Rumus Dasar Integral Lengkap

Posted On August 13, 2013 | Under Category: Integral

advertisements

Integral merupakan sebuah konsep penting dalam matematika yang seringkali menjadi kelemahan tidak sedikit orang. Agar dapat paham dengan integral sampai integral berkelanjutan, anda pertama harus paham integral dasarnya dulu. Pondasi dari semua integral lanjutan, misalnya saja agar dapat paham integral parsial, integral tentu, integral tak tentu, dll yang akan saya berikan penjelasannya di artikel berikutnya.

Jika diberikan suatu fungsi f dari variabel x dengan interval [a,b] maka integral tertentunya dapat ditulis seperti gambar diatas. Sedangkan kurva untuk integral tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.

Kurva diatas dapat didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh kurva f, sumbu x, sumbu y, garis x=a dan garis x=b, dimana daerah diatas sumbu x bernilai positif dan daerah dibawah sumbu x bernilai negatif.

Integral juga biasa digunakan untuk merujuk anti turunan. Jika terdapat sebuah fungsi F yang mempunyai turunan f maka kasus seperti ini disebut integral tak tentu yang dapat dinotasikan sebagai berikut.

Jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a,b] dan jika anti turunan F dari f diketahui maka integral tertentu dari f pada interval yang telah diketahui dapat didefinisikan sebagai.

Berikut ini beberapa rumus dasar integral

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

Dalam mencari nilai integral kita dapat menggunakan beberapa cara, diantaranya :

1. Substitusi

Cari nilai dari:

2. Substitusi Trigonometri

Bentuk

Gunakan

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Cari nilai dari: dengan menggunakan substitusi

Masukkan nilai tersebut:

Nilai sin A adalah

3. Integral Parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

Contoh soal:

Cari nilai dari:

Gunakan rumus di atas

Jika kita menemukan bentuk penjumlahan atau bentuk pengurangan integral dapat dirubah seperti berikut ini.

Nah, itulah beberapa rumus dasar integral dan contoh dalam penyelesaian integral. Semoga anda dapat memahaminya sehingga anda dapat dengan mudah memahami integral lanjutan dan berbagai jenis integral lainnya. Dari penjelasan diatas sepertinya sekarang anda telah dapat mengerjakan soal-soal integral sederhana. Maka jika anda menemukan soal-soal yang berhubungan dengan integral anda tidak akan kesulitan dalam mengerjakannya. Jangan lupa baca juga artikel sebelumnya Pengertian dan Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat agar anda lebih mengenal matematika dan lebih cinta matematika.

http://rumus-matematika.com/rumus-dasar-integral-lengkap/

Subjek:Matematika/Materi:Integral

Dari Wikibuku bahasa Indonesia, sumber buku teks bebas

< Subjek:Matematika

Langsung ke: navigasi, cari

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva (x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu mempunyai rumus umum:

Keterangan:

c: konstanta

Pengintegralan standar

Jika maka:

Jika maka:

Jika maka:

Pengintegralan khusus

Sifat-sifat

Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum:

Keterangan:

konstanta c tidak lagi dituliskan dalam integral tentu.

Integral trigonometri

Ingat-ingat juga beberapa sifat-sifat trigonometri, karena mungkin akan digunakan:

Substitusi trigonometri

Integral yang mengandung a2 x2

Pada integral

kita dapat menggunakan

Catatan: semua langkah diatas haruslah memenuhi syarat a > 0 dan cos() > 0;

Integral yang mengandung a2 + x2

Pada integral

kita dapat menuliskan

maka integralnya menjadi

(syarat: a0).

Integral yang mengandung x2 a2

Pada integral

dapat diselesaikan dengan substitusi:

Teknik pemecahan sebagian pada pengintegralan

Polinomial tingkat pertama pada penyebut

Misalkan u=ax+b, maka du=adx akan menjadikan integral

menjadi

Contoh lain:

Dengan pemisalan yang sama di atas, misalnya dengan integral

akan berubah menjadi

Integral Parsial

Jika dimisalkan u = f(x), v = g(x), dan diferensialnya du = f '(x)dx dan dv = g'(x)dx, maka integral parsial menyatakan bahwa:

atau dapat ditulis juga:

http://id.wikibooks.org/wiki/Subjek:Matematika/Materi:Integral

Aplikasi Integral dalam kehidupan sehari-hari

Definisi Integral adalah kebalikan dari diferensial. Apabila kita mendiferensiasi kita mulai dengan suatu pernyataan dan melanjutkannya untuk mencari turunannya. Apabila kita mengintergrasikan,kita mulai dengan turunannya dan kemudian mencari peryataan asal integral ini. Lambang integral adalah

Integral dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas cangkupannya seperti digunakan di bidang teknologi,fisika,ekonomi,matematika,teknik dan bidang-bidang lain.

Integral dalam bidang teknologi diantaranya digunakan untuk memecahkan persoalan yang berhubungan dengan volume,panjang kurva,memperkirakan populasi,keluaran kardiak,usaha,gaya dan surplus konsumen.

Sedangkan dalam bidang ekonomi penerapan integral diantarana ada 4 yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal,mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.

Dalam bidang matematika dan fisika penerapan integral juga digunakan,seperti dalam matematika digunakan untuk menentukan luas suatu bidang,menentukan volum benda putar dan menentukan panjang busur. Sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Penerapan integral dalam bidang teknik digunakan untuk mengetahui volume benda putar dan digunakan untuk mengetahui luas daerah pada kurva.

Contoh integral dalam kehidupan sehari-hari,kita tahu kecepatan sebuah motor pada waktu tertentu, tapi kita ingin tau posisi benda itu pada setiap waktu. Untuk menemukan hubungan ini kita memerlukan proses integral (antidiferensial) dan Lihat gedung Petronas di Kuala Lumpur atau gedung-gedung bertingkat di Jakarta. Semakin tinggi bangunan semakin kuat angin yang menghantamnya. Karenanya bagian atas bangunan harus dirancang berbeda dengan bagian bawah. Untuk menentukan rancangan yang tepat, dipakailah integral.

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Hukum logika

1. Hukum komutatif

p q q p

p q q p

2. Hukum asosiatif

(p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

3. Hukum distributif

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

4. Hukum identitas

p B p

p S p

5. Hukum ikatan

p S S

p B B

6. Hukum negasi

p ~p S

p ~p B

7. Hukum negasi ganda

~(~p) p

8. Hukum idempotent

p p p

p p p

9. Hukum De Morgan

~(p q) ~p ~q

~(p q) ~p ~q

10. Hukum penyerapan

p (p q) p

p (p q) p

11. Negasi B dan S

~B S

~S B

12. BAB 1. PENDAHULUAN

13.

14.

15. 1.1 Latar Belakang

16. Himpunan dan logika merupakan hal yang tidak asing lagi bagi mahasiswa, terutama mahasiswa jurusan matematika. Himpunan merupakan segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Sedangkan, logika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan benar. Logika dalam pengertian ini adalah berkaitan dengan argumen-argumen, yang mempelajari metode-metode dan prinsip-prinsip untuk ,menunjukkan keabsahan (sah atau tidaknya) suatu argumen, khususnya yang dikembangkan melalui penggunaan metode-metode matematika dan simbol-simbol matematika dengan tujuan untuk menghindari makna ganda dari bahasa yang biasa kita gunakan sehari-hari.

17. Mencari nilai kebenaran logika dan himpunan bisa dikatakan gampang gampang susah. Karena pada logika kebanyakan bisa mencari nilai kebenaran tetapi tidak jarang sulit untuk dikatakan benar atau salahnya jawaban tersebut. Sedangkan pada himpunan, mudah untuk menghitungnya tetapi ada sebagian yang susah menggambarkannya, atau sebaliknya.

18. Kini tidak perlu khawatir lagi, karena zaman serba modern dan canggih. Berbagai aplikasi dan pemograman telah ada, contohnya saja matlab. Matlab merupakan kepanjangan dari matrix labolatory yang memiliki fungsi memudahkan dalam menghitung matematika seperti matriks, turunan, integral, fungsi, limit, himpunan, logika, dan lain - lain. Sehingga benar atau salahnya jawaban dapat diketahui dengan mudah asalkan menggunakan dan mengetahui syntax yang diperlukan untuk mengcari suatu masalah. Agar lebih jelas pemahaman tentang penggunaan matlab dalam menyelesaikan soal soal tentang himpunan dan logika maka diadakan praktikum ini.

19.

20.

21. 1.2 Rumusan Masalah

22. Rumusan masalah dalam laporan praktikum ini adalah

23. 1. Bagaimana menyelesaikan masalah tentang himpunan menggunakan matlab?

24. 2. Bagaimana menyelesaikan masalah tentang logika menggunakan matlab?

25.

26. 1.3 Tujuan

27. Tujuan dari laporan praktikum ini adalah sebagai berikut :

28. 1. Mampu menyelesaikan masalah tentang himpunan menggunakan matlab.

29. 2. Mampu menyelesaikan masalah tentang logika menggunakan matlab.

30.

31. 1.4 Manfaat

32. Manfaat yang didapat dari laporan praktikum ini adalah sebagai berikut :

33. 1. Dapat dengan mudah menyelesaikan masalah tentang himpunan menggunakan matlab.

34. 2. Dapat dengan mudah menyelesaikan masalah tentang logika menggunakan matlab.

35. 3.

36. BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

37.

38.

39. Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika. Teori tentang himpunan dikembangkan pertama kali oleh ilmuwan George Cantor (1845-1918). Walaupun pada mulanya teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika sendiri, cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan sehari-hari.

40. Secara intuitif himpunan adalah kumpulan objek-objek yang mempunyai sifat tertentu. Objek-objek dalam himpunan disebut anggota (elemen) himpunan tersebut. Sifat tertentu dari anggota-anggota himpunan disebut sifat himpunan tadi. Syntax yang digunakan untuk mencari himpunan menggunakan matlab yaitu :

41. >>union(A,B) digunakan untuk mencari (A gabungan B).

42. >>intersect(A,B) digunakan untuk mencari (A irisan B).

43. >>setdiff(U,A) digunakan untuk mencari atau complemen dari A.

44. >>setxor(A,B) digunakan untuk mencari

45. >>length(A) digunakan untuk mencari banyaknya anggota himpunan A.

46. >>ismember(1,A) digunakan untuk memeriksa apakah 1 anggota dari A.

47. >>ismember(A,B) digunakan untuk memeriksa apakah A subset dari B.

48. >>setxor(A,1) digunakan untuk menghapus 1 sebagai elemen A.

49. Secara bahasa, logika berasal dari kata logos (bahasa Yunani), yang artinya kata, ucapan, pikiran. Kemudian pengertian itu berkembang menjadi ilmu pengetahuan. Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan di mana obyek materialnya adalah berpikir (khususnya penalaran/proses penalaran) dan obyek formal logika adalah berpikir/penalaran yang ditinjau dari segi ketepatannya. Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif. Penalaran deduktif kadang disebut logika deduktif yaitu penalaran yang membangun atau mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Penalaran induktif kadang disebut logika induktif yaitu penalaran yang berangkat dari serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum.

50. Syntax yang digunakan untuk menghitung logika, yaitu :

51. >> and (A,B) digunakan untuk menyatakan false jika ada pernyataan yang salah.

52. >> Or (A,B) digunakan untuk menyatakan false jika semua pernyataan salah.

53. >> not (A) digunakan untuk menyatakan negasi dari pernyataan A.

54. >> xor(A,B) digunakan untuk menyatakan false jika kedua pernyataan salah/ benar.

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. LATAR BELAKANG

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu. Dengan buku paket dan LKS yang sangat tebal dan banyak. Itulah yang menyebabkan para pelajar/siswa merasa bosan untuk belajar matematika. Seringkali mereka bertanya, "Apa sih manfaat belajar matematika dalam kehidupan sehari-hari? Apa manfaat Aljabar? Apa manfaat himpunan? Apa manfaat trigonometri?".

Pertanyaan-pertanyaan seperti itu sudah sering mereka lontarkan kepada guru-guru pembimbing mereka. Pertanyaan itu mereka lontarkan karena mereka sudah kesal terhadap pelajaran mereka yang terasa membosankan dan tidak perlu. Tetapi sebenarnya, matematika sangat berfungsi dalam kehidupan sehari-hari, baik yang paling mudah sampai yang tersulit sekalipun.

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai himpunan sangatlah berguna.

Himpunan biasa digunakan dalam matematika dan dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kehidupan sehari-hari kita jumpai pengertian tersebut seperti dalam Himpunan Mahasiswa Ilmu Komunikasi Universitas Gunadarma, kumpulan koran bekas, koleksi perangko, kelompok belajar, gugus depan dalam pramuka dan kata sejenis lainnya. Kata-kata himpunan, kumpulan, koleksi, kelompok daam kehidupan sehari-hari memiliki arti yang sama.

Pengertian himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada pengertian himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif,. Tetapi dalam matematika dapat dibuat definisinya. Kata himpunan dan kumpulan digunakan dalam definisi secara bersamaan, meskipun keduanya mempunyai arti yang sama. Demikian pula dengan kata himpunan dan koleksi.

I.2. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang tersebut rumusan masalah yang dapat diangkat antara lain sebagai berikut:

I.2.1. Bagaimana definisi himpunan?

I.2.2. Bagaimana manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

I.2.3. Bagaimana contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari?

I.3. TUJUAN

Tujuan dari penuliasan makalah ini adalah, sebagai berikut:

I.3.1. Untuk mengetahui definisi himpunan.

I.3.2. Untuk mengetahui manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

I.3.3. Untuk mengetahui contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

BAB II

PEMBAHASAN

II. A. Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Jenis-jenis Himpunan

1. Himpunan Kosong

Definisi : Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

2. Himpunan Bagian

Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3. Himpunan sama

Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B A B dan B A

Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

1.Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.

Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2.Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.

Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3.Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C

(b) Jika A = B, maka B = A

(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

II.B. Manfaat belajar himpunan dalam kehidupan sehari-sehari

Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari? Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:

1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.

2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.

3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.

4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.

5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.

6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

II.C. Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari

Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu, mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.

http://susi-deswati.blogspot.com/2012/12/makalah-matematika-himpunan.html