RUMUS-RUMUS SEGITIGA

35
Rumus-rumus segitiga Oleh : Padiya,S.Pd. e-mail: [email protected] 1

Transcript of RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Page 2: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

2

RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Pandanglah ABC pada gambar 1. Besar sudut dalam ABC, dituliskan dengan A, B, dan C. Sisi di hadapan A (yaitu sisi BC) panjagnya a, sisi di hadapan B (yaitu sisi AC) panjagnya b dan sisi di hadapan C (yaitu sisi AB) panjangnya c.

Gambar 1Jadi dalam ABC terdapat 6 unsur , yaitu 3 unsur sudut (dengan A, B, dan

C) dan 3 unsur sisi ( a, b , dan c).Dalam BAB ini kita akan mempelajari rumus-rumus segitiga yang

menghubungkan unsur-unsur sudut dengan unsur-unsur sisi pada sebuah segitiga, yaitu : aturan sinus (Dalil Sinus), atura kosinus (Dalil kosinus), dan luas segitiga.

1. ATURAN SINUS

A. Contoh-contoh untuk pengantar.Untuk memudahkan kita dlam memahami aturan sinus itu, perlu kita simak

terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini .

1. Pada gambar 2, segitiga ABC siku-siku di B, dengan A = 50o, B = 90o, dan b = 8 . Hitunglah :

a. besar C b. Panjang sisi a dan sisi c. C

b = 8 a 50o

A c B

Gambar 2b. Dari gambar 2 didapat :

Abab

aA sinsin

= 8 sin 50o

= 8 0,7660 = 6,1 (teliti samai 1 tempat desimal)

Abcb

cA coscos

A

B C

bc

a

A = ao sisi BC = aB = bo sisi AC = bC = co sisi AB = c

bo

ao

co

Penyelesaian :a. Untuk menghitung C kita gunakan

hubungan : A + B + C = 180o

C = 180o - A - C = 180o – 50o – 90o

= 40o

Page 3: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

3

= 8 cos 50o

= 8 0,6428= 5,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

Jadi panjang sisi a = 6,1 dan panjang sisi c = 5,1 .

2. Pada gambar 3, ABC lancip dengan A = 40o, B = 80o dan b = 6 .a. Hitung besar C !b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung

Langsung seperti pada contoh 1 ?c. Buat garis tinggi CD pada sisi AB, kemudian

Hitung :i. panjang CP iv. Panjang BPii. panjang BC v. Panjang ABiii. panjang AP

Gambar 3Penyelesaian :a. Untuk menghitung C, kita gunakan hubungan : C = 180o - A - B = 180o – 40o – 80o

= 60o

b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1.

c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 3) kita dapatkan :

i. AbCDb

CDA sinsin

= 6 sin 40o

= 6 0,6428= 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

ii. B

CDBC

BC

CDB

sinsin

= o80sin

9,3

= 9848,0

9,3

= 3,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

iii. AbADb

ADA coscos

= 6 cos 40o

= 6 0,7660= 4,6 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

iv. BBCDBBC

DBB coscos

Ac

b = 6 a

C

B40o 80oD

Page 4: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

4

= 3,9 cos 80o

= 3,9 0,1736= 0,7 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

v. AB = AD + DB = 4,6 + 0,7 = 5,3Jdi dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat menghitung panjang sisi a dan sisi c.

3. Pada gambar 4, ABC tumpul dengan A = 100o, B = 50o dan b = 12.a. Hitunglah besar C!b. Apakah panjang a dan c dapat dihitung

Langsung seperti pada contoh 1.c. Buat garis tinggi CD pada perpanjangan

Sisi AB, kemudian hitung panjang a danc !

Gambar 4Penyelesaian :a. Untuk menghitung C, kita gunakan hubungan : C = 180o - A - B = 180o – 100o – 50o

= 30o

b. Karena ABC bukan segitiga siku-siku, maka panjang sisi a dan c tidak dapat dihitung langsung seperti pada contoh 1.

c. Dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan (lihat gambar 4). Maka kita dapatkan :

i. pada DAC, DAC = 180o – 100o = 80o, sehingga

DACbCDb

CDDAC sinsin

= 12 sin 80o

= 12 0,9848= 11,8 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

DACbADb

ADDAC coscos

= 12 cos 80o

= 12 0,1736= 2,1 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

ii. pada PBC :

B

CDBC

BC

CDB

sinsin

= o50sin

8,11

A B

C

b =12

c

a

100o 50o

D

A

Page 5: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

5

= 7660,0

8,11

= 15,4 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

BBCBDBC

BDB coscos

= 15,4 cos 50o

= 15,4 0,6428= 9,9 (teliti sampai dengan 1 tempat desimal).

AB = BD-AD = 9,9 = 2,1 = 7,8Jadi, dengan membuat garis tinggi CD sebagai garis pertolongan, kita dapat meng-hitung panjang sisi a dan sisi c.Dari contoh 1 sampai dengan contoh 3, kita dapat mengamati beberapa hal sebagai berikut :1. Dalam ABC siku-siku (contoh 1), panjang sisi a dan c dapat dihitung langsung

dengan menggunakan perbandingan trigonometri.2. Dalam ABC lancip (contoh 2) atau tumpul (contoh 3), panjang sisi a dan c

dapat dihitung dengan menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan.Lalu sekarang timbul pertanyaan, dapatkah panjang sisi a dan c dihitung tanpa menggunakan garis tinggi sebagai garis pertolongan ? Untuk menjawab pertanyaan tersebut simaklah uraian berikut ini .

B. Aturan Sinus dan Buktinya.Pada uraian terdahulu telah kita pelajari cara menentukan unsur-unsur sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lain telah diketahui. Namun yang terpenting dari padanya, adalah apa yang disebut di bawah ini :

Atau dengan rumus dapat ditulis sebagai berikut :

Bukti : Cara 1i. Untuk ABC lancip. C

b a

A D B c Gambar 5

Aturan Sinus : Dalam setiap segitiga, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut yang

mengahadapi sisi itu adalah sama, untuk tiap sisi dan sudut yang terdapat pada segitiga tersebut.

Untuk segitiga ABC berlaku :

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka :

AbCDb

CDA sinsin ---(1)

*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :

BaCDa

CDB sinsin ---(2)

Page 6: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

6

Dari (1) dan (2) didapat :bsinA = asinB atau ---------(3)

C E b a

A B c Gambar 6

Dari (1) dan (2) didapat :bsinC = csinB atau ---------(6)

Dari (3) dan (6) didapat : C

c

B

b

A

a

sinsinsin

ii. Untuk ABC tumpul :

C a b

D A c B

Gambar 7

Dari (1) dan (2) didapat :bsinA = asinB atau ---------(3)

C E b a

A c B

Gambar 8

b

b

A

a

sinsin

Perhatikan gambar 6*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :

CbAEb

AEC sinsin ---(4)

*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :

BcAEc

AEB sinsin ---(5)

C

c

B

b

sinsin

Perhatikan gambar 5 *) segitiga ADC siku-siku di D, maka :

AbCDb

CDA sinsin ---(1)

*) segitiga BDC siku-siku di D, maka :

BaCDa

CDB sinsin ---(2)

b

b

A

a

sinsin

Perhatikan gambar 6*) segitiga AEC siku-siku di E, maka :

CbAEb

AEC sinsin ---(4)

*) segitiga BEC siku-siku di E, maka :

BcAEc

AEB sinsin ---(5)

Page 7: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

7

Dari (4) dan (5) didapat :bsinC = csinB atau ---------(6)

Dari (3) dan (6) didapat : C

c

B

b

A

a

sinsinsin (terbukti)

Bukti : Cara 2i. Untuk ABC lancip:

Y C(b.cosA,b.sinA) Y C(a.cosB,a.sinB)

b a a b

yc yc

O=A c B X O=B c A X (a) (b)

Gambar 9Perhatikan gambar 9 di atas !Pada gambar 9 (a) didapat hubungan : yc = b.sinA -----(1)Pada gambar 9 (b) didapat hubungan : yc = a.sinB -----(2)Dari (1) dan (2) didapat hubungan

b.sinA = a.sin B atau

B

b

A

a

sinsin --------(3)

Y B(c.cosA,c.sinA) Y B(a.cosC,a.sinC)

c a a c yb yb

O=A b C X O=C b A X (a) (b)

Gambar 10Perhatikan gambar 10 di atas !Pada gambar 10 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA -----(4)Pada gambar 10 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC -----(5)Dari (4) dan (5) didapat hubungan

c.sinA = a.sin C atau

C

c

A

a

sinsin --------(6)

C

c

B

b

sinsin

Page 8: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

8

Dari (3) dan (6) didapat : C

c

B

b

A

a

sinsinsin (terbukti)

ii. Untuk ABC tumpul : Y Y B(c.cosA,c.sinA) B(a.cosC,a.sinC)

yb c a a c yb

D O=A b C X O=C b A D X (a) (b)

Gambar 11Perhatikan gambar 11 di atas !Pada gambar 11 (a) didapat hubungan : yb = c.sinA ------ (1)Pada gambar 11 (b) didapat hubungan : yb = a.sinC ------ (2)Dari (1) dan (2) didapat hubugan :

c.sinA = a.sin C atau

C

c

A

a

sinsin --------(3)

Y Y A(c.cosB,c.sinB) A(b.cosC,b.sinC)

c ya b b ya c

O=B a C X O=C a B X(a) (b)

Gambar 12Perhatikan gambar 12 di atas !Pada gambar 12 (a) didapat hubungan : ya = c.sinB -----(4)Pada gambar 12 (b) didapat hubungan : ya = b.sinC -----(5)Dari (4) dan (5) didapat hubungan

c.sinB = b.sin C atau

C

c

B

b

sinsin --------(6)

Dari (3) dan (6) didapat : C

c

B

b

A

a

sinsinsin (terbukti)

Bukti cara 3:i. Untuk ABC lancip. C

b a A x O c B x

Perhatikan gambar 13 di samping ! D = A (sudut dalam segmen yang sama)

CBD siku-siku (menghdapi busur 2

1lingkaran DC),

CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)

R

aAatau

R

a

CD

aD

2sin

2sin atau

RA

a2

sin ----- (1)

Page 9: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

9

D Gambar 13 C

b a A O c y B y E Gambar 14

C F b a A O c B Gambar 15

Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin

ii. Untuk ABC tumpul: C

a b

A x O B c

x D Gambar 16

Perhatikan gambar 14 di samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama)

CAE siku-siku (menghdapi busur 2

1lingkaran CE),

CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)

R

bBatau

R

b

CE

bE

2sin

2sin atau

RB

b2

sin ----- (2)

Perhatikan gambar 15 di samping ! F = C (sudut dalam segmen yang sama)

BAF siku-siku (menghdapi busur 2

1lingkaran BF),

BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)

R

cCatau

R

c

BF

cF

2sin

2sin atau

RC

c2

sin ----- (3)

zz

Perhatikan gambar 16 di samping ! D = A (sudut dalam segmen yang sama)

CBD siku-siku (menghdapi busur 2

1

lingkaran DC),CD = 2R, (R = jari-jari lingkaran)

R

aAatau

R

a

CD

aD

2sin

2sin

atau

RA

a2

sin ----- (1)

Page 10: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

10

C

a b

A O y B c

y E Gambar 17

C a b A c B O F

Gambar 18

Dari (1), (2) dan (3) didapat hubungan :

RC

c

B

b

A

a2

sinsinsin terbukti

C..Penggunaan Aturan SinusAturan sinus secara umum dapat digunakan untuk menentukan unsur-unsur pada

sebuah segitiga yang belum diketahui, jika unsur-unsur yang lainnya telah diketahui. Unsur-unsur yang diketahui dalam sebuah segitiga dapat terdiri atas :2. sebuah sisi dan dua buah sudut :

- sisi, sudut, sudut (ss, sd, sd)- sudut, sisi, sudut (sd, ss, sd)

3. dua buah sisi dan sebuah sudut yang berhadapan dengan salah satu sisi itu.- sisi, sisi, sudut (ss, ss, sd).

Untuk memahami penggunaan aturan sinus, marilah kita simak beberapa contoh berikut ini :

1. Dalam kasus 1, unsur-unsur yang diketahui : sebuah sisi dan dua buah sudut.Diketahui ABC dengan A = 38o, B = 64o dan sisi b = 5.a. Hitunglah C !

Perhatikan gambar 17 di samping ! E = B (sudut dalam segmen yang sama)

CAE siku-siku (menghdapi busur 2

1

lingkaran CE),CE = 2R, (R = jari-jari lingkaran)

R

bBatau

R

b

CE

bE

2sin

2sin

atau

RB

b2

sin ----- (2)

Perhatikan gambar 18 di samping ! F= 180o - C (sudut hadap segiempat tali busur), BAF = 90o

BF = 2R, (R = jari-jari lingkaran)CCF o sin)180sin(sin

R

cCatau

R

c

BF

cC

2sin

2sin

atau

RC

c2

sin ----- (3)

Page 11: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

11

b. Hitunglah panjang sisi a dan c !.

Penyelesaian:a. C = 180o - A - B = 180o – 38o – 64o = 78o

b. Panjang sisi a dan c ditentukan dengan aturan sinus- panjang sisi a

42,3

8988,0

0785,3

8988,0

6157,0564sin

38sin5

sin

sinsinsin

a

a

a

a

B

Aba

B

b

A

a

o

o

- panjang sisi c

44,5

8988,0

8905,4

8988,0

9781,0564sin

78sin5

sin

sinsinsin

c

c

c

c

B

Cbc

C

c

B

b

o

o

Atau dengan cara lain :a. Dengan menggunakan daftar logaritma :

42,3

424,3

5345,0log

)0465,0(2104,06990,0log

1009537,9()107893,9(6990,0log

64sinlog38sinlog5loglog

64sin

38sin.5loglog

64sin

38sin5

a

a

a

a

a

a

a

a

oo

o

o

o

o

b. Dengan menggunakan kalkulator.Kalkulator yang dapat dipakai untuk keperluan ini adalah kalkulator jenis ilmiah (scientific calculator), misalnya kalkulator merk ” Casio seri fx-3600P”Caranya :- Pertama-tama mode ukuran sudut diatur dalam kedudukan ”DEG” (degree = derajat).-Kemudian tekan berturut-turut tombol :

3 8 sin x 5 = : 6 4 sin =-Hasil perhitungan akan ditunjukkan pada layar sebagai : 3,424930761-Apabila hasil itu dibulatkan sampai 2 tempat desimal, maka diperoleh a = 3,42 (sesuai dengan perhitungan sebelumnya).

Page 12: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

12

2. Dalam kasus 2, unsur-unsur yang diketahui : dua buah sisi dan sebuah sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu. Diketahui ABC, dengan B = 30o, a = 7 , dan b = 6. Hitunglah :

a.Besar A !b..Besar C !c..Panjang c !

Penyelesaian :Perhatikan gambar 19 di samping !

a. oo

Ab

BaA

B

b

A

a68,3558,0

6

5,3

6

5,07

6

30sin7sinsin

sinsin

b. C = 180o - A - B = 180o – 35,68o – 30o = 114,32o

c. 94,105,0

4678,5

5,0

9113,06

30sin

32,114sin6

sin

sin

sinsin

o

o

B

Cbc

C

c

B

b

3. Diketahui PQR dengan P = 30o, Q = 45o dan q = 7. Tentukanlah : a. Besar R ! b. Panjang p dan r !

Penyelesaian :a. R = 180o - P - Q = 180o – 30o – 45o = 105o

b. - menentukan panjang p

95,47071,0

5,3

7071,0

5,07

45sin

30sin7

sin

sin

sinsin

o

o

Q

Pqp

Q

q

P

p

- menentukan panjang r

56,97071,0

7613,6

7071,0

9659,07

45sin

105sin7

sin

sin

sinsin

o

o

Q

Rqr

R

r

Q

q

4..Diketahui ABC dengan B = 60o, a = 4 dan b = 7 Hitunglah besar A !

Penyelesaian :

66,294949,07

464,3

7

8660,04

7

60sin4sinsin

sinsin

A

b

BaA

B

b

A

a o

5.

Gambar 20

C

6 7 30o

A c B Gambar 19

C

B

A

Seekor laba-laba (A) menjaring seekor lalat (B) dan seekor lebah (C). Apabila sudut BAC = 20o

dan jarak laba-laba (A) dengan lalat (B) = 6, jarak antara lalat (B) dengan lebah (C) = 5. Berapakah jarak laba-laba (A) dengan lebah (C) ?

Page 13: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

13

Penyelesaian :Kejadian tersebut dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga berikut ini. C

? 5

B 20o A Gambar 21

B = 180o - A - C = 180o – 20o – 24,23o = 135,77o

12,103420,0

4625,3

3420,0

6925,05

20sin

77,135sin5

sin

sin

sinsin

o

o

A

BBCAC

A

BC

B

AC

Jadi jarak antara laba-laba dengan lebah adalah 10,12

2. ATURAN KOSINUS

A. Contoh-contoh untuk pengantar.Untuk memudahkan kita dalam memahami Aturan Kosinus itu, perlu kita simak

terlebih dahulu beberapa contoh berikut ini :1. Pada gambar 22, ABC siku-siku di A, dengan b = 3 dan c = 4 .

Hitunglah: Ca. Panjang a !b. Besar B dan C! b=3 a

A c=4 B Gambar 22

Penyelesaian :a. Dengan menggunakan Theorema Pythagoras diperoleh :

52516943 2222 cbab. Dari gambar 22 diperoleh :

oBa

bB 87,366,0

5

3sin

oCa

cC 13,538,0

5

4sin

2. Pada gambar 23 ABC lancip dengan A = 50o, b = 6 dan c = 5.a. Apakah sisi a , B dan C dapat

dihitung langsung seperti pada contoh 1?

b. Apakah sisi a , B dan C dapat dihitung dg aturan sinus ?

C

b = 6 a

A B c=5 Gambar 23

6 o

o

C

C

BC

AABC

C

AB

A

BC

23,24

41,05

3420,06

5

20sin6sin

sinsin

sinsin

Page 14: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

14

Penyelesaian :a. Dalam hal di atas sisi a tidak dapat ditung dengan Theorema Pythagoras.

Sudut B dan C tidak dapat dihitung dengan perbandingan trigonometri.b. Dengan menerapkan aturan sinus pada ABC di atas diperoleh :

CB

aC

c

B

b

A

a

o sin

5

sin

6

50sin

sinsinsin

Dari perhitungan di atas, terlihat bahwa dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung sisi a, B dan C.

3. Pada gambar 24, ABC tumpul dengan a = 4, b = 5 dan c = 8.a. Apakah A, B dan C dapat A

dihitung langsung seperti padacontoh 1 ?

b. Apakah A, B dan C dapat c = 8 dihitung dengan aturan sinus ? b = 5

B C a = 4 Gambar 24

Penyelesaian :a. Sudut A, B dan C dalam hal di atas tidak dapat dihitung dengan perbandingan

trigonometri.b. Dengan menerapkan aturan sinus pada ABC di atas diperoleh :

CBA

C

c

B

b

A

a

sin

8

sin

5

sin

4sinsinsin

Ternyata dengan aturan sinus, kita juga tidak dapat menghitung A, B dan C.

Dari contoh 2 di atas kita dapat meihat bahwa apabila dalam sebuah segitiga diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu maka unsur-unsur lainnya yang belum diketahui tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus. Demikian pula pada contoh 3 pada sebuah segitiga yang diketahui ketiga sisinya, unsur-unsur yang lainnya juga tidak dapat ditentukan dengan aturan sinus.Untuk dapat menghitung unsur-unsur yang belum diketahui dalam segitiga pada contoh 2 dan 3 marilah kita simak uraian berikut ini :

B. Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) dan Buktinya.

Dengan rumus dapat ditulis (untuk segitiga ABC) :

Aturan Kosinus (Dalil Kosinus) : Pada setiap segitiga, kuadrat sebuah sisi adalah sama dengan jumlah kuadrat-kuadrat kedua sisi lainnya dikurangi dengan dua

kali hasil perkalian antara sisi-sisi itu dengan kosinus sudut yang diapitnya.

Page 15: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

15

Dengan menggunakan rumus dapat dituiskan sebagai berikut :

A.

Cabbaciii

Baccabii

Abccbai

cos.2)(

cos.2)(

cos.2)(

222

222

222

B.

ab

cbaCiii

ac

bcaBii

bc

acbAi

2cos)(

2cos)(

2cos)(

222

222

222

Bukti :Dalam pembahasan ini hanya akan dibuktikan dengan cara 1, pembaca diharapkan dapat membuktikan dengan yang lain.

i. Untuk ABC lancip.

(i) C

b tc a

A D c B (ii) A

c ta b

B E a C

(iii) B

a tb c

C F b A Gambar 25

Pada gambar 25 (i) tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :

222 )(BDta c ------ (1)

- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :

Abtc sin.2 ------ (2)

- dan AD = b.cosA, sehingga BD = AB-AD = c – b.cosA ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

bc

acbA

atau

Abccba

AbccAAba

AbAbccAba

AbcAba

2cos

cos.2

cos.2)cos(sin

cos.cos.2sin.

)cos.()sin.(

222

222

22222

222222

222

A(i) dan B(i) terbutki

Page 16: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

16

Pada gambar 25 (ii) ta adalah garis tinggi pada sisi a. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AEC diperoleh :

222 )(ECtb a ------ (1)

- pada segitiga siku-siku BEA diperoleh :

Bcta sin.2 ------ (2)

- dan BE = c.cosB, sehingga EC = BC - BE= a – c.cosB ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

ac

bcaB

atau

Baccab

BacaBBcb

BcBacaBcb

BcaBcb

2cos

cos.2

cos.2)cos(sin

cos.cos.2sin.

)cos.()sin.(

222

222

22222

222222

222

Pada gambar 25 (iii) tb adalah garis tinggi pada sisi b. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku AFB diperoleh :

222 )(AFtc b ------ (1)

- pada segitiga siku-siku BFC diperoleh :

Catb sin.2 ------ (2)

- dan CF = a.cosC, sehingga AF = AC - CF= b – a.cosC ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

ab

cbaC

atau

Cabbac

CabbCCac

CaCabbCac

CabCac

2cos

cos.2

cos.2)cos(sin

cos.cos.2sin.

)cos.()sin.(

222

222

22222

222222

222

ii. Untuk ABC tumpul. C tc a Gambar 26 b

D A c B

A(ii) dan B(ii) terbutki

A(iii) dan B(iii) terbutki

Page 17: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

17

Pada gambar 26 tc adalah garis tinggi pada sisi c. Dengan menerapkan Theorema Pythagoras - pada segitiga siku-siku BCD diperoleh :

222 )(BDta c ------ (1)

- pada segitiga siku-siku ACD diperoleh :

AbAbCADbt oc sin.)180sin(.sin.2 ------ (2)

- dan AD = b.cosCAD = b.cos(180o-A) = b.(-cosA) = -b.cosA, sehingga BD = AB + AD = c + (- b.cosA) = c – b.cosA ------(3)Substitusikan (2) dan (3) ke (1) diperoleh :

bc

acbA

atau

Abccba

AbccAAba

AbAbccAba

AbcAba

2cos

cos.2

cos.2)cos(sin

cos.cos.2sin.

)cos.()sin.(

222

222

22222

222222

222

A B

ta c b tb a c

E B C F C A (i) (ii)

Gambar 27Dengan cara yang sama dengan menggunakan gambar 27 (i) kita akan mendapatkan hubungan sebagai berikut :

Baccab cos.2222 atau ac

bcaB

2cos

222 (Rumus A(ii) dan B(ii))

Dan dengan mengunakan gambar 27 (ii) kita akan mendapatkan hubungan :

Cabbac cos.2222 atau ab

cbaC

2cos

222 (Rumus A (iii) dn B (iii) )

C. Penggunaan Aturan KosinusAturan kosinus dapat kita gunakan untuk menentukan unsur-unsur yang belum

diketahui dari sebuah segitiga, jika diketahui :1. dua buah sisi dan sebuah sudut yang diapit oleh kedua sisi itu.

- sisi, sudut, sisi (ss, sd, ss)2. ketiga buah sisinya

- sisi, sisi, sisi (ss, ss, ss)Untuk lebih memahami penggunaan aturan kosinus, simaklah beberapa contoh

berikut ini :

A(i) dan B(i) terbutki

a b

Page 18: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

18

1. Dalam kasus 1. Kita lihat contoh pada sub A contoh 2:Diketahui ABC lancip dengan A = 50o, b = 6 dan c = 5 .Tentukanlah :a. panjang sisi a !b. besar B dan C!

Penyelesaian :a. Untuk menghitung panjang sisi a, kita gunakan rumus :

74,4

432,22

432,22

568,3861

)6428,0.(602536

50cos.5.6.256

cos.2

2

2

2

222

222

a

a

a

a

a

a

Abccbao

b. Untuk menghitung besar B, kita gunakan rumus :

oB

B

ac

bcaB

76

2419,0cos

2419,04,47

4676,11

4,47

36254676,22

5).74,4.(2

65)74,4(

2cos

222222

Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus :

oC

C

ab

cbaC

96,53

5884,0cos

5884,088,56

4676,33

88,56

25364676,22

6).74,4.(2

56)74,4(

2cos

222222

2. Dalam kasus 2, kita lihat contoh pada sub A contoh 3.Diketahui ABC tumpul, dengan a = 4 , b = 5 dan c = 8.Hitunglah besar A, B, C !

Penyelesaian :Untuk menghitung besar A , kita gunakan rumus :

oC

Cbc

acbA

15,24

9125,0cos

9125,080

73

80

166425

8.5.2

485

2cos

222222

Page 19: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

19

Untuk menghitung besar B, kita gunakan rumus :

oB

Bac

bcaB

75,30

8594,0cos

8594,064

55

64

256416

8.4.2

584

2cos

222222

Untuk menghitung besar C , kita gunakan rumus :

oC

Cab

cbaC

09,125

575,0cos

575,040

23

40

642516

5.4.2

854

2cos

222222

3. Pada ABC, lihat gambar 28 diketahui C A = 40o, b = 5 dan c = 6. tentukanlah panjang sisi a ! b = 5 a

Penyelesaian : A 40o B

88,3

04,15

04,15

96,4561

7660,0603625

40cos.6.5.265

cos.2

2

2

2

222

222

a

a

a

a

a

a

Abccbao

4. Pada ABC, diketahui a = 8 , b = 6 dan c = 10. Tentukanlah besar C !

Penyelesaian :

oC

C

C

C

C

ab

cbaC

90

0cos96

0cos

96

1003664cos

6.8.2

1068cos

2cos

222

222

c = 6

Gambar 28

Page 20: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

20

5. Kota Q terletak 20 km disebelah utara kota P, dan kota R terletak 15 km disebelah barat laut dari kota P. Hitunglah jarak antara kota Q dan kota R !

Penyelesaian :Kejadian di atas dapat kita terjemahkan ke dalam segitiga sebagai berikut : U Q TL 20 kmB T P 15 km R SBD Gambar 29

Dari gambar 29 terlihat :PQ = r = 20 kmPR = q = 15 kmQPR = BPQ + BPR = 90o + 45o = 135o

Sehingga jarak kota Q dan kota R adalah QRQR2 = PQ2 + PR2 – 2.PQ.PR.Cos QPRQR2 = 202 + 152 – 2.20.15.cos 135o

QR2 = 400 + 225 - 600(-0,7071)QR2 = 625 +424,26QR2 = 1049,26

QR = 26,1049

QR = 32,39Jadi jarak antara kota Q dan kota R adalah 32,39 km.

6. Perhatikan gambar 30. O adalah titik pusat lingkaran, dengan OP dan OQ adalah jari-jari lingkaran. Jika PQ = 3 dan OP = 2. Tentukanlah nilai cos ao !

O 2 ao 2

P 3 Q

Gambar 30

Jadi cos ao = -0,125

Penyelesaian :Dari gambar 30 terlihat :PQ = sisi o = 3OP = sisi q = 2OQ = sisi p = 2 O = ao , maka :

125,0cos

6

1cos

6

944cos

2.2.2

322cos

2cos

222

222

o

o

o

o

a

a

a

a

pq

oqpO

Page 21: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

21

*) Petunjuk penggunaan aturan sinus dan aturan kosinus: Apabila Anda dihadapkan pada suatu masalah yang berhubungan dengan penggunaan

aturan sinus dan aturan kosinus, apakah Anda sudah dapat menentukan rumus (aturan ) mana yang paling tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut ?. Kalu belum perhatikan petunjuk di bawah ini :

No. Dalam ABC diketahui Ditanya Aturan yang digunakan1 Sisi, sudut, sudut

i). a, A, Cii). a, B, Aiii). b, A, Biv). b, B, Cv). c, A, Cvi). c, B, C

b, c, Bb, c, Ca, c, Ca, c, Aa, b, Ba, b, A

Aturan sinus (c dicari dulu)Aturan sinus (b dicari dulu)Aturan sinus (a dicari dulu)Aturan sinus (c dicari dulu)Aturan sinus (a dicari dulu)Aturan sinus (b dicari dulu)

2 Sudut, sisi, suduti). A, c, Bii). B, a, Ciii). A, b, C

a, b, Cb, c, Aa, c, B

Aturan sinus (C dicari dulu)Aturan sinus (A di cari dulu)Aturan sinus ( B dicari dulu)

3 Sisi, sisi, suduti). a, b, Aii). a, c, Ciii). b, c, Biv). b, a, Bv). c, a, Cvi). c, b, C

c, B, Cb, A, Ba, A, Cc, A, Cb, A, Ba, A, B

Aturan sinus (B dicari dulu)Aturan sinus ( C dicari dulu)Aturan sinus ( C dicari dulu)Aturan sinus ( A dicari dulu)Aturan sinus ( A dicari dulu)Aturan sinus ( B dicari dulu)

4 Sisi, sudut, sisii). a, C, b

ii). b, A, c

iii). c, B, a

c, A, B

a, B, C

b, A, C

Aturan kosinus (c dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)Aturan kosius ( a dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)Aturan kosinus (b dicari dulu dilanjutkan dengan aturan sinus)

5 Sisi, sisi, sisia, b, c A, B, C Aturan kosinus

Page 22: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

22

3. LUAS SEGITIGADi Sekolah Menengah Pertama, kita mengetahui bahwa luas daerah sebuah segitiga

dapat dihitung, jika panjang alas dan tinggi pada alas tersebut diketahui, misalnya luas daerah segitiga ABC lancip seperti pada gambar 31 (i) maupun segitiga ABC tumpul seperti pada gambar 31 (ii) dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

atABCLuas2

1 -------- (1)

(i) A (ii) A

c t b t c b

B C B C a a

Gambar 31Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari cara-cara perhitungan luas segitiga, jika

tiga unsur yang terdapat dalam segitiga tersebut telah diketahui. Ketiga unsur yang diketahui itu kemungkinannya adalah :

a. dua sisi dan satu sudut yang dipit oleh kedua sisi itu (sisi, sudut, sisi/ ss, sd, ss)b. dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu (sudut, sisi,

sudut/sd,ss,sd).c. dua sisi dn satu sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu (sisi, sisi,

sudut/ss,ss,sd).d. ketiga sisinya (sisi,sisi,sisi/ss,ss,ss)

A. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi itu.

Agar Anda memahami penurunan rumus luas segitiga yang diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit oleh kedua sisi itu, simaklah kembali dua buah segitiga pada gambar 31 di atas, t adalah garis tinggi dati titik A ke sisi BC (gambar 31 (i)) atau perpanjangan sisi BC (gambar 31 (ii)) yang panjangnya a.

Dari gambar 31 tersebut kita peroleh hubungan sebagai berikut :

*) Cctb

tC sin.sin sehingga

Luas ABC = at2

1 menjadi

CbaABCLuas sin..2

1 -------- (2)

*) Bctc

tB sin.sin sehingga

Luas ABC = at2

1 menjadi

Page 23: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

23

BcaABCLuas sin..2

1 -------- (3)

*) dari aturan sinus : a

AbB

B

b

A

a sin.sin

sinsin sehingga

BcaABCLuas sin..2

1 menjadi

a

AbcaABCLuas

sin...

2

1

AcbABCLuas sin..2

1 ------ (4)

Contoh :Diketahui ABC dengan a = 5 cm, b = 7 cm dan C = 40o. Hitunglah luas ABC tersebut !

PenyelesaianDengan rumus (2) luas ABC sama dengan :

25,11

)6428,0.(7.5.2

1

40sin.7.5.2

1

sin..2

1

ABCLuas

ABCLuas

ABCLuas

CbaABCLuas

o

Jadi luas daerah segitiga ABC adalah 11,25 cm2

B. Luas segitiga , jika diketahui dua sudut dan satu sisi yang terletak diantara kedua sudut itu.Jika pada sebuah segitiga diketahui besar dua buah sudutnya dan panjang sebuah sisinya yang terletak di antara kedu sudut itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung dengan rumus :

)sin(.2

sin.sin.2

CB

CBaABCLuas

------ (5)

)sin(.2

sin.sin.2

CA

CAbABCLuas

------ (6)

)sin(.2

sin.sin.2

BA

BAcABCLuas

------- (7)

Page 24: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

24

Bukti :

*) dari aturan sinus : A

Cac

C

c

A

a

sin

sin.

sinsin , kemudian subtitusikan

A

Cac

sin

sin.

ke rumus (3) diperoleh :

BA

CaaABCLuas sin.

sin

sin..

2

1

A

BCaABCLuas

sin

sin.sin..

2

1 2

)sin(

sin.sin..

2

1 2

CB

BCaABCLuas

-------- rumus 5 terbukti.

*) dari aturan sinus : B

Cbc

C

c

B

b

sin

sin.

sinsin , kemudian subtitusikan

B

Cbc

sin

sin.

ke rumus (4) diperoleh :

AB

CbbABCLuas sin.

sin

sin..

2

1

B

ACbABCLuas

sin

sin.sin..

2

1 2

)sin(

sin.sin..

2

1 2

CA

CAbABCLuas

-------- rumus 6 terbukti.

*) dari aturan sinus : C

Aca

C

c

A

a

sin

sin.

sinsin , kemudian subtitusikan

C

Aca

sin

sin.

ke rumus (3) diperoleh :

BcC

AcABCLuas sin..

sin

sin..

2

1

C

BAcABCLuas

sin

sin.sin..

2

1 2

)sin(

sin.sin..

2

1 2

BA

BAcABCLuas

-------- rumus 7 terbukti.

Contoh :Tetukanlah luas ABC, jika diketahui B = 60o, C = 30o dan a = 8 cm !

Penyelesaian :Dengan rumus 5 luas ABC adalah :

)sin(

sin.sin..

2

1 2

CB

BCaABCLuas

Dari hubungan A = 180o – (B + C)maka sin A= sin{180o – (B + C) sin A = sin (B + C)

Dari hubungan B = 180o – (A + C)maka sin B= sin{180o – (A + C) sin B = sin (A + C)

Dari hubungan C = 180o – (A + B)maka sin C = sin{180o – (A + B) sin C = sin (A + B)

Page 25: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

25

)3060sin(

30sin.60sin.8.

2

1 2

oo

oo

ABCLuas

38316.2

1 ABCLuas

Jadi luas daerah ABC sama dengan 8 3 cm2

C. Luas Segitiga jika diketahui dua sisi dan sebuah sudut yang menghadap pada salah satu sisi itu.Jika pada sebuah segitiga diketahui panjang dua sisinya dan besar sudut yang menghadapi salah satu dari sisi itu, maka luas daerah segitiga itu dapat dihitung melaui langkah-langkah sebagai berikut :Langkah 1 :- Kita tentukan sudut-sudut yang belum diketahui dengan aturan sinus.

Langkah 2 :- Setelah semua sudut pada segitiga itu diketahui luas daerah segitiga dapat

dihitung dengan salah satu dari rumus 2 s.d. 7

Contoh :Hitunglah luas ABC, jika diketahui a = 6 cm, b = 4 cm dan B = 40o !

Penyelesaian :Langkah 1 : menentukan A dan C dengan aturan sinus :

oo

Ab

BaA

B

b

A

a6,749642,0

4

8568,3

4

6428,06

4

40sin.6sin.sin

sinsin

Atau A = 180o – 74,6o = 105,6o

C = 180o - A - B = 180o – 74,6o – 40o = 65,4o atau C = 180o - A - B = 180o – 105,6 – 40o = 34,6o

Langkah 2 : Menghitung luas ABC dengan rumus (2) :- Untuk C = 65,4o

9,10

9092,012

4,65sin4621

sin..2

1

ABCLuas

ABCLuas

ABCLuas

CbaABCLuas

o

Jadi untuk C = 65,4o luas ABC = 10,9 cm2

- Untuk C = 34,6o

8,6

5678,012

6,34sin462

1

sin..2

1

ABCLuas

ABCLuas

ABCLuas

CbaABCLuas

o

Jadi untuk C = 34,6o luas ABC = 6,8 cm2

Page 26: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

26

D. Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a , sisi b dan sisi c, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :

)(2

1

))()((

cbasdengan

csbsassABCLuas

--------- (8)

Bukti :Dari hubungan sin2A + cos2 A = 1 sin2 A = 1 – cos2 A

sin2 A = (1 + cos A)(1 – cos A)

dan hubungan bc

acbA

2cos

222 diperoleh :

))()((2

sin

))()((2

4sin

))()((162

1sin

)(2).(2).(2.22

1sin

)(2222)()).(4

)(2222)()).(3

)(2222)()).(2

2)).(1

)(2

1

))()()((2

1sin

)2(

))()()((sin

2

))((

2

))((sin

2

)(

2

)(sin

2

)2(

2

2sin

2

2

2

2sin

21

21sin

22

2

22222

2222222

2222222

222222

csbsassbc

A

csbsassbc

A

csbsassbc

A

bscsassbc

A

sehingga

bsbsbcbacba

cscsccbacba

asasacbaacb

scba

cbasmengambildengan

cbacbaacbacbbc

A

bc

cbacbaacbacbA

bc

cbacba

bc

acbacbA

bc

cba

bc

acbA

bc

cbcba

bc

acbcbA

bc

acbbc

bc

acbbcA

bc

acb

bc

acbA

Page 27: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

27

Dengan mengambil rumus (4)

Luas ABC = SinAcb ..2

1 dan kita substitusikan ))()((

2sin csbsass

bcA

Kita peroleh :

))()((

2..

21

csbsassbc

cbABCLuas

))()(( csbsassABCLuas (terbukti).

Contoh :Hitung luas ABC, jika diketahui panjang a = 5 cm, b = 6 cm dn c = 7 cm !

Jawab :

9)18(2

1)765(

2

1)(

2

1 cbas

s – a = 9 – 5 = 4, s – b = 9 – 6 = 3, s – c = 9 – 7 = 2sehingga luas ABC adalah :

66

216

2349

))()((

ABCLuas

ABCLuas

ABCLuas

csbsassABCLuas

Jadi luas ABC = 6 6 cm2

E. Luas segitiga , jika diketahui ketiga sudutnya dan jari-jari ingkaran luarnya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui besar ketiga sudutnya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :

-------- (9)

Bukti:

Dari aturan sinus : ARaRA

asin.22

sin

Dan BRbRB

bsin.22

sin

Substitusikan nilai a dan b di atas ke dalam rumus (2) :

Luas ABC = 2

1a.b.sinC deiproleha :

Luas ABC = 2

1.2R.sinA.2R.sinB.sinC

Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC (terbukti)

Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC

Page 28: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

28

Contoh :Diketahui segitiga ABC, dengan A = 50o, B = 60o dan C = 70o dan jari-jari lingkaran luarnya R = 8 cm. Hitunglah luas ABC tersebut !

Penyelesaian :Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinCLuas ABC = 282sin50osin60osin70o

Luas ABC = 2640,76600,86600,9397Luas ABC = 79,79Jadi luas ABC = 79,79 cm2

F. Luas Segitiga jika diketahui ketiga sisinya dan jari-jari lingkaran luarya.Jika pada sebuah segitiga ABC diketahui panjang ketiga sisinya dan panjang jari-jari ligkaran luarnya, maka luas segitiga ABC itu dapat dihitung dengan rumus :

R

abcABCLuas

4 -------- (10)

Bukti :Dari rumus (9) Luas ABC = 2R2.sinA.sinB.sinC dan aturan sinus

R

cC

R

bB

R

aA

2sin,

2sin,

2sin diperoleh

3

2

2

8

2

2222

R

abcRABCLuas

R

c

R

b

R

aRABCLuas

R

abcABCLuas

4 ------- (terbukti)

Contoh :Dalam sebuah segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 5 cm , b = 7cm, c = 5 cm dan jari-jari lingkaran luarnya 5 cm. Hitunglah luas segitiga ABC tersebut !

Penyelesaian :

25,820

16554

5754

ABCLuas

ABCLuas

ABCLuas

R

abcABCLuas

Jadi luas ABC = 8,25 cm2

Page 29: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

29

G. Menentukan luas segiempat dan segibanyak beraturan dengan menggunakan rumus luas segitiga.

i.Luas Segiempat.Perhatikan gambar 32. ABCD adalah sebuah segiempat sembarang.P adalah titik potong diagonal AC dan BD.Misalkan DPA = , maka :Luas DAC = Luas ADP + Luas CDP

= 2

1PD.AP.sin +

2

1DP.PC.sin(180o-)

= 2

1PD.AP.sin +

2

1DP.PC.sin

= 2

1PD.(AP+PC).sin

= 2

1PD.AC.sin

Dengan cara yang sama dapat diperoleh :

Luas ABC = 2

1BP.AC.sin

Luas segiempat ABCD = Luas DAC + Luas ABC

= 2

1PD.AC.sin +

2

1BP.AC.sin

= 2

1AC.(BP+PD).sin

= 2

1AC.BD.sin

Jadi luas segiempat ABCD = 2

1AC.BD.sin atau

Contoh :1. Tentukanlah luas segiempat ABCD, jika panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10

cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD = 60o !

Penyelesaian :

Luas segiempat ABCD = 2

1AC.BD.sin

= 2

1610sin 60o

= 30 0,8660 = 25,98Jadi luas segiempat ABCD = 25,98 cm2

Luas suatu segiempat sama dengan setengah dari perkalian antara diagonal-diagonalnya dengan sinus sudut yang diapit oleh diagonal-diagonal tersebut.

Page 30: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

30

2. Pada segiempat PQRS (Gambar 33). PQ = 6 cm, QR = 4 cm, RS = 5 cm dan SP = 5 cm, serta P = 100o.Hitunglah :a. panjang QS b. Besar R c. Luas segiempat PQRS.

Penyelesaian : P 5 100o 6 S Q 5 4 R

Gambar 33

Jadi panjnag QS = 8, 45 cm.

ii. Luas Segilima beraturan

D

s r s

E r O r C s r r s

A s B

Gambar 34

a. Pada PQS :QS2 = PQ2 + QS2 – 2.PQ.PS.cos PQS2 = 62 + 52 – 2.6.5.cos 100o

QS2 = 36 + 25 – 60.(-0,1736)QS2 = 61 + 10,42QS2 = 71,42

QS = 42,71

QS = 8,45

b. Pada QRS :

cos R = 7609,040

42,30

40

42,712516

5.4.2

)45,8(54

..2

222222

SRQR

QSSRQR

R = 139,5o

c. Luas segiempat PQRS = Luas PQS + Luas QRS

Luas PQS = 77,149848,015100sin562

1sin...

2

1 oPPSPQ

Luas QRS = 5,66494,0105,139sin542

1sin...

2

1 oRRSQR

Jadi luas segiempat PQRS = 14,77 + 6,5 = 21,27 cm2

Gambar 34 menunjukkan sebuah segi-lima beraturan ABCDE dengan titik-titk sudutnya terletak pada ling-karan yang berjari-jari r. O adalah titik pusat lingkara dan s adalah panjang sisi segilima ABCDE.AOB = BOC = COD = DOE =

EOA = oo

725

360

Page 31: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

31

Pada segilima ABCDE terdapat 5 segitiga yang sama dan sebangun (kongruen).Kita ambil salah satu dari segitiga tersebut yaitu AOB

Luas AOB = sin...2

1OBOA

= orr 72sin...2

1

= or 72sin..2

1 2

Luas segilima ABCDE = 5 x luas AOB = 5 or 72sin..2

1 2

Dengan menggunakan salah satu rumus luas segitiga no. 5 , 6 tau 7, kita peroleh :

)sin(

sin.sin..

2

1 2

ABAOBLuas

)5454sin(

54sin.54sin..

2

1 2

oo

oosAOBLuas

o

osAOBLuas

108sin

54sin..

2

1 22

Sehingga luas segilima ABCDE = 5 luas AOB = 5 o

os

108sin

54sin..

2

1 22

Contoh :1. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 cm !

Penyelesaian :Luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisinya s = 6 adalah =

93,619022,1

81,117

9022,1

6545,0365

9511,02

)8090,0(65

108sin2

54sin.5 2222

o

os

Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 61,93 cm2

Jadi luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran

luarnya = or 72sin2

5 2

Ingat : Segitiga AOB adalah segitiga sama kaki, sehingga OBA =

OAB = = ooooo 541082

1)72180(

2

1)180(

2

1

Jadi luas segilima beraturan yang diketahui panjang sisi-

sisinya = o

os

108sin2

54sin5 22

Page 32: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

32

2. Hitunglah luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm !

Penyelesaian :Luas segilima beraturan yang diketahui jari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah

= 78,2372

55,475

2

9511,0105

2

72sin.5 22

or

Jadi luas segilima beraturan yang panjang sisinya 6 adalah 237,78 cm2

iii. Luas segienam beraturan.Perhatikan gambar 35. U s T Dalam lingkaran yang berpusat di Odan berjari-jari r terdapat segienam s r r sberaturan PQRSTU dengan panjangsisi s. P r O r S

Dari gambar jelas bahwa = oo

606

360 s r r s

sedangkan = ooo 60)60180(2

1 Q s R

Karena = = 60o , maka POQ adalah Gambar 35segitiga sama sisiDi dalam segienam PQRSTU terdapat 6 buah segitiga yang sama dan sebangun (kongruen). Salah satu dari segitiga tersebut kita ambil untuk mencari luasnya, misal POQ.

2

60sin.

60sin...2

1

sin...2

1

2 o

o

rPOQLuas

rrPOQLuas

OQOPPOQLuas

Sehingga luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6 2

60sin..6

2

60sin. 22 oo rr

Atau dengan menggunakan rumus luas segitiga no. 5, 6, atau 7 kita peroleh :

o

o

oo

oo

sPOQLuas

sPOQLuas

PQPOQLuas

120sin.2

60sin.

)6060sin(.2

60sin.60sin

)sin(.2

sin.sin.

22

2

2

Jadi luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran

luarnya r adalah 2

60sin..6 2 or

Page 33: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

33

Luas segienam PQRSTU = 6 luas POQ = 6 o

o

o

o ss

120sin.2

60sin..6

120sin.2

60sin. 2222

Contoh :1. Hitunglah luas segiena beraturan, jika diketahui panjang jari-jari lingkaran

luarnya r = 8 cm !.

Penyelesaian :Luas segienam beraturan yang diketahui panjang jari-jari lingkaran luarnya r = 8 cm

adalah 27,1662

54,332

2

8660,0646

2

60sin.86

2

60sin..6 22

oor

cm2

2. Hitunglah luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm !.

Penyelesaian :Luas segienam beraturan yang mempunyai panjang sisi s = 8 cm adalah

222222

27,1662

54,332

8660,02

)8660,0(646

120sin.2

60sin.86

120sin.2

60sin..6cm

so

o

o

o

iv. Luas segi-n beraturan.Perhatikan kembali rumus luas segilima dan segienam beraturan berikut ini :

2

5

360sin..5

2

54sin5lim

2

2

o

or

rberaturanasegiLuas

2

6

360sin..6

2

60sin..62

2

o

or

rberaturansegienamLuas

Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan rumus luas segi-n beraturan sebagai berikut :

2

360sin.. 2

nrn

beraturannsegieLuas

o

Kemudian kita perhatikan juga rumus luas segilima dan segienam beraturan yang kedua :

5

180).25(sin.2

5.2

180).25(sin..5

108sin2

54sin5lim

2

2

22

o

O

o

os

sberaturanasegiLuas

Jadi luas segienam beraturan yang panjang sisinya s adalah

o

os

120sin.2

60sin..6 22

Page 34: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

34

6

180).26(sin.2

6.2

180).26(sin..6

120sin.2

60sin..6

2

2

22

o

o

o

os

sberaturansegienamLuas

Kedua rumus tersebut memberikan gambaran bagi kita untuk menentukan luas segi-n beraturan sebagai berikut :

n

n

n

nsn

beraturannsegiLuaso

o

180).2(sin.2

.2

180).2(sin..

2

2

Catatan : n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 2 (n 2), r adalah jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan tersebut dan s adalah panjang sisi segi-n beraturan tersebut.

Contoh :1. Hitunglah luas segi-7 beraturan yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran

yang berjari-jari r = 10 cm !

Penyelesaian :Luas segi-7 beraturan yang berjari-jari lingkaran luarnya r = 10 cm adalah

22

2

63,2732

26,574

2

7818,0700

2

43,51sin.107

27

360sin..7

cmr o

o

2. Hitunglah luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm !

Penyelesaian :Luas segi-9 beraturan yang panjang sisinya s = 30 cm adalah

222

22

2

2

2

39,55632856,1

2,7152

2856,1

8830,08100

6428,02

)9392,0(8100

140sin.2

)70.(sin8100

9

1807sin.2

18

1807sin.9009

9

180).29(sin.2

92

180).29(sin.309

180).2(sin.2

.2

180).2(sin..

cm

n

n

n

nsn

o

o

o

o

o

o

o

o

Page 35: RUMUS-RUMUS SEGITIGA

Rumus-rumus segitiga

Oleh : Padiya,S.Pd.e-mail: [email protected]

35

DAFTAR PUSTAKA

1. Matematika SMA Jilid 7, Depdikbud 19812. Matematika SMA Jilid 9, Depdikbud 19803. Matematika SMA 1, Wilson Simangunsong, Sukino, Drs. I Nyoman Susila, MSc,

Erlangga, 19914. Matematika SMA 1, Sartono Wirodikromo, Dedi D Windyagiri, Erlangga, 19935. Matematika SMA 1, Suah Sembiring, Ganeca Exact Bandung , 19886. Ilmu Konamatra, Dr. WK Baart, Prof. Dr. Meulenbeld, Buku Teknik, Jakarta,

19527. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri C, Fatah Ashari, dkk, Epsilon

Group Bandung, 1991.8. Trigonometri, CJ. Alders,9. Ensiklopedi Matematika, ST Negoro, B. Harahap, Ghalia Indonesia, 1982