runge kutta.docx

7/27/2019 runge kutta.docx

1/6

Metode Runge-Kutta

Pada metode Euler memberikan hasil yang kurang teliti maka untuk mendapatkan

hasil yang lebih teliti perlu diperhitungkan suku yang lebih banyak dari deret Taylor atau

dengan menggunakan intervalx yang kecil. Kedua cara tersebut tidak menguntungkan.Penghitungan suku yang lebih banyak memerlukan turunan yang lebih tinggi dari fungsi

nilaiy (x), sedang penggunaan x yang kecil menyebabkan waktu hitungan lebih panjang.

Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan tidak memerlukan

turunan dari fungsi, bentuk umum dari metode Runge-Kutta adalah:

xxyxyy ),,( iii1i (8.19)

dengan (xi, yi, x) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada

interval.

Fungsi pertambahan dapat ditulis dalam bentuk umum:

nn2211 ... kakaka (8.20)

dengan a adalah konstanta dan kadalah:

k1 =f(xi,yi) (8.21a)

k2 =f(xi+p1x, yi + q11 k1x) (8.21b)

k3 =f(xi+p2x, yi + q21 k1x + q22 k2x) (8.21c)

kn =f(xi+pn1x, yi + qn1, 1 k1x + qn1, 2 k2x ++ qn1, n1kn1x) (8.21d)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa nilai kmempunyai hubungan berurutan.

Nilai k1 muncul dalam persamaan untuk menghitung k2, yang juga muncul dalampersamaan untuk menghitung k3, dan seterusnya. Hubungan yang berurutan ini membuat

metode Runge-Kutta adalah efisien dalam hitungan.

Ada beberapa tipe metode Runge-Kutta yang tergantung pada nilai n yang digunakan.

Untukn = 1, yang disebut Runge-Kutta order satu, persamaan (8.20) menjadi:

),( ii111 yxfaka

Untuka1 = 1 maka persamaan (8.19) menjadi:

xyxfyy ),( iii1i

yang sama dengan metode Euler.

Di dalam metode Runge-Kutta, setelah nilai n ditetapkan, kemudian nilai a,p dan q dicari

dengan menyamakan persamaan (8.19) dengan suku-suku dari deret Taylor.

1) Metode Runge-Kutta order2Metode Runge-Kutta order 2 mempunyai bentuk:

xkakayy )( 2211i1i (8.22a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.22b)


2/6

),( 111i1i2 xkqyxpxfk (8.22c)

Nilai a1, a2, p1 dan q11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan (8.22a) dengan

deret Taylor order 2, yang mempunyai bentuk:

2),('

1),( iiiii1i xyxfxyxfyy (8.23)

dengan ),(' ii yxf dapat ditentukan dari hukum berantai (chain rule) berikut:

dx

dy

y

f

x

fyxf

),(' ii (8.24)

Substitusi persamaan (8.24) ke dalam persamaan (8.23) menghasilkan:

2

)(

1

),( iii1i

x

dx

dy

y

f

x

fxyxfyy

(8.25)

Dalam metode Runge-Kutta ini dicari nilai a1, a2, p1 dan q11 sedemikian sehingga

persamaan (8.22a) ekivalen dengan persamaan (8.25). Untuk itu digunakan deret

Taylor untuk mengembangkan persamaan (8.22c). Deret Taylor untuk fungsi dengan

dua variabel mempunyai bentuk:

...),(),(

y

gs

x

gryxgsyrxg

Dengan cara tersebut, persamaan (8.22c) dapat ditulis dalam bentuk:

)(),(),(2

1111ii111i1i x0y

fxkqx

fxpyxfxkqyxpxf

Bentuk diatas dan persamaan (8.22b) disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a)

sehingga menjadi:

)(),(

),(),(

3

ii

2

112

2

12ii2ii1i1i

x0x

fyxfxqa

x

fxpayxfxayxfxayy

atau

)(),(

),(),(

32

ii11212

ii2ii1i11

x0xx

fyxfqa

x

fpa

xyxfayxfayy

(8.26)

Dengan membandingkan persamaan (8.25) dan persamaan (8.26), dapat disimpulkan

bahwa kedua persamaan akan ekivalen apabila:

a1 + a2 = 1. (8.27a)


3/6

a2p1 =2

1. (8.27b)

a2 q11 =2

1. (8.27c)

Sistem persamaan diatas yang terdiri dari tiga persamaan mengandung empat bilangan

tak diketahui, sehingga tidak bisa diselesaikan. Untuk itu salah satu bilangan tak

diketahui ditetapkan, dan kemudian dicari ketiga bilangan yang lain. Dianggap bahwa

a2 ditetapkan, sehingga persamaan (8.27a) sampai persamaan (8.27c) dapat

diselesaikan dan menghasilkan:

21 1 aa (8.28a)

2

1112

1

aqp (8.28b)

Karena nilai a2 dapat dipilih sembarang, maka akan terdapat banyak metode Runge-Kutta order 2.

Dibawah ini merupakan 3 metode Runge-Kutta order 2 yang sering digunakan.

a) Metode HeunApabila a2 dianggap

2

1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat

diselesaikan dan diperoleh:

.1

.2

1

111

1

qp

a

Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan

menghasilkan:

xkkyy )2

1

2

1( 21i1i (8.29a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.29b)

),( 1ii2 xkyxxfk (8.29c)

dimana k1 adalah kemiringan fungsi pada awal interval dan k2 adalah kemiringan

fungsi pada akhir interval. Dengan demikian metode Runge-Kutta order 2 adalah

sama dengan metode Heun.

b) Metode Poligon (a2 = 1)

Apabila a2 dianggap 1, maka persamaan (8.28a) dan persamaan (8.28b) dapat

diselesaikan dan diperoleh:

.21

.0

111

1

qp

a


4/6

Parameter tersebut apabila disubstitusikan ke dalam persamaan (8.22a) akan

menghasilkan:

xkyy 2i1i (8.30a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.30b)

)2

1,

2

1( 1ii2 xkyxxfk (8.30c)

c) Metode Ralston

Dengan memilih a2 =3

2, akan menghasilkan kesalahan pemotongan minimum

untuk metode Runge-Kutta order 2. Dengan a2 =3

2, didapat:

.4

3

.3

1

111

1

qp

a

sehingga :

xkkyy )3

2

3

1( 21i1i (8.31a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.31b)

)4

3,

4


Contoh soal:

Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan metode Raltson.

.5,820122 23 xxxdx

dy

darix = 0 sampaix = 4 dengan menggunakan langkah .5,0x Kondisi awal padax

= 0 adalahy = 1.

Peyelesaian:Langkah pertama adalah menghitung k1 dan k2 dengan menggunakan persamaan

(8.31b) dan persamaan (8.31c):

.58203125,25,8)375,0(20)375,0(12)375,0(2

).1875,14;375,0()

4

3,

4

3(

.5,85,8)0(20)0(12)0(2),(

23

1ii2

23

001

fxkyxxfk

yxfk


5/6

Kemiringan rerata adalah :

.5546875,4)58203125,2(3

2)5,8(

3

1

Nilaiy (0,5) dihitung dengan persamaan (8.31a):

.27734375,3)5,0(5546875,4105,0 xyy

2) Metode Runge-Kutta Order3Metode Runge-Kutta Order 3 diturunkan dengan cara yang sama dengan order 2

untuk nilai n = 3. Hasilnya adalah 6 persamaan dengan 8 bilangan tak diketahui. Oleh

karena itu 2 bilangan tak diketahui harus ditetapkan untuk mendapatkan 6 bilangan

tak diketahui lainnya. Hasil yang biasa digunakan adalah:

xkkkyy )4(6

1

321i1i

(8.32a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.32b)

)2

1,

2


)2,( 21ii3 xkxkyxxfk (8.32d)

Contoh soal:

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 3.

.5,820122 23 xxxdx

dy


= 0 adalahy = 1.

Penyelesaian:

Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 3 yaitu menghitung k1, k2 dan k3.

.25,15,8)5,0(20)5,0(12)5,0(2

.21875,45,8)25,0(20)25,0(12)25,0(2

.5,85,8)0(20)0(12)0(2

23

3

23

2

23

1

k

k

k

Dengan menggunakan persamaan (8.32a), dihitung nilaiy (x):

.21875,35,0]25,1)21875,4(45,8(6

1[1)5,0( y

3) Metode Runge-Kutta Order4Metode Runge-Kutta order 4 banyak digunakan karena mempunyai ketelitian lebihtinggi. Metode ini mempunyai bentuk:


6/6

xkkkkyy )22(6

14321i1i (8.33a)

dengan:

),( ii1 yxfk (8.33b)

)2

1,

2


)2

1,

2

1( 2ii3 xkyxxfk (8.33d)

),( 3ii4 xkyxxfk (8.33e)

Contoh soal:Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

.5,820122 23 xxxdx

dy


= 0 adalahy = 1.

Penyelesaian:

Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung k1, k2,k3 dan

k4.

.25,15,8)5,0(20)5,0(12)5,0(2

.21875,45,8)25,0(20)25,0(12)25,0(2

.21875,45,8)25,0(20)25,0(12)25,0(2

.5,85,8)0(20)0(12)0(2

23

4

23

3

23

2

23

1

k

k

k

k

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilaiy (x):

.21875,35,0]25,1)21875,4(2)21875,4(25,8(

6

1[1)5,0( y

runge kutta.docx

Documents

Transcript of runge kutta.docx