Nama : Ruri Febri RNIM : 08510131033 / 3C2

SIMPSON RULE

Dalam analisis numerik, aturan Simpson adalah metode untuk integrasi numerik, aproksimasi numerik integral tertentu. Secara khusus, ini adalah pendekatan berikut:

. Metode ini dikreditkan ke matematikawan Thomas Simpson (1710-1761) dari Leicestershire, Inggris.

Interpolasi kuadrat

Salah satu derivasi menggantikan integran f (x) dengan polinom kuadrat P (x) yang mengambil nilai-nilai yang sama seperti f (x) pada titik akhir a dan b dan titik tengah m = (a + b) / 2. Satu dapat menggunakan interpolasi polinomial Lagrange menemukan ekspresi polinomial ini,

Yang mudah (walaupun membosankan) perhitungan menunjukkan bahwa

Rata-rata titik tengah dan aturan trapesium

Derivasi lain konstruksi aturan Simpson dari dua pendekatan sederhana: aturan titik tengah

dan aturan trapesium

Kesalahan dalam perkiraan ini adalah

masing-masing. Maka istilah kesalahan terkemuka hilang jika kita mengambil rata-rata tertimbang

Ini rata-rata tertimbang adalah persis aturan Simpson.

Menggunakan pendekatan lain (misalnya, aturan trapesium dengan dua kali lebih banyak titik), dimungkinkan untuk mengambil rata-rata tertimbang yang sesuai dan menghilangkan kesalahan lain istilah. Ini adalah metode Romberg.

Undetermined koefisien

Derivasi ketiga dimulai dari ansatz

Koefisien α, β dan γ bisa diperbaiki dengan mengharuskan bahwa pendekatan ini tepatnya untuk semua kuadrat polinomial. Ini menghasilkan aturan Simpson.

Kesalahan

Kesalahan dalam aproksimasi integral dengan aturan Simpson

dimana ξ adalah beberapa bilangan antara a dan b.

Kesalahan adalah (asimtotik) sebanding dengan (b - a) 5. Namun, turunan di atas menunjukkan sebuah kesalahan sebanding dengan (b - a) 4. Aturan Simpson keuntungan perintah ekstra karena titik-titik di mana integran dievaluasi simetris didistribusikan dalam interval [a, b].

Perhatikan bahwa aturan Simpson memberikan hasil yang tepat untuk setiap polinomial derajat tiga atau kurang, karena istilah kesalahan melibatkan keempat turunan dari f.

Komposit aturan Simpson

Jika interval integrasi [a, b] dalam beberapa pengertian "kecil", maka aturan Simpson akan memberikan pendekatan yang memadai integral yang tepat. Kecil, apa yang kita maksud sebenarnya adalah bahwa fungsi yang terintegrasi yang relatif mulus atas interval [a, b]. Untuk itu fungsi, kuadrat interpolant yang halus seperti yang digunakan dalam aturan Simpson akan memberikan hasil yang baik.

Namun, sering terjadi bahwa fungsi kita mencoba untuk mengintegrasikan ini tidak mulus di atas interval. Biasanya, ini berarti bahwa salah satu fungsi sangat berosilasi, atau kurang derivatif pada titik tertentu. Dalam kasus ini, aturan Simpson dapat memberikan hasil yang sangat miskin. Salah satu cara umum penanganan masalah ini adalah dengan memecah-belah interval [a, b] menjadi beberapa subintervals kecil. Simpson's aturan ini kemudian diterapkan pada setiap subinterval, dengan hasil yang dijumlahkan untuk menghasilkan sebuah

pendekatan untuk integral terhadap seluruh interval. Pendekatan semacam ini disebut sebagai komposit aturan Simpson.

Anggaplah bahwa interval [a, b] dibagi ke dalam n subintervals, dengan n bilangan genap. Kemudian, komposit aturan Simpson diberikan oleh

di mana x = a + jh untuk j = 0,1 ,..., n - 1, n dengan h = (b - a) / n; pada khususnya, x0 = a dan xn = b. Rumus di atas juga dapat ditulis sebagai

Kesalahan yang dilakukan oleh komposit aturan Simpson dibatasi (dalam nilai mutlak) oleh

di mana h adalah "langkah panjang", yang diberikan oleh h = (b - a) / n

Formulasi ini membagi interval [a, b] dalam subintervals dengan panjang yang sama. Dalam prakteknya, sering menguntungkan menggunakan panjang subintervals yang berbeda, dan memusatkan upaya pada tempat-tempat integran kurang baik perilakunya. Ini mengarah pada metode Simpson adaptif.

Alternatif diperpanjang aturan Simpson

Ini adalah formulasi lain dari aturan Simpson komposit: bukannya menerapkan aturan Simpson untuk menguraikan segmen dari integral untuk diperkirakan, aturan Simpson diterapkan pada segmen yang tumpang tindih, menghasilkan:

Simpson 3 / 8 aturan

Simpson 3 / 8 aturan adalah metode lain untuk integrasi numerik yang diusulkan oleh Thomas Simpson. Hal ini didasarkan pada interpolasi kubik dan bukan interpolasi kuadrat. Simpson 3 / 8 aturan adalah sebagai berikut:

Kesalahan dari metode ini adalah:

dimana ξ adalah beberapa bilangan antara a dan b. Jadi, 3 / 8 aturan adalah sekitar dua kali lebih akurat sebagai metode standar, tetapi menggunakan salah satu fungsi lebih nilai. Sebuah komposit 3 / 8 aturan juga ada, sama seperti di atas.