Rpp Matematika Sma Kls Xii-Is Sem.1 09-10

105
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Nomor : 1 / kd 1.1 Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 Watampone Mata Pelajaran : Matematika Kelas : XII-IS Program/Semester : IPS/Ganjil Tahun Pelajaran : 2009 - 2010 Alokasi Waktu : 8 45 Menit (4 kali pertemuan) Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana. Kompetensi Dasar : 1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu. Indikator Pencapaian : 1.1.1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan. 1.1.2. Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu melalui turunan. 1.1.3. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar sederhana 1.1.4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tak tentu 1.1.5. Mengenal integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar. 1.1.6. Menurunkan sifat-sifat integral tentu 1.1.7 Menentukan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana. PERTEMUAN I I. TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyatakan/menjelaskan arti integral tak tentu sebagai anti turunan. Menemukan sifat-sifat integral tak tentu melalui turunan II. MATERI PEMBELAJARAN Integral Pengertian integral tak tentu Integral tak tentu merupakan invers dari diferensial atau turunan (anti diferensial), yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal, apabila turunan atau RPP- 1

Transcript of Rpp Matematika Sma Kls Xii-Is Sem.1 09-10

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 1 / kd 1.1

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-IS Program/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 8 45 Menit (4 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar : 1.1. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu.

Indikator Pencapaian : 1.1.1. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan.1.1.2. Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu melalui

turunan.1.1.3. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar

sederhana1.1.4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral

tak tentu1.1.5. Mengenal integral tentu sebagai luas daerah di

bidang datar.1.1.6. Menurunkan sifat-sifat integral tentu1.1.7 Menentukan integral tentu dari fungsi aljabar

sederhana.PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyatakan/menjelaskan arti integral tak tentu sebagai anti turunan. Menemukan sifat-sifat integral tak tentu melalui turunan

II. MATERI PEMBELAJARANIntegral

Pengertian integral tak tentuIntegral tak tentu merupakan invers dari diferensial atau turunan (anti diferensial), yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal, apabila turunan atau derivatif dari fungsinya diketahui. Perhatikan tabel berikut:

pendiferensialanF(x) F’(x)

pengintegralan4x2 8x4x2 + 2 8x4x2 + 20 8x

... ...

4x2 + c 8xDari tabel pada kolom pertama, terlihat bahwa fungsi F(x) berbeda hanya pada konstantanya, sedangkan pangkat dan koefisien variabel x

RPP- 1

tidak berbeda. Misalkan, konstanta-konstanta tersebut digantikan dengan C maka anti turunan dari F’(x)=8x dapat ditulis F(x) = 4x2 + C dengan C suatu konstanta real ...(1) Proses menentukan fungsi F(x) dari turunannya dinamakan operasi pengintegralan. Notasi untuk menyatakan operasi pengintegralan adalah “ ” (dibaca: integral dari ... terhadap x).Dengan notasi integral, persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikutF(x) =

Oleh karena C merupakan konstanta sebarang maka bentuk disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) terhadap x.Secara umum integral tak tentu dinyatakan sebagai berikut

dengan C suatu konstanta real dan f(x) adalah turunan dari F(x) + C. Sifat – sifat integral tak tentu

Misalkan k, n dan C adalah suatu konstanta real, maka berlaku:1. , sebab turunan kx + C adalah k.

2.

3.

4.

5.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Sebagai apersepsi, melakukan tanya jawab mengenai

konsep turunan fungsi (TM) Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini.

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik dengan diawali uji kompetensi awal.(TM & PT)

20

2. Kegiatan Inti Membahas pengertian integral tak tentu. (TM)

60

No. Kegiatan Waktu

RPP- 2

(menit) Menjelaskan proses pengintegralan (integral tak

tentu) melalui turunan dan membimbing siswa untuk menemukan rumus dan sifat- sifat integral tak tentu.(TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk mempelajari cara menghitung integral tak tentu, bertanya dan menjawab pertanyaan siswa.(TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan.(TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar sederhana. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tak tentu.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menentukan integral tak tentu suatu fungsi aljabar sederhana.

Sebuah fungsi aljabar dalam variabel x dapat berbentuk linear, kuadrat, derajat tiga atau lebih, juga dapat berbentuk penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan perpangkatan. Untuk melakukan pengintegralan secara sederhana atau secara langsung menggunakan rumus atau sifat-sifat integral tak tentu, perlu diperhatikan bahwa integran atau fungsi yang diintegralkan telah berbentuk umum sesuai rumus atau belum. Jika belum, maka terlebih dahulu dilakukan tehnik-tehnik perhitungan aljabar (manipulasi aljabar) tertentu sehingga diperoleh bentuk yang dapat diintegralkan atau menguraikan integran terlebih dahulu. Misalnya untuk mengintegralkan (3x – 2)2 terhadap x dengan menggunakan rumus yang telah ditemukan pada KD sebelumnya, maka harus diubah terlebih dahulu menjadi bentuk 9x2 – 12x + 4. Demikian juga bentuk-bentuk yang kemungkinan melibatkan sifat-sifat bilangan berpangkat, misalnya bentuk diubah menjadi .

Sehingga .

RPP- 3

Menentukan fungsi F(x) jika F’(x) dan F(a) diketahui.Misalkan, turunan suatu fungsi F’(x) maka fungsi F(x) dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan F’(x) sebagai berikut

Dalam hal ini, F(x) adalah hasil integral tak tentu sehingga F(x) memuat konstanta sebarang, yaitu C. Jika F(a) diketahui maka konstanta C dapat ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai x = a ke dalam F(x).

Menentukan persamaan kurva y = f(x).Telah diketahui cara menentukan gradien garis singgung pada kurva y = f(x) adalah dengan mencari turunan pertamanya, misalkan f’(x) atau di titik yang berabsis x. Berarti kita dapat menentukan persamaan kurva y = f(x) bila diketahui gradien garis singgung dan sebuah titik pada kurva itu, dengan melakukan pengintegralan dan Konstanta C dapat diperoleh melalui substitusi nilai x dan y pada titik yang diketahui pada kurva.

Penerapan dalam bidang ekonomi.Fungsi biaya marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi biaya total, sehingga jika diketahui suatu fungsi marginal dan biaya tetapnya, maka dengan proses integral dapat ditentukan fungsi biaya totalnya.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Sebagai apersepsi, melakukan tanya jawab mengenai

materi pada pertemuan sebelumnya. Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini.

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik dengan memberikan beberapa masalah pada mata pelajaran lain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan integral tak tentu dan memberikan soal kuiz.

15

2. Kegiatan Inti Membahas beberapa contoh soal tentang integral tak

tentu (cara menentukan integral tak tentu) dengan tanya jawab.

Memberikan penjelasan cara-cara menyelesaikan

60

RPP- 4

No. KegiatanWaktu (menit)

masalah sederhana dengan menggunakan integral tak tentu melalui contoh

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain.

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan.

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih di rumah

15

PERTEMUAN IIII. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyatakan luas daerah di bidang datar dalam bentuk integral tentu. Menurunkan/Merumuskan sifat-sifat integral tentu.

II. MATERI PEMBELAJARAN Integral tentu sebagai luas daerah.

Integral tentu merupakan integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Salah satu kegunaannya adalah untuk menghitung luas daerah yang terletak antara kurva y = f(x) dan sumbu koordinat (misalnya sumbu X) dalam rentang daerah yang dibatasi oleh x = a dan x = b, untuk a < b.Pada integral tak tentu diketahui ...(1)hasil integrasi untuk rentangan wilayah tertentu, katakanlah x=a dan x=b, untuk a<b, maka nilai x dapat disubstitusi dengan a dan b sehingga, ruas kanan bentuk (1) menjadi:(F(b)+C) – (F(a)+C) = F(b) – F(a) + C – C

= F(b) – F(a) ...(2)(2) adalah hasil integral tentu dari f(x) antara a dan b. Secara lengkap persamaan (1) dan (2) dapat ditulis menjadi:

... Rumus integral tentu.

Untuk lebih jelasnya pandang fungsi f dengan y = f(x) yang didefenisikan pada interval tutup seperti pada gambar. Bagilah interval menjadi n interval dengan panjang masing-masing

dengan x0, x1, x2, ... ,xn adalah koordinat x dari n titik interval tersebut dan .

RPP- 5

Pada setiap interval bagian , ambil sebuah titik sebarang yang terletak ditengah-tengah interval bagian tersebut. Selanjutnya, buatlah persegi panjang dengan panjang masing-masing f( ),f( ),f( ),f( ),f(

) dan lebar masing-masing . (sebagai contoh untuk n=5). Y

Y = f(x)

Xa=x0 x1 x2 x3 x4 xn=b

Luas daerah dibawah kurva y = f(x) dapat dihampiri atau didekati dengan menghitung jumlah luas persegipanjang-persegipanjang

tersebut, yaitu A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 =

Jumlah ini disebut jumlah Riemann yang ditafsirkan sebagai jumlah luas-luas persegipanjang pada setiap partisi.Luas sebenarnya dari daerah di bawah kurva y = f(x) dapat dihitung dengan mengambil nilai n yang cukup besar ( n ). Jadi luas daerah di bawah kurva ditentukan dengan menghitung

A = . Jika jumlah tersebut ada, fungsi f dikatakan

terintegralkan pada interval [a,b]. Integral tersebut dinamakan integral

tentu f dari a ke b yang dinyatakan oleh dan didefenisikan

sebagai = . Dengan demikian

menyatakan batasan luas daerah yang tercakup di antara kurva y = f(x) dan sumbu X pada interval [a,b].

Misalkan fungsi F kontinu pada interval [a,b] dan F sebarang anti

turunan dari f pada selang tersebut maka dx = [F(x) = F(b) –

F(a), maka dengan mudah dapat diperoleh rumus

Sifat-sifat integral tentu

a.

RPP- 6

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

Temukan atau buktikan sifat-sifat di atas melalui beberapa contoh.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, penemuan dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Sebagai apersepsi, melakukan tanya jawab mengenai

materi pada pertemuan sebelumnya. Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini.

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik.

10

2. Kegiatan Inti Menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di

bidang datar dan membimbing siswa untuk menemukan sifat-sifat integral tentu.

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain.

Memberikan soal latihan serta memantau dan

65

RPP- 7

No. KegiatanWaktu (menit)

membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan.

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih di rumah

15

PERTEMUAN IV

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menemukan sifat-sifat integral tentu (lanjutan pertemuan sebelumnya) Menentukan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana.

II. MATERI PEMBELAJARAN Lanjutan sifat-sifat integral tentu Pada dasarnya perhitungan integral tentu untuk fungsi aljabar

sederhana dapat dilakukan dua proses, yaitu mencari suatu integral taktentu, kemudian menerapkan teorema dasar kalkulus.Dengan menggunakan teorema dasar kalkulus “Misalkan fungsi F kontinu pada interval [a,b] dan F sebarang anti turunan dari f pada

selang tersebut maka dx = [F(x) = F(b) – F(a)“, maka

menghitung integral tentu dari fungsi aljabar sederhana dapat dilakukan dengan mudah. Dengan singkat dapat dilakukan:1. Tentukan anti turunan dari Integran2. Substitusi batas-batas integral sesuai teorema dasar kalkulus3. Hitung nilai integral.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

RPP- 8

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Sebagai apersepsi, melakukan tanya jawab mengenai

materi pada pertemuan sebelumnya. Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini.

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik dengan memberikan soal kuis.

10

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dibahas kelanjutan sifat-sifat

integral tentu. Dengan tanya jawab, dibahas cara menggunakan

teorema dasar kalkulus dalam menentukan integral suatu fungsi aljabar sederhana.

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain.

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan.

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa

70

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

sebagai tugas individu Mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab

soal UN dan atau UMPTN/SMPTN mengenai integral tentu dan integral tak tentu sebagai tugas.

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih di rumah

10

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 1 – 10.

RPP- 9

- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 1 – 13.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 1-16.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 3 – 7

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUTA. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Kuiz, Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat Penilaian Uji Kompetensi awal

Sebelum pembelajaran ini dimulai, kerjakan soal-soal berikut:1. Tuliskan turunan dari fungsi-fungsi berikut:

a.

b.

c.

d.

2. Gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut pada bidang koordinat Cartesius.a. y=2x + 1 dan b. dan y=2x

Kuis, Tugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

Kuiz 1Isian atau

Uraian Singkat

Jika F(x) = 3x2+4x, maka F’(x)= 6x+4. Tentukanlah

.

2. Jika diketahui , maka tentukanlah

.

3. Buktikan atau tuliskan alasan singkat bahwa nilai

dari .

4.

Kuiz 2Isian atau

Uraian Singkat

Tentukan nilai dari .

5.Diketahui , maka tentukanlah

nilai dari !

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

6. Tugas Individu Uraian Selesaikan integral tak tentu berikut:

a. c.

RPP- 10

b. d.

7. Hitunglah nilai integral tentu berikut:

a. d.

b.

c.

8. Diketahui kurva y=f(x). Tentukan persamaan kurva,

jika = 2x + 1 dan titik (2,4) terletak pada kurva.

9. Jika diketahui persamaan fungsi biaya marginal suatu perusahaan adalah MC = 2Q3+3Q2-7 dan biaya tetapnya sebesar 30, maka tentukan:a. Persamaan biaya totalb. Persamaan biaya rata-rata

1.

Ulangan

PGJika b>0 dan , maka nilai b

adalah …a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

2.

Uraian

Diketahui turunan pertama fungsi F(x) adalah F’(x)=3x2-2x+3 dan F(-1) = 2. Tentukan fungsi F(x).

3. Hitunglah nilai dari

a. b.

Keterangan: Uji kompetensi awal diberikan pada awal pertemuan I Kuiz dilaksanakan pada awal pertemuan kedua dan keempat Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan IV. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran satu standar

kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. e 12. Diketahui dan F(-1) = 2

Ditanyakan F(x) = ....Penyelesaian

F(x) =

F(x) =

F(x) =

1

1

1No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor

Oleh karena F(-1) = 2, maka

-1 – 1 – 3 + c = 2- 5 + c = 2

11

RPP- 11

c = 2 + 5 c = 7

Jadi, F(x) =

11

1Jumlah skor nomor 2 8

3.a. =

= = 6 – 0 = 6

b. =

=

=

=

= 0

1

1

1

1

1

1

1

1Jumlah skor nomor 3 8

D. program Tindak Lanjut Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Hitunglah integral tak tentu berikut:

a.

b.

c.

d. 2. Tentukan F(x) jika diketahui sebagai berikut:

a. dan F(0) = 2b. dan F(5) = 4

3. Titik (1,3) terletak pada sebuah kurva. Jika gradien garis singgung pada kurva tersebut sama dengan 8x, tentukan persamaan kurva tersebut.

4. Hitunglah integral tak tentu berikut.

a.

b.

c.

5. Tentukan nilai p dari persamaan

Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanRPP- 12

Adapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:1. Tentukan nilai p dari persamaan berikut.

a.

b.

2. Diketahui f(t) = 2t2 +t – 6 , , tentukan:

a.

b.

c.

3. Jika dan f(x) = 18, tentukan nilai x !

4. Tentukan F(x) jika diketahui dan F(9) =

15.

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 2 /kd.1.2

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 4 45 Menit (2 kali pertemuan)

RPP- 13

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar : 1.2 Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar sederhana.

Indikator Pencapaian :1.2.1 Menguraikan integral tak tentu dan integral tentu dengan cara substitusi.

1.2.2 Menentukan integral dengan cara substitusi.

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Melakukan integral tak tentu dan integral tentu dengan cara substitusi.

II. MATERI PEMBELAJARANIntegral

Integral dengan metode substitusiPada fungsi-fungsi tertentu melakukan pengintegralan tak tentu secara langsung terkadang cukup rumit untuk mendapatkan hasil. Oleh karena itu diperlukan cara khusus sehingga integral tak tentunya dapat dengan mudah ditentukan. Salah satu cara yang dapat dilakukan adalah dengan metode substitusi atau penggantian variabel, misalnya pada

, dilakukan penggantian terhadap variabel x sehingga integralnya menjadi lebih sederhana. Adapun caranya sebagai berikut.Misalkan u = x2 + 4 maka du = 2x dx atau dx = du sehingga

berubah menjadi atau . Kemudian, selesaikan integral dalam variabel u tersebut dan akhirnya variabel u diganti kembali dengan variabel x.Secara umum, langkah-langkah yang ditempuh untuk menghitung integral dengan metode substitusi adalah1. Memilih suatu fungsi u = g(x), kemudian menghitung du = g’(x)dx.2. Menggantikan variabel x ke dalam variabel u.3. Menghitung integral dalam variabel u.4. Menggantikan kembali variabel u hasil pada langkah 3 dengan

variabel x.Metode tersebut dirumuskan dalam teorema berikut“Misalkan, g(x) suatu fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah suatu anti turunan dari f, Jika u = g(x) maka

Untuk integral tentu, setelah langkah 4 di atas digunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung nilainya. Demikian juga, jika pada penggantian variabel x menjadi variabel u diikuti dengan perubahan terhadap batas-batas pengintegralan yang berlaku pada x menjadi berlaku pada u, maka integralnya dapat dihitung langsung dalam variabel u.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugasRPP- 14

o Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan

(TM) Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini

(TM) Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

15

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab, dibahas cara menghitung

integral tak tentu dan tentu dengan cara substitusi atau membimbing siswa untuk mengubah bentuk fungsi yang komplek menjadi bentuk fungsi yang sederhana melalui beberapa contoh. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM )

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih di rumah

10

PERTEMUAN II

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dengan menggunakan

tehnik substitusi.

II. MATERI PEMBELAJARAN

RPP- 15

Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dengan cara substitusi.Konsep dasar dari metode substitusi adalah mengubah persoalan integral yang kompleks menjadi bentuk integral yang sederhana menggunakan pemisalan atau perubahan variabel. Jika

, maka

.Rumus dasar yang dapat digunakan adalahJika f(x) suatu fungsi yang dapat diturunkan maka

dengan n

bilangan rasional dan n -1. Pemilihan f(x) harus tepat sehingga perhitungan integral menjadi mudah.Untuk integral tentu dengan cara substitusi perlu diperhatikan bahwa setelah menentukan integral tak tentunya atau sebelum menerapkan teorema dasar kalkulus maka variabel integral harus dikembalikan ke variabel semula karena batas-batas yang dimiliki untuk variabel awal. Untuk dapat melakukan integral secara langsung dalam variabel pengganti, maka dilakukan perubahan yang berpadanan terhadap batas-batas pengintegralan sesuai variabel yang dipilih. Untuk jelasnya perhatikan contoh.Contoh

Tentukan hasil dari

JawabMisalkan, u = x4 + 4x maka du=(4x3+4)dx=4(x3+1)dx sehingga diperoleh

=

= =

=

Kemudian, gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung integral tentunya, yaitu

=

= = =

Jadi, = =

Akan tetapi, jika pada saat melakukan penggantian u = x4 + 4x dilakukan perubahan yang berpadanan terhadap batas-batas menjadi u=04+4.0=0 dan u=14+4.1=5 maka integralnya dapat langsung dihitung dalam variabel u.

= = = .

III. METODE PEMBELAJARANRPP- 16

o Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan pemberian tugas

o Model : Pembelajaran langsung IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan

(TM) Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini

(TM) Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan hubungan materi sebelumnya dengan

materi yang akan dipelajari. (TM)

15

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dan penugasan,dibahas cara

menghitung integral tentu dengan integral taktentu dengan menggunakan cara substitusi melalui beberapa contoh. (TM & PT)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

60

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

dan mengarahkan siswa untuk mencari serta menjawab soal-soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang integral substitusi sebagai tugas. (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah

15

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 11 – 21.- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program

Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 14,15,23.- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi

ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 7 - 27.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 3 – 8

RPP- 17

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUTA. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat PenilaianTugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

Tugas individu Uraian

Selesaikan integral berikut dengan cara substitusi dan cara langsung (menguraikan integran)

2.Hitunglah nilai dari .

3. Biaya Marginal mingguan untuk memproduksi x unit

barang diberikan oleh C’(x)= dengan C’(x)

adalah biaya produksi dalam dolar. Jika C(0) = 2000 perminggu, tentukan fungsi biaya C(x) dan besarnya C(x) jika x = 1000 unit.

1.

Ulangan

PGa. b. c. d.

e. 22.

Uraian

Selesaikan integral berikut

Keterangan: Tugas individu diberikan setelah pembelajaran KD 1.2

( pada akhir pertemuan II ). Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran satu

standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. b 12.

Diketahui

Ditanyakan hasil pengintegralannya dengan cara substitusiPenyelesaian

Misalkan u = x3 + 2, maka du = 3x2dx atau x2 dx = , 1

RPP- 18

sehingga = berubah menjadi atau

.

Selanjutnya =

=

=

=

Jadi, dengan mengganti u kembali dengan x3 + 2, diperoleh

= .

1

1

1

1

1

1

1

Jumlah skor nomor 2 8

D. program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Selesaikan integral tak tentu berikut:

a.

b. 2. Hitunglah nilai integral tentu berikut.

a.

b.

b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanAdapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:1. Selesaikan integral tak tentu berikut:

a.

b. 2. Diberikan materi pengayaan tentang cara

pengintegralan lain, yaitu integral parsial untuk soal nomor 1 di atas, kemudian dengan batas tertentu yang diberikan, hitunglah nilai integral tentu tersebut.

RPP- 19

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 3 /kd. 1.3

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010

RPP- 20

Alokasi Waktu : 6 45 Menit(3 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 1. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah sederhana.

Kompetensi Dasar : 1.3 Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.

Indikator Pencapaian : 1.3.1. Menjelaskan luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu-sumbu koordinat dengan gambar

1.3.2. Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu-sumbu koordinat.

1.3.3. Menghitung luas suatu daerah diantara dua kurva.

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyatakan rumus luas suatu daerah dengan integral yang dibatasi oleh

suatu kurva dan sumbu pada bidang koordinat dalam gambar dan sebaliknya.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa

kurva(hanya gambar sketsa). Langkah-langkah yang diperlukan untuk menggambar sketsa tersebut adalah1. Titik-titik potong dengan sumbu koordinat (sumbu X dan sumbu

Y)2. Atau menentukan beberapa titik kemudian menghubungkannya

atau menentukan hal-hal istimewa suatu persamaan kurva yang akan digambar (fungsi linear, Fungsi kuadrat, Fungsi pangkat tiga).

3. Untuk beberapa kurva, diperlukan titik potong dari kurva itu, sebab titik-titik potong merupakan batas-batas yang diperlukan.

Rumus luas suatu daerah.1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dengan sumbu X.

Misalkan, y = f(x) menyatakan persamaan kurva pada bidang koordinat dan misalkan f kontinu dan tidak negatif (f(x)>0) pada interval [a,b] seperti pada gambar berikut.

YY=f(x)

L

a b X

RPP- 21

Luas daerah yang diarsir di atas adalah

L = , yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu X, garis x=a dan garis x = b dengan f(x)>0 pada interval [a,b].Jika kurva y = f(x) bernilai negatif (f(x)<0) pada interval [a,b] atau

kurva berada di bawah sumbu X maka bernilai negatif,

berarti tidak dapat digunakan untuk menyatakan luas daerah karena luas daerah selalu dinyatakan dengan bilangan tak negatif.

a b X

Ly=f(x)

Namun, bilangan negatif tersebut adalah negatif dari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) pada interval [a,b]. Sehingga luas

daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah L = - =

, yaitu luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x),

sumbu X , x=a dan x = b, dengan f(x)<0 pada interval [a,b].Jika kurva f(x) sebagian di bawah sumbu X, sebagian di atas sumbu X, misalnya pada interval [a,b], f(x)>0 dan pada interval[b,c], f(x)<0, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), dan sumbu X dalam interval [a,c] adalah

L = = .

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), sumbu Y.Jika kurva x = g(y) berada di kanan sumbu Y pada interval c<y<d, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), x=c, x=d dan

sumbu Y adalah L = .

Jika kurva x = g(y) berada di kiri sumbu Y pada interval c<y<d, maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), x=c, x=d dan

sumbu Y adalah L = - = .

RPP- 22

Jika kurva x = g(y) sebagian berada dikiri, sebagian di kanan sumbu Y (misalkan pada interval c<y<d, g(y)<0 dan pada interval d<y<e, g(y)>0), maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y) dan sumbu Y pada interval c<y<e adalah

L = .

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik dengan memberi kuiz. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya, menggambar grafik fungsi sederhana.

20

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dan diskusi, membahas cara

mengambar suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva melalui beberapa contoh, menyatakan rumus luasnya dengan integral dan sebaliknya. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

60

No. KegiatanWaktu (menit)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

RPP- 23

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu-

sumbu koordinat.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu-

sumbu koordinat.Untuk menentukan luas daerah antara suatu kurva dengan sumbu-sumbu koordinat lakukan langkah-langkah berikut:a. Perhatikan gambar kurvanya (Buat sketsa daerah yang akan

dihitung luasnya, jika belum ada), di atas sumbu X atau di bawah sumbu X atau sebagian di atas sumbu X dan sebagian di bawah sumbu X, demikian juga untuk sumbu Y di kiri atau di kanan.

b. Pilih rumus luas yang cocok untuk digunakan atau Jika kurvanya di bawah sumbu X, luasnya tidak boleh negatif dan rumus luas harus diberi tanda negatif atau batas integralnya dari kanan ke kiri, demikian juga untuk di kiri sumbu Y. Dengan kata lain(misalkan kurvanya y=f(x), x=g(x)) , jika f(x)>0, untuk x [a,b], gunakan rumus

luas L = , jika f(x)<0, untuk x [a,b] gunakan rumus luas

L=- = = , jika sebagian di bawah

dan sebagian di atas sumbu X gunakan penjumlahan kedua rumus tersebut. Demikian juga untuk sumbu Y.

c. Gunakan integral tentu (teorema dasar kalkulus) untuk menentukan nilai integral tersebut atau luas tersebut.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

RPP- 24

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

15

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab atau diskusi, untuk Membahas

cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh suatu kurva dan sumbu-sumbu koordinat. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN IIII. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menghitung luas suatu daerah diantara dua kurva.

II. MATERI PEMBELAJARAN Luas daerah antara dua kurva.

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, ditentukan terlebih dahulu interval pengintegralan dengan menghitung absis titik potong antara dua kurva itu.

Perhatikan gambar

RPP- 25

Yy1=f(x)

y2= g(x)

XO a b

Luas daerah yang dibatasi oleh kedua kurva pada gambar di atas dalam interval [a,b] dengan f(x)>g(x) adalah

L = =

=

Rumus itu juga berlaku untuk daerah yang berada di bawah sumbu x. Dengan kata lain luas daerah antara 2 kurva tidak mengenal kurva yang terletak di bawah sumbu X yang diberi tanda “-“

Menghitung luas daerah diantara dua kurvaLangkah-langkah menghitung luas daerah di antara dua kurva adalah sebagai berikuta. Gambarkan sketsa daerah yang akan dihitung luasnya.b. Tentukan absis titik potong kedua kurva untuk dijadikan batas

integral (jika merupakan batas integral)c. Jika f(x) g(x), untuk x [a,b], gunakan rumus L

= = , Jika f(x) g(x) untuk

x [a,b], gunakan rumus

L = = .

d. Gunakan integral tentu untuk menentukan nilainya.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, penemuan dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

RPP- 26

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

10

2. Kegiatan Inti Bertanya jawab atau berdiskusi untuk menemukan

rumus dan cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

dan mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang luas daerah dengan integral sebagai tugas (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah dan bersiap untuk uji kompetensi (dalam bentuk ulangan blok)

15

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 22 – 29.- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas

XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 15 - 20.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 30 - 40.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 10 - 11

RPP- 27

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Kuiz, Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat Penilaian

Kuis, Tugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

KuizIsian atau

uraian singkat

Tulislah rumus luas dari daerah yang diarsir pada gambar berikut

Y y = x – 1 O 1 4 X

2.

Arsirlah daerah yang luasnya dirumuskan oleh

pada gambar!

Y= x + 3

3

-3 O X

3.Tugas Individu Uraian

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 3, sumbu X, x = 0 dan x = 4

4.Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y = x2, x = y3 dan x + y = 2.

1.Ulangan

PG

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan y = -x adalah … satuan luas.

a. b. c. d. e.

2. UraianHitunglah luas daerah yang dibatasi oleh y=x2, y=8-x2 dan y = 4x + 12.

Keterangan: Kuiz diberikan pada awal pertemuan I Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan III. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

RPP- 28

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. a 12. Diketahui suatu daerah dibatasi oleh y = x2, y = 8 – x2 dan y = 4x + 12

Ditanyakan Luas daerah tersebut = ....PenyelesaianDaerah yang dibatasi oleh y = x2, y = 8 – x2 dan y = 4x + 12 dinyatakan oleh daerah yang diarsir dalam gambar berikut.

A = Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 4x + 12B = Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 8 – x2 Luas Daerah yang diarsir = A – BAbsis titik potong y = x2 dan y = 4x + 12, yaitux2 = 4x + 12x2 – 4x – 12 = 0(x – 6)(x + 2) = 0x = 6 atau x = - 2

Sehingga A = =

= 72 –

=

Absis titik potong y = x2 dan y = 8 – x2 , yaitux2 = 8 – x2

2x2 = 8x2 = 4x = 2 atau x = - 2

5

1

1

1

1

2

2

1

1

2

RPP- 29

X

Y

y = x2

y = 8 - x2y = 4x + 12

sehingga B = =

=

No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor

=

Jadi, luas daerah yang diarsir = - = satuan luas sebagai luas

daerah yang dibatasi oleh y = x2, y = 8 – x2 dan y = 4x + 12.

2

1

Jumlah skor soal nomor 2 20

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Gambarlah luas daerah yang dinyatakan oleh integral

tertentu berikut (dengan cara mengarsir)

a.

b.

2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh:a. kurva y = 2 – 2x, sumbu X, garis x = 0, dan garis x = 4b. kurva y = x + 2, garis y = 2, garis y = 4, dan sumbu Yc. Kurva y = x2, kurva y = x, garis x=0, dan garis x = 1

b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanAdapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:1. Tentukan Luas daerah yang dibatasi oleh:

a. kurva , garis y = 0, garis y = 1, dan sumbu Yb. kurva y = x3 – 4x dan kurva y = x2 – 4x

2. Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 6x – x2 dan y=0 pada interval memiliki luas 24 satuan luas. Gambarkan daerah tersebut, kemudian gambarkan lagi dua daerah yang dibatasi oleh fungsi kuadrat lainnya yang mempunyai luas yang sama dengan luas gambar tadi( 24 satuan luas).

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RPP- 30

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 4 / kd. 2.1

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 4 45 Menit (2 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.Kompetensi Dasar : 2.1Menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear

dua variabel.Indikator Pencapaian : 2.1.1 Mengenal pertidaksamaan linear dua variabel.

2.1.2 Menjelaskan sistem pertidaksamaan linear dua variabel

2.1.3 Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menjelaskan dan menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear dua

variabel. Menuliskan suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel

II. MATERI PEMBELAJARAN Arti sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Persamaan ax + by = c merupakan persamaan linear dua variabel. Jika tanda sama dengan (=) pada persamaan tersebut diganti dengan salah satu tanda <,>, , atau maka diperoleh bentuk pertidaksamaan linear dengan dua variabel (x,y sebagai variabel dan a,b,c R). Dengan demikian pertidaksamaan linear dapat pula diartikan pertidaksamaan dengan variabel pangkat satu. Gabungan dua atau lebih pertidaksamaan linear yang terdiri dari dua variabel disebut sistem pertidaksamaan lineardengan dua variabel.

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear.Pasangan terurut (a,b) dikatakan memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel dalam x dan y jika x diganti dengan a dan y diganti dengan b diperoleh pernyataan yang benar. Adapun semua pasangan titik yang merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disebut himpunan penyelesaian. Untuk mendapatkan himpunan penyelesaian tersebut dapat dilakukan dengan metode grafik pada bidang koordinat kartesius dan uji titik.Misalkan pertidaksamaan ax + by ca. Buat grafik garis ax + by = c

1. Tentukan titik-titik potong garis ax+by = c dengan sumbu-sumbu koordinat.

RPP- 31

2. Tarik garis lurus antara kedua titik tersebut3. Garis lurus itu mempunyai persamaan ax+by=c.

b. Uji titikAmbil suatu titik sembarang, misal (x,y) dengan (x,y) tidak terletak pada garis ax+by=c. Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by c. Ada dua kemungkinan sebagai berikut.1. Apabila pertidaksamaan tersebut bernilai benar, maka

himpunan penyelesaian adalah daerah yang memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by = c.

2. Apabila pertidaksamaan tersebut bernilai salah, maka himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax+by=c.

Perlu diperhatikan, untuk membedakan garis pada pertidaksamaan yang mengandung tanda atau dengan < atau > dibuat garis yang berbeda, yaitu untuk tanda atau dipakai garis penuh dan untuk tanda < atau > dipakai garis putus-putus. Demikian juga untuk daerah penyelesaian, apakah yang memenuhi diarsir atau tidak, disesuaikan dengan kesepakatan.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini. (TM)

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik. (TM)

Membahas materi prasyarat: Sistem koordinat kartesius, persamaan garis melalui dua titik. (TM)

Menjelaskan beberapa contoh permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, kemudian mendiskusikan contoh lain yang menyangkut materi program linear serta memberikan uji kompetensi awal. (TM & PT)

20

2. Kegiatan Inti Menjelaskan pengertian dan bentuk umum sistem

pertidaksamaan linear dua variabel dan bertanya jawab tentang cara menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

60

RPP- 32

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

No. KegiatanWaktu (menit)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berarti menentukan irisan himpunan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan yang membentuk sistem tersebut. Jika himpunan penyelesaiannya tidak beririsan maka penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut adalah himpunan kosong. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan linear adalah sebagai berikut.1. Menggambar masing-masing garis dari setiap pertidaksamaan.2. Menentukan daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.3. Irisan daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan merupakan

daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan. Menentukan sistem pertidaksamaan linear jika daerah penyelesaiannya

diketahui dapat dilakukan langkah-langkah berikut.1. Menentukan persamaan garis dari gambar. Persamaan garis yang

melalui yang melalui dua titik (x1,y2) dan (x2,y2) ditentukan dengan rumus

2. Gunakan titik uji untuk menentukan tanda pertidaksamaan.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, tanya jawab, dan pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

RPP- 33

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan

(TM) Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

15

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab, membahas tentang cara

menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan (TM)

Membahas cara penentuan sistem pertidaksamaan linear bila daerah penyelesaian diketahui. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

(TM) Mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab

soal UN, UMPTN & atau SMPTN tentang sistem pertidaksamaan linear 2 variabel. (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah

10

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 37 - 44.

RPP- 34

- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 31 - 36.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 47 - 54.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 19 – 20

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 136 – 138.

- Matematika 2b kelas 2 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 112-114.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian Penilaian kognitif

Jenis : Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat Penilaian

Uji Kompetensi awalSebelum pembelajaran ini dimulai, kerjakan soal-soal berikut:1. Buatlah sketsa dari grafik fungsi x + y = 30 pada bidang koordinat

Cartesius, kemudian tentukan titik potong kedua garis tersebut!2. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua

variabel berikut

Kuiz, Tugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

Tugas Individu Uraian

Gambarlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut: ( daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian) a. 3x + 2y 6b. -1 y 4

2.

Tunjukkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + 3y 125x + 6y 30x 0y 0

RPP- 35

1. Ulangan PG

Daerah yang diarsir pada gambar memenuhi sistem pertidaksamaan ….a.

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

b. c. d. e.

2. Uraian

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut

Keterangan: Uji kompetensi awal diberikan pada awal pertemuan

I Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan II. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. a 12. Diketahui sistem pertidaksamaan berikut

Ditanyakan gambar daerah penyelesaian sistem Penyelesaian- Persamaan garis 2x + 9y =

18 memotong sumbu X di (9,0) dan sumbu Y di (0,2), daerah penyelesaiannya terletak di sebelah kanan garis tersebut.

- Persamaan garis x + y = 5 memotong sumbu X di (5,0) dan sumbu Y di (0,5), daerah penyelesaiannya terletak di sebelah kiri garis tersebut.

- Daerah penyelesaian yang memenuhi di kuadran I.

- Gambar daerah tersebut adalah

1

1

1

RPP- 36

X

Y

0

2

4

5

YX

0

2

5

95

5

Jumlah skor soal nomor 2 8

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Tunjukkan pada diagram Cartesius, daerah himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaan linear berikut.a. 2x – y < 4b. x – 2y 10

2. Tunjukkan pada diagram Cartesius, daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel berikut.a. b.

3. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah yang diarsir pada diagram Cartesius berikut.

b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanAdapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:1. Coba

diskusikan dengan teman Anda, apakah perbedaan sistem pertidaksamaan linear dan sistem pertidaksamaan linear. Bagaimana cara menentukan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dan sistem persamaan linear?

2. Titik-titik sudut suatu segitiga adalah O(0,0), A(3,3) dan B( ).a. Gambarlah dalam koordinat Cartesius,

kemudian arsirlah bagian dalam segitiga tersebut.

RPP- 37

X

Y

620

-5

3

b. Tulislah suatu sistem pertidaksamaan yang himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang diarsir pada jawaban a.

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 5 / kd 2.2

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 6 45 Menit (3 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.Kompetensi Dasar : 2.2 Merancang model matematika dari masalah

program linear.Indikator Pencapaian : 2.2.1 Mengenal masalah yang merupakan program

linear2.2.2 Menentukan fungsi objektif dan

kendala dari program linear2.2.3 Menggambarkan daerah fisibel dari

program linear2.2.4 Merumuskan model matematika dari

masalah aplikatif program linear.

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menjelaskan masalah yang merupakan program linear Menentukan fungsi objektif dan kendala dari program linear.

II. MATERI PEMBELAJARAN Program Linear

RPP- 38

Program linear merupakan suatu cara yang bertujuan untuk menentukan himpunan penyelesaian bagi suatu sistem pertidaksamaan yang berkaitan dengan masalah pengoptimalan, yaitu memaksimalkan atau meminimalkan suatu tujuan atau sasaran dari suatu masalah sehari-hari. Sebagai contoh adalah mencari keuntungan maksimum sehari-hari dari suatu produk yang dijual di pasaran.Suatu masalah dikatakan masalah program linear apabila memenuhi ketentuan-ketentuan berikut1. Tujuan persoalan yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam

bentuk fungsi linear f(x,y) = Z = ax + by. Fungsi linear ini dikenal sebagai fungsi tujuan atau fungsi sasaran (fungsi objektif atau bentuk objektif). a,b koefisien peubah-peubah yang mempengaruhi fungsi tujuan.Contoh.Suatu perangkat soal terdiri atas soal pilihan ganda dan soal uraian. Jumlah kedua soal itu adalah 13 butir. Untuk menjawab satu soal pilihan ganda memerlukan waktu 3 menit, untuk menjawab satu soal uraian memerlukan waktu 10 menit. Waktu yang tersedia 60 menit. Jika tiap soal pilihan ganda mendapat skor 5 dan tiap soal uraian mendapat skor 15, berapa banyak soal masing-masing harus dijawab agar mendapat skor sebanyak-banyaknya? Buatlah bentuk objektifnya.JawabMisalnya banyak soal pilihan ganda adalah x dan banyak soal uraian adalah y. Fungsi tujuan adalah f(x,y) = 5x + 15y. Jadi, bentuk objektifnya adalah 5x + 15y.

2. Harus ada alternatif pemecahan masalah yang membuat fungsi tujuan mencapai optimum (keuntungan yang sebanyak-banyaknya, pengeluaran yang sekecil-kecilnya dan sebagainya).

3. Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang terbatas, seperti bahan mentah terbatas, modal terbatas, dan sebagainya. Pembatasan-pembatasan dari sumber yang tersedia ini harus dapat dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Dengan kata lain bentuk-bentuk pertidaksaman ini merupakan kendala dari masalah program linear.Perhatikan contoh pada 1 di atas. Kendala-kendalanya adalah x + y

13, 3x + 10y 60 , x 0 dan y 0.III. METODE PEMBELAJARAN

o Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan pemberian tugas

o Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik dengan memberikan soal kuiz. (TM&PT)

20

RPP- 39

Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

2. Kegiatan Inti Dengan ceramah, guru menjelaskan masalah-

masalah yang merupakan masalah program linear (TM) Dengan tanya jawab, melalui contoh dibahas cara

menentukan fungsi objektif dan kendala suatu masalah program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

60

No. KegiatanWaktu (menit)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

(PT) Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah (TM)

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menggambarkan daerah fisibel dari program linear.

II. MATERI PEMBELAJARAN Daerah fisibel dari program linear

Daerah fisibel merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan atau kendala yang membatasi suatu masalah program linear untuk mencapai tujuan atau sasaran yang optimal. Oleh karena itu cara menggambar daerah fisibel dari program linear sama saja dengan cara menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Contoh.Gambar daerah penyelesaian contoh pada 1 di atas adalah daerah yang diarsir berikut. Penyelesaian yang mungkin dari persoalan tersebut adalah pasangan berurutan (x,y) yang memenuhi sistem tersebut. Daerah yang memenuhi pasangan berurutan tersebut dinamakan daerah fisibel.

Y

RPP- 40

13

6

XO 13 20

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

15

2. Kegiatan Inti Dengan diskusi atau Tanya jawab, membahas cara-cara

menggambar daerah fisibel suatu masalah program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan

65

RPP- 41

No. KegiatanWaktu (menit)

jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)3. Kegiatan akhir

Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan dari materi pelajaran

Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN IIII. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Merumuskan model matematika dari masalah program linear.

II. MATERI PEMBELAJARAN Model matematika dari masalah program linear.

Dalam masalah program linear, pembentukan suatu model matematika sangatlah menentukan. Model matematika merupakan terjemahan bahasa sehari-hari menjadi bahasa matematika agar lebih sederhana dan mudah dipahami. Model matematika di dalam program linear, dibagi menjadi dua bagian, yaitu.1. Model matematika yang menyangkut fungsi tujuan ( berbentuk

fungsi linear).2. Model matematika yang menyangkut syarat-syarat atau batasan-

batasan atau kendala-kendala (berbentuk pertidaksamaan linear)Langkah-langkah menuliskan persolan sehari-hari kedalam bahasa matematika adalah sebagai berikut:1. Tuliskan ketentuan-ketentuan yang ada ke dalam suatu tabel2. Buatlah pemisalan untuk objek-objek yang belum diketahui dalam

variabel (x,y dan sebagainya)3. Buatlah sistem pertidakasamaan dari hal-hal yang telah diketahui4. Tentukan fungsi objektitnya.Contoh.Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak-banyaknya 240 orang. Penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi seberat 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak 7200kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp200.000,00 dan sebuah tiket kelas ekonomi Rp100.000,00. Harapan pengelola kapal untuk dapat memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya. Buatlah model matematikanya!Jawab.Model matematikanya adalah x + y 240, 60x+20y 7200, x 0 dan y0. fungsi tujuannya adalah 200000x + 100000y.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, tanya jawab, penemuan dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

RPP- 42

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

10

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab, membahas cara menuliskan

atau menemukan model matematika dari suatu program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM & PT)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah

(PT) Mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab

soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang model matematika dari masalah program linear. (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah (TM)

15

SUMBER BELAJAR

Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya, Herawati. 2007 Grafindo halaman 37 - 44.

- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 37 - 51.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 55 - 60.

RPP- 43

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 20 - 21

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 139 – 140.

- Matematika 2b kelas 2 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 115-116.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat PenilaianTugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

Tugas Individu Uraian Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak-banyaknya 240 orang. Penumpang kelas utama dapat membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi sebanyak 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak 7200kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp 200000,- dan sebuah tiket kelas ekonomi Rp 100000,-. Harapan pengelola kapal dapat memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya. Buatlah model matematikanya.

2. Setiap semester seorang agen mobil A memesan dagangan dari pusatnya yang berupa sedan dan van yang berturut-turut memberi laba kepadanya sebesar 5 juta dan 3,5 juta per unit yang terjual. Kantor pusat mengharuskan agen untuk memesan sedan paling sedikit 20% dari seluruh pesanan. Di tempat agen, luas ruang pamer (showroom) sekaligus gudang hanya cukup untuk 10 sedan saja atau untuk 15 buah van saja. Dalam keadaan demikian, agen tetap ingin memaksimumkan laba total dengan memperhatikan banyak sedan dan van yang sebaiknya dipesan (persemester) bila diketahui bahwa pada akhir semester dagangan lama pasti habis terjual. Buatlah model matematika dari

RPP- 44

masalah tersebut dan gambarkan daerah fisibelnya !

1.

Ulangan

PG

Harga 1 Kg beras Rp2.500,00 dan 1 kg gula Rp4.000,00. Seorang pedagang memiliki modal Rp300.000,00 dan tempat yang tersedia hanya memuat 1 kuintal. Jika pedagang tersebut membeli x kg beras dan y kg gula, maka sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut adalah ….a. b. c. d. e.

2. Uraian

Seorang siswa boleh memilih jurusan IPS jika memenuhi syarat sebagai berikut- J

umlah nilai Ekonomi dan Sosiologi tidak boleh kurang dari 12

- Nilai setiap mata pelajaran tidak boleh kurang dari 5.

Misalnya nilai Ekonomi x dan nilai Fisika y, maka Gambarkan daerah fisibel yang sesuai dari masalah tersebut!

Keterangan: Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan III. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. a 12. Sistem pertidaksamaan untuk model pada soal adalah

Daerah yang memenuhi:- di sebelah kanan garis x = 5- di sebelah atas garis y = 5- di sebelah kiri garis x = 10- di sebelah bawah garis y = 10Daerah penyelesaian harus di sebelah kanan garis yang memotong sumbu X di titik (0,12) dan sumbu Y di titik (12,0), yaitu .Gambarnya adalah

5

1111

1

5

RPP- 45

X

Y

105

10

5

0

Jumlah skor soal nomor 2 15

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Untuk membuat serabi jenis A diperlukan 6 ons

tepung beras dan 4 ons tepung terigu. Untuk membuat serabi jenis B diperlukan 8 ons tepung beras dan 5 ons tepung terigu. Tepung beras yang tersedia 34 ons dan tepung terigu yang tersedia sebanyak 22 ons. Keuntungan yang diperoleh serabi jenis A adalah Rp150,00 perbuah dan serabi jenis B adalah Rp200,00 per buah. Buatlah model matematika dari masalah tersebut agar diperoleh keuntungan sebesar-besarnya.

2. Gambarkan daerah fisibel soal nomor 1 di atas.b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaan

Adapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:Membahas daerah fisibel program linear bulat

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 6 / kd 2.3

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 6 45 Menit (3 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 2. Menyelesaikan masalah program linear.Kompetensi Dasar : 2.3 Menyelesaikan model matematika dari

masalah program linear dan penafsirannya.Indikator Pencapaian : 2.3.1 Menentukan nilai optimum dari suatu fungsi

objektif dalam daerah penyelesaian 2.3.2 Memecahkan masalah program linear2.3.3 Menafsirkan solusi dari masalah program

linear.

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu:

RPP- 46

Menentukan nilai optimum dari suatu fungsi objektif.

II. MATERI PEMBELAJARAN Nilai optimum dari suatu fungsi objektif

Permasalahan dalam program linear selalu berhubungan dengan pengoptimasian (memaksimumkan atau meminimumkan) fungsi objektif berdasarkan kendala yang membatasinya.Adapun bentuk umum fungsi objektif adalah Z=f(x,y)= ax + by, dengan a dan b R, x dan ymerupakan variabel pada sistem pertidaksamaan yang merupakan fungsi kendala dari fungsi objektif tersebut.Nilai optimum dapat ditentukan dengan cara uji titik sudut atau garis selidik.1. Cara uji titik sudut

Cara ini dilakukan untuk menghitung nilai fungsi objektif di setiap titik sudut dari daerah penyelesaian. Kemudian membandingkan antara satu nilai dengan nilai lainnya. Dengan demikian, dapatlah ditentukan titik fungsi objektif maksimum atau minimum.Langkah-langkah menentukan nilai optimum bentuk objektifa.Gambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

persoalan program linear.b.Tentukan koordinat titik-titik sudut daerah penyelesaian tersebut. c. Hitunglah nilai bentuk objektif untuk titik-titik tersebut. d. Nilai optimum bentuk objektif dapat dicari dari nilai pada langkah

c.2. Menggunakan garis selidik ax + by = k

Penggunaan garis selidik akan mempermudah dan mempercepat menentukan nilai optimum suatu bentuk fungsi objektif.Jika bentuk objektif dari persoalan program linear adalah f(x,y) = ax + by, maka garis selidik mempunyai persamaan ax + by = k. Persamaan ini berupa garis lurus dengan gradien

m= . Dengan mengambil beberapa nilai k,akan diperoleh garis-

garis yang sejajar. Satu diantara garis-garis sejajar tersebut melalui suatu titik yang mengakibatkan nilai bentuk objektif mencapai optimum.Langkah-langkah untuk menentukan nilai optimum dengan cara tersebut adalaha. Gambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

persoalan program linear.b. Lukis garis-garis selidik melalui titik-titik sudut daerah

penyelesaian.c. Nilai optimum dapat dicari dengan melihat nilai-nilai k dari

langkah b.Kedua cara di atas dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum suatu bentuk objektif dari daerah penyelesaian yang gambarnya diketahui atau sistem pertidaksamaannya.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugas

RPP- 47

o Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik dengan memberikan soal kuiz. (TM&PT)

Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

20

2. Kegiatan Inti Dengan ceramah, guru menjelaskan masalah-

masalah yang merupakan masalah program linear (TM) Dengan tanya jawab, melalui contoh dibahas cara

menentukan fungsi objektif dan kendala suatu masalah program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

60

No. KegiatanWaktu (menit)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah (TM)

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyelesaikan masalah program linear.

II. MATERI PEMBELAJARAN Solusi dari masalah program linear.

RPP- 48

Untuk menyelesaikan masalah program linear, dapat digunakan langkah-langkah berikut.1. Buatlah model matematikanya2. Gambarlah daerah penyelesaian dari model tersebut3. Tentukan nilai optimum dari fungsi tujuannya (dengan cara

menyelidiki titik-titik sudut dari daerah penyelesaian atau cara menggunakan garis selidik)

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran (TM) Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan ™ Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini

(TM) Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

15

2. Kegiatan Inti Dengan diskusi atau Tanya jawab, membahas cara-cara

menggambar daerah fisibel suatu masalah program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN IIIRPP- 49

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menafsirkan solusi dari masalah program linear.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menafsirkan solusi dari masalah program linear.

Mengulang perlakuan untuk menyelesaikan masalah program linear mulai dari membentuk model matematikanya, gambar daerah penyelesaian sampai pada penentuan nilai optimum melalui contoh soal.Dalam beberapa persoalan program linear terdapat nilai-nilai varibel yang berupa pecahan padahal variabel tersebut mewakili suatu benda yang bulat. Sehingga nilai optimum hanya bisa dicapai pada titik fisibel bulat, merupakan salah satu contoh penafsiran solusi program linear. Dengan kata lain menafsirkan solusi berarti menemukan jawaban atau penyelesaian suatu masalah yang dapat diterima untuk mencapai nilai optimum dan pada titik fisibel mana, nilai itu dicapai, kemudian mengembalikan penyelesaian itu ke dalam masalah tersebut atau menyimpulkan hasil yang diterima untuk masalah tersebut.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, penemuan dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran (TM) Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan

(TM) Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini

(TM) Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya.

10

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab, membahas cara menuliskan

atau menemukan model matematika dari suatu program linear. (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal

65

RPP- 50

No. KegiatanWaktu (menit)

latihan. (TM & PT) Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan

tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab

soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang menyelesaikan masalah program linear (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah sekaligus bersiap untuk ulangan blok(TM)

15

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 37 - 44.- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas

XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 37 - 51.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 55 - 60.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 20 - 21

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 139 – 140.

- Matematika 2b kelas 2 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 115-116.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian Penilaian kognitif

Jenis : Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat PenilaianTugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1. Tugas Individu Uraian Gambarlah daerah penyelesaian sistem

RPP- 51

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

pertidaksamaan berikut, kemudian carilah nilai maksimum bentuk obyektif yang diberikan.3x + 2y 30, x + 2y 22, x 0, y 0 dengan bentuk obyektif 2x + 5y

2.

Luas suatu daerah parker adalah 176 cm2. Rata-rata luas untuk parker mobil 4 m2 dan rata-rata luas untuk bus 20 m2. Daya muat maksimum hanya 20 kendaraan. Biaya parker untuk mobil Rp1000,00/jam dan Rp2000,00/jam untuk bus. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang keluar dan masuk, maka hitung hasil maksimum tempat parker tersebut!

1.

Ulangan

PG

Perhatikan diagram berikut

Daerah yang diarsir merupakan daerah penyelesaian dari suatu pertidaksamaan. Nilai minimum bentuk obyektif f(x,y) = 30x + 10y dalam daerah penyelesaian tersebut adalah ….a. 30b. 50c. 55d. 60e. 180

2. Uraian

Seorang pedagang mebel mempunyai tambahan modal Rp800.000,00. Dia akan membeli meja seharga Rp75.000,00 per unit dan kursi seharga Rp50.000,00 per unit. Tokonya hanya dapat memuat tambahan 12 unit meja dan kursi. Keuntungan dari penjualan 1 unit meja adalah Rp10.000,00 dan dari 1 unit kuris Rp12.500,00. Jika x=banyak meja dan y=banyak kursi, hitunglah banyak meja dan kursi yang harus dibeli agar keuntungan maksimal!

Keterangan: Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan III. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. b 12. Memaksimalkan f(x,y) = 10.000x+12.500y dengan kendala 5

RPP- 52

X

Y

A(6,0)

C(0,5)

B(1,)

x,y B

Titik B perpotongan garis x+y = 12 dan 3x + 2y = 322x + 2y = 243x + 2y = 32 _- x = -8 x = 8 dan y = 4

Gambar daerah penyelesaian (daerah yang diarsir)

Titik x y F(x,y)A 0 12 150.000B 8 4 130.000- 10 2 125.000

Jadi banyak meja dan kursi masing-masing harus dibeli agar keuntungan maksimal adalah 0 dan 12 buah.

1

1

1

5

3

1

Jumlah skor soal nomor 2 17

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Menjawab ulang soal ulangan setelah pembahasan

ulang materi tentan program linear2. Suatu model matematika ditentukan oleh sistem

pertidaksamaan linear berikut.

a. Tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tersebut pada bidang Cartesius.

b. Pada daerah penyelesaian, tentukan nilai maksimum dan minimum bentuk objektif f = x + y. Pada titik mana nilai maksimum dan minimum itu tercapai?

b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanAdapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:

RPP- 53

X

Y

B

1210

16

12A

Maksimal

1. Membahas cara menafsirkan hasil untuk masalah program linear bulat.

2. Membahas penyelesaian program linear dengan menggunakan 3 variabel melalui soal berikutTentukan nilai x, y, z yang memaksimalkan fungsi objektif f(x,y,z)=7x+11y+9z dengan kendala

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 7 / kd 3.1

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 6 45 Menit (3 kali pertemuan)

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain

RPP- 54

Indikator Pencapaian : 3.1.1 Mengenal matriks, matriks persegi 3.1.2 Menguraikan sifat-sifat dan operasi aljabar

atas dua matriks.3.1.3 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks

persegi

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menjelaskan tentang matriks, matriks persegi Melakukan operasi aljabar atas dua matriks

II. MATERI PEMBELAJARAN Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Susunan bilangan-bilangan itu biasanya diletakkan di dalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan-bilangan dalam susunan itu dinamakan anggota atau unsur atau elemen matriks.Baris sebuah matriks adalah susunan elemen-elemen yang mendatar (horisontal) dalam susunan tersebut. Sedangkan kolom adalah susunan elemen-elemen yang tegak (vertikal) dalam matriks tersebut. Matriks biasanya dinyatakan dengan huruf besar dan elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika A adalah sebuah matriks, maka kita akan menggunakan aij untuk menyatakan elemen yang terdapat pada baris ke-i dan kolom ke-j dari A, i=1,2,3,...,m dan j=1,2,3,...,n.

A = (aij)=

Ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka ordo matriks A adalah m x n dan ditulis Am x n.Banyak elemen suatu matriks sama dengan hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks yang bersangkutan.Jika banyak elemen pada baris sama dengan banyak elemen pada kolom (baris=kolom=n), maka matriks tersebut berordo n, dan dinamakan matriks persegi.

Pengertian beberapa matriks khususa. Matriks baris, yaitu matriks

yang hanya terdiri dari satu baris.

RPP- 55

b. Matriks kolom, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom

c. Matriks persegi, yaitu matriks yang mempunyai banyak baris sama dengan banyak kolom.Dalam matriks persegi ordo n x n, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung a11dengan ann disebut diagonal utama, sedangkan elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen an1 dengan a1n disebut diagonal samping. Hasil penjumlahan semua elemen pada diagonal utama disebut trace.

d. Matriks segitiga bawah, yaitu suatu matriks persegi yang setiap elemen di atas diagonal utama adalah nol.

e. Matriks segitiga atas, yaitu suatu matriks persegi yang setap elemen di bawah diagonal utama adalah nol.

f. Matriks diagonal, yaitu suatu matriks persegi yang elemen-elemennya adalah nol, kecuali pada diagonal utama.

g. Matriks skalar adalah suatu matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama sama.

h. Matriks identitas atau satuan adalah suatu matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama sama dengan satu

i. Matriks simetris, yaitu suatu matriks persegi yang elemen pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan elemen pada baris ke-j kolom ke-i.

j. Matriks nol matriks yang semua elemen-elemennya adalah nol.

Transpose atau putaran suatu matriks diperoleh dengan cara susunan baris suatu matriks diubah menjadi susunan kolom dan sebaliknya. Transpose matriks A dinyatakan dengan A’ atau AT. Dua matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut berordo

sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) pada kedua matriks sama.

Penjumlahan dan pengurangan matriksJika A dan B sembarang dua matriks yang ordonya sama, maka jumlah matriks A dan B (ditulis A+B) adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen matriks B yang seletak. Matriks yang ordonya berbeda tidak dapat dijumlahkan.Matriks lawan dari matriks A adalah matriks yang elemen-elemennya adalah lawan (negatif) dari elemen-elemen matriks A yang seletak (notasi: -A)Jika A dan B sembarang dua matriks yang ordonya sama , maka pengurangan matriks A dengan matriks B (ditulis A-B) adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan matriks A dengan lawan B.

Jika A, B dan C adalah matriks yang berordo sama, pada penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku sifat-sifat berikut.a. A + B = B + A (Komutatif)

RPP- 56

b. (A+B)+C = A + (B+C) (asosiatif)c. A-B B – A (tidak komutatif pada pengurangan)d. (A-B)-C A-(B-C) (tidak asosiatif)e. A+O=O+A, O merupakan elemen identitas pada penjumlahanf. A + (-A)=(-A) +A = O (-A invers penjumlahan dari matriks A).

Perkalian bilangan real(skalar) dengan matriksJika A adalah matriks dan k bilangan real, maka kA adalah suatu matriks baru yang elemen-elemennya dieroleh dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen A.Jika A, B dan O adalah matriks-matriks yang berordo sama, untuk setiap bilangan real k, l, m berlaku sifat-sifat berikut.a. (k+l)A = kA + lAb. k(A+B)= kA + kBc. (kl)A = k(lA)=l(kA)d. 1A = Ae. (-1)A = -Af. 0A = O (matriks nol)g. kO=O (matriks nol)

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Menyampaikan kepada siswa materi yang akan

dipelajari, kompetensi dasar, dan indikator yang ingin dicapai setelah pembelajaran ini. (TM)

Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti pelajaran dengan baik ,kemudian memberikan uji kompetensi awal (TM & PT)

20

2. Kegiatan Inti Dengan ceramah dan tanya jawab guru menjelaskan

pengertian matriks, notasi matriks , ordo matriks,

60

No. KegiatanWaktu (menit)

beberapa matriks khusus, sehingga siswa menemukan pengertian matriks persegi. (TM)

Membahas kesamaan dua matriks, operasi aljabar dua matriks (penjumlahan, pengurangan dan perkalian skalar dengan matriks serta sifat-sifatnya). (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal

RPP- 57

latihan. (TM & PT) Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan

tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih dirumah

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Melakukan operasi aljabar atas dua matriks Menggunakan sifat-sifat operasi matriks persegi

II. MATERI PEMBELAJARAN Perkalian matriks

Jika A adalah matriks ordo mxr dan B adalah matriks ordo rxn, maka hasil kali AB adalah matriks C ordo mxn yang elemen-elemennya ditentukan sebagai berikut.Untuk menentukan cij, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan elemen-elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. Hal ini berarti bahwa perkalian matriks AB dapat dilakukan jika banyaknya kolom dari matriks pertama A sama dengan banyaknya bais dari matriks kedua B.Pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi yang didefenisikan sebagi berikut. Misalkan matriks A adalah matriks persegi n x n, maka A2 = AA, A3=AAA dan seterusnya. Jika A adalah matriks

persegi, maka A0 =I dan An =

n faktorAkan tetapi, jika A invertible maka A-n = (A-1)n (n>0).Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks-matriks A,B dan C adalah sedemikian sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat didefenisikan, maka berlaku sifat-sifat berikut.a. (AB)C = A(BC) (asosiatif)b. A(B+C)=AB + Ac (distributif kiri)c. (B+C)A = BA + CA (distributif kanan)d. A(B-C) = AB-ACe. (B-C)A = BA-CAf. k(BC)=(kB)C=B(kC), K R.g. (AB)T=BTAT

h. AB BA (umumnya tidak komutatif)III. METODE PEMBELAJARAN

RPP- 58

o Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan pemberian tugas

o Model : Pembelajaran langsung IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini

(TM) Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

15

2. Kegiatan Inti Dengan ceramah dan tanya jawab, dibahas perkalian

dua matriks dan sifat-sifatnya. (TM) Memberikan kesempatan kepada siswa untuk

berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih di rumah

10

PERTEMUAN IIII. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menggunakan sifat-sifat operasi matriks persegi Menjelaskan tentang invers matriks persegi

II. MATERI PEMBELAJARAN Pendalaman materi untuk sifat-sifat matriks persegi Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi berordo sama dan memenuhi

hubungan AB=BA=I maka A adalah invers dari B atau B adalah invers dari A. A dan B saling invers atau invers satu sama lain.

III. METODE PEMBELAJARANRPP- 59

o Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, penemuan dan pemberian tugas

o Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. (TM) Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

10

2. Kegiatan Inti Membimbing siswa dalam kegiatan pendalaman

mengenai sifat-sifat pada matriks persegi. (TM) Dengan tanya jawab, dibahas perkalian dua matriks

yang menghasilkan matriks identitas. (TM) Memberikan kesempatan kepada siswa untuk

berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan

dari materi pelajaran (TM) Memberikan tugas soal-soal untuk diselesaikan di

rumah Mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab

soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang sifat-sifat dan operasi pada matriks.

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah untuk bersiap mengikuti ulangan harian

15

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 59 - 83.

RPP- 60

- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 57 - 70.

- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 75 - 91.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 30 - 32

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 28 – 37.

- Matematika 1b kelas 1 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 52-85.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Kuiz, Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat Penilaiana. Uji Kompetensi awal

1. Jelaskan cara yang dapat Anda lakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel

2. Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode substitusi dan metode eliminasi

b. Kuis, Tugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

KuizIsian atau

uraian singkat

Diketahui tentukanlah hasil dari

.

2.Jika dan , tentukan hasil operasi

matriks berikut.a. AB b. BA

3. Tugas Individu Uraian Diketahui matriks – matriks berikut:

A = B = dan C =

Carilah:a. A + Bb. B + Ac. A + C

RPP- 61

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

d. At

e. (A + B)t

f. 3Ag. -2Bh. ABi. BA

4.

Dalam perkalian matriks, kuadrat dari matriks nol adalah matriks itu sendiri. Tuliskan dua matriks berordo 2 x 2 yang anggota-anggotanya tidak nol dan memenuhi A2 = A

5.A dan B adalah matriks berordo n, buktikan bahwa (AB)T = BTAT!

6.

Tentukan matriks K yang memenuhi

, dengan K matriks berordo 2

x 1.

1.

Ulangan

PG

Harga x yang memenuhi

adalah ….a. 0 b. 10 c. 13 d. 14 e. 25

2. Uraian

Diketahui , dan

. Tentukan:

a. 3P - + 4R

b. PQ - QTR

Keterangan: Uji Kompetensi awal diberikan pada awal pertemuan

I Kuiz diberikan pada akhir pertemuan II Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan III. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)

No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. d 12.

Diketahui , dan , maka:

a. 3P - + 4R = 1

RPP- 62

=

=

b. PQ – QTR = dengan QT =

=

=

=

1

1

2

1

1

1

Jumlah skor soal nomor 2 8

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut1. Tentukan ordo dari matriks berikut, kemudian

periksalah, apakah merupakan matriks persegi? Jika matriks persegi tentukan diagonal utama dan diagonal sampingnya.

a. b. c.

2. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut

a. b.

3. Tabel berikut menunjukkan klasemen sementara liga Italia (lima Besar) sampai dengan tanggal 25 Februari 2005.

No.

Kesebelasan Main Menang Seri Kalah Nilai

1. AC Milan 25 16 6 3 542. Juventus 25 16 6 3 543. Inter Milan 25 9 16 0 434. Udinese 25 12 5 8 415. Sampdoria 25 12 5 8 41

a. Nyatakan klasemen sementara liga Italia (lima besar) tersebut dalam bentuk matriks yang unsur-unsurnya terdiri atas main, menang, seri, kalah, dan nilai.

b. Tentukan banyaknya baris dan kolom pada matriks yang diperoleh pada soal a.

c. Tentukan transpos matriks yang diperoleh pada soal a.d. Tuliskan unsur baris ke-3 kolom ke-4 dari matriks yang diperoleh

pada soal a. b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaan

Adapun materi / soal pengayaan yang diberikan sebagai tugas adalah:

RPP- 63

1. Diketahui sebuah segitiga, sudut terbesarnya 50o

lebih besar daripada sudut terkecilnya, dan 25o lebih besar daripada sudut sisinya.a. Bentuklah SPL dari keadaan tersebut.b. Tentukan matriks koefisiennyac. Tentukan tranpos matriks yang diperoleh pada soal a.d. Tentukan diagonal utama dan diagonal samping matriks koefisien

tersebut.2. Sebuah dealer sepeda motor menjual dua model ,

yaitusepeda motor bebek (B) dan sepeda motor balap (S). Penjualan kotor (dalam jutaan rupiah) dari tiga orang wiraniaga dealer itu pada bulan Januari, Februari, dan Maret diberikan pada tabel berikut.

Nama Wiraniaga

Januari Februari MaretB S B S B S

Budi 250 175 265 215 240 220Dani 230 200 247 225 235 218Eka 205 165 230 180 240 224

a. Susunlah matriks penjualan ketiga wiraniaga tersebut untuk dua model sepeda motor setiap bulan

b. Dengan menggunakan matriks dari jawaban a, tentukan total penjualan pada bulan Januari, Februari, dan Maret untuk setiap wiraniaga dan setiap model sepeda motor.

c. Dengan menggunakan matriks dari jawaban a, tentukan kenaikan penjualan dari bulan Januari sampai Februari untuk setiap wiraniaga dan setiap model sepeda motor.

d. Jika ketiga wiraniaga menerima komisi 3% dari penjualan kotor, tentukan komisi setiap wiraniaga untuk setiap model yang terjual pada bulan (i) Januari; (ii) Februari; (iii) Maret.

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 8 / kd 3.2

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 4 45 Menit (2 kali pertemuan)

RPP- 64

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2

Indikator Pencapaian : 3.2.1 Mengenal determinan matriks 2 x 2 3.2.2 Menjelaskan invers matriks 2 x 23.2.3 Menentukan invers matriks 2x2

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menentukan determinan matriks 2 x 2 Menjelaskan invers matriks ordo 2 x 2

II. MATERI PEMBELAJARAN Determinan matriks ordo 2 x 2

Determinan matriks A dinotasikan dengan det A atau didefenisikan sebagai selisih perkalian anggota-anggota pada diagonal utama dengan perkalian anggota-anggota pada diagonal samping atau sekunder. Jika determinan A = 0, maka matriks A tidak mempunyai invers dan A disebut matriks singular. Dan jika det A 0 maka matriks A mempunyai invers dan A disebut matriks non singular.

Invers matriks ordo 2 x 2Misalkan A matriks persegi ordo 2 x 2 maka invernya dinotasikan dengan A-1 ( dibaca invers matriks A) diperoleh A A-1= A-1A=I (matriks identitas).

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

20

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab, dijelaskan cara menentukan

determinan matriks ordo 2 x 2 dan mengenal invers matriks 2x2 (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya dan menjawab pertanyaan siswa. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

60

RPP- 65

No. KegiatanWaktu (menit)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan dari

materi pelajaran (TM) Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih

dirumah

10

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menentukan invers matriks 2 x 2

II. MATERI PEMBELAJARAN Menentukan invers matriks ordo 2 x 2

Dengan menggunakan sifat perkalian dua matriks yang menghasilkan matriks identitas(AB=BA=I), rumus untuk menentukan invers matriks

dapat ditemukan, yaitu A-1 =

Langkah-langkah untuk menentukan invers matriks A ordo 2 x 2 adalah.a. Tentukan determinan matriks Ab. Pertukarkan anggota padadiagonal utama c. Gantilah tanda anggota pada diagonal samping dengan

negatifnya.

d. Kalikan hasil pada b dan c dengan

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

15

RPP- 66

No. KegiatanWaktu (menit)

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dan ceramah guru menjelaskan

cara menentukan invers matriks ordo 2 x 2 (TM) Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya

dan menjawab pertanyaan siswa. (TM) Memberikan soal latihan serta memantau dan

membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

65

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan dari

materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah dan

mengarahkan siswa untuk mencari dan menjawab soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang determinan dan invers matriks (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah (TM)

10

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 86 - 89.- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu

Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 72 - 74.- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi ilmu

sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 93 - 97.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 32 - 33

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 91 – 93.

- Matematika 1b kelas 1 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 41- 45.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUT

A. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Kuiz, Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

RPP- 67

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat Penilaian

Kuis, Tugas Individu, Ulangan

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.

KuizIsian atau

uraian singkat

Tentukanlah nilai b, jika matiks A =

tidak mempunyai invers!

2.

Diketahui matriks A = dan

B = memenuhi AB = BA = I, tentukanlah

A-1 dan B-1.

3.

Tugas Individu Uraian

Jika A dan B adalah matriks 2 x 2, buktikan bahwa !

4.

Diketahui dan

. Jika B-1 = A, maka tentukan

nilai x dan y!

5.

Diketahui dan

a. Tentukan A-1

b. Tentukan B-1

c. Tentukan A-1B-1

d. Tentukan B-1A-1

e. Apakah A-1B-1 = B-1A-1?

1.

Ulangan

PG

Jika matriks D = adalah matriks singular,

maka nilai x adalah ...a. -4 atau 3 b. -3 atau 4 c. 0 atau 3 d. 0 atau 4 e. 3 atau 4

2. Uraian Diketahui , tentukan Y.Y-1.

Keterangan: Kuiz diberikan pada akhir pertemuan I. Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan II. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)

No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. a 12.

Diketahui , maka Y.Y-1 = ....

1

RPP- 68

=

Y.Y-1 =

=

1

1

2

Jumlah skor soal nomor 2 5

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut

1. Tentukan determinan dari matriks .

2. Tentukan invers dari matriks pada soal nomor 1

b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaanAdapun materi pengayaan yang diberikan adalah:1. Membahas Materi tentang cara lain menentukan invers matriks

ordo 2 x 2, yaitu cara operasi baris elementer disertai soal untuk tugas.

2. Membahas cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3.

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARANNomor : 9 / kd 3.3

Satuan Pendidikan : SMA Negeri 4 WatamponeMata Pelajaran : MatematikaKelas : XII-ISProgram/Semester : IPS/GanjilTahun Pelajaran : 2009 - 2010Alokasi Waktu : 4 45 Menit (2 kali pertemuan)

RPP- 69

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar : 3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

Indikator Pencapaian : 3.3.1 Menyatakan suatu sistem persamaan linear dua variabel dalam persamaan matriks

3.3.2 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan

3.3.3 Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks.

PERTEMUAN I

I. TUJUAN PEMBELAJARANSetelah Pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menentukan persamaan matriks dari sistem persamaan linear. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan.

II. MATERI PEMBELAJARAN Persamaan matriks

Jika A, B dan X merupakan matriks persegi berordo 2 x 2 maka persamaan AX = B dan XA = B dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus perkalian AA-1 = A-1A = I.a. Jika persamaan itu berbentuk AX = B, maka

penyelesaiannya adalah X = A-1Bb. Jika persamaan itu berbentuk XA = B, maka

penyelesaiannya adalah X = BA-1’ Persamaan matriks suatu sistem persamaan linear

Misalkan sistem persamaan linear dua variabel berikut

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks, yaitu

berbentuk AX = B, dengan A= sebagai

matriks koefisien, X= sebagai matriks variabel dan B= sebagai

matriks konstanta dari sistem persamaan linear. Menyelesaikan SPLDV dengan determinan.

Pada persamaan matriks di atas didefinisikan determinan utama (D=

), yaitu determinan dari matriks koefisien, determinan peubah

x(Dx= ), yaitu determinan yang diperoleh dengan menggantikan

koefisien-koefisien peubah x dari determinan utama dengan bilangan-

RPP- 70

bilangan ruas kanan dan determinan peubah y (Dy= ), yaitu

determinan yang diperoleh dengan menggantikan koefisien-koefisien peubah y dengan bilangan-bilangan diruas kanan. Nilai x dan y

ditentukan dengan rumus x = dan y = . Cara ini dapat dibuktikan

dengan menyelesaikannya dengan eliminasi pada sistem persamaan di atas.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, penemuan, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

10

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dan diskusi, dibahas tentang cara

menyelesaikan persamaan matriks dan sistem persamaan linear dua peubah dengan menggunakan determinan, (TM)

Memberikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

70

3. Kegiatan Akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan dari

materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah Menutup pembelajaran dengan meminta siswa

berlatih di rumah (TM)

10

RPP- 71

PERTEMUAN III. TUJUAN PEMBELAJARAN

Setelah kegiatan pembelajaran ini diharapkan siswa mampu: Menyelesaikan persamaan matriks dari sistem persamaan linear dengan

invers matriks.

II. MATERI PEMBELAJARAN Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan invers

matriks.Misalkan sistem persamaan linear dua variabel berikut

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks, yaitu

berbentuk AX = B, dengan A= sebagai

matriks koefisien, X= sebagai matriks variabel dan B= sebagai

matriks konstanta dari sistem persamaan linear.Selanjutnya, gunakan rumus berikut.AX = B X = A-1B untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut. Cara menentukan penyelesaian ini dikenal menyelesaikan SPLDV dengan menggunakan invers matriks.

III. METODE PEMBELAJARANo Metode : Ekspositori, diskusi, tanya jawab, dan

pemberian tugaso Model : Pembelajaran langsung

IV. KEGIATAN PEMBELAJARAN

No. KegiatanWaktu (menit)

1. Kegiatan Awal Mempersiapkan siswa mengikuti pembelajaran Membahas PR siswa yang dianggap sukar diselesaikan Menuliskan materi dan tujuan pembelajaran hari ini Memberikan motivasi kepada siswa agar mengikuti

pelajaran dengan baik. Mengingatkan pentingnya materi-materi sebelumnya

sebagai materi prasyarat untuk materi selanjutnya. (TM)

10

2. Kegiatan Inti Dengan tanya jawab dan diskusi, dibahas tentang cara

menyelesaikan sistem persamaan linear dua peubah

70

RPP- 72

No. KegiatanWaktu (menit)

dengan menggunakan invers matriks. (TM) Memberikan kesempatan kepada siswa untuk

berdiskusi dan bertanya serta menjawab pertanyaan siswa lain. (TM)

Memberikan soal latihan serta memantau dan membimbing siswa yang kesulitan menyelesaikan soal latihan. (TM & PT)

Meminta siswa menuliskan jawabannya di papan tulis dan siswa lain dapat memberikan pertanyaan atau tanggapan (TM & PT)

Memberikan penghargaan serta meluruskan jawaban siswa dan menjawab pertanyaan siswa (TM)

3. Kegiatan akhir Mengarahkan siswa untuk membuat kesimpulan dari

materi pelajaran Memberikan soal-soal untuk diselesaikan di rumah dan

mengarahkan siswa untuk menemukan dan menjawab soal UN, UMPTN dan atau SMPTN tentang pemakaian matriks. (KMTT)

Menutup pembelajaran dengan meminta siswa berlatih dirumah dan bersiap untuk uji kompetensi (dalam bentuk ulangan blok)

10

SUMBER BELAJAR Sumber : - Buku paket Matematika Kelas XII, Tri Dewi Listya,

Herawati. 2007 Grafindo halaman 90 - 96.- Buku Pelajaran Matematika SMA kelas XII Program Ilmu

Sosial, Noormandiri, 2005. Erlangga hal 75 - 79.- Buku paket Matematika SMA kelas XII Program Studi

ilmu sosial dan Bahasa, H. Sunardi, dkk. Bumi Aksara hal 97 - 103.

- Buku matematika Program IPS “PERMATA”,Gunardi, Siti Nurul.2008. CV.Cahaya Pustaka hal 35 - 38

- Matematika 2 Petunjuk Guru SMU kelas 2, Sri Kurnianingsih, Kuntarti, Budhi Prayitno. 1995. DEPDIKBUD hal 46 – 47.

- Matematika 1b kelas 1 SMU semester 2. 2003. PT. INTAN PARIWARA hal 102-104.

PENILAIAN DAN PROGRAM TINDAK LANJUTA. Prosedur Penilaian

Penilaian kognitifJenis : Kuiz, Ulangan, tugas IndividuBentuk : Uraian, pilihan ganda

Penilaian AfektifBentuk : Lembar pengamatan sikap siswa

B. Alat PenilaianKuis, Tugas Individu, Ulangan

RPP- 73

No Jenis PenilaianBentuk

InstrumenInstrumen

1.Kuiz

Isian atau uraian singkat

Diketahui sistem persamaan berikut

tentukan matriks koefisien dari

persaman matriks sistem persmaan tersebut.

2.Apakah matriks X dan Matriks Y pada persamaan AX=B dan YA=B sama? Jelaskan.

3.

Tugas Individu Uraian

Jika B = dan AB-1 = , maka tentukan

matriks A.

4.

Diketahui sistem persamaan linear

Tentukan nilai x dan y menggunakana. Invers matriksb. aturan Cramer

5.

Pada suatu hari Rina dan Evi bersama-sama pergi ke pasar membeli mangga dan jeruk. Rina membeli 2 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan hargaRp4.000,00 dan Evi membeli 3 kg mangga dan 4 kg jeruk dengan harga Rp8.500,00. Hitunglah harga 1 Kg Mangga dengan menggunakan paling sedikit 4 cara!.

1.

Ulangan

PG

Sistem persamaan linear yang diwakili oleh

persamaan matriks adalah ….

a. d.

b. e.

c.

2. Uraian

Diketahui sistem persamaan linear berikut

a. Tulis bentuk matriksnyab. Tentukan invers dari matriks koefisienc. Tentukan nilai x dan y

Keterangan: Kuiz diberikan pada awal pertemuan I Tugas individu diberikan pada akhir pertemuan II. Ulangan dilaksanakan setelah selesai pembelajaran

satu standar kompetensi.

C. Kunci jawaban / alternatif penyelesaian dan Penskoran (ulangan)No Kunci jawaban / alternatif penyelesaian Skor1. b 12.

a.

b. = =

1

2

RPP- 74

c. =

Jadi, x =3 dan y = 1.

2

1

Jumlah skor soal nomor 2 6

D. Program Tindak Lanjuta. Siswa yang memperoleh nilai KD < KKM mengikuti program remedial

Setelah pembelajaran remedial, diberikan tugas sebagai berikut

1. Diketahui persamaan matriks , tentukan matriks

koefisiennya.2. Tentukan invers dari matriks koefisien pada soal

nomor 13. Tuliskan sistem persamaan linear yang dimaksud pada

soal nomor 1.4. Selesaikan Persamaan pada soal nomor 3 dengan

invers matriks dan cara determinan.b. Siswa yang memperoleh nilai KD KKM mengikuti program pengayaan

Adapun materi pengayaan yang diberikan adalah:Menyelesaikan SPL 3 peubah dengan invers matriks dan aturan cramer, kemudian memberikan soal sebagai tugas.

Watampone, 13 Juli 2009Mengetahui,Kepala SMA Negeri 4 Watampone Guru Mata Pelajaran

Drs. ABDUL SALAM BASIR MULYADI, S.Pd.NIP.19581231 198303 1 194 NIP.132223773

RPP- 75