Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear
description
Transcript of Sistem persamaan dan pertidaksamaan linear
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear 0
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat –Nya yang telah memberikan kekuatan dan
kesehatan sehingga penyusunan Buku Siswa dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Buku
Siswa ini ini disajikan untuk memenuhi tugas mata kuliah Problematika Matematika Sekolah II.
Tugas ini tidak akan terselesaikan tepat waktu tanpa adanya bantuan dan kerjasama yang
baik dari berbagai pihak. Terimakasih kepada Bapak Prof. Purwanto, Ph.D yang telah
memberikan saran dan masukan sehingga Buku Siswa ini terselesaikan dan terimakasih kepada
semua pihak yang telah membantu sehingga Buku Siswa ini dapat terselesaikan.
Penulis selalu berdoa semoga amal kebaikan semua pihak dibalas oleh Allah dengan
kebaikan yang berlipat ganda. Penulis menyadari bahwa penyusunan Buku Siswa ini masih jauh
dari sempurna, namun harapan kami semoga penulisan Buku Siswa ini dapat bermanfaat bagi
semua pihak khususnya pelaksana di dunia pendidikan.
Malang, Juni 2014
Penulis
1
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
1
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 3
Setelah mengikuti pembelajaran sistem persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa mampu:
1. menghayati rasa percaya diri, motivasi internal dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan dan bisnis dan dalam kehidupan sehari-hari;
2. memahami konsep sistem persamaan linear dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linearmdua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam penyelesaian masalah matematika;
3. menggunakan SPLDV, SPLTV dan system pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV) untuk menyajikan masalah kontekstual dan menjelaskan makna tiap besaran secara lisan maupun tulisan;
4. Membuat model matematika berupa SPLDV, SPLTV, dan SPtLDV dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya;
5. membuat model matematika berupa persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel yang melibatkan nilai mutlak dari situasi nyata dan matematika, serta menentukan jawab dan menganalisis model sekaligus jawabnya.
Melalui pembelajaran materi system persamaan dan pertidaksamaan linear, siswa memperoleh pengalaman belajar: menjelaskan karakteristik masalah
otentik yang penyelesaiannya terkait dengan model matematika sebagai SPLDV atau SPLDV;
merancang model matematika dari sebuah permasalahan otentik yang merupakan SPLDV atau SPLDV;
menyelesaikan model matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;
menginterpretasikan hasil penyelesaian masalah yang diberikan;
menemukan ciri-ciri SPLDV atau SPLDV dari model matematika;
menuliskan konsep SPLDV atau SPLDV berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan bahasanya sendiri.
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Pengalaman BelajarKompetensi Dasar
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear 2
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
A. PERSAMAAN LINEAR
Pengantar
Persamaan dan sistem persamaan linear dua variabel sudah kamu pelajari saat
duduk di kelas VIII SMP. Pada saat ini kita perdalam kajian, pemahaman dan jangkauan
pemikiran tentang konsep sistem persamaan linear dari apa yang kamu sudah miliki
sebelumnya. Pola pikir dan cara belajar yang dituntut dalam mempelajari materi ini, kamu
berupaya menemukan ide-ide, berpikir kritis dan kreatif dalam mencari strategi
penyelesaian masalah dan mengungkapkannya, berdiskusi dengan teman, mengajukan
pertanyaan kepada guru dan teman kelompok.
Banyak permasalahan dalam kehidupan nyata yang menyatu dengan fakta dan
lingkungan budaya kita terkait dengan sistem persamaan linear. Permasalahan-
permasalahan
tersebut kita jadikan bahan inspirasi dan menyusun model-model Matematika yang
ditemukan dari proses penyelesaiannya. Model matematika tersebut, kita jadikan bahan
abstraksi untuk membangun konsep sistem persamaan linear dan konsep sistem persamaan
linear dua variabel.
Untuk memahami sebuah sistem persamaan liner, akan diberikan ilustrasi sebagai
berikut :
Ilustrasi pertama
Dua orang anak belanja pada toko yang sama, kebetulan membeli barang yang sama
dengan jumlah yang berbeda. Anak pertama membeli 2 sikat gigi dan 2 pasta gigi
sedangkan anak yang kedua membeli 3 sikat gigi dan 5 pasta gigi. Anak pertama
membayar sejumlah Rp. 14.000,00 sedangkan anak yang kedua membayar Rp. 29.000,00.
Dari ilustrasi diatas setiap anak membeli 2 jenis barang. Misalkan:
harga satu sikat gigi adalah a rupiah, harga satu pasta gigi adalah b rupiah. Anak pertama
membeli 2 sikat gigi dan 2 pasta gigi seharga Rp.14.000,00, sehingga
2a + 2b = 14.000.
Anak kedua membeli 3 sikat gigi dan 5 pasta gigi seharga Rp.29.000,00, sehingga
3a + 5b = 29.000.
Dua model matematika di atas adalah dua persamaan linear yang memuat dua variabel.
Kumpulan dari dua persamaan linear tersebut,
3
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
2a + 2b = 14.000
3a + 5b = 29.000
disebut sistem persamaan linear.
Ilustrasi Kedua
Sebuah Perusahaan Sepatu “X” membuat tiga jenis sepatu, yaitu Sepatu Olah Raga, Sepatu
Kerja dan Sepatu Santai. Setiap jenis sepatu memerlukan tiga tahapan terpisah yang
dikerjakan oleh bagian-bagian tertentu, dengan ketentuan sebagai berikut :
Tabel.1. Waktu yang diperlukan dalam setiap tahapan dalam pembuatan sepatu
Jenis SepatuWaktu yang dibutuhkan tiap tahapan (menit)
Memotong Mengelem Menjahit
Olah Raga 24 18 9
Kerja 16 12 8
Santai 18 9 4
Dimana pada bagian memotong menyediakan 50 jam orang per hari. Pada bagian
mengelem menyediakan 33 jam orang per hari. Pada bagian menjahit menyediakan 18 jam
orang per hari. Supaya memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja, berapa banyak setiap
jenis sepatu harus dihasilkan setiap hari?
Untuk menganalisis keadaan tersebut kita misalkan :
x = banyaknya sepatu olah raga yang dihasilkan
y = banyaknya sepatu kerja yang dihasilkan
z = banyaknya sepatu santai yang dihasilkan
Sehingga :
Pemanfaatan total bagian memotong adalah : 24x + 16y +18 z menit
Karena tenaga pemotong tersedia sebanyak 50 jam atau 3000 menit maka :
4
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
24x + 16y +18 z = 3000
Pemanfaatan total bagian mengelem adalah : 18x + 12y +9 z menit
Karena tenaga mengelem tersedia sebanyak 33 jam atau 1980 menit maka :
18x + 12y +9 z = 1980
Pemanfaatan total bagian menjahit adalah : 9x + 8y +4 z menit
Karena tenaga penjahit tersedia sebanyak 18 jam atau 1080 menit maka :
9x + 8y +4 z = 1080
Sehingga unsur-unsur x,y,z yang tidak diketahui harus memenuhi persamaan berikut :
24x + 16y +18 z = 3000
18x + 12y + 9 z = 1980
9x + 8y + 4 z = 1080
Kasus di atas merupakan salah satu ilustrasi dari sistem persamaan linear.
Tiap-tiap persamaan di atas yaitu
24x + 16y +18 z = 3000,
18x + 12y + 9 z = 1980 dan
9x + 8y + 4 z = 1080
Dari ilustrasi diatas tampak bahwa 3 persamaan linear diatas adalah sistem persamaan
linear dengan 3 variabel.
B. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Untuk mengilustrasikan kemungkinan yang terjadi dalam menyelesaikan sistem persamaan
linear, kita lihat dulu arti geometri persamaan linear dari dua variabel x dan y. Misalnya
diberikan sistem persamaan linear :
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1,b1,c1, a2, b2, c2 bilangan real yang diketahui.
Telah kita ketahui bahwa persaman ax + by = c dapat digambarkan sebagai garis di
bidang. Sehingga sistem persamaan linear di atas dapat digambarkan sebagai dua garis L1
dan L2 di bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan kedua garis tersebut, yaitu :
1. Garis L1 dan L2 berpotongan
2. Garis L1 dan L2 sejajar
3. Garis L1 dan L2 merupakan satu garis (berimpit )
5
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Dengan demikian ada tiga kemungkinan jawaban/penyelesaian dari sistem persamaan
linear di atas yaitu :
1. Mempunyai tepat satu penyelesaian
2. Tidak mempunyai penyelesaian
3. Mempunyai banyak penyelesian
Ketiga kemungkinan ini juga berlaku untuk sembarang sistem persamaan linear sehingga
dapat dikatakan bahwa setiap persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian,
mempunyai tepat satu penyelesaian atau mempunyai tak hingga banyak penyelesaian.
Di SMP sudah dijelaskan bahwa dalam penyelesaian SPLDV terdapat berbagai
macam cara. Antara lain, subtitusi, eliminasi, metode grafik atau gabungan ketiganya.
Penggunaan yang lebih efektif dan efisien dari ke empat metode tersebut dalam
penyelesaian soal tergantung sistem persamaan linear yang diberikan, situasi masalah, dan
waktu yang tersedia. Sekarang mari kita ulang kembali mempelajari metode-metode
tersebut. Kita akan bahas sedikit tentang penyelesaian dari SPLDV.
1. Metode Grafik
Berdasarkan Definisi 3.2, SPLDV terbentuk dari dua persamaan linear yang saling
terkait. Sebelumnya kamu telah mengetahui bahwa grafik persamaan linear dua variabel
berupa garis lurus. Pada langkah penyelesaian Masalah 3.1 telah diperoleh sistem
persamaan linear dua variabel.
x + y = 2 ....…………………………….…………....... (1)
4x + 2y = 7 ...………...………………………………….. (2)
Mari kita terapkan langkah-langkah di atas.
Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk Persamaan (1)
x + y = 2
x 0 2
y 2 0
6
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Diperoleh titik-titik potong kurva x + y = 2 terhadap
sumbu koordinat, yaitu titik (0, 2) dan (2, 0).
Menentukan titik-titik potong terhadap sumbu koordinat untuk Persamaan (2).
4x + 2y = 7
x 074
y72
0
Diperoleh titik-titik potong kurva 4x + 2y = 7 terhadap sumbu koordinat, yaitu titik (0 ,72)
dan (74
, 0).
Menarik garis lurus dari titik (0, 2) ke titik (2, 0) dan dari titik (0 ,72) ke titik (
74
, 0).
Gambar 1. Grafik persamaan Linear
Berdasarkan gambar grafik x + y = 2 dan 4x + 2y = 7, kedua garis lurus tersebut
berpotongan pada sebuah titik, yaitu titik (32
,12).
Sehingga himpunan penyelesaian sistem persamaan linear x + y = 2 dan 4x + 2y = 7
adalah {( 32
,12 )}.
7
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
2. Metode Eliminasi
Eliminasi artinya membuang atau menghilangkan. SPLDV memiliki dua variabel, dengan
membuang/menghilangkan atau mengeliminasi satu variabel kita memperoleh persamaan
linear dengan satu variabel. Metode eliminasi yang kamu kenal di SMP sudah kita
terapkan terhadap SPLD.
Perhatikan SPLDV berikut.
x + y = 2
4x + 2y = 7,
Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut.
SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi.
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).
x+ y=24 x+2 y=7
|× 4×1|4 x+4 y=8
4 x+2 y=7
2y = 1
y = 12
Eliminasi variabel y dari persamaan (1) dan (2).
x+ y=24 x+2 y=7
|× 4×1|2x+2 y=4
4 x+2 y=7
–2x = -3
x = 32
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah {( 32
,12 )}
3. Metode Substitusi
Subsitusi artinya mengganti/menempatkan, cara subsitusi dalam menyelesaikan
SPLDV berarti mengganti variabel yang satu dengan variabel lain sesuai dengan persamaan
yang diberikan. Untuk jelasnya perhatikan SPLDV berikut ini.
8
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Selesaikanlah SPLDV
3x – 2y = 8
4x + y =7.
Jawab :
3x – 2y = 8 …………….persamaan (1)
4x + y = 7 ………………persamaan (2)
Dari persamaan (2) diperoleh
y = 7 – 4x. …………….persamaan (3)
Subsitusi/gantilah y pada persamaan (3) ke persamaan (1)
3x – 2(7 – 4x) = 8
3x –14 + 8x = 8
11x = 22
x = 2211
= 2.
Setelah diperoleh nilai x = 2,
Ssubsitusikan nilai x ke persamaan (3) sehingga
y = 7– 4x
y = 7 – 4(2)
y = 7 – 8
y = –1
Jadi penyelesaian SPLDV di atas adalah {(2, –1)}.
4. Metode Eliminasi dan subtitusi
Untuk menggunakan metode eliminasi dan subtitusi sebenarnya boleh menggunakan
subtitusi terlebih dahulu kemudian eliminasi.
Perhatikan SPLDV berikut.
x + y = 2
4x + 2y = 7,
Tentukan penyelesaian dari persamaan tersebut.
SPLDV ini dapat diselesaikan dengan metode eliminasi terlebih dahulu.
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2).
9
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
x+ y=24 x+2 y=7
|× 4×1|4 x+4 y=8
4 x+2 y=7
2y = 1
y = 12
Subtitusikan nilai y ke persamaan (1)
x + y = 2
x + 12
= 2
x = 32
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah {( 32
,12 )}
5. Metode determinan
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel.
ax + by = p
cx + dy = q
dapat diubah ke bentuk matriks sebagai berikut
[a bc d ] x
y = pq
dengan A = [a bc d ] X =
xy dan B =
pq
Untuk menentukan penyelesaian persamaan matriks tersebut terlebih dahulu kita tentukan
determinannya sebagai berikut:
D =[a bc d ] = ad – bc (determinan koefisien x dan y; elemen-elemen matriks A)
Dx =[ p bq d ] = pd – bq (ganti kolom ke-1 dengan elemen-elemen matriks B)
Dy =[a pc q ] = aq – cp (ganti kolom ke-2 dengan elemen-elemen matriks B)
Nilai x dan y ditentukan dengan:
x = Dx
D dan y =
D y
D
Perhatikan contoh berikut.
10
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut dengan metode
determinan
2x + y = 4
x – 2y = – 3
Penyelesaian
sistem persamaan linear di atas dapat disusun dalam bentuk matriks berikut
[ p bq d ]
xy =
4−3
D = [2 11 −2]= – 4 – 1 = – 5
Dx = [ 4 1−3 −2] = – 8 – (– 3) = – 5
Dy = [2 41 −3] = – 6 – 4 = – 10
Jadi himpunan penyelesaian dari SPLDV diatas adalah {(2, –10)}
C. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
Sistem Persamaan linear tiga variabel terdiri atas tiga persamaan linear yang
mengandung tiga variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah
Dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan real, a1, b1, c1 tidak ketiganya nol,
a2, b2, c2 tidak keduanya nol, a3, b3, c3 tidak ketiganya nol.
x, y, z : variabel
a1, a2, a3 : koefisien variabel x
b1, b2, b3 : koefisien variabel y
c1, c2, c3 : koefisien variabel z
d1, d2, d3 : konstanta persamaan
11
Dengan demikian diperoleh
x = Dx
D =
−5−5= 1
y = D y
D =
−10−5 = 2
{a1 x+b1 y+c1 z =d1 ¿ {a2 x+b2 y+c2 z=d2¿ ¿¿¿
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah tiga persamaan linear tiga variabel
yang mempunyai hubungan diantara ketiganya dan mempunyai satu penyelesaian.
Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem persamaan
linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel yang digunakan.
Sehingga penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan dengan cara atau metode
yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik.
1. Metode Eliminasi
Metode ini bekerja dengan cara mengeliminasi (menghilangkan) variabel-variabel di
dalam sistem persamaan hingga hanya satu variabel yang tertinggal.
Perhatikan SPLTV berikut :
{x−3 y+z=−1 ………… …….….(1)5x− y−z=5………… …….…… (2)8 x−6 y−z=1……… ………… ..(3)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!
Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode eliminasi sebagai
berikut :
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan kedua
persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.
x−3 y+z=−15 x+ y−z=5
6x – 2y = 4
3x – y = 2 …………..(4)
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan kedua
persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai berikut.
x−3 y+z=−18 x−6 y−z=1
9x – 9y = 0
x – y = 0……………………(5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.
3x – y = 2
x – y = 0
12
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Penyelesaian dari SPLDV ini adalah
3 x− y=2x− y=0
2x = 2
x = 1
Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x
3 x− y=2x− y=0
|× 1× 3| 3 x− y=2
3 x−3 y=0
2y = 2
y = 1
Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah satu variabel x atau y sehingga kalian
memperoleh SPLDV yang mengandung variabel z. Hal ini tentu dapat dengan mudah
kalian lakukan. Jika benar kalian akan memperoleh nilai z = 1. Dengan demikian,
himpunan penyelesaian yang dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.
Diskusikan.
13
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
1. Perhatikan sistem persamaan berikut.
x + 2y – z = 4
z – x – y = –4
3x + 6y – 3z = 12
Apakah SPLTV itu memiliki penyelesaian? Jelaskan alasanmu.
2. Perhatikan sistem persamaan berikut.
5x + 2y – z = 10
5x + 2y – z = 20
5x + 2y – 3z = –10
Apakah SPLTV itu memiliki penyelesian? Jelaskan jawabanmu.
Dari kedua persoalan diatas, dapatkah kamu mengambil suatu kesimpulan kapan
suatu SPLTV memiliki penyelesaian Dan kapan SPLTV tidak memiliki
penyelesaian?
2. Metode Substitusi
Langkah-langkah yang digunakan dengan mensubtitusikan salah satu persamaan ke
persamaan lain agar menjadi 2 variabel. Kemudian subtitusikan kembali ke persamaan
14
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
lain
Perhatikan SPLTV berikut.
Dengan metode subsitusi tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !
2x + y – z = 3 ……………….…….….(1)
x + y + z = 1 ………………………….(2)
x – 2y – 3z = 4 ……………………….(3)
Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode subtitusi sebagai berikut.
Dari persamaan (2) x + y + z = 1 diperoleh x = 1 – y – z ….(4)
Substitusikan persamaan (4) ke persamaan (1) diperoleh :
2x + y – z = 3
2(1 – y – z) + y – z = 3
2 – 2y – 2z + y – z = 3
–y – 3z = 1
y = –3z – 1 …………………..(5)
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (3) diperoleh :
x – 2y – 3z = 4
1 – y – z – 2y – 3z = 4
–3y – 4z = 3 ……………….….(6)
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (6) diperoleh :
–3y – 4z = 3
–3 (–3z – 1) – 4z = 3
9z + 3 – 4z = 3
5z = 0
z = 0 ……….(7)
untuk z = 0 disubsitusikan ke persamaan (5)
y = –3z – 1
y = –3(0) – 1
y = –1
15
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
untuk z = 0, y = –1, disubsitusikan ke persamaan (2)
x + y + z = 1
x – 1 + 0 = 1
x = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, –1, 0)}
3. Metode Eliminasi dan subtitusi
Langkah-langkah penyelesaiannya mirip seperti metode eliminasi dan subtitusi pada
SPLDV.
Perhatikan SPLTV berikut :
{x−3 y+z=−1 ………… …….….(1)5x− y−z=5………… …….…… (2)8 x−6 y−z=1……… ………… ..(3)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas!
Sistem persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode eliminasi sebagai
berikut :
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2), yaitu dengan menjumlahkan kedua
persamaan itu sehingga diperoleh persamaan (4) sebagai berikut.
x−3 y+z=−15 x+ y−z=5
6x – 2y = 4
3x – y = 2 …………..(4)
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3), yaitu dengan menjumlahkan kedua
persamaan (1) dan (3) sehingga diperoleh persamaan (5) sebagai berikut.
x−3 y+z=−18 x−6 y−z=1
9x – 9y = 0
x – y = 0……………………(5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV berikut.
3x – y = 2
x – y = 0
Penyelesaian dari SPLDV ini adalah
16
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
3 x− y=2x− y=0
2x = 2
x = 1
Subtitusikan nilai x ke persamaan (5) diperoleh
x – y = 0
1 – y = 0
– y = –1
y = 1
Subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) diperoleh
x– 3y + z = –1
1– 3(1) + z = –1
1– 3 + z = –1
– 2 + z = –1
z = –1+ 2
z = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1, 1)}.
4. Metode Determinan
Menentukan himpunan penyelesaian SPLTV dengan cara determinan dengan
menggunakan invers matriks sebenarnya akan dipelajari lebih lanjut di kelas XII. Secara
umum berdasarkan konsep dan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yang
telah ditemukan dengan mempedomani langkah penyelesaian metode eliminasi di atas
untuk menemukan metode Sarrus. Metode ini masih ada kaitannya dengan determinan dan
matriks.
Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah
Bentuk umum : {a1 x+b1 y+c1 z =d1 ¿ {a2 x+b2 y+c2 z=d2 ¿ ¿¿¿
Dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan real, a1, b1, c1 tidak ketiganya nol,
a2, b2, c2 tidak keduanya nol, a3, b3, c3 tidak ketiganya nol.
Langkah 1 : Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan persamaan (2).
17
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
a1 x+b1 y+c1=d1
a2 x+b2 y+c2=d2|× a2
× a1|→a1a2 x+a2 b1 y+a2 c1=a2d1
¿
¿
(a2b1−a1 b2 ) y+( a2c1−a1 c2 ) z=a2d1−a1 d2……… (persamaan 4)
Langkah 2 : Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan persamaan (3).
a1 x+b1 y+c1=d1
a3 x+b3 y+c3=d3|× a3
× a1|→ a1 a3 x+a3 b1 y+a3 c1=a3 d1
¿
¿
(a3b1−a1 b3) y+ (a3 c1−a1 c3 ) z=a3 d1−a1d3……… (persamaan 5)
Langkah 3 : Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan persamaan (5).
( a2 b1−a1b2) y+( a2 c1−a1 c2) z=a2 d1−a1 d2
(a3b1−a1 b3) y+ (a3 c1−a1 c3 ) z=a3 d1−a1d3|×(a3b1−a1 b3)× (a2b1−a1 b2 )|
Dari hasil perkalian koefisen variabel y pada persamaan (4) dan terhadap persamaan (5)
dan hasil perkalian koefisien variabel y pada persamaan (5) terhadap persamaan (4) maka
diperoleh
z=(( a2 d1−a1 d2 ) (a3 b1−a1 b3 )−( a3 d1−a1d3 ) (a2b1−a1 b2 ))((a2 c1−a1c2 ) (a3 b1−a1 b3 )− (a3 c1−a1 c3 ) (a2 b1−a1 b1 ))
z=¿¿
z=(( a1 b3 d2−a2 b3 d1−a3b1 d2 )−(a1b2 d3−a3 b2 d1−a2 b1 d3 ))((a1b3 c1−a2b3c1−a2 b1 c2 )−(a1 b2 c3−a3b2c1−a2 b1 c3 ))
z=¿¿
Lakukan kegiatan matematisasi (mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan yang telah
dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan, hubungan-hubungan dan
struktur-struktur yang belum diketahui).
Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisien-koefisien
variabel x, y dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui.
18
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
z=[a1 b1 d1 a1 b1
a2 b2 d2 a2 b2
a3 b3 d3 a3 b3]
[a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3]
Dengan
|a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
|
adalah determinan matriks
Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara
berikut.
x=[d1 b1 c1 d1 b1
d2 b2 c2 d2 b2
d3 b3 c3 d3 b3]
[a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3]
y=[a1 d1 c1 a1 d1
a2 d2 c2 a2 d2
a3 d3 c3 a3 d3]
[a1 b1 c1 a1 b1
a2 b2 c2 a2 b2
a3 b3 c3 a3 b3]
Cobalah latihan dengan menggunakan langkah-langkah diatas.
Perhatikan SPLTV berikut.
Diberikan persamaan { x+ y+z=40x=2 y
75 x+120 y+150 z=4.020
Sistem persamaan linear ini dapat diselesaikan dengan metode matrik determinan.
Ingat untuk menggunakan metode Sarrus semua variabel harus pada ruas kiri, dan
semua konstanta pada ruas kanan. Untuk itu SPLTV di atas diubah menjadi
x + y + z = 40 …………………………………………….……….(1)
x - 2y = 0 ………………………………………………………….(2)
75x + 120y + 150z = 4.020 …………..………………………..….(3)
19
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Dengan menerapkan metode Sarrus pada SPLTV di atas, tentunya kamu akan dengan
mudah memahami bahwa
a1=1 a2=1 a3=75
b1=1 b2=−2 b3=120
c1=1 c2=0 c3=150d1=40 d2=0 d3=4020
Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut.
x=[40 1 1 40 1
0 −2 0 0 −24020 120 150 4020 120 ][ 1 1 1 1 1
1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]
=(−8040+0+0)−(−12000+0+0 )(−150+0+150 )−(−300+0+120 )
=3960180
=22
y=[ 1 40 1 1 40
1 0 0 1 075 120 150 75 120 ][ 1 1 1 1 1
1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]
=( 0+0+6000 )−(0+0+4020)
(−150+0+150 )−(−300+0+120 )=1980
180=11
z=[ 1 1 40 1 1
1 −2 0 1 −275 120 4020 75 120 ][ 1 1 1 1 1
1 −2 0 1 −275 120 150 75 120 ]
=(−6000+0+4020 )−(−8040+0+4800 )
(−150+0+150 )−(−300+0+120)=1260
180=7
Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV tersebut
adalah {(22,11,7)}. Ternyata hasilnya sama dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh
dengan metode eliminasi dan substitusi.
20
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Dari beberapa penyelesaian diatas, kita mendapatkan definisi :
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diatas memiliki 1 selesaian.
Perhatikan beberapa sistem persamaan linear tiga vaiabel berikut.
1. Diberikan SPLTV 2x + 3y + 5z = 0 dan 4x + 6y + 10z = 0. Sistem persamaan linear ini
memiliki lebih dari satu penyelesaian; misalnya, (3,–2,0), (–3, 2,0) dan termasuk
(0,0,0). Selain itu, kedua persamaan memiliki suku konstan nol dan grafik kedua
persamaan adalah berimpit. Apabila penyelesaian suatu SPLTV tidak semuanya nol,
maka SPLTV itu disebut memiliki penyelesaian yang tak trivial.
2. Diberikan SPLTV 3x + 5y + z = 0; 2x + 7y + z = 0, dan x – 2y + z = 0. Sistem
persamaan linear ini memiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian tunggal,
yaitu untuk x = y = z = 0. Apabila suatu SPLTV memiliki himpunan penyelesaian (x, y,
z) = (0, 0, 0), maka SPLTV itu disebut memiliki penyelesaian trivial (x = y = z = 0).
D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diterjemahkan dalam model
matematika. Kita bisa menyelesaikan model tersebut dengan berbagai macam cara. Untuk
lebih jelasnya, perhatikan contoh dibawah ini.
21
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Contoh 1
Seorang membeli 4 buku tulisdan 3 pensil. Ia membayar Rp 19.500,00. Jika ia membeli 2
buku tulis dan 4 pensil, ia harus membayar Rp 16.000,00. Tentukan harga sebuah buku
tulis dan sebuah pensil.
Penyelesaian:
a. Misal harga buku tulis x dan harga pensil y
b. Dari soal diatas, dapat dibentuk model matematika sebagai berikut
Harga 4 buah buku tulis dan 3 pensil Rp 19.500,00 sehingga 4x + 3y = 19.500,00.
Harga 2 buah buku tulis dan 4 pensil Rp 16.000,00 sehingga 2x + 4y = 16.000,00.
Dari sini diperoleh sistem persamaan linear dua variabel
4x + 3y = 19.500
2x + 4y = 16.000 x + 2y = 8.000
Penyelesaian sitem persamaan diatas adalah sebagai berikut.
Mengeliminasi variabel x
4 x+3 y=19.500x+2 y=8.000
|×1× 4|4 x+3 y=19.500
4 x+8 y=32.000
–5y = –12.500
y = 2.500
Mengeliminasi variabel y
4 x+3 y=19.500x+2 y=8.000
|× 2× 3|8 x+6 y=39.000
2 x+6 y=24.000
5x = 15.000
x = 3.000
jadi penyelesaian itu adalah x = 3.000 dan y = 2.500. Dengan demikian, harga sebuah buku
tulis Rp 3.000,00 dan harga sebuah pensil Rp 2.500,00.
Contoh 2
Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel.
Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar
Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar
Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk 2 kg salak dan 3 kg apel harus membayar
Rp36.000,00. Berapa harga per kilogram masing-masing buah salak, jeruk, dan apel?
22
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Jawab
Misalkan harga perkilogram jeruk x, harga per kilogran salak y, dan harga per kilogran
salak z. Berdasarkan persoalan di atas dapat diperoleh sistem persamaan linear berikut.
x + 3y + 2z = 33.000 …………………………………………….…………… (1)
2x + 2y + z = 23.500 …………………………………………………………. (2)
x + 2y + 3z = 36.5000 …………..………………………..……………………(3)
untuk menyelesaikan SPLTV ini kita menggunakan metode campuran eliminasi dan
substitusi.
Eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (2).
x+3 y+2 z=33.0002 x+2 y+z=23.500
|× 2× 1|2 x+6 y+2 z=66.000
2x+2 y+z=23.500
5x + 3z = 42.5000 ………………. (4)
Eliminasi variabel x pada persamaan (1) dan (3).
x+3 y+2 z=33.000
x+2 y+3 z=36.5000
y - z = -3.5000 ⟺ y = z – 3.500 ………………………………………(5)
Substitusikan persamaan 5 ke persamaan 4 diperoleh
5(z – 3.500) + 3z = 42.500
⟺ 5z + 3 z – 3.500 = 42.500 + 17.500
⟺ 8z = 60.000
⟺ z = 7.500
Nilai z = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (5) sehingga diperoleh
y = z – 3.500 = 7.500 - 17.500 = 4.000
kemudian nilaiy = 4.000 dan z = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga
diperoleh
x + 3y + 2z = 33.000
⟺ x + 3(4.000) + 2(7.500) 33.000
⟺ x + 12.000 + 15.000 = 33.000
⟺ x + 27.000 = 33.000
⟺ x = 33.000 - 27.000
⟺ x = 6.000
Jadi harga 1 kg jeruk Rp6.000,00, 1 kg salak Rp4.000,00, dan 1 kg apel Rp7.500,00
23
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Soal latihan
Tentukan nilai x, y untuk nomor 1–4 dan tentukan nilai x, y dan z untuk nomor 5–12 dari
sistem persamaan linear di bawah ini!
1. {2x+3 y=13x+2 y=10
2. { 3 x−4 y=302x+3 y+14=0
3. { 5 x+ y=62x+3 y=5
4. { 3 x+5 y=159 x+15 y=45
5. {2x−3 y+4 z=105 y−2 z=−16
3 z=9
6. {−3 x+2 y+z=−94 x−3 z=18
4 z=−8
7. {x+2 y−3 z=23 y−z=133 y+5 z=25
8. {2x+3 y−4 z=−102 y+3 z=16
2 y−5 z=−16
9. { x−2 y+3 z=72 x+ y+5 z=173x−4 y−2 z=1
10. { x+2 y−z=8x+3 y+3 z=10
−x−3 y−3 z=−10
11. {2x+ y+2 z=124 x+ y−z=−6− y−5 z=10
12. { 2 x− y+ z=−42 x+4 y−3 z=−1−3 x−6 y+7 z=4
13. Tiga tukang cat, Joni, Deni, dan Ari, bekerja secara bersama-sama, dapat
mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah dalam waktu 10 jam kerja.
Pengalaman Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat rumah yang serupa
dalam 15 jam kerja. Suatu hari, ketiga tukang ini bekerja mengecat rumah serupa
ini selama 4 jam kerja, setelah itu Ari pergi karena ada suatu keperluan mendadak.
Joni dan Deni memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja lagi untuk menyelesaikan
pengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masing tukang, jika
bekerja sendirian!
14. Sebuah bilangan terdiri dari atas tiga angka yang jumlahnya 9. Angka satuannya
tiga lebih dari pada angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka puluhan ditukar
letaknya, diperoleh bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut!
15. Sebuah pabrik memiliki 3 buah mesin A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja, 5.700
lensa yang dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan B bekerja,
3.400 lensa yang dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin A dan C yang
24
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Kata-kata Usia Penonton Lebih dari atau sama dengan 13
Misal u: usia penonton
u≥13Symbol matematika
bekerja, 4.200 lensa yang dapat dihasilkan dalam satu minggu. Berapa banyak
lensa yang dihasilkan oleh tiap-tiap mesin dalam satu minggu?
E. PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1. Pertidaksamaan Linear satu Variabel
Mungkin suatu hari anda pernah lewat depan gedung
bioskop, di situ anda bisa melihat poster atau
gambar film yang akan diputar. ( seperti gambar
disamping )
Apakah anda tahu arti dari kalimat ” 13 tahun ke atas ” ?
Arti dari kalimat ” 13 tahun ke atas ” adalah yang boleh menonton film tersebut adalah
orang yang sudah berusia lebih dari 13 tahun. Jika kita pisahkan kata- katanya adalah
sebagai berikut :
Perhatikan kalimat matematika u > 13
a. Apakah kalimat itu memuat variabel ?
b. Berapa banyak variabel ?
c. Berapa pangkat dari variabelnya ?
d. Apakah ” u 13 ” marupakan kalimat terbuka ?
Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung : < , > , ≤ , atau ≥ disebut
pertidaksamaan. Pertidaksamaan yang memuat satu variabel dan pangkat variabelnya
adalah satu disebut pertidaksamaan linear satu variabel.
25
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
2. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk pertidaksamaan linear satu
variabel, namun pada pertidaksamaan linear dua variable memiliki dua variabel (peubah)
sedangkan pertidaksamaan linear satu variable hanya memiliki satu variabel. Pada
pertidaksamaan linear dua variabel juga digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.
Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk umum persamaan
linear dua variabel. Seperti yang sudah disinggung sebelumnya, perbedaannya terletak
pada tanda ketidaksamaan. Pada persamaan digunakan tanda “ = ”, sedangkan pada
pertidaksamaan digunakan tanda “ >, <, ≥, atau ≤ “. Berikut bentuk umum dari
pertidaksamaan linear dua variabel.
ax + by > c ax + by < c
ax + by ≥ c ax + by ≤ c
Dengan :
a = koefisien dari x, a ≠ 0 b = koefisien dari y, b ≠ 0
c = konstanta a, b, dan c anggota bilangan real.
Latihan:
Anda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum dari suatu
pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat membedakan yang
manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut yang merupakan
pertidaksamaan linear dua variabel.
1. 2x < 15
2. 2x + 3y ≥ 6
3. xy + x > 3
4. x2 + 2y ≤ 5
5. –x ≥ y + 1
26
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut yang merupakan
pertidaksamaan linear dua variabel?
3. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan
tersebut saling berkaitan maka terbentuklah suatu sistem. Sistem inilah yang dinamakan
sistem pertidaksamaan linear dua variabel. sedangkan pertidaksamaan linear dua
variabel digunakan tanda hubung “ >, <, ≥, atau ≤ “.
Langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linear dua
variabel sebagai berikut.
a. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel yang
diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah yang memenuhi setiap
pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran yang berbeda untuk setiap
daerah yang memenuhi pertidaksamaan yang berbeda.
c. Tentukan daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, yaitu daerah yang
merupakan irisan dari daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel
pada langkah b.
Supaya Anda memahami langkah-langkah dalam menentukan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal 1
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut.
5x + 4y ≤ 20
7x + 2y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab:
Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel,
yaitu 5x + 4y = 20, 7x + 2y = 14, x = 0 (sumbu y), y = 0 (sumbu x).
27
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Gunakan titik uji (0, 0) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel
yang diberikan
• 5x + 4y ≤ 20
5(0) + 4(0) ≤ 20
0 ≤ 20 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 5x + 4y = 20
• 7x + 2y ≤ 14
7(0) + 2(0) ≤ 14
0 ≤ 14 (memenuhi)
Daerah yang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7x + 2y = 14
• x ≥ 0 dan y ≥ 0
Daerah yang memenuhi berada di kuadran I.
Dengan pola yang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah yang memenuhi setiap
pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
28
Daerah yang dibatasi system pertidaksamaan linear dua variabel
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
Soal Latihan
1. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut pada bidang
koordinat cartesius.
a. x + 3y ≥ 6 e. 12x – 5y ≤ 60
b. x + 4y ≤ 8 f. –4 ≤ x ≤ 0
c. 2x – 3y ≥ 8 g. 3x + 4x ≥ 1.200
d. 6x – 5y < 30 h. –2x – 3y < –6.000
2. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada bidang koordinat
cartesius berikut ini.
3. Dalam sebuah pertunjukkan dijual tiket dua kelas, yaitu kelas VIP seharga
Rp20.000,00 dan kelas ekonomi seharga Rp10.000,00. Kapasitas gedung pertunjukan
200 orang. Jika pada saat pertunjukkan penonton memenuhi gedung pertunjukkan dan
diperoleh pemasukan dari tiket sebesar Rp2.800.000,00. Berapakah jumlah penonton
kelas VIP dan penonton kelas ekonomi?
4. Pesawat penumpang sebuah perusahaan domestik mempunyai tempat duduk 48 kursi.
Kelas eksekutif boleh membawa bagasi seberat 60 kg. Sedangkan kelas ekonomi
boleh membawa bagasi seberat 20 kg. Pesawat hanya mampu membawa bagasi
seberat 1440 kg. Bila harga tiket eksekutif Rp 600.000, dan kelas ekonomi R400.000;
serta semua tiket habis terjual.
Tentukan :
a. Model matematika
b. Pertidaksamaan
c. Grafik himpunan penyelesaian
29
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
d. Pendapatan maksimum
Daftar Rujukan
Ahmad, Geri, dkk.2007. Mahir Matematika 3. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.
Anton, Howard. 2000. Elementry Linear Algebra. Diterjemahkan; Suminto, Hari, Ir.
Batam: Interaksara.
Ari, Rosihan, Y & Indriyastuti. 2014. Perspektif Matematika. Solo: PT. Tiga Serangkai
Pustaka Mandiri
Kaufmann,E,J and Schwitters, L, Karen. 2009. Elementary and Intermediate Algebra:
A Combined Approach, Fifth Edition. USA: Thomson Learning, Inc.
SISTEM PERSAMAAN DANPERTIDAKSAMAAN LINEAR
Buku Siswa Disusun untuk memenuhi tugas
matakliah Problematika Matematika sekolah IIyang diasuh oleh Bapak. Prof. Drs. Purwanto, Ph.D
OlehFujiarso (NIM.130311818890)
Kristoforus Lera (130311818888)
30
Sistem Persamaan dan pertidaksamaan linear
UNIVERSITAS NEGERI MALANGPROGRAM PASCASARJANA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAJUNI 2014
31