Rotasi Benda Tegar

Pelajaran 8

FI1101

Benda Tegar dan Rotasi• Benda tegar: benda yang semua bagian benda tersebut terikat

bersama, dan benda tersebut dapat berotasi tanpa mengalamiperubahan bentuk.

• Dalam gerak rotasi, Setiap titik pada benda bergerak dalambentuk lingkaran yang pusatnya berada pada sumbu rotasi, dansetiap titik dalam benda tersebut bergerak dengan sudut yangsama dalam interval waktu tertentu (kecepatan sudut).

• Posisi sudut (angular) θ terhadap sumbu xpositif, dapat dituliskan :

s merupakan panjang busur dan r adalahjari-jari lingkaran

• Hubungan antara putaran (rev), radian,dan sudut adalah sbb :

• Perubahan sudut :

Perubahan sudut berlawanan jarum jam bernilai positif,sedangkan untuk yang searah jarum jam bernilai negatif.

• Kecepatan sudut rata-rata pada gambar disamping dapat dituliskan :

• Kecepatan sudut sesaat :

• Kedua persamaan di atas berlaku untuk setiap titik pada bendategar yang sedang berotasi.

• Percepatan sudut rata-rata :

• Percepatan sudut sesaat:

Gerak rotasi dengan percepatan sudut tetap

• Gerak rotasi ini memiliki kesetaraan dengan gerak translasi

Contoh Soal

Cakram pada gambar di samping berotasi terhadapsumbu pusatnya. Posisi sudut θ(t) terhadap garisreferensi dituliskan :

Dengan t dalam detik, θ dalam radian, dan posisi sudutnol seperti ditunjukkan pada gambar.

a) Gambarlah grafik posisi sudut cakram terhadap waktu dari t = -3.0 s sampai t =5.4 s. Sketsakan piringan dan garis referensi posisi sudutnya pada t = -2.0 s, 0 s,dan 4.0 s, dan ketika kurva memotong sumbu t.

b) Pada waktu tmin berapa θ(t) memiliki nilai minimum

c) Gambarkan grafik kecepatan sudut terhadap waktu dari t = -3.0 s sampai t = 6.0s. Sketsakan grafik dan tunjukan arah putaran dan tanda ω pada t = -2.0 s, 4.0 s,dan tmin.

Solusi:

Dengan memasukkan nilai t ke dalam persamaan :

Akan diperoleh grafik berikut :

a) Gambarlah grafik posisi sudut cakram terhadap waktu dari t = -3.0 s sampai t =5.4 s. Sketsakan piringan dan garis referensi posisi sudutnya pada t = -2.0 s, 0 s,dan 4.0 s, dan ketika kurva memotong sumbu t.

Misal t = -0.2 s:

Untuk t = 0 s, diperoleh θ=-57o.

Ketika kurva memotong sumbu t,maka θ = 0. Sehingga garisreferensi sama dengan posisisudut nol

Dengan mencari titik stationer, maka θ(t) didiferensialkan thd waktu :

Dengan mensubstitusikan tmin ke dalam persamaanθ(t), diperoleh nilai θ(t) minimum yaitu :

b) Pada waktu tmin berapa θ(t) memiliki nilai minimum

c) Gambarkan grafik kecepatan sudut terhadap waktu dari t = -3.0 s sampai t = 6.0s. Sketsakan grafik dan tunjukan arah putaran dan tanda ω pada t = -2.0 s, 4.0 s,dan tmin.

Pada t = -2.0 s, diperoleh :

Pada t = 4.0 s, diperoleh :

Pada tmin, dθ/dt = 0 sehingga ω = 0

Contoh Soal

Topi seorang anak kecil diputar dengan percepatan sudut :

Turunkan persamaan kecepatan sudut ω(t) dan sudut θ(t)!

Solusi:

Kecepatan sudut :

Sehingga :

t dalam s dan α dalam rad/s2. pada t = 0, topi memiliki kecepatan sudut5 rad/s, dan garis referensi berada pada posisi sudut θ = 2 rad.

Karena pada t = 0, ω=5 rad/s maka

Sudut :

Maka,

Contoh Soal

Sebuah gerinda berotasi padapercepatan sudut tetap α = 0.35 rad/s2.Pada t = 0, kecepatan sudutnyaωo = -4.6 rad/s dan garis acuan beradapada posisi horizontal pada θo = 0.

Solusi:

a) Pada waktu berapakah, garis acuanpada posisi θ = 5.0 putaran?

b) Deskripsikan gerak rotasi gerinda di antara t = 0 s dan t = 32 s.

c) Pada waktu berapakah gerinda diam sesaat?

a) Dengan menggunakan persamaan :Substitusi θo = 0 dan θ = 5.0 putaran = 10π rad, maka

Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat, diperoleh t = 32 s

b) Gerinda awalnya berotasi searah jarum jam dengan ω0 = -4.6 rad/s, namun percepatan sudutnya bernilai positif.

Tanda kecepatan sudut awal dan percepatan sudut awalyang berlawanan menunjukkan bahwa gerak rotasi gerindamelambat pada arah negatif, diam, dan kemudianmembalik berotasi pada arah positif.

Setelah garis acuan kembali pada θ=0, gerinda mengalamipertambahan 5.0 putaran selama t = 32 s.

c) Keadaan akhir yaitu gerinda diam (ω=0), sehingga

Hubungan antara Variabel Linear dan Angular

• Posisi :

• Kecepatan linier:

Periode :

• Percepatan sudut :

Komponen radial :

Contoh Soal

Solusi:

Sebuah cakram CD mempunyai data terekam dari jari jari terdalam 23mm dan sampai jari jari terluar 58 mm. Jika data pada cakram CD hanyadapat dibaca oleh lensa laser pada kecepatan linier 1,3 m/s. Hitunglah:a) Rentang kecepatan sudut yang perlukan untuk memutar CD

tersebut.b) Jika CD tersebut berisi lagu berdurasi 74 min 33 detik, hitunglah

berapa kali putaran yang diperlukan untuk memutar CD tsb?c) Berapa panjang data tsb bila dibentangkan secara linier?d) Berapa percepatan CD selama berputar?

a) Kecepatan sudut jari jari terdalam Kecepatan sudut jari jari terluar

Solusi:

b) putaran yang diperlukan untuk memutar CD

c) panjang data pada CD bila dibentangkan secara linier

d) percepatan CD selama berputar

Energi Kinetik Rotasi• Energi kinetik di setiap titik pada benda tegar :

Karena,

Maka,

• Momen inersia :

• Energi kinetik rotasi benda tegar :

Momen Inersia• Menunjukkan seberapa sulitnya benda untuk berputar.

• Besarnya tergantung pada distribusi massa dan sumbu putar.

• Semakin kecil momen inersia, semakin mudah suatu bendauntuk berputar

• Semakin sedikit distribusi massa ke sumbu putar, maka momeninersia semakin kecil (momen inersia batang dengan sumbuputar horizontal lebih kecil daripada momen inersia batangdengan sumbu putar vertikal)

• Untuk kasus diskrit, momen inersiadapat dituliskan :

• Untuk kasus kontinu :

r : jarak tegak lurus antara titik ke sumbu rotasi

Contoh Soal

Dua partikel bermassa m dihubungkandengan kawat (dg panjang L dan massadiabaikan)a) Turunkan momen inersia terhadap pusatmassa!

Solusi:

b) Turunkan momen inersia I terhadap suatusumbu di ujung kiri kawat dan sejajar sumbupertama!

a) Karena setiap partikel, berada padajarak L/2 dari sumbu putar, maka :

Teorema Sumbu Sejajar

• Momen inersia terhadap suatu sumbu putar yang sejajar denganmomen inersia pusat massa benda (Icom) dapat dihitung melalui :

dengan h merupakan jarak suatu sumbu putar ke sumbu putaryang melalui pusat massa benda (antar kedua sumbu ini harussejajar)

Contoh Soal

Dua partikel bermassa m dihubungkandengan kawat (dg panjang L dan massadiabaikan)

Solusi:

b) Turunkan momen inersia I terhadap suatusumbu di ujung kiri kawat dan sejajar sumbupertama!

b) Karena sumbu kedua yaituL/2 dari sumbu putar, maka

Contoh Soal

Batang tipis (homogen) dengan massa Mdan panjang L berada pada pusat sumbu x.

a) Momen inersia terhadap sumbu pusat?

Solusi:

b) Momen inersia thd sumbu baru yang tegak lurus batang danberada di ujung kiri?

a) Momen inersia :

dxdm =Untuk kasus ini,

λ : rapat massa persatuan panjangL

M=dengan,

Maka momen inersianya :

b) Karena jarak sumbu baruke sumbu pertama yaitu L/2 :

2MhII com +=2

2

2

1

12

1

+= LMML

2

3

1ML=

Torsi (Torka)

• Pada gambar di samping, benda bebas berputar thdsuatu sumbu memalui O dan tegak lurus benda itu.

• Torsi yang terjadi pada benda tsb :

disebut lengan momen gaya

Hukum 2 Newton untuk Rotasi

• Hukum 2 Newton :

• Untuk kasus rotasi, F dapat diganti dengan torsi. Sedangkan m dana dapat diganti masing-masing dengan I (momen inersia) dan α(percepatan sudut), sehingga

• Torsi akibat gaya tangensial :

• Pembuktian: Pada gambar di samping,Komponen gaya tangensial :

maka,

• Untuk kasus lebih dari 1 gaya :

Contoh Soal

Sebuah balok dengan massa m = 1.2 kg menggantung pada kawat(massa diabaikan) yang dihubungkan dengan katrol (piringanhomogen) dengan massa M = 2.5 kg dan jari-jari R = 20 cm.

Hitung Percepatan balok, percepatan sudut katrol , dan tegangankawat. Asumsikan tidak ada slip pada kawat dan tidak ada gesekanpada roda katrol

2

2

1MRI =

Solusi:

Gaya pada balok :

Pada katrol, bekerja gaya T yang berada pada jarak Rdari sumbu pusat katrol. Karena berputar searah jarumjam, maka torsi pada katrol : RT−=Untuk katrol dengan bentuk cakram, momeninersia thd sumbu pusat : 2

2

1MRI =

Maka dapat ditulis :

atau

Kerja dan Energi Kinetik RotasiPerubahan energi kinetik thd kerja W:

Untuk arah x, kerja yang dilakukan :

Untuk gerak rotasi dapat ditulis :

Dengan,

Untuk torsi yang konstan :

Sehingga laju energi/daya (pada torsi konstan) :

Hubungan antara gerak translasi dan rotasi

Contoh Soal

Sebuah cakram dengan massa 2,5 kg berputar denganpercepatan -24 rad/s2. Jari-jari cakram R = 0,20 m.Berapakah energi kinetik rotasi cakram tsb pada t = 2,5 s?

Solusi:

Untuk menghitung kecepatan sudut pada t = 2,5 s, digunakan :

Karena dan maka energi kinetik rotasi pada t= 2.5 s :

Contoh Soal

Sebuah cerobong silinder panjang akan terjatuh ketikabagian dasarnya didorong. Asumsikan cerobong sebagaibatang tipis dengan panjang L=55.0 m. Pada suatu saat,batang tsb membentuk sudut θ=35.0o terhadap arahvertikalBerapakah kecepatan sudutnya ωf?

Solusi:

Pada kasus ini dipenuhi hukum kekekalan energi.Ketika pusat massa batang jatuh, energi gravitasi Udiubah menjadi energi kinetik rotasi K.

Energi kinetik rotasi awalnya bernilai nol, padakeadaan akhir bergantung pada momen inersia.

Momen inersia pada sumbu putar seperti padagambar dapat dihitung dengan teorema sumbusejajar :

Energi kinetik rotasi akhir:

Energi potensial awal (pusat massa berada padaketinggian L/2 dari tanah) :

Energi potensial akhir :

Dengan menerapkan hukum kekekalan energi, diperoleh :

Momentum Sudut

Summary Momentum sudutMomentum linier Momentum sudut

Momentum sudut dalam suatu sistem

Momentum sudut padabenda tegar

Laju perubahan Momentum Sudut

Laju perubahan Momentum Sudut

Hubungan antara gaya translasi dan rotasi

2v gh=

22

3

1

2

mdMd

ghmd

+

=

+=+== 222

tan3

1)( mdMdmdIImvd gba

Dari hukum kekelan energi mekanik diperoleh laju kotak di dasar lantai sebelum menumbuk batang:

Setelah tumbukan berlaku hukum kekelan momentum sudut:

22

1 2 HMgmgHI +=

Dari Hukum kekekalan energi:

y=0

d

H

(d/2)co

sθ dco

sθtt=d/2-d/2 cosθt=H/2

22

1 2 HMgmgHI +=

Dari Hukum kekekalan energi:

y=0

d

H

(d/2)co

sθ dco

sθtt=d/2-d/2 cosθt=H/2

)cos1(2)3/(

)2(

2

122

22

−

+=

+gd

Mm

mdMd

ghdm

22

3

1

2

mdMd

ghmd

+

=

++

−=

++−= −−

)3

1)(2

1(

/1cos

)3/)(2/(1cos 1

21

m

M

m

M

dh

MmMmd

hm

o32= ( )85,0

)3

21)(11(

40/201cos 11 −− =

++

−= os

Gerak menggelinding

Gerak menggelinding

Energi kinetik gerak menggelinding

Benda yang menggelinding mempunyai 2 buahEnergi kinetik yaitu:

Energi kinetik rotasi dan Energi kinetik translasi.

Energi kinetik awal Ki = 0 (kondisi awal diam),

Energi potensial awal (di titik H) Ui = MgH

Energi kinetik akhir saat bola meninggalkan lintasan:

v = kecepatan pusat massa

/v R =22

5I MR=

Hukum kekekalan energi:

2 /t h g=