www.math

zone

.web

.id

SELEKSI TINGKAT PROPINSICALON PESERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2012

MATEMATIKA SMA/MA

PETUNJUK UNTUK PESERTA:

1. Tes terdiri dari dua bagian. Tes bagian pertama terdiri dari 20 soal isian singkat dan tes bagiankedua terdiri dari 5 soal uraian.

2. Waktu yang disediakan untuk menyelesaikan semua soal adalah 210 menit.

(tiga puluh) menit pertama dari keseluruhan waktu tes.

3. Tuliskan nama, kelas, dan asal sekolah Anda di sebelah kanan atas pada setiap halaman.

4. Untuk soal bagian pertama:

(a) Masing-masing soal bagian pertama bernilai 1 (satu) angka.

(b) Beberapa pertanyaan dapat memiliki lebih dari satu jawaban yang benar. Anda dimintamemberikan jawaban yang paling tepat atau persis untuk pertanyaan seperti ini. Nilaihanya akan diberikan kepada pemberi jawaban paling tepat atau paling persis.

(c) Tuliskan hanya jawaban dari soal yang diberikan. Tuliskan jawaban tersebut pada kotakdi sebelah kanan setiap soal.

5. Untuk soal bagian kedua:

(a) Masing-masing soal bagian kedua bernilai 7 (tujuh) angka.

(b) Anda diminta menyelesaikan soal yang diberikan secara lengkap. Selain jawaban akhir,Anda diminta menuliskan semua langkah dan argumentasi yang Anda gunakan untuk sam-pai kepada jawaban akhir tersebut.

(c) Jika halaman muka tidak cukup, gunakan halaman sebaliknya.

6. Jawaban hendaknya Anda tuliskan dengan menggunakan tinta (bukan pensil), kecuali padasketsa gambar.

7. Selama tes, Anda tidak diperkenankan menggunakan buku, catatan, dan alat bantu hitung.Anda juga tidak diperkenankan bekerjasama.

8. Mulailah bekerja hanya setelah pengawas memberi tanda dan berhentilah bekerja segera setelahpengawas memberi tanda.

9. Selamat bekerja.

1

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

BAGIAN PERTAMA

1. Misalkan O dan I berturut-turut menyatakan titik pusat lingkaran luar dan titik pusat lingkarandalam pada segitiga dengan panjang sisi 3; 4; dan 5: Panjang dari OI adalah...

2. Misalkan x; y; dan z adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan

34x� 51y = 2012z:

Nilai dari x+ y + z adalah...

3. Diketahui empat dadu setimbang dan berbeda, yang masing-masing berbentuk segi delapan be-raturan bermata 1, 2, 3, ..., 8. Empat dadu tersebut ditos (dilempar) bersama-sama satu kali.Probabilitas kejadian ada dua dadu dengan mata yang muncul sama sebesar ...

4. Fungsi bernilai real f dan g masing-masing memiliki persamaan

f(x) =pbxc � a dan g(x) =

sx2 � x

p2pa

dengan a bilangan bulat positif. Diketahui bxc menyatakan bilangan bulat terbesar yang kurangdari atau sama dengan x. Jika domain g � f adalah fxj31

2� x < 4g, maka banyaknya a yang

memenuhi sebanyak...

5. Diberikan bilangan prima p > 2: Jika S adalah himpunan semua bilangan asli n yang menye-babkan n2 + pn merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat maka S = :::

6. Untuk sebarang bilangan real x dide�nisikan fxg sebagai bilangan bulat yang terdekat denganx; sebagai contoh f1; 9g = 2; f�0; 501g = �1; dan sebagainya. Jika n adalah suatu bilanganbulat positif kelipatan 2012, maka banyak bilangan bulat positif k yang memenuhi

n3pko= n

adalah...

7. Banyak bilangan bilangan asli n < 100 yang mempunya kelipatan yang berbentuk

123456789123456789:::123456789

adalah...

2

www.math

zone

.web

.id

8. Diberikan parallelogram (jajar genjang) ABCD. Titik M pada AB sedemikian rupa sehinggaAMAB

= 0; 017, dan titik N pada AD sehingga ANAD

= 172009

. Misal- kan AC \MN = P , maka ACAP=

...

9. Dalam sebuah pertemuan, 5 pasang suami istri akan didudukkan pada sebuah meja bundar.Berapa banyak cara untuk mengatur posisi duduk 5 pasang suami istri tersebut sedemikiansehingga tepat 3 suami duduk disamping istrinya?

10. Jika p; q; dan r akar-akar dari x3 � x2 + x� 2 = 0, maka p3 + q3 + r3 = ....

11. Jika m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi m2 + n5 = 252, maka m+ n =...

12. Pada �ABC titik D terletak pada garis BC. Panjang BC = 3, \ABC = 30�, dan \ADC =45�. Panjang AC =...

13. Lima siswa, A;B;C;D;E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidakbisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, maka banyaknya susunan yang mungkinadalah...

14. Diketahui H adalah himpunan semua bilangan asli kurang dari 2012 yang faktor primanya tidaklebih dari 3: Selanjutnya dide�nisikan himpunan

S =

�1

njn 2 H

�:

Jika x merupakan hasil penjumlahan dari semua anggota S dan bxc menya- takan bilanganbulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x, maka bxc = ...

15. Diberikan dua lingkaran �1 dan �2 yang berpotongan di dua titik yaitu A dan B denganAB = 10. Ruas garis yang menghubungkan titik pusat kedua lingkaran memotong lingkaran�1 dan �2 masing-masing di P dan Q. Jika PQ = 3 dan jari-jari lingkaran �1 adalah 13, makajari-jari lingkaran �2 adalah : : :

16. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x; y) yang memenuhi

1

x+1

y� 1

xy2=3

4

adalah ......

3

www.math

zone

.web

.id

17. Untuk bilangan real positif x dan y dengan xy = 13, nilai minimum 1

9x6+ 1

4y6adalah ......

18. Banyaknya pasangan bilangan bulat positif (a; b) yang memenuhi

4a + 4a2 + 4 = b2

adalah ......

19. Diberikan segitiga ABC, dengan panjang AB sama dengan dua kali panjang AC. Misalkan Ddan E berturut-turut pada segmen AB dan BC, sehingga \BAE = \ACD. Jika F = AE\CDdan CEF merupakan segitiga sama sisi, maka besar sudut dari segitiga ABC adalah ......

20. Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi n � 2012 dan merupakan bilangan kuadratsempurna atau kubik atau pangkat 4 atau pangkat 5 atau ... atau pangkat 10, ada sebanyak...

4

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

BAGIAN KEDUA

Soal 1. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (a; b; x; y) yang memenuhi sistempersamaan �

a+ b = xyx+ y = ab

5

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

Soal 2. Cari semua pasangan bilangan real (x; y; z) yang memenuhi sistem persamaan8<:x = 1 +

py � z2

y = 1 +pz � x2

z = 1 +px� y2:

6

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

Soal 3. Seorang laki - laki memiliki 6 teman. Pada suatu malam di suatu restoran, dia bertemudengan masing - masing mereka 11 kali, setiap 2 dari mereka 6 kali, setiap 3 dari mereka 4 kali,setiap 4 dari mereka 3 kali, setiap 5 dari mereka 3 kali, dan semua mereka 10 kali. Dia makan diluar9 kali tanpa bertemu mereka. Berapa kali dia makan di restoran tersebut secara keseluruhan ?

7

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

Soal 4. Diberikan segitiga lancip ABC. Titik H menyatakan titik kaki dari garis tinggi yangditarik dari A. Buktikan bahwa

AB + AC � BC cos\BAC + 2AH sin\BAC

8

www.math

zone

.web

.id

Nama: .................................... Kelas: ........

Sekolah: ......................................................

Soal 5. Diketahui p0 = 1 dan pi bilangan prima ke-i, untuk i = 1; 2; : : :; yaitu p1 = 2, p2 = 3, : : :.Bilangan prima pi dikatakan sederhana jika

p(n2)i > pi�1(n!)

4

untuk semua bilangan bulat positif n. Tentukan semua bilangan prima yang sederhana!

9

www.math

zone

.web

.id

SELEK

TIM O

KSI OLIM

LIMPIAD

Presta

Disus

MPIADE

DE MATE

asi itu dir

SOLU

BAGIAN

sun oleh :

TINGKA

EMATIKA

raih bukan

USI SOA

N PERTA

Eddy He

AT PROV

A INDON

n didapat

AL

AMA

rmanto, S

VINSI 20

NESIA 20

t !!!

ST

012

013

www.math

zone

.web

.id

Solusi

SMA Neger

BAGIAN PER 1. Tanpa m

Misalkan

Karena ΔJadi, O a

Misalkan12r = 1 Karena OJadi, E a

OE = OD

OI2 = OE

OI = √5

Jadi,

2. 34x 51Karena 3Karena 334x 51x = 1009x + y + z Jadi,

3. Banyakn

Peluang

Jadi,

O

ri 5 Bengkul

RTAMA

mengurangi k

n juga R ada

ΔABC siku-siadalah perte

n D adalah ti

O adalah peadalah titik

ED = AC

2 + IE2 =

5

, panjang OI

1y = 2012z d34 dan 2012 34 dan 51 ha(2) = 2012(1

9 yang memez = 1009 + 2 , nilai dari x

nya kejadian

ada angka y

, peluang ad

Olimpiade

lu

keumuman m

lah jari-jari

iku di A makengahan BC.

itik pada AB

6

rtengahan Bsinggung ga

C r =

1

I = √ .

engan x, y, habis dibagabis dibagi 117) enuhi bahwa + 17 = 1028x + y + z ada

n semua angk

yang sama =

da angka yan

e Matema

misalkan AC

lingkaran lu

ka BC adalah.

B sehingga O

BC maka D aris OD terha

z adalah bilgi 2 maka y h17 maka z ha

a x adalah b

alah 1028.

ka dadu ber

= 1

ng sama =

atika Tk P

= 3 ; AB =

uar dan r ad

h diameter l

D AB dan

dalah perteadap lingkara

langan primahabis dibagi abis dibagi 1

ilangan prim

rbeda = 8 x 7

Provinsi 2

4 ; BC = 5

dalah jari-jar

lingkaran lua

E pada OD s

ngahan AB san dalam. M

a. 2. Karena y17. Karena z

ma.

7 x 6 x 5.

2012

E

.

ri lingkaran

ar ΔABC.

sehingga IE

sehingga AD Maka IE = 2.

y prima makz prima mak

Bagian

Eddy Herma

dalam ΔABC

OD.

= 2.

ka y = 2. ka z = 17.

Pertama

anto, ST

C.

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

4. dan 2 √

√ dengan a adalah bilangan bulat positif.

2 2

√

Karena 3 4 maka 3.

Untuk 3 4 maka √3 sehingga

3√6 2

√

Syarat yang harus dipenuhi adalah a 3 (1) dan

3√6 2

√0

a(3 a)2 6 2a (2) Jika a = 1 maka 1 (3 1)2 = 4 dan 6 2(1) = 4 Jika a = 2 maka 2 (3 2)2 = 2 dan 6 2(2) = 2 Jika a = 3 maka 3 (3 3)2 = 0 dan 6 2(3) = 0 Maka nilai a bulat positif yang memenuhi adalah a = 1 atau a = 2 atau a = 3. Banyaknya nilai a yang memenuhi ada 3.

5. Karena n2 + pn bilangan kuadrat sempurna maka 4n2 + 4pn juga merupakan kuadrat sempurna. 4n2 + 4pn = m2 dengan n, m N dan p adalah bilangan prima. (2n + p)2 p2 = m2 p2 = (2n + p + m)(2n + p m) Maka ada 2 kasus : Jika 2n + p + m = p dan 2n + p m = p

Maka didapat 2n + p = 0 dan 2n p = 0 Didapat n = 0 yang tidak memenuhi syarat bahwa n N.

Jika 2n + p + m = p2 dan 2n + p m = 1 Jumlahkan kedua persamaan didapat 4n + 2p = p2 + 1 4n = (p 1)2

Karena p adalah bilangan prima ganjil maka akan didapat n N.

Jadi, dengan p bilangan prima > 2.

6. √ 2012 dengan m N

√

Karena n habis dibagi 2012 maka dan keduanya bilangan asli. Jadi,

www.math

zone

.web

.id

Solusi

SMA Neger

Maka ba

Jadi,

7. Misalkanangka-anm = 1234Jelas baJuga jelKarena 1999 = 33 103 1 (Jadi, jik103 1 (Jadi, jikKarena 3Maka bil Jadi,

8. Perhatik

Tanpa m

Maka ko

Persama

Persama

Perpoto

Maka

Jadi,

9. Misalkanpasangadan C, akasus :

O

ri 5 Bengkul

anyaknya nila

, banyaknya

n m = 12345ngka berula456789(1 + hwa 31234as bahwa 9 12345678912 37 (mod 37) Maka k = 37 ma(mod 27) Maka k = 27 ma3123456789langan asli n, banyaknya

kan gambar.

mengurangi k

ordinat C(b

aan garis AC

aan garis MN

ngan garis A

sehingga

, .

n A, B, C dannya dan xA

antara C dan

Olimpiade

lu

ai k yang me

a nilai k yang

6789123456ng setiap 9 a109 + 1018 + 456789. membagi 1223456789 ha

aka 109n 1 ka 37m = 1

aka 109n 1 ka 271 + 19 dan 271 n < 100 yanga bilangan as

keumuman m

+ a, c). Koo

adalah

N adalah

AC dan MN ad

177

an D adalahA, xB, xC dann D dan anta

e Matema

emenuhi ada

g memenuhi

789…123456angka yaitu + 109(k-1))

23456789. abis dibagi 1

(mod 37) un123456789(1(mod 27) un09 + 1018 + + 109 + 1018

g mempunyasli n < 100 ya

misalkan koo

ordinat

0

dalah titik P

. Jadi,

7

h 4 orang da xD adalah b

ara D dan A.

atika Tk P

a

ada

6789 merupa 123456789.

1 maka 11 j

ntuk n bilang + 109 + 101

ntuk n bilang + 109(k-1) se

+ + 109(k-1

i kelipatan mang memenu

ordinat A(0,

, 0 dan

P

koordinat

alam arah sbanyaknya k. Jelas bahw

Provinsi 2

.

akan bilanga

juga memba

gan bulat ta8 + + 109(k

gan bulat taehingga 271) maka 81mm adalah 1,uhi ada 9.

0), B(a, 0)

n ,

,

searah jarumkursi yang bewa xA, xB, xC

2012

E

an terdiri da

agi m.

k negatif. k-1)) k negatif. m m 3, 9, 11, 27

dan D(b, c).

.

.

m jam yangerada antar dan xD sem

Bagian

Eddy Herma

1 3

ari 9k angka

7, 33, 37, 81

.

g tidak dudura A dan B, auanya gena

Pertama

anto, ST

1.

a dengan

1, 99.

uk dekat antara B p. Ada 4

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

Kasus 1, xA = 0, xB = 0, xC = 0 dan xD = 6. A, B, C dan D akan berdekatan. Agar di antara mereka tidak ada sepasang suami isteri maka mereka harus duduk berselang seling. Banyaknya cara memilih A ada 10. Banyaknya cara memilih B hanya 8 sebab B tidak boleh pasangan A. Cara memilih C dan D hanya ada satu cara memilihnya sebab mereka pasangannya A dan B. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.

Kasus 2, xA = 0, xB = 2, xC = 2 dan xD = 2. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680.

Kasus 3, xA = 0, xB = 0, xC = 2 dan xD = 4. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840.

Kasus 4, xA = 0, xB = 2, xC = 0 dan xD = 4. A dan B akan berdekatan sehingga tidak mungkin pasangan suami isteri. Banyaknya cara memilih A dan B adalah 10 x 8. C adalah pasangan A atau B sehingga banyaknya cara memilih C dan D adalah 2 x 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 2 x 1 x 48 = 7680

Kasus 5, xA = 0, xB = 0, xC = 4 dan xD = 2. A, B dan C akan berdekatan sehingga B bukan pasangan A atau C. Banyaknya cara memilih A ada 10 dan B ada 8. Banyaknya cara memilih C dan D hanya ada 1. Banyaknya cara menyusun 3 pasang lainnya adalah 3! X 2 x 2 x 2 = 48. Banyaknya susunan = 10 x 8 x 1 x 1 x 48 = 3840

Banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 10 x 8 x 7 x 1 x 48 = 26880. Jadi, banyaknya cara menyusun secara keseluruhan = 26880.

10. x3 x2 + x 2 = 0 akar-akarnya p, q dan r. p + q + r = 1 pq + pr + qr = 1 pqr = 2 Alternatif 1 : (p + q + r)3 = p3 + q3 + 3 + 3p2q + 3p2r + 3pq2 + 3pr2 + 3q2r + 3qr2 + 6pqr (p + q + r)3 = p3 + q3 + r3 + 3(pq + pr + qr)(p + q + ) 3pqr 13 = p3 + q3 + r3 + 3(1)(1) 3(2) p3 + q3 + r3 = 4 Alternatif 2 : p2 + q2 + r2 = (p + q + r)2 2(pq + pr + qr) = 12 2 1 = 1 p, q dan r adalah akar-akar persamaan x3 x2 + x 2 = 0 maka p3 p2 + p 2 = 0 q3 q2 + q 2 = 0

www.math

zone

.web

.id

Solusi

SMA Neger

r3 r2 + Didapat p3 + q3 +p3 + q3 +p3 + q3 + Jadi,

11. m2 + n5 =

n5 252 Jika Jika Jika Maka pa Jadi,

12. Misalkan

AD = 2x

Pada ΔAAC2 = ADAC2 = (2xMaka nil Jadi,

13. Ada 2 ka

Jika Bany5 adBany

Jika BanyBanyBanyBany

Banyakn Jadi,

O

ri 5 Bengkul

r 2 = 0 + r3 (p2 + q+ r3 + 1 + 1 =+ r3 = 4 , p3 + q3 + r3

= 252 denga sehingga n n = 1 maka n = 2 maka n = 3 maka

asangan (m, , m + n = 6.

n panjang BD

cos 15o.

ACD berlaku D2 + DC2 2 x cos 15o)2 +lai AC berga, belum dap

asus : D sebagai pyaknya cara a 1. yaknya cara D bukan sebyaknya cara yaknya cara yaknya cara yaknya cara nya cara men, banyaknya

Olimpiade

lu

2 + r2) + p + = 6

3 = 4.

an m, n N 3 m2 = 251. T m2 = 220. T m2 = 9. Nila n) yang mem

D = x. Karen

AD DC co

+ (3 x)2 2ntung denga

pat ditentuka

pelari pertam memilih pe

= 4x3x2x1 =bagai pelari memilih pel memilih pel memilih pel = 3x3x2x1x3nyusun pelaa cara menyu

e Matema

q + r = 6

Tidak ada m Tidak ada m ai m N yanmenuhi adal

a ADC = 45

s 45o 2(2x cos 15o)an x. an panjang A

ma lari ke-2 ada

= 24 pertama lari ke-1 adalari ke-5 adalari ke-2 ada3 = 54 ri = 24 + 54 usun pelari =

atika Tk P

N yang m N yang m

ng memenuhlah (3, 3).

5o maka AD

)(3 x) cos 4

AC.

a 4, pelari k

a 3. a 3. a 3 dan pela

= 78. = 78.

Provinsi 2

emenuhi. emenuhi.

hi hanya m =

DB = 135o se

45o

ke-3 ada 3, p

ari ke-3 ada

2012

E

= 3.

ehingga BA

pelari ke-4 a

2 dan pelar

Bagian

Eddy Herma

AD = 15o.

ada 2 dan pe

i ke-4 ada 1

Pertama

anto, ST

elari ke-

.

www.math

zone

.web

.id

Solusi

SMA Neger

14. H = {20 36 = 729 210 = 102

∙

p = 36 (32 (210 p = 36 ((24 1) +p = 1492q = 210 2

Jadi, 15. Misalkan

dengan A

Jelas bpersekutKarena MMisalkanAN2 = ARr2 = 52 + 4r = 29

Jadi

16.

Jelas ba Jika

Nilai

Teta

Jika J

N

O

ri 5 Bengkul

30, 20 31, 2 dan 37 = 2124 dan 211 =

∙ ∙

∙

(210 + 29 + + 29 + + 2(211 1) + 3+ 30 29 (22

2263 + 49717 36 = 746.4963

, .

n M dan N beAB di R. Jela

ahwa garis tuan. Jadi, AMA = 13 dann jari-jari Г2 R2 + RN2 (r 2)2

jari-jari ling

deng

hwa x,y 0 x < 0 maka

0

i y yang mem

api untuk y =

x > 0 Jika y < 0

Nilai x yang

Olimpiade

lu

20 32, 20 387 2048.

⋯ ∙

+ 1) + 35 (6) + 31 (210 5 21 (210

2 1) 78 + 165240 6

ertuurt-turuas bahwa R

melalui kAR MR dan AR = 5 mak = r.

gkaran Г2 =

an x, y Z

.

menuhi hany

= 1 maka

memenuhi h

e Matema

33, , 210 30

dengan q

(210 + 25 + + 210 + + 1) + 34 23

+ 54862 + 1

t adalah pusadalah perte

kedua pusatn AR RN. ka MR = 12. J

.

ya y = 1

1

hanya x = 1.

atika Tk P

0)

= 210 36.

+ 21) + 34 27) + 30 (21

(28 1) +

7856 + 5760

sat lingkaranengahan AB

t lingkaran

Jadi, RP = 1

1

Provinsi 2

(210 + 25 + 10 + 29) 33 24 (27

0 + 1536 = 2

n Г1 dan Г2.. Jadi, AR =

akan mem

dan QR = P

2012

E

+ 23) + 33

1) + 32 2

.234.697.

. Misalkan ju RB = 5.

motong teg

Q RP = 3

Bagian

Eddy Herma

(210 + 25 +

6 (25 1) +

uga MN berp

gak lurus t

1 = 2.

Pertama

anto, ST

+ 24) +

+ 31 27

potongan

talibusur

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

4y 4 = y2 (y + 2)2 = 8 Tidak ada y bulat yang memenuhi.

Jika y > 0 Jika x y

x 2 Jika x = 1 maka tidak ada y yang memenuhi.

Jika x = 2 maka

4y 2 = y2 (y 2)2 = 2 Tidak ada y bulat yang memenuhi.

Jika y x

y 2 Jika y = 1 maka tidak ada x bulat yang memenuhi.

Jika y = 2 maka yang dipenuhi oleh x = 3. Pasangan (x, y) = (3, 2) memenuhi persamaan.

Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1. Jadi, banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi ada 1.

17. Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka

2 ∙ ∙ ∙ 3 9

Jadi,nilai minimal dari adalah 9.

18. Lemma : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2. Bukti : Jika n = 3 maka 64 = 43 > 4 (3)2 = 36 Andaikan benar untuk n = k maka diangap benar 4k > 4k2 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 Karena k > 2 maka 4k+1 = 4 4k > 16k2 = 4k2 + (k 2) 8k + 16k + 4k2 > 4k2 + 8k + 4 = 4(k + 1)2 Maka terbukti bahwa jika 4k > 4k2 maka 4k+1 > 4(k + 1)2 untuk k > 2. Jadi, terbukti bahwa 4n > 4n2 untuk n N dan n > 2 4a + 4a2 + 4 = b2. Karena ruas kiri habis dibagi 4 maka b genap. Misalkan b = 2m maka 4a-1 + a2 + 1 = m2 Jika a ganjil maka ruas kiri dibagi 4 akan bersisa 2 atau 3 yang tidak memenuhi syarat. Misalkan a = 2n maka 42n-1 + 4n2 + 1 = m2

www.math

zone

.web

.id

Solusi

SMA Neger

Berdasa(22n-1)2 =(22n-1)2 <(22n-1)2 <Jadi, unyang meJika n = Jika n = Maka pa Jadi,

19. Misalkan

Karena Karena Karena

Berdasa

Karena A2 sin (60

2 ∙ √3 c

√3 cos

cot √ = 30o ABC = Jadi,

20. Bilangan

bilangansetara dpangkat positif nKarena 4Karena 1Karena 4Karena 2

O

ri 5 Bengkul

rkan lemma= 42n-1 < 42n-1 42n-1 + 4n2 + m2 < (22n-1 +

ntuk n > 2 memenuhi. 1 maka 42n-1

2 maka 42n-1

asangan bilan, banyaknya

n BAE = A

CFE = 60o mAFC = 120o

BAC = 60o d

rkan dalil si

AB = 2AC ma0o ) = sin

cos 2 ∙ s

sin

√3

60o = 30, besar AB

n pangkat 2n pangkat 2dengan men 7. Misalkan

n 2012 yan442 = 1936 d123 = 1728 d45 = 1024 da27 = 128 dan

Olimpiade

lu

untuk n > 2 + 4n2 + 1 < 4+ 1 < (22n-1 ++ 1)2 maka m2 ter

1 + 4n2 + 1 =1 + 4n2 + 1 =ngan bulat p

a pasangan b

ACD = . Mis

maka AFC o dan ACF =dan ACB =

nus pada ΔA

aka (60o + )

sin √3 c

0o. C = 30o.

2, pangkat 4. Bilangan

ncarai banyan A, B, C dang merupaka

dan 452 = 202dan 133 = 219an 55 = 3125 n 37 = 2187 m

e Matema

2 maka 42n-1 + 4n + 1 1)2

rletak di an

9 = 32. 81 = 92.

positif (a, b)bilangan bula

salkan juga p

= 120o. = maka C 60o + mak

ABC maka

cos sin

4, pangkat pangkat 9 jaknya bilann D berturutn pangkat 225 maka ban97 maka ban maka banyamaka banyak

atika Tk P

= (22n-1)2 +

tara 2 bilan

) yang memeat positif (a

panjang AC

CAF = 60o ka ABC = 6

6, pangkat juga merupagan pangkat-turut adala, pangkat 3,

nyaknya angnyaknya angaknya anggoknya anggota

Provinsi 2

2 22n-1 + 1

ngan kuadra

enuhi adalah, b) yang me

= x sehingga

sehingga 60o .

8 dan panakan bilang

at 2 atau paah himpunan, pangkat 5

ggota himpunggota himpunota himpunana himpunan

2012

E

= (22n-1 + 1)2

at berurutan

h (2, 6), (4, emenuhi ada

a panjang AB

BAC = 60o

ngkat 10 segan pangkatangkat 3 atn semua ang dan pangkanan A = Anan B = Bn C = C = D = D = 2

Bagian

Eddy Herma

2

n. Maka tida

18). a 2.

B = 2x.

.

muanya me 3. Jadi, petau pangkatggota bilangt 7. = 44. = 12. 4. 2.

Pertama

anto, ST

ak ada n

erupakan ersoalan t 5 atau an bulat

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Pertama

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

AB adalah himpunan semua anggota bilangan bulat positif n 2012 yang merupakan pangkat 2 dan juga pangkat 3 yang berarti merupakan himpunan pangkat 6. Karena 36 = 729 dan 46 = 4096 maka banyaknya anggota himpunan AB = AB= 3. Dengan cara yang sama didapat AC = 2 ; AD = 1 ; BC = 1 ; BD = 1 ; CD = 1. ABC = 1 ; ABD = 1 ; ACD = 1 ; BCD = 1. ABCD = 1 ABCD = A + B + C + D AB AC AD BC BD CD + ABC + ABD + ACD + BCD ABCD . ABCD = 44 + 12 + 4 + 2 3 2 1 1 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 = 56 Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 56.

www.math

zone

.web

.id

SELEK

TIM O

KSI OLIM

LIMPIAD

Presta

Disus

MPIADE

DE MATE

asi itu dir

SOLU

BAGIA

sun oleh :

TINGKA

EMATIKA

raih bukan

USI SOA

AN KED

Eddy He

AT PROV

A INDON

n didapat

AL

DUA

rmanto, S

VINSI 20

NESIA 20

t !!!

ST

012

013

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Kedua

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

BAGIAN KEDUA 1. a, b, x, y bilangan bulat tak negatif.

a + b = xy x + y = ab Jika salah satu di antara a, b, x dan y sama dengan 0, tanpa mengurangi keumuman misalkan saja a = 0 maka x + y = 0 sehingga x = y = 0 dan membuat b = 0. Jadi, jika salah satu di antara a, b, x atau y sama dengan 0 maka yang lain akan sama dengan 0. Andaikan bahwa tidak ada satupun di antara a, b, x atau y sama dengan 0. Karena a dan b simetris maka dapat diandaikan a b. Karena a bilangan bulat lebih dari 0 maka x + y = ab b 2x + 2y 2b Karena a b maka xy = a + b 2b 2x + 2y 2b a + b = xy Jadi, didapat 2x + 2y xy (x 2)(y 2) 4 Karena x dan y simetris maka tanpa mengurangi keumuman dapat dimisallkan x y. Maka x 4. Jika x = 1

a + b = y dan 1 + y = ab 1 + a + b = ab (a 1)(b 1) = 2 Didapat a = 2 dan b = 3 sehingga y = 5

Jika x = 2 a + b = 2y dan 2 + y = ab 4 + a + b = 2ab (2a 1)(2b 1) = 9 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 3 atau a = 2 dan b = 2 sehingga y = 2

Jika x = 3 a + b = 3y dan 3 + y = ab 9 + a + b = 3ab (3a 1)(3b 1) = 28 Didapat a = 1 dan b = 5 sehingga y = 2

Jika x = 4 Maka y = 4 a + b = 16 dan 8 = ab Tidak ada a dan b bulat yang memenuhi.

Semua tupel (a,b,x,y) yang memenuhi adalah (0,0,0,0), (1,5,2,3), (1,5,3,2), (2,2,2,2), (2,3,1,5), (2,3,5,1), (3,2,1,5), (3,2,5,1), (5,1,2,3), (5,1,3,2).

2. 1

1 1

Karena akar suatu bilangan tidak mungkin negatif maka x, y, z 1. Alternatif 1 : Karena x, y, z 1 maka x2 x ; y2 y dan z2 z

www.math

zone

.web

.id 4

Solusi

SMA Neger

Karena xKarena yDengan Jadi, tri AlternatKarena xJelas baKalikan xyz (xyxyz 1 Karena x Jadi,

3. MisalkanABCS 9 S = 28Maka lakCatatan dengan dipenuhpertemulebih baJika tidabertemuABCS 9 S = 31 Jadi,

4. Andaika

titik-titi

MisalkanJelas baMisalkan

2

ri 5 Bengkul

x real maka y y2 dan y2

cara yang sapel bilangan

tif 2 : x, y, z 1 mhwa y z2 ketiga persayz)2

xyz 1 adan, tripel bilan

n kawan-kawCDEF = 66 90 + 8 ki-laki terse : Penulis btepat tiga di haruslah b

uan dengan nyak dari beak, maka soau dengan emCDEF = 66 + 90 + 18. , laki-laki te

n Ai dengan k tersebut a

n Hi pada BChwa AiHi aka

n AiHi maksim

Olimpia

lu

y z2 z 2 y maka hama didapatn real (x,y,z

maka xyz 1; z x2 danamaan di ata

n xyz 1 mangan real (x

wan laki-laki= 11 6C1 6 80 45 + 18

but pergi keberkeyakinadi antaranyabanyaknya p lima di anertemu dengal harus diar

mpat di antar= 11 6C1 + 680 + 45 + 18

ersebut mak

i = 1, 2, 3, akan membe

C sehingga Ai

an maksimumum = y. Sa

de Matem

x2 x y2 haruslah y = t x = z = 1. ) yang mem

n z y2. as didapat

aka haruysla,y,z) yang m

tersebut ad6 6C2 + 4 68 10 = 19

e restoran sen bahwa ma berarti jugpertemuan taranya. Tegan setiap lirtikan berteranya. 6 6C2 + 4 68 + 10 = 309

an di restora

adalah kuentuk suatu

iHi tegak lurm jika Hi me

aat AiHi = y m

matika Tk

y2 yang dipe

enuhi x = y

h xyz = 1 yamemenuhi x

dalah A, B, C6C3 3 6C4

ebanyak 28 kaksud soal ga bertemu dengan sem

ernyata bertma di antar

emu dengan

6C3 + 3 6C4

an sebanyak

umpulan titilingkaran.

rus BC. erupakan pemaka AB = AC

k Provinsi

enuhi oleh y

= z = 1.

ang dipenuhi = y = z = 1.

C, D, E dan + 3 6C5 1

kali. adalah sepe dengan 2 d

muanya palitemu dengaranya,yaitu 3 setiap lima

+ 3 6C5 + 10

k 28 kali.

ik-titik sehin

ertengahan BC. Misalkan

i 2012

E

y = 1.

i hanya jika .

F, 0 6C6

erti tersebudi antaranyang banyak an semuany3 kali. di antarany

0 6C6

ngga BAiC

BC. saja saat in

Bagia

Eddy Herma

x = y = z = 1

ut di atas. Ba. Persyaratharus sama

ya sebanyak

ya tidak bera

= maka ku

ni AB = AC =

an Kedua

anto, ST

1.

Bertemu tan yang dengan

k 10 kali

arti juga

umpulan

x.

www.math

zone

.web

.id

Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 2012 Bagian Kedua

SMA Negeri 5 Bengkulu Eddy Hermanto, ST

cos ∙ ∙

2

2

sin 2 sin12

cos12 2

cos 2 sin4 2 2 4

2 2

4 2 2 42 2

cos 2 sin4 2

2 2

2 22 2

Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka cos 2 sin 0 sehingga

cos 2 sin 2 Maka didapat cos 2 sin cos 2 sin 2 Jadi, terbukti bahwa

5. Lemma 1 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1. Bukti : Jika n = 2 maka 443 = 32(2)+1 > (2 + 1)4= 81 Andaikan bentuk untuk n = k. Maka 32k+1 > (k + 1)4 dianggap benar untuk k N dan k > 1. 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = 9k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 9 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9

32(k+1)+1 = 32 32k+1 > 9(k + 1)4 = k4 + 36k3 + 54k2 + 36k + 8k2 + 9 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 32(k+1)+1 = 32 32k+1 > k4 + 8k3 + 24k2 + 32k + 16 = (k + 2)4

Jadi, terbukti bahwa 32n+1 > (n + 1)4 untuk n N dan n > 1 Lemma 2 : Akan dibuktikan dengan induksi matematika bahwa ! 3 untuk n N dan n > 1. Bukti : Jika n = 2 maka 16 2! 3 27 Andaikan benar untuk n = k. Maka ! 3 dianggap benar untuk k N dan k > 1. Sesuai lemma 1 maka

1 ! 1 ! 3 ∙ 3 3 Jadi, terbukti bahwa ! 3 untuk n N dan n > 1 Jika i = 1

Pi = 2 dan untuk n = 2 maka ∙ ! Jadi, untuk i = 1 sehingga Pi = 2 tidak termasuk bilangan prima sederhana.

Jika i > 1 Pi 3 Jika n = 1

∙ ! Jadi, untuk n = 1 maka ∙ !

Jika n > 1 Sesuai lemma 2 dan mengingat bahwa Pi > Pi-1 didapat

! 3

! Terbukti bahwa ∙ ! untuk i > 1 dan n N.

Jadi, semua bilangan prima sederhana adalah Pi dengan i N dan i ≠ 1.