BAB IPENDAHULUAN

Beberapa defenisi metode numerik yang dikemukakan ahli matematika,

misalnya metode numeric adalah teknik maslah matematikadiformulasikan

sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan dengan pengoperasian aretmetika.

Tredapat jenis metode numerik, namun pada dasarnya masing- masing metode

tersebut mempunyai karakteristik umum, yaitu selalu mencakup kalkulasi

aretmetika. Jadi metode numeric adalah suatu teknik untuk menformulasikan

masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan opersi aretmetika yang

terdiri dari operasi tambah, kurang, bagi, dan kali.

Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan pada

insinur dan ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk beberapa

integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Di bidang

termodinamika statistic misalnya, model Debye untuk menghitung kapasitas pana

sebuah benda pejel memuat fungsi berikut

Oleh karena tidak dapat dinyatakan secara eksplisit, secara analitik

integrasi numeric harus digunakan untuk mendapatkan hampiran nialai-nilai

.

Contoh lainintegral tentu yang tidak dapat diperoleh secara analitik adalah dalam

perhitungan distribusi normal

.

Mislanya banyak contoh-contoh integral tentu, seperti

, dan ,

yang dapat dihitung secara analitik dan memerlukan perhitungan secara numeric

sebagai hampirannya.

Pada makalah ini akan dibahas beberapa metode yang dapat digunakan

untuk menghitung berbagai hampiaran suatu integral tertentu. Rumus-rumus

integrasi numeric untuk integral f(x) pada interval [a,b] didasarkan pada

perhitungan nialai-nilai f(x) di berhingga titik sampel pada [a,b].

Integral numerik sering disebut juga sebagai quadrature; integrasi numerik

disebut sebagai integrasi dgn menjumlah quadrature.

Penurunan rumus-rumus kuadratur sering di dasarkan pada polynomial-

polinomial interpolasi. Suatu polynomial tunggal berderajat yang

melalui N+1 titik yang memiliki basis yang berderajat sama satu dengan

lainnya. Apabila polynomial ini digunakan sebagai hampiran fungsi f(x) pada

interval [a,b], maka integral f(x) pada [a,b] dihampiri oleh integral pada

[a,b] dan rumus yang diperoleh dikenal sebagai Rumus Kuadratur Newton-Cotes.

Apabila titik sampel dan dipakai, maka rumus kuadratur itu

disebut Rumus Newton-Cotes Tertutup.

BAB IIPEMBAHASAN

A. Aturan Trapesium

Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:

1. Hampiran Jumlah KiriSecara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu

variabel. Untuk menghitung menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar

subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang

tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

2. Hampiran Titik Tengah

Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi

. Misalkan sub-subinterval adalah

. Maka luas persegi panjang yang terbentuk

adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi

dengan

3. Hampiran Jumlah Kanan

Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar

subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang

tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

Jika sub-subinterval mempunyai lebar sama , katakan h, maka perhitungan di atas menjadi lebih mudah dak akan menjadi

dengan

B. Aturan Simpson 1/3

Hampiran nilai integrasi yang lebih baik dapat ditingkatkan dengan

menggunakan polinom interpolasi berderajat yang lebih tinggi. Misalkan

fungsi f(x) dihampiri dengan polinom interpolasi berderajat 2 yang grafiknya

berbentuk parabola. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran nilai

integrasi adalah daerah dibawah parabola. Untuk itu dibutuhkan 3 buah titik

data misalkan (0,f(0)),(h,f(h)) dan (2h,f(2h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ke 3 titik

tersebut adalah

Integrasikan p2(x) di dalam selang [0,2h]:

Mengingat

Dan Maka, selanjutnya

Persamaan di atas dinamakan kaidah simpson 1/3. Sebutan 1/3 muncul

karena di dalam persamaan ini terdapat factor 1/3 (sekaligus untuk

membedakannya dengan kaidah simpson yang lain yaitu simpson 3/8).

Misalkan kurva fungsi sepanjang selang integrasi [a,b] kita bagi menjadi

n+1 buah itik diskrit x0,x2,….,xn, dengan n genap, dan setiap tiga buah titik

(atau 2 pasang upaselang)di kurva dihampiri dengan parabola (polinom

interpolasi derajat 2), maka kita akan mempunyai n/2 potongan parabola. Bila

masing2 polinom derajat 2 tersebut kita integralkan di dalam upselang

(subinterval) integrasinya, maka jumlah seluruh integral tesebut membentuk

Kaidah simpson 1/3 gabungan

Pesamaan ini mudah di hafalkan dengan mengingat pola koefisien suku-

sukunya

1,4,2,4,2,….,2,4,1

Namun penggunaan kaidah 1/3 simpson mensyaratkan jumlah upaselang (n)

harus genap, ini berbeda dengan kaidah trapezium, yang tidak mempunyai

persyaratan mengenai jumlah selang.

Galat Kaidah Simpson 1/3

Galat kaidah simpson 1/3 untuk dua pasang upaselang adalah

Uraikan f(x),f1,dan f2 masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar x0

Sulihkan persamaan ke-2 kedalam persamaan pertama :

Jadi, kaidah simpson 1/3 untuk sepasang upaselang ditambah dengan

galatnya dapat dinyatakan sebagai

Galat untuk n/2 pasang upaselang adalah :

, a < t < b

, karena n = (b-a)/h

Jadi, kaidah simpson 1/3 gabungan ditambah galatnya dapat dinyatakan sebagai,

Dengan kata lain, kaidah simpson 1/3 gabungan berorde 4. Dibandingkan dengan

kaidah trapezium gabungan, hasil integrasi dengan kaidah simpson gabungan jauh

lebh baik, karena orde galatnya lebih tinggi. Tapi ada kelemahannya, yaitu kaidah

simpson 1/3 tidak dapat diterapkan bila jumlah upaselang (n) ganjil.

C. Aturan Simpson 3/8

Seperti halnya pada kaidah simpson 1/3, hampiran nilai integrasi yang

lebih teliti dapat ditingkatkan terus dengan menggunakan polinom interpolasi

berderajat lebih tingi pula. Misalkan sekarang fungsi f(x) kita hampiri dengan

polinom interpolasi derajat 3. Luas daerah yang dihitung sebagai hampiran

nilai integrasi adalah daerah dibawah kurva polinom derajat 3 tersebut

parabola. Untuk membentuk polinom interpolasi derajat 3, dibutuhkan 4 buah

titik data, misalkan titik2 tersebut (0,f(0)),(h,f(h)),(2h,f(2h)) dan (3h,f(3h)).

Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 3 yang melalui ke empat buah titik

itu adalah

Integrasi p3(x) di dalam selang [0,3h] adalah,

Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaidah simpson 1/3, diperoleh

Yang merupakan kaidah simpson 3/8.

Galat kaidah simpson 3/8 adalah

, 0 < t < 3h

Jadi, kaidah simpson 3/8 gabungan ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan

sebagai

Sedangkan kaidah simpson 3/8 gabungan adalah

Persamaan di atas mudah dihapalkan dengan mengingat pola suku sukunya :

1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, …. , 2, 3, 3, 1

Namun penggunaan kaidah simpson 3/8 mensyaratkan jumlah upaselang (n) harus

kelipatan tiga.

Galat kaidah 3/8 simpson gabungan adalah

Jadi, kaidah simpson 3/8 ditambah dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai

Kaidah simpson 3/8 memiliki orde galat yang sama dengan orde galat kaidah

simpson 1/3. Namun dalam praktek, kaidah simpson 1/3 biasanya lebih di sukai

dari pada kaidah simpson 3/8, karena dengan tiga titik (simpson 1/3) sudah

diperoleh orde ketelitian yang sama dengan 4 titik (simpson 3/8). Tetapi untuk n

kelipatan 3, kita hanya dapat menggunakan kaidah simpson 3/8, dan bukan

simpson 1/3

D. Metode integrasi numeric untuk h yang berbeda beda

Misalkan jarak antara titik-titik data dalam selang [a,b] tidak seragam.

Beberapa titik data mempunyai jarak h1, beberapa titik data yg lain h2, sedangkan

sisanya berjarak h3. Integrasi numeric dalam selang [a,b] dilakukan dengan

mengkombinasikan kaidah integrasi yang sudah ada, misalnya kombinasi kaidah

trapezium, kaidah 1/3 simpson, dan kaidah 3/8 simpson. Berdasarkan orde

galatnya, kaidah 1/3 simpson dan 3/8 simpson lebih teliti daripada kaidah

trapezium. Karena itu, kaidah 1/3 simpson diterapkan apabila jumlah upaselang

yang bertetangga genap, sedangkan kaidah 3/8 simpson diterapkan bila jumlah

upaselang yang bertetangga ganjil dan kelipatan 3. Sisanya dihitung dengan

kaidah trapezium. Jadi, tata-ancangnya dapat diringkas sebagai berikut :

a. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah genap,

gunakan kaidah 1/3 simpson.

b. Untuk sejumlah upaselang berurutan yang berjarak sama adalah kelipatan

tiga, gunakan kaidah 3/8 simpson

c. Untuk sejumlah upaselang yang tidak berjarak sama dengan tetangganya,

gunakan kaidah trapezium.

Contoh :

Empat buah upaselang pertama berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah

simpson 1/3 (karena jumlah upaselang genap). Tiga buah upaselang berikutnya

berjarak sama, lebih baik menggunakan kaidah simpson 3/8 (karena jumlah

upaselang kelipatan 3). Dua buah upaselang berikutnya masing masing berbeda

lebarnya, maka setiap upaselang dihitung integrasinya dengan kaidah trapezium.

E. Bentuk Umum Metode Newton-Cotes

Kaidah trapezium, kaidah simpson 1/3 dan kaidah simpson 3/8 adalah 3

buah metode integrasi numeric pertama dari metode Newton-Cotes. Masing

masingnya menghampiri fungsi f(x) dengan polinom I nterpolasi derajat 1

(lanjar), derajat 2 (kuadratik), dan derajat 3 (kubik). Kita dapat menemukan

kaidah kaidah lainnya dengan menggunakan polinom interpolasi derajat 4,5,6 dan

seterusnya.

Bentuk umum metode Newton-Cotes dapat di tulis sebagai :

Dalam hal ini dan , E menyatakan galat,

sedangkan dan adalah konstanta riil.

PROGRAM MATLAB

Menghitung integral dengan metode:

A. ATURAN TRAPESIUM

1. Hampiran Jumlah Kiri (Metode Persegi)

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI KIRI');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')

a=0;b=10;n=10000000; l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; p=i*l-l; p=p^2; luas=p*l; t=t+luas;endt

Output:PROGRAM METODE PERSEGI KIRIPROGRAMER : KELOMPOK II

t =

333.3333

2. Hampiran Titik Tengah(Metode Persegi Tengah)

%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI TENGAH');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')

a=0;b=10;n=10;l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; pkiri=i*l-l; pkiri=pkiri^2 pkanan=i*l; pkanan=pkanan^2; luas=l*(pkiri+pkanan)/2; t=t+luas;endt

3. Hampiran Jumlah Kanan(Medode Persegi Kanan)%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI KANAN');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')

a=0;b=10;n=10000000;l=(b-a)/n;t=0;for i=1:n; p=i*l; p=p^2; luas=p*l; t=t+luas;endt

Output:

PROGRAM METODE PERSEGI KIRIPROGRAMER : KELOMPOK II

t =

333.3333

B. ATURAN SIMPSON%PROGRAM MENGHITUNG INTEGRALclc;clear;disp('PROGRAM METODE PERSEGI TENGAH');disp('PROGRAMER : KELOMPOK II ')

a=0;b=10;n=8;t=(b-a)/n;total=0;for i=1:n pkiri=i*t-t; pkanan=i*t; ptengah=(pkiri+pkanan)/2; pkiri=pkiri^2; pkanan=pkanan^2; ptengah=ptengah^2; luas=(t*(pkiri+2*ptengah+pkanan))/4; total=total+luas;endtotal

Output:

total =

333.9844

BAB IIIPENUTUP

Adapun kesimpulan dari pembahasan makalah ini adalah

Dalam menghitung integral dengan menggunakan aturan trapesium dapat dihitung dengan menggunakan tiga cara yaitu:

1. Hampiran Jumlah KiriSecara umum, misalkan f(x) adalah sebuah fungsi nyata satu

variabel. Untuk menghitung menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kiri, dapat dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar

subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang

tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

2. Hampiran Titik Tengah

Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran titik tengah, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi

. Misalkan sub-subinterval adalah

. Maka luas persegi panjang yang terbentuk

adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

3. Hampiran Jumlah Kanan

Untuk menghitung dengan menggunakan hampiran jumlah kanan, dapat dihitung dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:

Partisi interval [a,b] menjadi n subinterval berbentuk [xi,xi+1]

sedemikian hingga Buat persegi panjang pada [xi,xi+1] dengan tinggi f(xi) dan lebar

subinterval ini. Jika , maka luas persegi panjang

tersebut adalah . Jumlah luas persegi-persegi panjang tersebut merupak

hampiran integral yang diinginkan.

Dan menghitung integral dengan menggunakan aturan simpson yaitu dengan cara: Aturan simpson 1/3 Aturan simpson 1/8

MENGHITUNG INTEGRASI NUMERIK DENGAN METODE NEWTON-COTES

Oleh :

Kelompok II

Anggota:

Hartati Nismawati Milka Andriani Nursyamsu Tsani

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDIN

MAKASSAR

2010