Garis L1 dan L2 merupakan satu garis (berimpit )

5

Page 8: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Dengan demikian ada tiga kemungkinan jawaban/penyelesaian dari sistem persamaan

linear di atas yaitu :

1. Mempunyai tepat satu penyelesaian

2. Tidak mempunyai penyelesaian

3. Mempunyai banyak penyelesian

Ketiga kemungkinan ini juga berlaku untuk sembarang sistem persamaan linear sehingga

dapat dikatakan bahwa setiap persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian,

mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.

Di SMP sudah dijelaskan bahwa dalam penyelesaian SPLDV terdapat berbagai

macam cara. Antara lain, subtitusi, eliminasi, metode grafik atau gabungan ketiganya.

Penggunaan yang lebih efektif dan efisien dari ke empat metode tersebut dalam

penyelesaian soal tergantung sistem persamaan linear yang diberikan, situasi masalah, dan

waktu yang tersedia. Sekarang mari kita ulang kembali mempelajari metode-metode

tersebut. Kita akan bahas sedikit tentang penyelesaian dari SPLDV.

1. Metode Grafik

Berdasarkan Definisi 3.2, SPLDV terbentuk dari dua persamaan linear yang saling

terkait. Sebelumnya kamu telah mengetahui bahwa grafik persamaan linear dua variabel

berupa garis lurus. Pada langkah penyelesaian Masalah 3.1 telah diperoleh sistem

persamaan linear dua variabel.

x + y = 2 ....…………………………….…………....... (1)

4x + 2y = 7 ...………...………………………………….. (2)

Mari kita terapkan langkah-langkah di atas.

Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk Persamaan (1)

x + y = 2

x 0 2

y 2 0

6

Page 9: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Diperoleh titik-titik potong kurva x + y = 2 terhadap

sumbu koordinat, yaitu titik (0, 2) dan (2, 0).

Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk Persamaan (2).

4x + 2y = 7

x 074

y72

0

Diperoleh titik-titik potong kurva 4x + 2y = 7 terhadap sumbu koordinat, yaitu titik (0 ,72)

dan (74

, 0).

Menarik garis lurus dari titik (0, 2) ke titik (2, 0) dan dari titik (0 ,72) ke titik (

74

, 0).

Gambar 1. Grafik persamaan Linear

Berdasarkan gambar grafik x + y = 2 dan 4x + 2y = 7, kedua garis lurus tersebut

berpotongan pada sebuah titik, yaitu titik (32

,12).

Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear x + y = 2 dan 4x + 2y = 7

adalah {( 32

,12 )}.

7

Page 10: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

2. Metode Eliminasi

Eliminasi artinya membuang atau menghilangkan. SPLDV memiliki dua variabel, dengan

membuang/menghilangkan atau mengeliminasi satu variabel kita memperoleh persamaan

linear dengan satu variabel. Metode eliminasi yang kamu kenal di SMP sudah kita

terapkan terhadap SPLD.

Perhatikan SPLDV berikut.

x + y = 2

4x + 2y = 7,

Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut.

SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi.

Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).

x+ y=24 x+2 y=7

|× 4×1|4 x+4 y=8

4 x+2 y=7

2y = 1

y = 12

Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2).

x+ y=24 x+2 y=7

|× 4×1|2x+2 y=4

4 x+2 y=7

–2x = -3

x = 32

Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah {( 32

,12 )}

3. Metode Substitusi

Subsitusi artinya mengganti/menempatkan, cara subsitusi dalam menyelesaikan

SPLDV berarti mengganti variabel yang satu dengan variabel lain sesuai dengan persamaan

yang diberikan. Untuk jelasnya perhatikan SPLDV berikut ini.

8

Page 11: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Selesaikanlah SPLDV

3x – 2y = 8

4x + y =7.

Jawab :

3x – 2y = 8 …………….persamaan (1)

4x + y = 7 ………………persamaan (2)

Dari persamaan (2) diperoleh

y = 7 – 4x. …………….persamaan (3)

Subsitusi/gantilah y pada persamaan (3) ke persamaan (1)

3x – 2(7 – 4x) = 8

3x –14 + 8x = 8

11x = 22

x = 2211

= 2.

Setelah diperoleh nilai x = 2,

Ssubsitusikan nilai x ke persamaan (3) sehingga

y = 7– 4x

y = 7 – 4(2)

y = 7 – 8

y = –1

Jadi penyelesaian SPLDV di atas adalah {(2, –1)}.

4. Metode Eliminasi dan subtitusi

Untuk menggunakan metode eliminasi dan subtitusi sebenarnya boleh menggunakan

subtitusi terlebih dahulu kemudian eliminasi.

Perhatikan SPLDV berikut.

x + y = 2

4x + 2y = 7,

Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut.

SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi terlebih dahulu.

Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).

9

Page 12: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

x+ y=24 x+2 y=7

|× 4×1|4 x+4 y=8

4 x+2 y=7

2y = 1

y = 12

Subtitusikan nilai y ke persamaan (1)

x + y = 2

x + 12

= 2

x = 32

Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah {( 32

,12 )}

5. Metode determinan

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel.

ax + by = p

cx + dy = q

dapat diubah ke bentuk matriks sebagai berikut

[a bc d ] x

y = pq

dengan A = [a bc d ] X =

xy dan B =

pq

Untuk menentukan penyelesaian persamaan matriks tersebut terlebih dahulu kita tentukan

determinannya sebagai berikut:

D =[a bc d ] = ad – bc (determinan koefisien x dan y; elemen-elemen matriks A)

Dx =[ p bq d ] = pd – bq (ganti kolom ke-1 dengan elemen-elemen matriks B)

Dy =[a pc q ] = aq – cp (ganti kolom ke-2 dengan elemen-elemen matriks B)

Nilai x dan y ditentukan dengan:

x = Dx

D dan y =

D y

D

Perhatikan contoh berikut.

10

Page 13: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode

determinan

2x + y = 4

x – 2y = – 3

Penyelesaian

sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam bentuk matriks berikut

[ p bq d ]

xy =

4−3

D = [2 11 −2]= – 4 – 1 = – 5

Dx = [ 4 1−3 −2] = – 8 – (– 3) = – 5

Dy = [2 41 −3] = – 6 – 4 = – 10

Jadi himpunan penyelesaian dari SPLDV diatas adalah {(2, –10)}

C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL

Sistem Persamaan linear tiga variabel terdiri atas tiga persamaan linear yang

mengandung tiga variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah

Dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan real, a1, b1, c1 tidak ketiganya nol,

a2, b2, c2 tidak keduanya nol, a3, b3, c3 tidak ketiganya nol.

x, y, z : variabel

a1, a2, a3 : koefisien variabel x

b1, b2, b3 : koefisien variabel y

c1, c2, c3 : koefisien variabel z

d1, d2, d3 : konstanta persamaan

11

Dengan demikian diperoleh

x = Dx

D =

−5−5= 1

y = D y

D =

−10−5 = 2

{a1 x+b1 y+c1 z =d1 ¿ {a2 x+b2 y+c2 z=d2¿ ¿¿¿

Page 14: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah tiga persamaan linear tiga variabel

yang mempunyai hubungan diantara ketiganya dan mempunyai satu penyelesaian.

Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan

linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan.

Sehingga penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode

yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik.

1. Metode Eliminasi

Metode ini bekerja dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di

dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.

Perhatikan SPLTV berikut :

{x−3 y+z=−1 ………… …….….(1)5x− y−z=5………… …….…… (2)8 x−6 y−z=1……… ………… ..(3)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode eliminasi sebagai

berikut :

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan kedua

persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.

x−3 y+z=−15 x+ y−z=5

6x – 2y = 4

3x – y = 2 …………..(4)

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan kedua

persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai berikut.

x−3 y+z=−18 x−6 y−z=1

9x – 9y = 0

x – y = 0……………………(5)

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.

3x – y = 2

x – y = 0

12

Page 15: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Penyelesaian dari SPLDV ini adalah

3 x− y=2x− y=0

2x = 2

x = 1

Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x

3 x− y=2x− y=0

|× 1× 3| 3 x− y=2

3 x−3 y=0

2y = 2

y = 1

Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu variabel x atau y sehingga kalian

memperoleh SPLDV yang mengandung variabel z. Hal ini tentu dapat dengan mudah

kalian lakukan. Jika benar kalian akan memperoleh nilai z = 1. Dengan demikian,

himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.

Diskusikan.

13

Page 16: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

1. Perhatikan sistem persamaan berikut.

x + 2y – z = 4

z – x – y = –4

3x + 6y – 3z = 12

Apakah SPLTV itu memiliki penyelesaian? Jelaskan alasanmu.

2. Perhatikan sistem persamaan berikut.

5x + 2y – z = 10

5x + 2y – z = 20

5x + 2y – 3z = –10

Apakah SPLTV itu memiliki penyelesian? Jelaskan jawabanmu.

Dari kedua persoalan diatas, dapatkah kamu mengambil suatu kesimpulan kapan

suatu SPLTV memiliki penyelesaian Dan kapan SPLTV tidak memiliki

penyelesaian?

2. Metode Substitusi

Langkah-langkah yang digunakan dengan mensubtitusikan salah satu persamaan ke

persamaan lain agar menjadi 2 variabel. Kemudian subtitusikan kembali ke persamaan

14

Page 17: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

lain

Perhatikan SPLTV berikut.

Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !

2x + y – z = 3 ……………….…….….(1)

x + y + z = 1 ………………………….(2)

x – 2y – 3z = 4 ……………………….(3)

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode subtitusi sebagai berikut.

Dari persamaan (2) x + y + z = 1 diperoleh  x = 1 – y – z ….(4)

Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1)  diperoleh :

2x + y – z   = 3

2(1 – y – z) + y – z = 3

2 – 2y – 2z + y – z = 3

–y – 3z = 1

y = –3z – 1 …………………..(5)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (3) diperoleh :

x – 2y – 3z            = 4

1 – y – z – 2y – 3z = 4

–3y – 4z = 3 ……………….….(6)

Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) diperoleh :

–3y – 4z             = 3

–3 (–3z – 1) – 4z = 3

9z + 3 – 4z = 3

5z = 0

z = 0 ……….(7)

untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5)

y = –3z – 1

y = –3(0) – 1

y = –1

15

Page 18: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

untuk z = 0, y = –1, disubsitusikan ke persamaan (2)

x + y + z = 1

x – 1 + 0 = 1

x = 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, –1, 0)}

3. Metode Eliminasi dan subtitusi

Langkah-langkah penyelesaiannya mirip seperti metode eliminasi dan subtitusi pada

SPLDV.

Perhatikan SPLTV berikut :

{x−3 y+z=−1 ………… …….….(1)5x− y−z=5………… …….…… (2)8 x−6 y−z=1……… ………… ..(3)

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!

Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode eliminasi sebagai

berikut :

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan kedua

persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.

x−3 y+z=−15 x+ y−z=5

6x – 2y = 4

3x – y = 2 …………..(4)

Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan kedua

persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai berikut.

x−3 y+z=−18 x−6 y−z=1

9x – 9y = 0

x – y = 0……………………(5)

Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.

3x – y = 2

x – y = 0

Penyelesaian dari SPLDV ini adalah

16

Page 19: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

3 x− y=2x− y=0

2x = 2

x = 1

Subtitusikan nilai x ke persamaan (5) diperoleh

x – y = 0

1 – y = 0

– y = –1

y = 1

Subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) diperoleh

x– 3y + z = –1

1– 3(1) + z = –1

1– 3 + z = –1

– 2 + z = –1

z = –1+ 2

z = 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1, 1)}.

4. Metode Determinan

Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara determinan dengan

menggunakan invers matriks sebenarnya akan dipelajari lebih lanjut di kelas XII. Secara

umum berdasarkan konsep dan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yang

telah ditemukan dengan mempedomani langkah penyelesaian metode eliminasi di atas

untuk menemukan metode Sarrus. Metode ini masih ada kaitannya dengan determinan dan

matriks.

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah

Bentuk umum : {a1 x+b1 y+c1 z =d1 ¿ {a2 x+b2 y+c2 z=d2 ¿ ¿¿¿

Dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan real, a1, b1, c1 tidak ketiganya nol,

a2, b2, c2 tidak keduanya nol, a3, b3, c3 tidak ketiganya nol.

Langkah 1 : Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan persamaan (2).

17

Page 20: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

a1 x+b1 y+c1=d1

a2 x+b2 y+c2=d2|× a2

× a1|→a1a2 x+a2 b1 y+a2 c1=a2d1

¿

¿

(a2b1−a1 b2 ) y+( a2c1−a1 c2 ) z=a2d1−a1 d2……… (persamaan 4)

Langkah 2 : Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan persamaan (3).

a1 x+b1 y+c1=d1

a3 x+b3 y+c3=d3|× a3

× a1|→ a1 a3 x+a3 b1 y+a3 c1=a3 d1

¿

¿

(a3b1−a1 b3) y+ (a3 c1−a1 c3 ) z=a3 d1−a1d3……… (persamaan 5)

Langkah 3 : Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan persamaan (5).

( a2 b1−a1b2) y+( a2 c1−a1 c2) z=a2 d1−a1 d2

(a3b1−a1 b3) y+ (a3 c1−a1 c3 ) z=a3 d1−a1d3|×(a3b1−a1 b3)× (a2b1−a1 b2 )|

Dari hasil perkalian koefisen variabel y pada persamaan (4) dan terhadap persamaan (5)

dan hasil perkalian koefisien variabel y pada persamaan (5) terhadap persamaan (4) maka

diperoleh

z=(( a2 d1−a1 d2 ) (a3 b1−a1 b3 )−( a3 d1−a1d3 ) (a2b1−a1 b2 ))((a2 c1−a1c2 ) (a3 b1−a1 b3 )− (a3 c1−a1 c3 ) (a2 b1−a1 b1 ))

z=¿¿

z=(( a1 b3 d2−a2 b3 d1−a3b1 d2 )−(a1b2 d3−a3 b2 d1−a2 b1 d3 ))((a1b3 c1−a2b3c1−a2 b1 c2 )−(a1 b2 c3−a3b2c1−a2 b1 c3 ))

z=¿¿

Lakukan kegiatan matematisasi (mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah

dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan dan

struktur-struktur yang belum diketahui).

Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisien-koefisien

variabel x, y dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui.

18

Page 21: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

z=[a1 b1 d1 a1 b1

a2 b2 d2 a2 b2

a3 b3 d3 a3 b3]

[a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3]

Dengan

|a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

|

adalah determinan matriks

Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara

berikut.

x=[d1 b1 c1 d1 b1

d2 b2 c2 d2 b2

d3 b3 c3 d3 b3]

[a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3]

y=[a1 d1 c1 a1 d1

a2 d2 c2 a2 d2

a3 d3 c3 a3 d3]

[a1 b1 c1 a1 b1

a2 b2 c2 a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3]

Cobalah latihan dengan menggunakan langkah-langkah diatas.

Perhatikan SPLTV berikut.

Diberikan persamaan { x+ y+z=40x=2 y

75 x+120 y+150 z=4.020

Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan dengan metode matrik determinan.

Ingat untuk menggunakan metode Sarrus semua variabel harus pada ruas kiri, dan

semua konstanta pada ruas kanan. Untuk itu SPLTV di atas diubah menjadi

x + y + z = 40 …………………………………………….……….(1)

x - 2y = 0 ………………………………………………………….(2)

75x + 120y + 150z = 4.020 …………..………………………..….(3)

19

Page 22: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Dengan menerapkan metode Sarrus pada SPLTV di atas, tentunya kamu akan dengan

mudah memahami bahwa

a1=1 a2=1 a3=75

b1=1 b2=−2 b3=120

c1=1 c2=0 c3=150d1=40 d2=0 d3=4020

Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut.

x=[40 1 1 40 1

0 −2 0 0 −24020 120 150 4020 120 ][ 1 1 1 1 1

1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]

=(−8040+0+0)−(−12000+0+0 )(−150+0+150 )−(−300+0+120 )

=3960180

=22

y=[ 1 40 1 1 40

1 0 0 1 075 120 150 75 120 ][ 1 1 1 1 1

1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]

=( 0+0+6000 )−(0+0+4020)

(−150+0+150 )−(−300+0+120 )=1980

180=11

z=[ 1 1 40 1 1

1 −2 0 1 −275 120 4020 75 120 ][ 1 1 1 1 1

1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]

=(−6000+0+4020 )−(−8040+0+4800 )

(−150+0+150 )−(−300+0+120)=1260

180=7

Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV tersebut

adalah {(22,11,7)}. Ternyata hasilnya sama dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh

dengan metode eliminasi dan substitusi.

20

Page 23: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Dari beberapa penyelesaian diatas, kita mendapatkan definisi :

Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diatas memiliki 1 selesaian.

Perhatikan beberapa sistem persamaan linear tiga vaiabel berikut.

1. Diberikan SPLTV 2x + 3y + 5z = 0 dan 4x + 6y + 10z = 0. Sistem persamaan linear ini

memiliki lebih dari satu penyelesaian; misalnya, (3,–2,0), (–3, 2,0) dan termasuk

(0,0,0). Selain itu, kedua persamaan memiliki suku konstan nol dan grafik kedua

persamaan adalah berimpit. Apabila penyelesaian suatu SPLTV tidak semuanya nol,

maka SPLTV itu disebut memiliki penyelesaian yang tak trivial.

2. Diberikan SPLTV 3x + 5y + z = 0; 2x + 7y + z = 0, dan x – 2y + z = 0. Sistem

persamaan linear ini memiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian tunggal,

yaitu untuk x = y = z = 0. Apabila suatu SPLTV memiliki himpunan penyelesaian (x, y,

z) = (0, 0, 0), maka SPLTV itu disebut memiliki penyelesaian trivial (x = y = z = 0).

D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diterjemahkan dalam model

matematika. Kita bisa menyelesaikan model tersebut dengan berbagai macam cara. Untuk

lebih jelasnya, perhatikan contoh dibawah ini.

21

Page 24: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Contoh 1

Seorang membeli 4 buku tulisdan 3 pensil. Ia membayar Rp 19.500,00. Jika ia membeli 2

buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp 16.000,00. Tentukan harga sebuah buku

tulis dan sebuah pensil.

Penyelesaian:

a. Misal harga buku tulis x dan harga pensil y

b. Dari soal diatas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut

Harga 4 buah buku tulis dan 3 pensil Rp 19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500,00.

Harga 2 buah buku tulis dan 4 pensil Rp 16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000,00.

Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel

4x + 3y = 19.500

2x + 4y = 16.000 x + 2y = 8.000

Penyelesaian sitem persamaan diatas adalah sebagai berikut.

Mengeliminasi variabel x

4 x+3 y=19.500x+2 y=8.000

|×1× 4|4 x+3 y=19.500

4 x+8 y=32.000

–5y = –12.500

y = 2.500

Mengeliminasi variabel y

4 x+3 y=19.500x+2 y=8.000

|× 2× 3|8 x+6 y=39.000

2 x+6 y=24.000

5x = 15.000

x = 3.000

jadi penyelesaian itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku

tulis Rp 3.000,00 dan harga sebuah pensil Rp 2.500,00.

Contoh 2

Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel.

Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar

Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar

Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk 2 kg salak dan 3 kg apel harus membayar

Rp36.000,00. Berapa harga per kilogram masing-masing buah salak, jeruk, dan apel?

22

Page 25: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Jawab

Misalkan harga perkilogram jeruk x, harga per kilogran salak y, dan harga per kilogran

salak z. Berdasarkan persoalan di atas dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut.

x + 3y + 2z = 33.000 …………………………………………….…………… (1)

2x + 2y + z = 23.500 …………………………………………………………. (2)

x + 2y + 3z = 36.5000 …………..………………………..……………………(3)

untuk menyelesaikan SPLTV ini kita menggunakan metode campuran eliminasi dan

substitusi.

Eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (2).

x+3 y+2 z=33.0002 x+2 y+z=23.500

|× 2× 1|2 x+6 y+2 z=66.000

2x+2 y+z=23.500

5x + 3z = 42.5000 ………………. (4)

Eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (3).

x+3 y+2 z=33.000

x+2 y+3 z=36.5000

y - z = -3.5000 ⟺ y = z – 3.500 ………………………………………(5)

Substitusikan persamaan 5 ke persamaan 4 diperoleh

5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⟺ 5z + 3 z – 3.500 = 42.500 + 17.500

⟺ 8z = 60.000

⟺ z = 7.500

Nilai z = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (5) sehingga diperoleh

y = z – 3.500 = 7.500 - 17.500 = 4.000

kemudian nilaiy = 4.000 dan z = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga

diperoleh

x + 3y + 2z = 33.000

⟺ x + 3(4.000) + 2(7.500) 33.000

⟺ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⟺ x + 27.000 = 33.000

⟺ x = 33.000 - 27.000

⟺ x = 6.000

Jadi harga 1 kg jeruk Rp6.000,00, 1 kg salak Rp4.000,00, dan 1 kg apel Rp7.500,00

23

Page 26: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Soal latihan

Tentukan nilai x, y untuk nomor 1–4 dan tentukan nilai x, y dan z untuk nomor 5–12 dari

sistem persamaan linear di bawah ini!

1. {2x+3 y=13x+2 y=10

2. { 3 x−4 y=302x+3 y+14=0

3. { 5 x+ y=62x+3 y=5

4. { 3 x+5 y=159 x+15 y=45

5. {2x−3 y+4 z=105 y−2 z=−16

3 z=9

6. {−3 x+2 y+z=−94 x−3 z=18

4 z=−8

7. {x+2 y−3 z=23 y−z=133 y+5 z=25

8. {2x+3 y−4 z=−102 y+3 z=16

2 y−5 z=−16

9. { x−2 y+3 z=72 x+ y+5 z=173x−4 y−2 z=1

10. { x+2 y−z=8x+3 y+3 z=10

−x−3 y−3 z=−10

11. {2x+ y+2 z=124 x+ y−z=−6− y−5 z=10

12. { 2 x− y+ z=−42 x+4 y−3 z=−1−3 x−6 y+7 z=4

13. Tiga tukang cat, Joni, Deni, dan Ari, bekerja secara bersama-sama, dapat

mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah dalam waktu 10 jam kerja.

Pengalaman Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa

dalam 15 jam kerja. Suatu hari, ketiga tukang ini bekerja mengecat rumah serupa

ini selama 4 jam kerja, setelah itu Ari pergi karena ada suatu keperluan mendadak.

Joni dan Deni memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja lagi untuk menyelesaikan

pengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masing tukang, jika

bekerja sendirian!

14. Sebuah bilangan terdiri dari atas tiga angka yang jumlahnya 9. Angka satuannya

tiga lebih dari pada angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka puluhan ditukar

letaknya, diperoleh bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut!

15. Sebuah pabrik memiliki 3 buah mesin A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja, 5.700

lensa yang dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan B bekerja,

3.400 lensa yang dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan C yang

24

Page 27: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Kata-kata Usia Penonton Lebih dari atau sama dengan 13

Misal u: usia penonton

u≥13Symbol matematika

bekerja, 4.200 lensa yang dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak

lensa yang dihasilkan oleh tiap-tiap mesin dalam satu minggu?

E. PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. Pertidaksamaan Linear satu Variabel

Mungkin suatu hari anda pernah lewat depan gedung

bioskop, di situ anda bisa melihat poster atau

gambar film yang akan diputar. ( seperti gambar

disamping )

Apakah anda tahu arti dari kalimat ” 13 tahun ke atas ” ?

Arti dari kalimat ” 13 tahun ke atas ” adalah yang boleh menonton film tersebut adalah

orang yang sudah berusia lebih dari 13 tahun. Jika kita pisahkan kata- katanya adalah

sebagai berikut :

Perhatikan kalimat matematika u > 13

a. Apakah kalimat itu memuat variabel ?

b. Berapa banyak variabel ?

c. Berapa pangkat dari variabelnya ?

d. Apakah ” u 13 ” marupakan kalimat terbuka ?

Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung : < , > , ≤ , atau ≥ disebut

pertidaksamaan. Pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat variabelnya

adalah satu disebut pertidaksamaan linear satu variabel.

25

Page 28: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

2. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk pertidaksamaan linear satu

variabel, namun pada pertidaksamaan linear dua variable memiliki dua variabel (peubah)

sedangkan pertidaksamaan linear satu variable hanya memiliki satu variabel. Pada

pertidaksamaan linear dua variabel juga digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk umum persamaan

linear dua variabel. Seperti yang sudah disinggung sebelumnya, perbedaannya terletak

pada tanda ketidaksamaan. Pada persamaan digunakan tanda “ = ”, sedangkan pada

pertidaksamaan digunakan tanda “ >, <, ≥, atau ≤ “. Berikut bentuk umum dari

pertidaksamaan linear dua variabel.

ax + by > c ax + by < c

ax + by ≥ c ax + by ≤ c

Dengan :

a = koefisien dari x, a ≠ 0 b = koefisien dari y, b ≠ 0

c = konstanta a, b, dan c anggota bilangan real.

Latihan:

Anda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum dari suatu

pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat membedakan yang

manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut yang merupakan

pertidaksamaan linear dua variabel.

1. 2x < 15

2. 2x + 3y ≥ 6

3. xy + x > 3

4. x2 + 2y ≤ 5

5. –x ≥ y + 1

26

Page 29: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut yang merupakan

pertidaksamaan linear dua variabel?

3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan

tersebut saling berkaitan maka terbentuklah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan

sistem pertidaksamaan linear dua variabel. sedangkan pertidaksamaan linear dua

variabel digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.

Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linear dua

variabel sebagai berikut.

a. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang

diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap

pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap

daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.

c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang

merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel

pada langkah b.

Supaya Anda memahami langkah-langkah dalam menentukan daerah penyelesaian dari

sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajari contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.

5x + 4y ≤ 20

7x + 2y ≤ 14

x ≥ 0

y ≥ 0

Jawab:

Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel,

yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x).

27

Page 30: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel

yang diberikan

• 5x + 4y ≤ 20

5(0) + 4(0) ≤ 20

0 ≤ 20 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20

• 7x + 2y ≤ 14

7(0) + 2(0) ≤ 14

0 ≤ 14 (memenuhi)

Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14

• x ≥ 0 dan y ≥ 0

Daerah yang memenuhi berada di kuadran I.

Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yang memenuhi setiap

pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

28

Daerah yang dibatasi system pertidaksamaan linear dua variabel

Page 31: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

Soal Latihan

1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut pada bidang

koordinat cartesius.

a. x + 3y ≥ 6 e. 12x – 5y ≤ 60

b. x + 4y ≤ 8 f. –4 ≤ x ≤ 0

c. 2x – 3y ≥ 8 g. 3x + 4x ≥ 1.200

d. 6x – 5y < 30 h. –2x – 3y < –6.000

2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada bidang koordinat

cartesius berikut ini.

3. Dalam sebuah pertunjukkan dijual tiket dua kelas, yaitu kelas VIP seharga

Rp20.000,00 dan kelas ekonomi seharga Rp10.000,00. Kapasitas gedung pertunjukan

200 orang. Jika pada saat pertunjukkan penonton memenuhi gedung pertunjukkan dan

diperoleh pemasukan dari tiket sebesar Rp2.800.000,00. Berapakah jumlah penonton

kelas VIP dan penonton kelas ekonomi?

4. Pesawat penumpang sebuah perusahaan domestik mempunyai tempat duduk 48 kursi.

Kelas eksekutif boleh membawa bagasi seberat 60 kg. Sedangkan kelas ekonomi

boleh membawa bagasi seberat 20 kg. Pesawat hanya mampu membawa bagasi

seberat 1440 kg. Bila harga tiket eksekutif Rp 600.000, dan kelas ekonomi R400.000;

serta semua tiket habis terjual.

Tentukan :

a. Model matematika

b. Pertidaksamaan

c. Grafik himpunan penyelesaian

29

Page 32: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

d. Pendapatan maksimum

Daftar Rujukan

Ahmad, Geri, dkk.2007. Mahir Matematika 3. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Anton, Howard. 2000. Elementry Linear Algebra. Diterjemahkan; Suminto, Hari, Ir.

Batam: Interaksara.

Ari, Rosihan, Y & Indriyastuti. 2014. Perspektif Matematika. Solo: PT. Tiga Serangkai

Pustaka Mandiri

Kaufmann,E,J and Schwitters, L, Karen. 2009. Elementary and Intermediate Algebra:

A Combined Approach, Fifth Edition. USA: Thomson Learning, Inc.

SISTEM PERSAMAAN DANPERTIDAKSAMAAN LINEAR

Buku Siswa Disusun untuk memenuhi tugas

matakliah Problematika Matematika sekolah IIyang diasuh oleh Bapak. Prof. Drs. Purwanto, Ph.D

OlehFujiarso (NIM.130311818890)

Kristoforus Lera (130311818888)

30

Page 33: Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear

Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear

UNIVERSITAS NEGERI MALANGPROGRAM PASCASARJANA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJUNI 2014

31