Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

1. (15 Poin) Sebuah bola berada bermassa 𝑚 dan berjari-jari berada di dalam sebuah

ruangan berdebu homogen dengan viskositas 𝜂. Bola ini dilemparkan dari lantai dengan

kecepatan awal 𝑣0 dan membentuk sudut 𝜃 dengan lantai.

a. Akibat debu, bola akan mendapat gaya hambat yang berbentuk 𝐹 ℎ = −𝑘𝑣 . Jika massa

jenis debu sangat kecil sehingga gaya hambat pada bola ini hanya disebabkan oleh

kekentalannya, tentukanlah nilai konstanta 𝑘!

b. Tentukan ketinggian maksimum bola dari lantai!

c. Tentukan perpindahan horizontal maksimum bola (jarak titik awal dan titik saat dia

tiba kembali di lantai)! Gunakan pendekatan nilai 𝑘 yang kecil.

Petunjuk :

𝑑𝑥

𝑥= ln 𝑥 + 𝐶

𝑒𝛼𝑥𝑑𝑥 =1

𝛼𝑒𝛼𝑥 + 𝐶

Untuk nilai 𝛼 yang cukup kecil berlaku

𝑒𝛼𝑥 ≈ 1 + 𝛼𝑥

2. (28 Poin) Terdapat sebuah cakram bermassa 𝑀 berjari-jari 𝑅 yang berotasi dengan

kecepatan sudut konstan 𝜔 terhadap sumbu 𝑧. Pusat massa cakram 𝑂 ini dibuat diam

sehingga gerakannya hanya rotasi murni. Terdapat pula sebuah batang bermassa 𝑚 dan

panjang 2𝐿 yang di pasang pada suatu poros bebas gesekan di pinggir cakram di titik A

yang ikut berputar bersama cakram sehingga batang juga berotasi bersama cakram.

Batang membentuk sudut 𝜃 terhadap sumbu radial positif. Percepatan gravitasi adalah 𝑔

yang arahnya ke bawah pada sumbu 𝑧 negatif.

𝑔

𝜔

𝑧

𝑟 𝜃 2𝐿

𝑚

𝑀

𝑅

𝑂

𝐴

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

a. Gunakan pusat cakram sebagai titik asal sistem koordinat. Tentukan vektor posisi

dan vektor kecepatan pusat massa batang dinyatakan dalam 𝑅, 𝐿, 𝜃, 𝜃 , dan 𝜔!

b. Tentukan energi kinetik dan energi potensial sistem dan nyatakan dalam 𝑚, 𝑀, 𝑅, 𝐿,

𝜃, 𝜃 , 𝑔 dan 𝜔!

c. Tentukan suatu persamaan yang memberikan nilai sudut 𝜃 untuk batang 𝑚 pada

posisi kesetimbangan (anda tidak perlu menyelesaikan persamaan ini untuk

mendapatkan sudut 𝜃 tersebut)!

d. Dari hasil pada bagian (c), buatlah suatu fungsi 𝑓1 dan 𝑓2 sebagai fungsi 𝜃 dan

gambarkan kedua fungsi ini pada satu grafik serta tentukan titik potong kedua fungsi

ini untuk batas 0 < 𝜃 < 2𝜋! Apakah makna sudut 𝜃 pada masing-masing titik potong

ini?

e. Tentukan apakah keseimbangan yang mungkin pada sistem ini (stabil, labil, atau

netral)!

f. Gambarkan diagram gaya untuk masing-masing posisi kesetimbangan untuk

memverifikasi hasil dari bagian (d) dan (e)!

g. Untuk posisi sistem pada keseimbangan stabil dan 𝑔 cot3 𝜃 < 𝜔2𝑅, jika sistem

disimpangkan dengan simpangan yang kecil, berapakah frekuensi sudut osilasi

sistem!

3. (20 Poin) Dua buah kotak bermassa 𝑀 ditahan atas lantai dengan sebuah penahan

sehingga keduanya tidak dapat bergerak. Kedua kotak ini terpisah sejauh 𝑑 = 2(𝐿 + 𝑅).

Kemudian sebuah silinder berongga tanpa tutup berdinding tipis dengan massa 𝑚 dan

jari-jari 𝑅 dihubungkan dengan dua buah pegas berkonstanta 𝑘 yang dihubungkan dan

kedua kotak seperti tampak pada gambar. Panjang pegas ketika tidak teregang adalah 𝐿.

lantai licin sempurna sehingga silinder tidak akan berotasi. Sebuah partikel kecil

bermassa 𝑚 berada di permukaan dalam silinder berongga.

a. Untuk osilasi yang kecil, tentukan frekuensi osilasi untuk modus getar sistem ini!

𝑑

𝑘 𝑘 𝑀 𝑀

𝑚

𝑚

𝑅

licin licin

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

b. Untuk limit 𝑘 → 0, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari

frekuensi ini?

c. Untuk limit 𝑘 → ∞, tentukan frekuensi osilasi sistem! Apakah makna fisis dari

frekuensi ini?

d. Sekarang partikel menempel pada permukaan dalam silinder tepat di titik

terendahnya. Penahan kedua kotak kemudian dilepas, tentukan frekuensi osilasi

untuk modus getar sistem ini!

e. Pada saat awal (𝑡 = 0) sistem yang baru ini masih diam, kemudian diberikan impuls

Δ𝑝 pada kotak sebelah kiri. Tentukan persamaan posisi silinder relatif terhadap

posisi awalnya sebagai fungsi waktu.

4. (17 Poin) Dalam sebuah sistem tata surya yang terisolasi, terdapat suatu planet bermassa

𝑚 yang mengorbit dengan orbit lingkaran pada planet yang lebih besar bermassa 𝑀.

Radius orbit planet 𝑚 terhadap 𝑀 adalah 𝑟0. Suatu ketika, terdapat debu padat bermassa

𝑀 pula yang menempel begitu saja secara merata pada planet 𝑀 (asumsikan setelah debu

menempel bentuk planet tetap bola).

a. Tentukan perbandingan energi sistem sesudah dan sebelum debu menempel!

b. Deskripsikan secara kualitatif bentuk orbit dari planet 𝑚 setelah debu menempel

pada planet 𝑀!

c. Tentukan jarak terdekat dan terjauh planet 𝑚 dari planet 𝑀, nyatakan dalam 𝑟0!

d. Tentukan panjang sumbu minor dan mayor dari orbit baru planet 𝑚!

e. Bagaimanakah hasil dari bagian (c) dan (d) untuk 𝑀 = 2𝑚!

Gunakan acuan energi adalah pusat massa planet 𝑀.

5. (20 Poin) Sainsworld adalah suatu dunia impian dimana sains menjadi hal penting bagi

penduduknya. Untuk menghindari pengaruh kehidupan di permukaan bumi yang

semakin waktu semakin buruk, dunia baru ini dibuat melayang di atas permukaan bumi

menggunakan sistem gaya tolak magnet. Namun medan magnet bumi tidak cukup kuat

𝑑

𝑘 𝑘 𝑀 𝑀

𝑚

𝑚

𝑅

licin menempel

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

memberikan gaya tolak untuk membuat dunia ini melayang. Para ilmuwan pun membuat

sautu kumparan raksasa berjari-jari 𝑅 di permukaan bumi yang terdiri dari 𝑁2 lilitan

namun kumparan ini masih bisa dianggap sebagai satu lingkaran saja (luas penampang

kawat cukup kecil dibanadingkan jari-jarinya). Sainsworld berada di atas sebuah cakram

berjari-jari 𝑟. Dipinggir cakram ini dipasang suatu kawat yang cukup besar sepanjang

kelilingnya sebanyak 𝑁1 lilitan. Massa total sainsworld dan segala isinya serta merta

cakram dan kawat yang melilitnya adalah 𝑀. Untuk memberikan kenyamanan pada

penduduknya, sainsworld dibuat melayang pada ketinggian ℎ yang tidak terlalu besar

dari permukaan bumi. Sebelumnya para ilmuwan sudah membuktikan bahwa bumi

berbentuk bola dengan massa 𝑀𝐸 dan jari-jari 𝑅𝐸 . Asumsikan ukuran sainsworld dan

kumparan kawat di permukaan bumi cukup kecil dibandingkan ukuran bumi. Asumsikan

jari-jari cakram jauh lebih kecil dibandingkan jari-jari kumparan di permukaan.

a. Pembangkit energi utama di sainsworld adalah dari panel surya, angin, dan nuklir.

Seluruh sumber energi ini menghasilkan daya sebesar 𝑃0 yang sedemikian rupa bisa

dibuat konstan sepanjang masa. Sejumlah 20% dari total energi ini digunakan untuk

menghasilkan arus pada kawat yang melingkari cakram sainsworld. Hambatan total

kawat ini adalah 𝑅0. Tentukan besar arus yang mengalir pada kawat (𝐼1)!

b. Misalkan besar arus pada kumparan di permukaan bumi adalah 𝐼2, tentukan besar

medan magnet pada suatu titik yang berjarak ℎ dari pusat massa kumparan

sepanjang sumbu yang melalui pusat massanya! Dilihat dari atas bumi, arus 𝐼2

mengalir searah jarum jam.

𝑆𝑎𝑖𝑛𝑠𝑤𝑜𝑟𝑙𝑑

ℎ

𝑅

𝑟

permukaan bumi

Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : mr.sainsworld@gmail.com ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686

c. Berapakah medan magnet pada suatu titik di pinggir cakram sainsworld sebagai

fungsi ℎ!

d. Agar sainworld dapat melayang, berapakah besar arus 𝐼2 yang harus diberikan pada

kumparan di permukaan bumi!

e. Suatu ketika, meteor jatuh menuju bumi namun para ilmuwan berhasil

menghancurkannya sebelum menumbuk bumi. Akan tetapi efek pengahancuran

meteor ini menyebabkan sainsworld tersimpang dari posisi kesetimbangannya. Agar

penduduk tetap aman, sainsworld tidak boleh memiliki percepatan yang lebih besar

dari 5𝑔. Untuk mengantisipasi hal ini para ilmuwan membuat suatu peredam

sehingga sainsworld hanya bisa tersimpang maksimal sejauh 𝑦m dari posisi

kesetimbangannya. Berapakah nilai 𝑦m agar penduduk tetap aman!