SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk...
Transcript of SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk...
![Page 1: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/1.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE
![Page 2: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/2.jpg)
SISTEM KENDALI KLASIK
Pemodelan Matematika
Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols
Step & Impulse Response
Gain / Phase Margins
Root Locus
Disain
Simulasi
![Page 3: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/3.jpg)
SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP
![Page 4: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/4.jpg)
PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP
![Page 5: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/5.jpg)
SISTEM KENDALI GENERATOR
![Page 6: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/6.jpg)
KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI
![Page 7: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/7.jpg)
MODEL MATEMATIKA
Bagaimana membuat model matematika ?
![Page 8: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/8.jpg)
MODEL MATEMATIKA
Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.
Mengapa harus dengan model matematika ?Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.
Misalnya:o Bagaimana hubungan antara input dan output.o Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik
dari sistem kendali tersebut.
![Page 9: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/9.jpg)
Dua metoda untuk mengembangkan model matematikadari sistem kendali:
1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).
2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.
![Page 10: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/10.jpg)
RANGKAIAN RLC
V(t)
L
R
Ci(t) ( ) ( ) ( ) ( )R L Cv t v t v t v t
Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamiksistem fisik (hubungan input dan output) seperti sistem mekanikmenggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakanHukum Kirchoff.
Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output
Menggunakan KVL (Kirchoff Voltage Law):
0
( ) 1( ) ( ) ( )
t
R
di tv t v t L i d
dt C
Menggunakan persamaan diferensial :• Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ?• Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput
dari sistem ?• Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?
![Page 11: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/11.jpg)
Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan di atas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace.
Transformasi Laplace memberikan:
Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah.
Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output danSistem.
Keterbatasan dari Transformasi Laplace :
Bekerja dalam domain frekuensi.
Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..
![Page 12: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/12.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE
Time Domain
Circuit
Time Domain
Circuit
s-Domain
Circuit
L 1L
x(t) y(t)
X(s) Y(s)s j Complex Frequency
2 Types of s-Domain Circuits
With and Without Initial Conditions
Laplace
Transform
Inverse
Laplace
Transform
![Page 13: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/13.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakanuntuk menyelesaikan persamaan diferensial linier.
Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.
Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabarpada bidang kompleks.
Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kantabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.
Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untukmeramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaandiferensial sistem.
Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponenkeadaan tunak (steady state).
![Page 14: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/14.jpg)
VARIABEL KOMPLEKS
Variabel kompleks: s = + j
dengan : adalah komponen nyata
j adalah komponen maya
Bidang s
o
j
j1
1
s1
![Page 15: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNGSI KOMPLEKS
Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGy
dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata
Bidang G(s)
O Re
Im
Gy
Gx
G
q
Besar dari besaran kompleks:
Sudut :
22yx GG)s(G
x
y
G
Gtan 1q
![Page 16: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/16.jpg)
TURUNAN FUNGSI ANALITIK
Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:
s
Glim
s
)s(G)ss(Glim)s(G
ds
d
ss
00
Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.
Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengantak-terhingga lintasan yang berbeda
![Page 17: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/17.jpg)
Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)
yxyx
s
Gj
GGj
Glim)s(G
ds
d
0
Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka
yxyx
s
GGj
j
Gj
j
Glim)s(G
ds
d
0
Jika dua harga turunan ini sama
xyyx Gj
GGj
G
Syarat Cauchy-Riemann
yxGG
xy GG
![Page 18: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh Soal
Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?
1
1
s)s(G
Jawab:
yx jGGj
)j(G
1
1
Di mana
221
1
xG
221
yGdan
Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syarat Cauchy-Riemann:
222
22
1
1
yxGG
222
1
12
xy GG
Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.
![Page 19: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/19.jpg)
Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah
Gxj
GyGj
G)s(G
ds
d yx
21
1
j 2
1
1
s
Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanyadengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s
21
1
1
1
ssds
d
Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.
Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole
![Page 20: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/20.jpg)
KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL
• Zeros dari G(s) roots numerator
• Poles dari G(s) roots denominator
• Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0
Im
Re
Pola pole-zeropoles
zeros
![Page 21: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/21.jpg)
Contoh Soal
Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut:
Jawab:Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2Mempunyai sebuah zero di s=-3.Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:
221
3
)s()s(
)s(K)s(G
02
s
Klim)s(Glimss
Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga. Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu 3
buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua zero takterhingga).
![Page 22: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/22.jpg)
Pemetaan Konformal
Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuranmaupun pengertian sudut.
Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempatkedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist.
Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaantitik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s).
Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannyapada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.
Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan suatufungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.
![Page 23: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/23.jpg)
Jika kita tulis zo=F(so), maka:
)ss(ss
)s(F)s(Fzz o
o
oo
Dengan demikian,
oo
oo ss
ss
)s(F)s(Fzz
o s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so kes.
o Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s(), maka s - so adalahsudut q1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebutpada so.
o Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garissinggung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh
o 1 - q1 = F’(so)
![Page 24: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/24.jpg)
o Dengan kurva halus yang lain s=s2(), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh
2 - q2 = F’(so)Oleh karena itu
1 - q1 = 2 - q2
atau2 - 1 = q2 - q1
o Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetapdijaga.
o Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitikz=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s) 0.
![Page 25: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/25.jpg)
Definisi Transformasi Laplace
Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai
0
dte )t(f)s(F)]t(f[L st
dengan:f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0
s = variabel kompleks
![Page 26: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/26.jpg)
26
0
stdte)t(f)s(F)]t(f[L
1dte)t()]t([L0
st
0st
0
st0 edte)tt()]t(f[L
f(t)
t)t(
t
f(t)
)tt( 0
0t
Contoh fungsi Dirac
![Page 27: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh
Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut:
f(t) = 0 untuk t < 0= A untuk t > 0
s
A
s
eAdtAe)}t(f{
stst
0
0L
f(t)
t
A
Jawab:
![Page 28: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/28.jpg)
28
2
0
st
0
st
0
st
s
adte
s
a
s
atedtate)]t(r[L
0 t untuk at)t(ff(t)
t
Transformasi Laplace dari fungsi Ramp
![Page 29: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/29.jpg)
Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut:
f(t) = 0 untuk t < 0= Ae-at untuk t > 0
Jawab:
00
dteAdteAe}Ae{ t)as(statatL
)as(
A
)as(
eA
t)as(
0
e-at
t
A
Contoh
![Page 30: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/30.jpg)
Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut:
f(t) = 0 untuk t < 0= A sint untuk t > 0
Jawab:
0
dte tsinA}tsinA{ stL
02
dte)ee(j
A)}t(f{ sttjtjL
ejt = cos t + j sin te-jwt = cos t - j sin t
)ee(j
tsin tjtj 2
1
22
1
2
1
2
s
A
jsj
A
jsj
A
Contoh
![Page 31: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/31.jpg)
f(t) F(s)
Step function, u(t)
e-at
te-at
sin(t )
cos(t )
t n
1/s
1/(s+a)
1/(s+a)2
/ ( s2 + 2)
/ ( s2 + 2)
n!/sn+1
)ee(ab
btat
1
)bs)(as(
1
Contoh
![Page 32: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/32.jpg)
f(t) F(s)=L[f(t)]
ntate
)t( 1
)t(u
t
)sin(at
)cos(at
)(atsh
)at(ch
)1n(s/!n
2s/1
)as/(1
)as/(a 22
)as/(s 22
)as/(a 22
)as/(s 22
s/1
)atsin(ebt]a)bs/[(a 22
)bs)(as/(1
]a)bs/[()bs( 22 )atcos(ebt
ba )ab/()ee( atbt
ba )bs)(as/(s )ab/()aebe( atbt
![Page 33: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/33.jpg)
SIFAT LINIERITAS
)]t(f[L)s(F 11
)]t(f[L)s(F 22
)s(F.c)s(F.c
)]t(f[L.c)]t(f[L.c
)]t(f.c)t(f.c[L
2211
2211
2211
c1, c2 konstanta
![Page 34: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/34.jpg)
SIFAT TRANSLASI
)as(F)]t(fe[L at a) Jika F(s)=L[f(t)]
)as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(
0
st
0
atat
Contoh
4s
s)]t2(Cos[L
2
5s2s
1s
4)1s(
1s)]t2(Cose[L
22
t
![Page 35: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Translasi [time]
b) g(t) = f(t-a) untuk t>a
= 0 untuk t<a
)s(Fe)]t(g[L as
due)u(fedue)u(fdte])at(f)]t(g[L su
0
as)au(s
0
st
0
a
t
f(t) g(t)
Contoh44
3
s
6
s
!3]t[L
2t,0)t(g
2t,)2t()t(g 3
4
s2
s
e6)]t(g[L
![Page 36: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Perubahan skala waktu )a
s(F
a
1)]t.a(f[L
)a
s(F
a
1
a
due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a
su
0
st
0
Contoh
1s
1)]t(Sin[L
2
9s
3
13
s
1
3
1)]t3(Sin[L
2
2
![Page 37: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/37.jpg)
TEOREMA DIFERENSIASI
Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai
0
)()(dte
dt
tdf
dt
tdf stL
Integrasi bagian demi bagian memberikan
00 )()(
)(dtetfsetf
dt
tdf ststL
)t(fs)0(fdt
)t(dfLL
Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.
![Page 38: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Turunan Pertama [Derivative first order]
)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt
df[L)]t('f[L
0
0
0
dt)t(fse)t(fedt)t(fe)]t('f[L ststst
)0(f)s(F.s)]t('f[L t
)0(f
f(t)
)(f)s(sF 0
![Page 39: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Turunan orde tinggi
)0(f)s(F.s)]t(f[L]dt
df[L)]t('f[L
)0('f)0(f.s)s(F.s])t(f[L)]t("f[L 2
)1n()1(2n1nn
)n(
)0(f.....)0(fs)0(fs)s(Fs)]t(f[L
)1i(n
1i
inn)n(
)0(f.s)s(Fs])t(f[L
•Jika discontinuity pada a
)]a(f)a(f[e)0(f)s(F.s)]t('f[L as
)a(f)a(f
![Page 40: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Contoh Turunan
22s)]t(Sin[L
22s
s)]t(Cos[L
dt
)]t(Sin[d1)t(Cos
2222 s
s
)s(
s)0(Sin)]t(Sin[L
s)]t(Cos[L
)t(Cosdt
)]t[sin(d
)t(Sindt
)]t(Cos[d
dt
)]t(Cos[d1)t(Sin
)s(
)0(Cos)]t(Cos[L
s)]t(Sin[L
22
![Page 41: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/41.jpg)
Aplikasi Rangkaian RC
C
R
e(t) v(t)0)0(v
)t(vdt
dvRC)t(e
Persamaan rangkaian
Transformasi Laplace: ]RCs1)[s(V)s(V)s(RCsV)s(E
RCs1
)s(E)s(V
![Page 42: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/42.jpg)
INTEGRASI
t
0s
)s(F]du)u(f[L
)s(F)0(g)]t(g[sL)]t(g[L
)t(f)t(g
t
0
]du)u(f)t(g )]t(f[L)s(F
![Page 43: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/43.jpg)
Perkalian dengan faktor t
dt)t(fe[ds
d)s(F
ds
)s(dF
0
st'
Leibnitz’s rule
)]t(tf[Ldt])t(tf[e]dt)t(fe[sds
)s(dF
0
stst
0
)s(F)]t(tf[L '
Rumus umum
n
nnn
ds
)s(Fd)1()]t(ft[L
![Page 44: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/44.jpg)
Pembagian dengan faktor t
t
)t(f)t(g )t(tg)t(f
)s(Fds
)s(dG
ds
)]t(g[dL)]t(f[L
s
s
du)u(Fdu)u(F)s(G
s
du)u(F]t
)t(f[L
s
0)s(LimG
![Page 45: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/45.jpg)
FUNGSI PERIODIK
)t(f)kTt(f k,t
sT
T
0
st
e1
dte)t(f
)s(F)]t(f[L
.......dt)t(fedt)t(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT3
T2
st
T2
T
st
T
0
st
.......du)T2u(fedu)Tu(fedt)t(fe)s(F)]t(f[LT
0
)T2u(s
T
0
)Tu(s
T
0
st
.......du)u(feedu)u(feedt)t(fe)s(F)]t(f[LT
0
susT2
T
0
susT
T
0
st
]dt)t(fe[e)s(F)]t(f[LT
0
st
0n
nsT
sT0n
nsT
e1
1e
![Page 46: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/46.jpg)
Fungsi periodik Sinus & Cosinus
)t(jSin)t(Cose tj
dtedtee)]t(Sin[jL)]t(Cos[L]e[L0
t)sj(
0
sttjtj
sT
T
0
t)sj(
tj
e1
dte
]e[L
]1e[sj
1]1ee[
sj
1e
sj
1dte sTsTTjT
0
t)sj(
T
0
t)sj(
22
tj
s
js
)js)(js(
js
js
1]e[L
![Page 47: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/47.jpg)
Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial
)0(f)s(sF)]t(f[L
s
0]dt)t(fe[Lim0
stExponential order
}s}.......{0t{
)]s(sFlim[)]t(f[Lim
0t
)0(f)]t(f[Lim
s
)0(f)]s(sF[Lim
![Page 48: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/48.jpg)
FUNGSI IMPULSIONAL
)t(e)t(e 0 0e)s(E RCs1
e)s(V 0
RC
t
Impulse response
CR
t
0 eRC
e)t(v
RC
e0
CR
t
e
RC
e
)RC
1s(
1)s(V 0
)1RCs(
se)s(sV 0
s
0s
![Page 49: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/49.jpg)
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL
)t(ue)t(e 0s
e)s(E 0
)RCs1(s
e)s(V 0
)RC
1s(
e
s
e)s(V 00
]e1[eeee)t(v CR
t
0CR
t
00
e0
RC
0e63,0
]e1[e)t(v cr
t
0
![Page 50: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/50.jpg)
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL
Step function dan initial conditions v(0) 0
RCs1
)0(RCv
)RCs1(s
e)s(V 0
)RC
1s(
e)0(v
s
e)s(V 00
CR
t
00 e]e)0(v[e)t(v
)0(RCv]RCs1)[s(V)s(V)]0(v)s(sV[RC)s(E
cr
t
00 e]e)0(v[e)t(v
0e
)0(v
1RCs
]e)0(v[RCse)s(sV 0
0
![Page 51: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/51.jpg)
FUNGSI RAMP
t)t(r)t(e 2s
1)s(E
)RCs1(s
1)s(V
2
)RC
1s(
RC
s
RC
s
1)s(V
2
CR
t
RCeRCt)t(v
RC
CRt
)t(v
CR
t
e1dt
dv
)1RCs(
s)RC(RC
s
1)s(sV
2
![Page 52: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/52.jpg)
ANALISIS HARMONIK
)tsin(e)t(e 0 220s
e)s(E
)22
0
s)(as(
ae)s(V
)s
CBs
as
A(ae)s(V
220
22
22
22
a
aC
a
1B
a
1A
)s
s
s
a
as
1(
a
ae)s(V
222222
0
RC
1a
![Page 53: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/53.jpg)
)s
s
s
a
as
1(
a
ae)s(V
222222
0
)]tcos()tsin(RC
1e[
a
ae)t(v CR
t
22
0
RC)(tg2)RC(1
1)(Cos
]e)sin()t)[sin((Cose)t(v CR
t
0
Forced Transient
![Page 54: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/54.jpg)
TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE
Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?
)]s(F[L)t(f 1
ds).s(Fei..2
1)t(f)]s(F[L
.i
.i
st1
Pada kontour Bromwich
a) Method Analitik
b) Metoda Tabelate)t(f
as
1)s(F
![Page 55: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/55.jpg)
n
i
tpi
n
n ieaps
a...
ps
a
ps
a
)s(A
)s(B)s(F
12
2
1
1
n
i
tpi
tpn
tptp in eaea......eaea)t(f1
2121
c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda
Harga ak (residu pada pole s=-pk) dapat diperoleh dengan:
kk ps
kn
nk
k
kk
ps
kk )ps(ps
a...)ps(
ps
a...)ps(
ps
a)ps(
)s(A
)s(Ba
1
1
Semua suku uraian menjadi nol, kecuali ak. Jadi residu ak diperoleh:
kps
kk )ps()s(A
)s(Ba
![Page 56: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/56.jpg)
Contoh Soal
Carilah transformasi Laplace balik dari
)s)(s(
s)s(F
21
3
Jawab:Transformasi Laplace balik dari:
pt-e aps
aL
1
)s(
a
)s(
a
)s)(s(
s)s(F
2121
3 21
2121
3
1
1
s
)s()s)(s(
sa
![Page 57: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/57.jpg)
)s(L
)s(L)s(FL
2
1
1
2 111
0t untuk ee)s(FL tt 21 2
1221
3
2
2
s
)s()s)(s(
sa
![Page 58: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/58.jpg)
Contoh Soal
)3s)(2s)(1s(
4s2)s(F
2
)3s(2
7
)2s(4
3
)1s(6
1)s(F
2
7
4
3
6
32 ttt eee)t(f
![Page 59: SISTEM KENDALI KLASIKdinus.ac.id/repository/docs/ajar/Laplace_Transform.pdfDua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: 1. Fungsi Pindah (Transfer Function)](https://reader034.fdokumen.com/reader034/viewer/2022052123/5b2fd4c67f8b9af0648e0f24/html5/thumbnails/59.jpg)
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LAPLACE