Company

LOGO

www.company.com

SIFAT DAN ESTIMASI PARAMETER DARIDISTRIBUSI WEIBULL YANG

DIPANGKATKAN

Oleh:

YOGA SETIAWAN

NRP : 1203 109 017

Pembimbing:

Dra. Laksmi Prita W, M.Si

Drs. Komar Baihaqi, M.si

Company

LOGO

www.company.com

Latar Belakang

• Belakangan ini sering dijumpai permasalahan yang tidak dapat diselesaikan

dengan menggunakan distribusi-distribusi yang telah ada.

• Oleh karena itu, diperlukan perluasan dari distribusi yang sudah ada. Perluasan

tersebut sering kali memiliki kesamaan sifat dengan distribusi Gamma dan

distribusi Weibull

• Distribusi yang memiliki peranan luas dalam uji reliabilitas adalah distribusi

Gamma, akan tetapi bentuk survival functionnya tidak dapat ditentukan

bentuk khususnya terkecuali parameter bentuknya berupa bilangan natural.

Company

LOGO

www.company.com

Latar Belakang• Tugas Akhir ini membahas mengenai salah satu perluasan dari distribusi weibull

yang dinamakan exponentiated weibull distribution (EWD) atau

distribusi weibull yang dipangkatkan.

• pembahasan dari Tugas Akhir ini meliputi, sifat-sifat dari EWD yang

dibandingkan dengan distribusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi

rasio kegagalan. Dan juga akan dilakukan estimasi parameter dengan

menggunakan MLE (maximum likelihood estimation).

Company

LOGO

www.company.com

Perumusan Masalah

• Bagaimana sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW)?

• Membandingkan sifat-sifat Exponentiated Weibull Distribution (EW)

dengan sifat-sifat dari distibusi Gamma dan distribusi Weibull.

• Mengestimasi parameter-parameter dari Exponentiated Weibull

Distribution (EW).

• Percobaan dari estimasi parameter Exponentiated Weibull Distribution

(EW) pada data hasil pembangkitan metode acceptance and rejection.

.

Company

LOGO

www.company.com

Batasan Masalah

• Dalam Proposal Tugas Akhir ini, estimasi parameter dilakukan pada data

hasil pembangkitan metode acceptance and rejection.

Company

LOGO

www.company.com

Tujuan

Tugas akhir ini bertujuan untuk :

• Mengkaji sifat-sifat dari Exponentiated Weibull Distribution (EW).

• Membandingkan kemiripan Exponentiated Weibull Distribution (EW)

dengan distibusi Gamma dan distribusi Weibull melalui fungsi kegagalan.

• Mendapatkan estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution

(EW).

• Mencoba hasil estimasi parameter dari Exponentiated Weibull Distribution

(EW).

Company

LOGO

www.company.com

Manfaat

Manfaat Penelitian :

• Manfaat dari Tugas Akhir ini adalah agar pengolahan data nyata (real)

dapat memberikan hasil yang lebih tepat dengan menggunakan

Exponentiated Weibull Distribution (EWD).

Company

LOGO

www.company.com

TINJUAN PUSTAKA

• Reliabilitas (reliability), fungsi ketahanan dan

fungsi kegagalan [2]

• Uji ketahanan hidup atau reliabilitas merupakan

salah satu teknik dalam statistika yang berguna

untuk melakukan pengujian tentang tahan hidup

atau keandalan suatu komponen ataupun

pengukuran lamanya tahan hidup seorang

pasien dalam pengobatan suatu penyakit

Company

LOGO

www.company.com

TINJUAN PUSTAKA

• Dalam aplikasinya reliabilitas dapat

direprentasikan ke dalam beberapa fungsi

diantaranya:

• Fungsi ketahanan (survival function) :

• Fungsi ratio kegagalan (failurate function)

Company

LOGO

www.company.com

TINJUAN PUSTAKA

• Distribusi Weibull

Dalam teori probabilitas dan statistik, distribusi Weibull adalah salah satu distribusi

kontinu. Distribusi ini dinamai oleh Waloddi Weibull pada tahun 1951. Suatu

peubah acak x berdistribusi Weibull, dengan parameter 𝛼 dan β jika fungsi

padatnya berbentuk:

Dan fungsi rasio kegagalannya (failure rate function) diberikan oleh :

Sedangkan fungsi ketahanan (survival function)

Company

LOGO

www.company.com

TINJUAN PUSTAKA

• Distribusi Gamma

Distribusi Gamma adalah salah satu keluarga distribusi probabilitas

kontinu. model probabilitas distribusi gamma sering digunakan untuk

memodelkan waktu tunggu, misalkan pengujian hidup, dengan parameter

𝛼 dan β, bila fungsi padatnya berbentuk

Dengan

• dan fungsi rasio kegagalan diberikan oleh:

Company

LOGO

www.company.com

TINJUAN PUSTAKA

• dari fungsi rasio kegagalan tersebut didapatkan plot-plot dibawah ini:Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma

Gambar 2.2 plot fungsi ratio kegagalan distribusi Gamma

Company

LOGO

www.company.com

TINJAUAN PUSTAKA

• Maximum Likelihood Estimation (MLE)

Maximum likelihood estimation (MLE) Maximum likelihood estimation(MLE) adalah metode statistik yang populer digunakan untukpemasangan model statistik untuk data, dan estimasi menyediakanparameter model. Estimasi MLE dikembangkan oleh R.A.Fisher.pencarian nilai parameter ini dilakukan dengan memaksimalkan fungsilog-likelihood.

Misalkan f adalah PDF dan diasumsikan fungsi memenuhipersaman berikut:

f(x,

)

f(x,

)

f(x,

Company

LOGO

www.company.com

TINJAUAN PUSTAKA

• Exponentiated Weibull Distribution (EW)

Exponentiated Weibull Distribution (EW) merupakan sebuah keluarga

distribusi baru yang memiliki dua parameter dan hampir mirip dengan

weibull maupun gamma.

Dimana :

(𝛼,γ) adalah notasi dari parameter bentuk.

𝜆 adalah notasi dari parameter skala.

Fungsi ketahanan (Survival function) dari EWD dituliskan sebagai berikut

Fungsi ratio kegagalan (failure rate function) dari EWD dituliskan senagai

berikut:

Company

LOGO

www.company.com

TINJAUAN PUSTAKA

• Metode Acceptance and Rejection

Metode acceptance and rejection merupakan suatu satu cara untuk

membangkitkan data dalam sebuah penelitian tentang sebuah

distrubusi. Ide dasar dari metode ini adalah menemukan sebuah

alternatif probabilitas distribusi G, dengan fungsi kepadatan g(x), dan

juga pendekatan g(x) terhadap f(x).

Algoritma Acceptance and rejection untuk variabel random kontinu

adalah sebagai berikut:

Bangkitkan Y yang didistribusikan sebagai G.

Bangkitkan U (independen dari Y).

Jika

maka X = Y (terima); sebaliknya kembali ke langkah 1 (tolak)

,

Company

LOGO

www.company.com

TINJAUAN PUSTAKA

• Metode Newton-RaphsonMetode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang

menggunakan satu titik awal dan mendekati dengan memperhatikan

gradien pada titik tersebut. Titik pendekatan ke n+1 dituliskan dengan:

Company

LOGO

www.company.com

TINJAUAN PUSTAKA

• Konsep Fungsi naik, fungsi turun dan fungsi konstan

Untuk mendapatkan fungsi naik, turun dan konstan suatu fungsi

harus diturunkan ke bentuk turunan pertama . Tujuan dari

penurunan fungsi adalah untuk mendapatkan titik kritisnya.

berikut definisi fungsi konstan, naik dan turun:

• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik

pada [a,b].

• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik

pada [a,b].

• Jika untuk setiap nilai x dalam selang (a,b) maka f naik

pada [a,b]

Company

LOGO

www.company.com

Metode Penelitian

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

Definisi Permasalahan

bab ini akan dijelaskan sifat-sifat dari EW yang akan dibandingkan

dengan dua distribusi lain, yaitu distribusi Weibull dan distribusi Gamma

melalui turunan pertama dari fungsi rasio kegagalannya (failure rate

functionnya). Artinya, akan dicari suatu kondisi bilamana fungsi rasio

kegagalan dari Distribusi Weibull yang dipangkatkan(Exponentiated

Weibull Distribution) merupakan suatu fungsi naik, turun atau konstan.

Selain itu, dalam Tugas Akhir ini juga akan dilakukan estimasi terhadap

parameter-parameter dari EW.

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Sifat-sifat dari distribusi weibull yang dipangkatkan(EWD)

Seperti yang telah ditunjukkan sebelumnya bahwa distribusi weibull di

pangkatkan (exponentiated weibull distribution) mempunyai

commulative density function sebagai berikut:

Dengan probabilitas density function:

Sehingga diperoleh fungsi ketahanan (survival function) dari EWD

adalah:

= 𝛼𝛾= 𝛼𝛾= =

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• dimana adalah parameter bentuk dan 𝜆 adalah parameter skala berikut

adalah gambar grafik dari commulative density function, probabilitas

density function, fungsi ketahanan fungsi ketahanan(survival function)

dan rasio kegagalan(failure rate) dari EWD:

Gambar 3.1 Grafik Cumulative density function (CDF) dari distribusi

Exponentiated Weibull Distribution dengan nilai

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Selanjutnya, akan diberikan gambar grafik yang menunjukkan variasi

nilai PDF dari exponentiated Weibull distribution.

Gambar 3.2 Grafik Probability Density Function dari Exponentiated Weibull Distribution dengan

nilai

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Berikut merupakan gambar dari grafik failure rate function.

• Gambar 3.3 Grafik fungsi rasio kegagalan (failure rate function) dari

exponentiated Weibull distribution dengan nilai parameter

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• berikut ini akan diberikan gambar grafik fungsi ketahanan (survival

function) dari exponentiated Weibull distribution.

Grafik fungsi ketahanan (survival function) dari exponentiated Weibull

distribution dengan nilai parameter

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Selanjutnya, akan dicari syarat cukup bagi sifat-sifat fungsi rasio

kegagalan (failure rate function) dari exponentiated Weibull distribution,

yaitu bilamana fungsi rasio kegagalannya merupakan suatu fungsi naik,

turun atau konstan. Pencarian syarat ini dilakukan melalui turunan

pertama dari fungsi ketahanan (failure rate function). Berikut ini adalah

penurunan dari fungsi rasio kegagalan (failure rate function):

• Diperoleh:

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Fungsi rasio kegagalan akan bersifat konstan jika dan juga

apabila 𝛾 = 0 , 𝛾 = 1 dan 𝛼 = 0 , 𝛼 = 1. dari uraian

Tersebut didapatkan sifat-sifat EWD sebagai berikut:

• exponentiated Weibull distribution merupakan suatu fungsi konstan jika

• Jika maka fungsi ratio kegagalan dari exponentiated Weibull

distribution merupakan suatu fungsi naik jika

• Jika maka fungsi rasio kegagalan dari exponentiated Weibull

distribution merupakan suatu fungsi naik jika dan merupakan suatu

fungsi turun jika

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Sifat-sifat distribusi gamma• Fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan suatu fungsi

konstan jika dan sehingga untuk termasuk didalamnya

• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan fungsi

naik untuk dan merupakan fungsi turun untuk

• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi gamma merupakan

suatu fungsi naik untuk dan merupakan suatu fungsi turun untuk

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Sifat-Sifat Distribusi Weibull• Fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu fungsi

konstan jika atau dan hal ini dipenuhi untuk

• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu

fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika

• Jika , fungsi rasio kegagalan dari distribusi Weibull merupakan suatu

fungsi naik jika dan merupakan suatu fungsi turun jika

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Perbandingan Sifat-Sifat EWD Dengan Distribusi

Weibull Dan Gamma

Parameter EWD Gamma Weibull

𝛼 = 𝛾 = 1 konstan konstan

dengan 𝜆= 0

Konstan

𝛼 = 1 naik untuk

𝛾 >1

turun untuk

𝛾 < 1

naik untuk

𝛾 >1

turun

untuk

𝛾 < 1

Naik

untuk

𝛾 >1

Turun

untuk

𝛾 < 1

𝛾 = 1 naik untuk

𝛼 > 1

turun untuk

𝛼 < 1

Naik

untuk

𝛼 > 1

Turun

untuk

𝛼 < 1

Naik

untuk

𝛼 > 1

Turun

untuk

𝛼 < 1

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Estimasi parameter dari distribusi weibull di

pangkatkan (EWD) dengan MLEfungsi likelihood dari distrbusi Weibull di pangkatkan (EWD) didefinisikan

oleh

di peroleh fungsi log likelihood sebagai berikut:

Selanjutnya dicari turunan fungsi log likelihood terhadap masing-masing

parameternya.

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Agar nilai maksimum dapat dicapai persamaan tadi harus di sama

dengankan nol (= 0), sehingga didapat:

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• selanjutnya akan digunakan untuk mencari nilai estimasi dari parameter ,

yaitu dan karena persamaan yang diperoleh adalah persamaan non

linier, maka akan digunakan metode numerik untuk menyelesaikannya.

Dalam hal ini akan digunakan metode newton raphson dalam perhitungan

numeriknya

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Dengan menggunakan motede Newton-Raphson adapun urutan

langkahnya adalah sebagai berikut:• Menentukan nilai pendekatan awal dari 𝜆 dan 𝛾 yaitu dan dengan

adalah nilai koreksi untuk 𝜆 sehingga k adalah nilai koreksi untuk 𝛾sehingga

• Menentukan persamaan fungsi dan turunan pertama dari

dan , yaitu dan

Fungsi-fungsi didapat adalah sebagai berikut:

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Subtitusi dengan pendekatan awal pada persamaan langkah 2

• Subtitusikan nilai yang diperoleh dari langkah 3 pada persamaan berikut

untuk mencari h dan k:

• Subtitusi nilai h dan k dari langkah 2 pada kedua persamaan dalam

langkah 1

• Ulangi langkah 3-5 hingga diperoleh akar fungsi dengan eror yang

diinginkan. Eror tersebut dapat dihitung dengan formula sebagai berikut:

eror_λ

eror_

λ

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

• Estimasi Parameter DataTahap ini diawali dengan membangkitkan sejumlah data dengan

menggunakan metode acceptance rejection. Parameter-parameter data

yang dibangkitakan ditentukan terlebih dahulu, yaitu: . Sehingga untuk

diperoleh data sebagai berikut:

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN

PEMBAHASAN

No.Data

bangkitanNo.

Data

bangkitan

1. 0.030521255 20. 0.713703495

2. 0.16614578 21. 0.912942694

3. 0.183260909 22. 1.067304982

4. 0.189526856 23. 1.091005013

5. 0.205011519 24. 1.111150459

6. 0.217725022 25. 1.114117225

7. 0.256758972 26. 1.1710559

8. 0.264035001 27. 1.190896272

9. 0.349884876 28. 1.234413482

10. 0.366761382 29. 1.267928864

11. 0.383215002 30. 1.290991144

12. 0.39968253 31. 1.300618164

13. 0.460033178 32. 1.313941001

14. 0.47661275 33. 1.58976148

15. 0.563185436 34. 1.903027462

16. 0.636915907 35. 2.025366556

17. 0.648921402 36. 2.515741854

18. 0.690979123 37. 2.564417396

19. 0.69764434

Company

LOGO

www.company.com

PEMBAHASAN• Sehingga didapatkan , dan lalu didapatkan

juga Sehingga diperoleh RMSE yang kecil, yaitu 0.014213.

Company

LOGO

www.company.com

KESIMPULAN • Kesimpulan yang diperoleh dari hasil dan pembahasan adalah :

Parameter EWD Gamma Weibull

𝛼 = 𝛾 = 1 konstan konstan dengan

𝜆 = 0

Konstan

𝛼 = 1 naik untuk

𝛾 >1

turun untuk

𝛾 < 1

naik untuk

𝛾 >1

turun untuk

𝛾 < 1

Naik untuk

𝛾 >1

Turun untuk

𝛾 < 1

𝛾 = 1 naik untuk

𝛼 > 1

turun untuk

𝛼 < 1

Naik untuk

𝛼 > 1

Turun untuk 𝛼< 1

Naik untuk

𝛼 > 1

Turun untuk 𝛼 <

1

Dari tabel tersebut tampak bahwa EWD mirip dengan kedua

distribusi gamma dan Weibull,namun dapat diambil kesimpulan

bahwa lebih mirip dengan distribusi Weibull

Company

LOGO

www.company.com

KESIMPULAN • Dari hasil estimasi parameter dari EWD dengan menggunakan MLE

didapatkan parameter-parameter dari EWD yang berupa persamaan-

persamaan non linier sebagai berikut:

• Untuk parameter

• Untuk parameter

• Untuk parameter

Company

LOGO

www.company.com

SARAN• Pada tugas akhir ini data yang digunakan adalah data hasil bangkitan

sehingga belum teruji untuk pengolahan data menggunakan data riil. Jadi

belum dapat dipastikan apakah EWD memberikan informasi yang baik

jika digunakan untuk mengolah data yang riil, di harapkan pada tugas

akhir selanjutnya EWD dapat diterapkan pada data yang riil.

Company

LOGO

www.company.com

TERIMA KASIH