Rekayasa Trafik, Sukiswo 1Model Antrian & Model TrafikRekayasa TrafikSukiswosukiswok@yahoo.comsukiswo@elektro.ft.undip.ac.idRekayasa Trafik, Sukiswo 2Outline Overview Sistem Antrian Karakteristik proses antrian Notasi Dasar sistem antrian Model Trafik Suara/VoiceRekayasa Trafik, Sukiswo 3Sistem Antrian Kedatangan utk layanan Menunggu utk layanan Mendapat layanan Meninggalkan sistemRekayasa Trafik, Sukiswo 4Sistem Antrian UmumRekayasa Trafik, Sukiswo 5Karakteristik Proses Antrian Pola kedatangan Pola layanan Disiplin antrian Kapasitas sistem Jumlah kanal layanan Jumlah tingkat/stages layananRekayasa Trafik, Sukiswo 6Pola Kedatangan Stochastic Distribusi probabilitas Kedatangan tunggal/single atau batch Kelakuan pelanggan Pelanggan sabar Menunggu selamanya Pelanggan tidak sabar Menunggu utk suatu perioda waktu dan memutuskan utk pergi Melihat antrian panjang dan memutuskan tdk bergabung Mengubah barisan utk menungguRekayasa Trafik, Sukiswo 7Pola Kedatangan Apakah time dependent? Pola kedatangan Stationary (time independent probability distribution) Pola kedatangan NonstationaryRekayasa Trafik, Sukiswo 8Pola Layanan Distribusi utk waktu layanan Layanan tunggal/single atau batch (mesin paralel) Proses layanan tergantung jumlah pelanggan menunggu (state dependent) Layanan sangat cepatmasih memerlukan antrian? Tergantung juga pada kedatangan Mengasumsikan mutually independentRekayasa Trafik, Sukiswo 9Disiplin Antrian Cara pelanggan-pelanggan mendapatkan layanan First come, first serve Last come, first serve Random serve Priority serve Preemptive NonpreemptiveRekayasa Trafik, Sukiswo 10Kapasitas Sistem Kapasitas terbatas Ukuran sistem maksimum Kapasitas tdk terbatasRekayasa Trafik, Sukiswo 11Jumlah Kanal Layanan Sistem antrian multiserver Single line service Multiple line serviceRekayasa Trafik, Sukiswo 12Tingkat/Stages Layanan Single stage Multiple stages Tanpa feedback (Entrance Exam) Dg feedback (Manufacturing)Rekayasa Trafik, Sukiswo 13Notasi Antrian Notasi Kendall (1953)A / B / X / Y / ZA : Distribusi waktu antar kedatanganB : Distribusi waktu layananX : # kanal layanan paralelY : Kapasitas sistemZ : Disiplin antrianRekayasa Trafik, Sukiswo 14Notasi Antrian A/B/X/Y/ZRekayasa Trafik, Sukiswo 15Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/3//FCFS Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan exponential 3 server paralel Ruang tunggu tdk terbatas Disiplin antrian First-Come First-ServeRekayasa Trafik, Sukiswo 16Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/D/1 Waktu antar kedatangan exponential Waktu layanan Deterministic 1 server Ruang tunggu tdk terbatas (default) Disiplin antrian FCFS (default)Rekayasa Trafik, Sukiswo 17Notasi Antrian A/B/X/Y/Z M/M/1 M/M/c/k M/M/ Ek/M/1 M/G/1 G/M/m G/G/1Rekayasa Trafik, Sukiswo 18Sistem Antrian - Dasar G/G/m Waktu antar kedatangan dg distribusi A(t) Waktu layanan dg distribusi B(x) m servers Cn: pelanggan ke-n memasuki sistemRekayasa Trafik, Sukiswo 19Sistem Antrian - Dasar tn: waktu kedatangan utkCn tn: Waktu antar kedatangan (tn tn-1) xn: service time for CnRekayasa Trafik, Sukiswo 20Sistem Antrian - Dasar wn: waktu tunggu dlm antrian utk Cn sn: waktu dlm sistem utk Cn (wn+ xn) : laju kedatangan rata-rata : laju layanan rata-rataRekayasa Trafik, Sukiswo 21Notasi Diagram WaktuRekayasa Trafik, Sukiswo 22Sistem Antrian - Dasar N(t): # pelanggan dlm sistem@waktu t U(t): pekerjaan belum selesai/ unfinished @waktu t U(t) = 0Sistem idle U(t) > 0Sistem busye(t): # kedatangan pada (0,t)o(t): # keberangkatan pada (0,t)Rekayasa Trafik, Sukiswo 23Sistem Antrian - DasarRekayasa Trafik, Sukiswo 24Sistem Antrian - Dasaret: laju kedatanganet= e(t)/t = # kedatangan/waktu(t) : waktu total semua pelanggan dlm sistem (pelanggan-detik) Tt= (t)/et= waktu sistem/pelangganRekayasa Trafik, Sukiswo 25Sistem Antrian - DasarRata-rata # pelanggan dlm sistemRekayasa Trafik, Sukiswo 26Hasil LittleJumlah rata-rata pelanggan dlm sistem antrian sama dg laju kedatangan pelanggan ke sistem tsb, dikalikan rata-rata waktu yg dihabiskan dlm sistemRekayasa Trafik, Sukiswo 27Hasil Little Nq= rata-rata # pelanggan dlm antrian = laju kedatangan W = rata-rata waktu dihabiskan dlm antrianRekayasa Trafik, Sukiswo 28Hasil Little Ns= rata-rata # pelanggan dlm fasilitas layanan = laju kedatangan x = rata-rata waktu dihabiskan dlm fasilitas layananRekayasa Trafik, Sukiswo 29Model teletrafik Dua fase dalam pemodelan Pemodelan incoming trafik -> model trafik Pemodelan sistem -> model sistemRekayasa Trafik, Sukiswo 30Dasar Pemodelan1. Deskripsi Trafik2. Diagram Transisi Kondisi3. Pola Kedatangan Panggilan4. Pola Lamanya Waktu Pendudukan5. Persamaan Kondisi dan KesetimbanganRekayasa Trafik, Sukiswo 31Deskripsi TrafikSistemPola kedatangan panggilanPola lamanya waktu pendudukanPola lamanya waktu pelayananBerkas sempurnaBerkas tak sempurnaSistem rugiSistem tungguFIFOEtc.Rekayasa Trafik, Sukiswo 32Deskripsi Trafik (2) Salah satu pendeskripsian matematis dari trafik adalah birth and death process (Proses kelahiran dan kematian) Merupakan salah satu kasus Markov chain dimana perubahan keadaan (state) terjadi selangkah demi selangkah (one step at a time) Dalam jaringan telepon, proses kelahiran adalah proses datangnya panggilan sedangkan proses kematian adalah proses berakhirnya panggilanRekayasa Trafik, Sukiswo 33Deskripsi Trafik (3) Pola kedatangan panggilan dan pola pendudukan dideskripsikan dengan distribusi probabilitas Bila deskripsi pola trafik dengan distribusi probabilitasnya serta disiplin operasinya diketahui, maka banyak hal dapat diketahui (harga rata-rata trafik, blocking dst.)34Diagram Transisi Kondisi Jumlah saluran dalam berkas yang diduduki disebut kondisi (keadaan/state) Proses kedatangan panggilan atau berakhirnya pendudukan dapat merubah kondisi berkas yang bersangkutan Kondisi dan perubahannya dapat digambarkan oleh suatu diagram transisi kondisi Kondisi : bulatan dan angka Arah transisi : panah0 1 2 nb0b1b2bn-1bnu1u2u3unun+1Rekayasa Trafik, Sukiswo 35Diagram Transisi Kondisi (2) Kondisi menyatakan jumlah saluran atau peralatan yang diduduki Probabilitas kondisi menyatakan lamanya suatu kondisi berlangsung di dalam selang waktu tertentu (1 jam sibuk) Probabilitas transisi menunjukkan peluang terjadinya transisi dari suatu keadaan ke keadaan yang lain di dalam selang waktu yang sangat kecil (dt)Rekayasa Trafik, Sukiswo 36Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) Call arrival dapat diartikan percobaan pertama untuk menghubungkan beberapa perangkat bagi terbentuknya suatu panggilan (first attempt to connect some device for the purpose of establishing a call) event sesaat (instantaneous) Pengertian di atas merupakan pengertian yang legitimatekarena proses pendudukan perangkat (seizing) pada umumnya sangat singkat dibandingkan dengan holding time-nya setelah seizure Dengan fakta-fakta tersebut di atas marilah kita turunkan distribusi kedatangan panggilanRekayasa Trafik, Sukiswo 37Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (2) Misalkan proses call arrival (seperti yang sudah didefiniskan pada slide sebelumnya) berlangsung terus pada selang waktu yang sangat lama dan bayangkan selang waktu yang lama tersebut dibagi menjadi interval-interval yang lebih kecil dengan durasi dt Dengan membuat agar dt sangat singkat, kita dapat menjamin bahwa peluang terjadinya kedatangan lebih dari satu (pada selang dt) dapat diabaikandt dt dt0 TRekayasa Trafik, Sukiswo 38Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (3) Misalkana menyatakan jumlah rata-rata kedatangan per satuan waktu Satu satuan waktu terdiri dari1/dtinterval Maka peluang suatu interval (yang dipilih secara acak) mengandung sebuah kedatangan adalah a/(1/dt) = a.dt = dengan kata lain ini adalah peluang meunculnya pangggilan dalam interval dtRekayasa Trafik, Sukiswo 39dtT(T( - 1T(- 2T( - x +1(1-adt)(T/dt)-x(a/dt)xT(T-dt)(T-2dt)(T-x-1dt)(1-adt)-x{(1-adt)1/dt}TaxPola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (4) Peluang bahwa ada tepat (exactly) sebanyakx panggilan yang terjadi selama selang waktu T adalah merupakan peluang bahwa ada sebanyakx dariT/dt interval yang mengandung panggilan (dt dipilih agar T/dt merupakan sebuah integer) Makax merupakan distribusi binomial, sehingga distribusi peluangnya adalah :px=(dt(dt(dt(x !=x!Rekayasa Trafik, Sukiswo 40Pola kedatangan panggilan(Call Arrival Process) (5) Bila dt 0, maka (1 adt)1/dte-a, maka pxmenjadi :Ini merupakan distribusi Poisson Jadi pola kedatangan panggilan berdistribusiPoisson Mean value dari distribusi Poisson di atas adalahat demikian pula dengan variansinya akanberharga at ciri distribusi Poisson )atxxex!aTp

=Rekayasa Trafik, Sukiswo 41Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution) Seperti sebelumnya, sumbu waktu dibagi kedalam interval-interval yang lebih kecildt Misalkan dipilih suatu waktu secara acak (random instant) Selang waktu sampai terjadinya suatu panggilan berikutnya akan melebihit, jika dan hanya jika interval pertama, kedua ke-(t/dt) tidak mengandung kedatangan panggilan. Peluang terjadinya event ini adalah(1-adt)t/dtyang akan cenderung menjadie-atjikadt mendekati nolRekayasa Trafik, Sukiswo 42Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution) Maka fungsi distribusi dari t (yaitu peluang bahwa selang waktu sampai panggilan berikutnya lebih kecil dan sama dengan t) adalah F(t) = 1 e-atRekayasa Trafik, Sukiswo 43Pola antar waktu kedatangan(Interarrival time distribution) Probability density function dari F(t) adalah f(t) = dF(t)/dt = ae-atIni adalah distribusi eksponensial negatif Mean value darif(t) adalah1/a yang merupakan rata-rata selang waktu antar kedatangan panggilanRekayasa Trafik, Sukiswo 44Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) Diasumsikan bahwa sebuah panggilan berakhir secara acak Dengan mengambil waktu awal (origin) merupakan saat dimulainya panggilan, maka peluang bahwa panggilan berakhir dalam selang (t,t+dt] adalah udt (analogi dengan kedatangan panggilan) Peluang bahwa waktu pelayanan lebih besar dari t (H(t)) adalah sama dengan peluang bahwa panggilan tidak berakhir dalam selang (0,t]t t+dtRekayasa Trafik, Sukiswo 45Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) Dengan mempartisi selang (0,t] kedalam sejumlah n interval dan dengan membuat agara dt=t/n maka peluang berakhirnya panggilan setelah t (waktu pelayanan melebihi t) adalah (1 udt)n Bila n menuju 0 maka H(t) = e-utRekayasa Trafik, Sukiswo 46Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) Peluang terjadinya pendudukan yang berakhir pada waktu kurang dari t adalah F(t) = 1 - e-ut Maka probability density function dari waktu pelayanan adalah f(t) = ue-ut Dengan demikian waktu pendudukan berditribusi eksponensial negatif dengan mean u-1 u disebut laju waktu pelayananRekayasa Trafik, Sukiswo 47Pola lamanya waktu pendudukan(service time distribution) (3) Penyesuaian dengan notasi di diktat kuliaha = u = 1/h = harga rata-rata kedatangan panggilan 1/ = selang waktu antar kedatangan panggilan u = laju berakhirnya panggilan 1/ u = selang waktu antar berakhirnya pendudukan h = harga rata-rata waktu pendudukan 1/h = selang waktu antar pendudukanRekayasa Trafik, Sukiswo 48Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Akan dicari peluang bersyarat : suatu panggilan datang pada selang (t,(t) bila diketahui bahwa selama waktu t tidak ada panggilan datang Bila x adalah panggilan yang datang, maka kita akan mencari P(x e t+(t | x > t)t t+(tPangggilan datang Tidak ada panggilan datangRekayasa Trafik, Sukiswo 49Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan P (x > t) = e-t ingat P(x>t) = 1- P(x et)=1 (1- e-t) = e-t P(t < x e t+(t) merupakan peluang bahwa (x >t dan x et+(t), atau bisa kita pandang juga sebagai usaha mencari peluang munculnya panggilan pada selang (t+ (t) Maka P(t < x e t+(t) =1 P(x e t) - P (x > t+ (t)=1 P(x e t) (1 P (x e t+ (t))= P (x e t+ (t) P(x e t) P(x e t+(t | x > t) = P(t < x e t+(t)P(x > t)Rekayasa Trafik, Sukiswo 50Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan P(t < x e t+(t) = 1 P(x e t) - P (x > t+ (t)= 1 P(x e t) (1 P (x e t+ (t))= P (x e t+ (t) P(x e t) = (1 e-(t+ (t)) (1 e- t)= e- t e-(t+ (t) MakaP(x e t+(t | x > t) = P(t < x e t+(t)P(x > t)= e-t e-(t+ (t)1-(1-e-t)Rekayasa Trafik, Sukiswo 51Persamaan Kondisi dan KesetimbanganP(x e t+(t | x > t) = P(t < x e t+(t)P(x > t)= e-t e-(t+ (t)1-(1-e-t)= e-t e-(t+ (t)e-t= 1 e-(tBila kita uraikan menggunakan deret Mc Laurin, akan kita perolehP(x e t+(t | x > t) = (t -(t)22!(t)33!+= P ((t)Rekayasa Trafik, Sukiswo 52Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Bila (t 0 maka P((t) } (t + 0((t) 0((t) merupakan fungsi (t yang harganya akan lebih cepat menjadi 0 daripada (t nya sendiri bila (t mendekati nol P((t) tak tergantung t Hanya mungkin terjadi satu peristiwa dalam suatu waktu tertentu, karena bila terjadi lebih dari satu peristiwa maka probabilitasnya akan sebanding dengan (t2(atau (t3dst.) dan ini berarti akan menjadi nol (bila (t mendekati nol)Rekayasa Trafik, Sukiswo 53Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kita sudah memperoleh hasil sebagai berikut (dengan (t mendekati nol (dt)): Peluang (datangnya 1 panggilan dalam waktu dt) = t + 0(dt)=laju rata-rata datangnya panggilan Dengan analogi : Peluang (berakhirnya 1 pendudukan dalam waktu dt) = ut + 0(dt)u=1/h= laju rata-rata berakhirnya panggilanRekayasa Trafik, Sukiswo 54Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Bila kita gunakan koefisien kelahiran dan kematian : Peluang (datangnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = bndt + 0(dt) Peluang (berakhirnya 1 panggilan pada kondisi n dalam waktu dt) = dndt + 0(dt) Peluang (terjadi lebih dari 1 peristiwa datang dan/atau berakhir dalam waktu dt) = 0(dt)Rekayasa Trafik, Sukiswo 55Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kondisi n pada saat t+dt dapat terjadi melalui beberapa kemungkinan :Kondisi pada tKondisi pada (t+dt)Transisi Prob(transisi dlm dt/kondisi pada t)n n Tak ada yang datang ataupun berakhir(1-bndt)(1-dndt)=1- bndt-dndt+0(dt)n-1 n 1 panggilang datang dan tak ada yang berakhirbn-1dt(1- dn-1dt)+0(dt)= bn-1dt+0(dt)n+1 n Tak ada yang datang dan 1 pendudukan berakhir(1- bn+1dt)dn+1dt +0(dt)= dn+1dt+0(dt)Kondisi lainnyan Lebih dari 1 transisi O(dt)Rekayasa Trafik, Sukiswo 56Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kita akan mencari probabilitas kondisi n pada waktu t : P(n,t) P(n,t+dt)=P(n,t)(1-bndt-dndt)+P(n-1,t)bn-1dt +P(n+1,t)dn+1dt+0(dt) (P(n,t+dt) P(n,t))/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Bila dt mendekati nol : dP(n,t)/dt =-(bn+dn) P(n,t)+ bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt) Ini disebut persamaan kondisi dan berlaku untuk n=1,2,3,Rekayasa Trafik, Sukiswo 57Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Persamaan kondisi dapat diselesaikan dengan 2 kasus Kasus 1 : P(n,t) bukan fungsi waktu. Hal ini terjadi bila sistem dalam keadaan kesetimbangan statistik (statistical equilibrium) [jam sibuk dianggap merupakan keadaan yang setimbang] Kasus 2 : P(n,t) merupakan fungsi waktuRekayasa Trafik, Sukiswo 58Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 1 Karena P(n,t) bukan fungsi waktu, maka dP(n,t)/dt = 0 (berlaku untuk semua harga n) Untuk n=0 :0=-b0P(0)+d1P(1)b0P(0)=d1P(1) pers (1) Untuk n=1 : (b1+d1)P(1)=b0P(0)+d2P(2)pers (2) Untuk n=2 : (b2+d2)P(2)=b1P(1)+d3P(3)pers (3) Untuk n=3,4,dst. : (bm+dm)P(m)=bm-1P(m-1)+dm+1P(m+1)Rekayasa Trafik, Sukiswo 59Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 1 (cont.) Substitusi dari persamaan (1) ke persamaan (2) dan seterusnya :b1P(1)=d2P(2)b2P(2)=d3P(3)b3P(3)=d4P(4)bmP(m)=dm+1P(m+1)Ini disebut persamaan kesetimbanganm m+1bmdm+1Rekayasa Trafik, Sukiswo 60Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Kasus 2 : dP(n,t)/dt = -(bn+dn) P(n,t) +bn-1P(n-1,t) +dn+1P(n+1,t) + 0(dt)Untuk n=0 dP(0,t)/dt = -b0P(0,t) + d1P(1,t)Selisih aliranmasuk dan keluar Aliran keluardr kondisi n Aliran masuk ke kondisi nRekayasa Trafik, Sukiswo 61Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Untuk memudahkan solusi : Tak ada pendudukan yang berakhir : dn=0 Rate datangnya panggilan sama untuk semua kondisi : bn=a Maka (*) d(P0,t)/dt = -a P(n,t)+aP(n-1,t) untuk nu1 (**) d(P0,t)/dt = -a P(0,t) untuk n=0 Untuk menyederhanakan penyelesaian, digunakan syarat batas pada permulaan sistem (pada t=0 dan n=0) : P(n,0) = 1 untuk n = 0 dan P(n,0) = 0 untuk n { 0Rekayasa Trafik, Sukiswo 62Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Penyelesaian untuk P(0,t) dapat diperoleh dari persamaan (**): P(0,t) = e-at,harga ini bila dimasukkan ke persamaan (*) n=1, akan didapat : dP(1,t)/dt=-aP(1,t)+ae-at, bila persamaan ini diselesaikan, akan memberikan P(1,t)=at.e-at, kemudian persamaan tersebut digunakan untuk menyelesaikan P(2,t) Akan diperoleh dP(2,t)/dt=-aP(2,t)+a.at.e-at, yang bila diselesaikan akan menghasilkan P(2,t)=((at)2/2!)e-atRekayasa Trafik, Sukiswo 63Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan Secara induksi akan diperoleh : Gambar P(n,t) untuk beberapa harga n dan t dapat dilihat di diktat Harga Mean =at Harga variansi = atP(n,t)=(at)nn!e-atDistribusi PoissonRekayasa Trafik, Sukiswo 64Persamaan Kondisi dan Kesetimbangan PDF = P (x e t) = 1 P(x > t) Jadi PDF = F(t) =1 P(0,t) = 1 e-at pdf = f(t) = ae-atPeluang waktu interval panggilanlebih besar dari t atau peluang tidak ada panggilan yang datangselama waktu t (P(0,t))P(0,t)=(at)00!e-atP(0,t)= e-at