A. Momen GayaMomen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang (baca: tau).Gambar:Menarik beban menggunakan katrol = F . dSatuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.Gambar:Skema permainan jungkat jungkitTitik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1Momen gaya oleh F2 adalah 2 = F2 . d2Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: = 0Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol. = 0- F2 . d2 + F1 . d1 = 0F1 . d1 = F2 . d2Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan: F = 0Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.Perbandingan dinamika translasi dan rotasi TranslasiRotasi

Momentum linierp = mvMomentum sudut*L = I

Gaya F = dp/dtTorsi = dL/dt

Benda massa KonstanF = m(dv/dt)Benda momeninersia konstan* = I (d/dt)

Gaya tegak lurusterhadap momentumF = x pTorsi tegak lurusmomentum sudut = L

Energi kinetik Ek = mv2Energi kinetikEk = I2

Daya P = F . vDayaP = .

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasiKonsepTranslasiRotasiCatatan

Perubahan sudutss = r.

Kecepatanv = ds/dt = d/dtv = r.

Percepatana = dv/dt = d/dta = r.

Gaya resultan, momenF = F.r

KeseimbanganF = 0 = 0

Percepatan konstan v = v0 + at = 0 + t

s = v0t = at2 = 0t + t2

v2 = + 2as2 = + 2

Massa, momen kelembamanmII = miri2

Hukum kedua NewtonF = ma = I

UsahaW = F dsW = d

DayaP = F.vP = I

Energi potensialEp = mgy

Energi kinetikEk = mv2Ek = I2

Impuls F dt dt

MomentumP = mvL = I

ContohF230oO AB 37oF1Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. JarakOA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.JawabPada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,Untuk gaya F1r1 = OB = 8 mBesar momen gaya 1 = F1 sin 1. r1= 10 . sin 37. 8= 10 . 0,6 . 8= 48 N.mArah momen gaya 1 searah perputaran jarum jamUntuk gaya F2r2 = OA = 4 mBesar momen gaya 2 = F2 sin 2. r2= 6 . sin 30. 4= 6 . 0,5 . 4= 12 N.mArah momen gaya 2 berlawanan arah perputaran jarum jamMomen gaya total adalah = 2 + 2= 48 + 12= 60 NmMomen KopelKopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan MF F F -+M F dd d dF F F(a) (b) (c)Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untukgambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searahdengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalahM = M1 + M2 + M3 + + MnContoh F4F1P 1m 2m 1mQF3F2Jawab:Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F1 = F3 = 5 N, dan F2 = F4 = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:M 1 = F x d = 5 x 3 = 15 N mGaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarnya:M 2 = F x d = 8 x 3 = 24 N mResultan momen kopel adalah:M = M1 + M2= 15 + ( 24)= 9 N mTanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultanarahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.Koordinat Titik Tangkap Gaya ResultanJika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F1x, F2x, F3x,,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalah y1, y2, y3,,yn . Sedangkan komponen-komponen gaya pada sumbu-Y adalah F1 y , F 2y , F 3y , ,Fny , yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari sumbu-Y.Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.xo = =yo = =Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)ContohYF2=5NF3=7NXDari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.-3 -1 0 2 3F1=-3NF4=-2NJawabSemua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:Fy = F1 + F2 + F3 + F4= -3 + 5 + 7 2 = 7 N (arah ke atas)Letak titik tangkap gaya resultan adalah:xo =xo =xo =1. Momen Inersia Benda TegarBenda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi didefinisikan sebagai berikut.Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut.Dirumuskan sebagai berikut. = Fi Ri Sin i atau = ( mi R2 i ) . mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.Dirumuskan:I = mi . Ri2Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.Dirumuskan:I =maka = I . = IKarena = F . R dan = I . maka F . R = I . Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.a = . R =persamaan menjadi : F . R = I .Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.Momen inersia berbagai benda yang umum dikenalI = M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2Contoh:1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:1. 1. sumbu AA1,2. sA B1 kg 2 kg 1 kg 3 kg2 m 2 m 2 mA1 B1umbu BB1!Penyelesaian:1. I = mi . Ri2= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42= 1 . 02 + 2 . 22 + 1 . 42 + 3 . 62= 0 + 8 + 16 + 108I = 132 kg m21. I = mi Ri2= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42= 1 . 42 + 2 . 22 + 1 . 02 + 3 . 22= 16 + 8 + 0 + 12I = 36 kg m21. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!AA1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan terhadap poros ini ( = 4 )?2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1!Penyelesaian:1. I = mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42= 3 . 22 + 2 . 22 + 1 . 22 + 2 . 22= 12 + 8 + 4 + 8= 32 kg m21. = I . = 32 . 4 = 128 N.m2. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R421. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui1. 1. pusat 0, O2. salah satu bola!L = 1 mPenyelesaian:1. I = mi Ri2I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2I = 5 . (0,5)2 + 5 . (0,5)2 + 1/12 . 2 . 12I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6I = 2,5 + 1/6I = 5/2 + 1/6 = = 16/6I = 8/3 kg m2b. I = mi Ri2I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2I = 0 + 5 . 12 + 1/3 . 2.12I = 5 + 2/3I = 5 kg m2 Uji Kompetensi I 1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m,AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahania mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C diadapat menggeser sebelum papan terjungkit ?A B C D1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan Cc. Letak titik tangkap gaya Resultannya.1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak l dari ujung titik 0O-1/4 l +3/4 l1. Empat buah benda disusun pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di bawah ini. M1=M3 =1kg, M 2 =3 kg, dan M 4 = 2 kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.YM12 m

M3O 3 m M23 mM41. Tentukan momen inersia bola pejal ! massa bola m volume bola V = 4/3 R3 massa keping = dm volume keping = dV = r2 dx1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100 N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. DCB F2A 30o F11. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan Cc. Letak titik tangkap gaya Resultannya.1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg = 3/4.Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.1. 1. Menghitung Gerak Translasi dan RotasiIndikator : Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi Gerak menggelinding tanpa slip dianalisisC. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda TegarDalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :L = I . Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,L = R Patau L = R mVL = mR VJadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.V = RSehingga L = m R vL = m R RL = m R2 Arah L dam adalah sama, maka:L = m R2 atau L = I karena =maka : L = m R2L = IMomentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:L = R P = m (R v)Bila diturunkan, menjadi:karena = F Rmaka =Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.momentum sudut total awal = momentul sudut total akhirL = LL1 + L2 = L1 + L2Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.I1 1 + I2 2 = I1 1 + I2 2D. Energi Kinetik RotasiMisalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m2 dan rotasi bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah m1v12. Oleh karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikel ke 2 adalah m2v22 ) :EK = m1 v12 + m2v22Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya:EK = mi vi2Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel adalah vi = . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.jadi EK = mivi2= mi Ri2 2= ( mi Ri2) 2EK = I . 2karena L = I . maka EK = L . atau EK = Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.EK = mv2 + I . 2Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah:E = EK + EP = konstan mv2 + I 2 + mgh = konstanContoh SoalSebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!PenyelesaianJawab:v1 = 0, 1 = 0sha. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2( m v12 + I 12) + mgh1 = ( mv22 + I 22) + mgh20 + 0 + mgh = mv2 + . mR2 ( )2 + 0gh = v2 + . R2 . v/rgh = v2v2 = ghv = (terbukti)1. Hukum II dinamika rotasi F = m . am g . m . a = m . a= a a = . v2 = vo2 + 2 a sv2 = 02 + 2. . sv2 = ghv = (terbukti)E. MenggelindingMenggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).FFf fPenyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:- gerak translasi berlaku : F f = m . a- gerak rotasi berlaku : f . R = I . di mana ( = )1. Bila gaya F berada di titik singgung :- gerak translasi berlaku : F + f = m . a- gerak rotasi berlaku : (F f) . R = I . ( = )Katrol 1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekanMassa = mJari-jari = RMomen kelembaman = IGerak translasi beban :F = m . a+ T1 m1g = m1a .(i)+ m2g T2 = m2a .(ii)Gerak rotasi katrol : = I . (T2 T1) R = I .(iii)1. Pada puncak bidang miringGerak translasi beban :F = m . a+ T1 m1g sin f = m1a .(i)+ m2g T2 = m2a ..(ii)Gerak rotasi katrol : = I . (T2 T1) R = I (iii)1. Satu ujung talinya terikat pada sumbu katrolGerak translasi beban :F = m . amg T = m . a ..(i)Gerak rotasi katrol : = I . T . R = I . ..(ii)Contoh Soal1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50 cm. Tentukan:a. percepatan beban,b. tegangan tali!Penyelesaian:a. Tinjau benda m1 F = m1 . aw1 T1 = m1 . a5 . 10 T1 =5 . aT1 = 50 5aTinjau benda m2: F = m2 . aT2 W2 = m2 . aT2 3.10 = 3 . aT2 = 30 + 3aTinjau katrol = I . T1 . R T2 . R = m . R2 a/RT1 T2 = . 4 . 250 5a 30 3a = 2a20 = 10 . aa = 2 m/s21. T1 = 50 5 . 2 = 40 NT2 = 30 + 3 . 2 = 36 N2.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50 kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:1. percepatan sistem,2. gaya tegang tali!Penyelesaian:a.Tinjau m1: F = m . aT1 f1 = m . aTi k . N = m1 . aTi 0,1 . m1 . g = m1 . aT1 0,1 50 . 10 = 50 . aT1 = 50 + 50aTinjau m2: F = m . aw2 T2 = m2 . am2 . g T2 = m2 . a200 . 10 T2 =200 . aT2 = 2000 200 . aTinjau katrol: = I . T2 . R T1 . R = m . r2 . a/RT2 T1 = m . a2000 200a 50 50 a = . 10 . a1950 = 255 aa = = 7,65 m/s2b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 NT2 = 2000 200 . 7,65 = 470 N1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!Penyelesaian:1. katrol licin (k = 0), T1 = T2 = TTinjau m1 : F = m . aT = m1 . aT = 3 . aTinjau m2 : F = m . aw2 T = m2 . am2 . g T = m2 . a5 . 10 T = 5 . aT = 50 5a1. T = T3a = 50 5a3a + 5a = 508a = 50a = = 6,25 21. katrol kasarKatrol : = I . T2 . R T1 . R = mk . R2 . a/r50 5a 3a = . 1 . a50 = a + 8a = 8,5 aa = 50/8,5 = 5,88 21. 1. Bidang miring dengan sudut kemiringan = 30. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!Penyelesaian:Tinjau m1 F1 = m1 . aT1 fk w1 sin 30 = m1 . aT1 k . N m1 g sin 30 = m1 . aT1 k . m1 . g . cos 30 m1 . g sin 30 = m1 . aT1 0,2 . 4 . 10 . 4 . 10 . = 4 . aT1 4 20 = 4aT1 = 26,928 + 4aTinjau m2 F = m . aw2 T2 = m2 . aw2 . g T2 = m2 . a10 .10 T2 = 10 .aT2 = 100 10aTinjau katrol = I . T2 . R T1 . R = m . R2 . a/R100 10a 26,928 4a = . 0,6 . a100 26,928 = 0,3a + 10a + 4a73,072 = 14,3 aa = 5,1 m/s21. 1. T1 = 26,928 + 4 . 5,1T1 = 47,328 NT2 = 100 10 . 5,1= 49 N1. 1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.Tentukan:1. gaya tarik oleh tali2. percepatan BPenyelesaian:Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berartisA = 2 sB atau aA = 2 aBTinjau benda AwB 2T = mB . aB3mg 2T = 3m aBaB =Tinjau benda BT f = mA aAT 0,5 NB = m . aAT 0,5 m g = m aAaA =1. gaya tarik oleh taliSubstitusiaA = 2 aB= 2 ()3 T m 1,5 m2 g = 6 m2 g 4 T m: mT =1. percepatan BaB === =aB = g1. 1. Kesetimbangan Benda TegarKesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol.Kesetimbangan biasa terjadi pada :1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar.Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:1. Kesetimbangan partikel2. Kesetimbangan benda1. Kesetimbangan PartikelPartikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).Syarat kesetimbangan partikel F = 0 Fx = 0 (sumbu X)Fy = 0 (sumbu Y)1. Kesetimbangan BendaSyarat kesetimbangan benda: Fx = 0, Fy = 0, = 0Momen gaya merupakan besaran vektor yang nilainya sama dengan hasil kali antara gaya dengan jarak dari titik poros arah tegak lurus garis kerja gaya.Dirumuskan: = F . dPutaran momen gaya yang searah dengan putaran jarum jam disebut momen gaya positif, sedang yang berlawanan putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.Momen kopel adalah momen gaya yang diakibatkan pasangan dua gaya yang sama besarnya dan arahnya berlawanan tetapi tidak segaris kerja.Benda yang dikenai momen kopel akan bergerak rotasi terus menerus.Contoh Soal1. Sebuah roda mamiliki massa 13 kg dan jari jari 1 m. bertumpu dilantai dan bersandar pada anak tangga yang tingginya 0,6 m dari lantai seperti pada gambar. Tentukan gaya mendatar F minimum untuk mengungkit roda jika g = 10 m/s2!Diketahui : m = 13 kg g = 10 m/s2R = 1mh = 0,6 mditanyakan : F min..?jawab : W = m .g= 13.10= 130 Nl1 = R- h = 1 0,6 = 0,4l2 = (R2 l12)= (12 0,42)= (1 0,16)= 0,84 = 0 1 + 2 = 0F . l1 W . l2 = 0F . 0,4 130 . 0,84 = 0F = (1300,84)/0,4= 3250,84 N1. Suatu batang pemikul AB panjangnya 90 cm (berat diabaikan) dipakai untuk memikul beban A dan B masing masing beratnya 48 N dan 42 N. supaya batang setimbang, orang harus memikul (menumpu) di C. maka tentukan jarak AC!Diketahui : batang pemikul AB = 90 cm FA = 48 NFB = 48 NDitanyakan : Jarak AC?Jawaban : misal jarak AC adalah x maka BC adalah 90 x = 0A + B = 0-WA . lA + WB . lB = 0-48x + 42 (90 x) = 0-48x + 3780 42x = 0-90x = 3780x = 3780/90 = 42 cm1. Titik BeratTitik berat adalah titik pusat atau titik tangkap gaya berat dari suatu benda atau sistem benda. Titik berat atau pusat berat benda berfungsi sebagai titik yang terhadapnya gaya-gaya berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan resultan momen gaya nol. Titik berat merupakan titik di mana gaya berat bekerja secara efektif.Titik berat menurut bentuk benda dibedakan menjadi 3 antara lain:1. 1. Benda berbentuk garis/kurva, contoh : kabel, lidi, benang, sedotan, dan lain-lain.2. Benda berbentuk bidang/luasan, contoh : kertas, karton, triplek, kaca, penggaris, dan lain-lain.3. Benda berbentuk bangunan/ruang, contoh : kubus, balok, bola, kerucut, tabung, dan lain-lain1. Benda berbentuk partikel massaApabila sistem benda terdiri dari beberapa benda partikel titik digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:Xo = =Jadi zo (Xo,Yo)Yo = =1. Benda berbentuk garis/kurvaDaftar titik beberapa benda berbentuk garis dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari beberapa benda garis digabung menjadi satu, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:Xo = =Jadi zo (Xo,Yo)Yo = =1. Benda berbentuk bidang/luasanDaftar titik berat berbagai macam bidang beraturan dan bidang selimut benda dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:Xo = =Jadi zo (Xo,Yo)Yo = =1. Benda berbentuk volume/ruang (homogen)Daftar titik berat berbagai macam benda ruang beraturan dapat dilihat dalam lampiran. Apabila sistem benda terdiri dari bidang gabungan benda, maka koordinat titik beratnya dirumuskan:Bila terbuat dari bahan-bahan yang sama (homogen)Xo = =Jadi zo (Xo,Yo)Yo = =1. Bila terbuat dari bahan-bahan yang berbeda (heterogen)Xo = =Jadi zo (Xo,Yo)Yo = = ]keterangan : W = mg = . V . gkarena S = . g W = S . V1. 1. = massa jenis (kg/m3)S = berat jenis (N/m3)Tabel titik berat bentuk teratur linierNama bendaGambar bendaletak titik beratketerangan

1. Garis lurusx0 = lz = titik tengah garis

2. Busur lingkaranR = jari-jari lingkaran

3. Busur setengahlingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk luas bidang homogenNama bendaGambar bendaLetak titik beratKeterangan

1. Bidang segitigay0 = tt = tinggiz = perpotongangaris-garis beratAD & CF

2.Jajaran genjang,Belah ketupat,Bujur sangkarPersegi panjangy0 = tt = tinggiz = perpotongandiagonal AC danBD

3. Bidang juringlingkaranR = jari-jari lingkaran

4.Bidang setengahlingkaranR = jari-jari lingkaran

Tabel titik berat benda teratur berbentuk bidang ruang homogenNama bendaGambar bendaLetak titik beratKeterangan

1. Bidang kulitprismaz pada titiktengah garis z1z2 y0 = lz1 = titik beratbidang alasz2 = titik beratbidang atasl = panjang sisitegak.

2. Bidang kulitsilinder.( tanpa tutup )y0 = tA = 2 R.tt = tinggisilinderR = jari-jarilingkaran alasA = luas kulitsilinder

3. Bidang KulitlimasTz = T TTT = garistinggi ruang

4. Bidang kulitkerucutzT = T TT T = tinggikerucutT = pusatlingkaran alas

5. Bidang kulitsetengah bola.y0 = RR = jari-jari

Tabel titik berat benda teratur berbentuk ruang, pejal homogenNama bendaGambar bendaLetak titik beratKeterangan

1. Prismaberaturan.z pada titik tengah garis z1z2y0 = lV = luas alas kali tinggiz1 = titik beratbidang alasz2 = titik beratbidang atasl = panjang sisitegakV = volumeprisma

2. Silinder Pejaly0 = tV = R2 tt = tinggi silinderR = jari-jarilingkaran alas

3. Limas pejalberaturany0 = T T= tV = luas alas x tinggi3T T = t = tinggilimas beraturan

4. Kerucut pejaly0 = tV = R2 tt = tinggi kerucutR = jari-jari lingkaran alas

5. Setengah bolapejaly0 = RR = jari-jari bola.

1. Macam-macam KesetimbanganTiga macam keseimbangan benda seperti tampakpada gambar di bawah ini.(a) (b) (c)Gambar (a) adalah contoh keseimbangan labil, gambar (b)merupakan contoh keseimbangan stabil, dan gambar (c) adalah contoh keseimbangan netral.Dibedakan menjadi 3:1. 1. Kesetimbangan labil/goyahAdalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan/dialami benda dihentikan, maka benda tidak kembali ke posisi keseimbangan semula, tetapi bahkan memperbesar gangguan tersebut.Contoh: Keseimbangan pada suatu benda dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menurunkan titik beratnya (energi potensialnya).1. 1. Kesetimbangan stabil/mantap Adalah keseimbangan suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan pada benda dihentikan, benda akan kembali ke posisi keseimbangan semula.Contoh: Keseimbangan stabil dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda jika gangguan yang dialaminya menaikkan titik beratnya (energi potensialnya).1. 1. Kesetimbangan indeferen/netralAdalah keseimbangan pada suatu benda di mana setelah gangguan yang diberikan tidak mengubah posisi benda.Contoh : Keseimbangan indiferen dapat dipandang sebagai keseimbangan yang dimiliki benda dimana jika gangguan yang dialaminya tidak menyebabkan perubahan titik beratnya (energi potensialnya). Contoh soal1. Tentukan koordinat titik berat susunan empat buah kawat berbentuk bangun seperti gambar di bawah ini.6422 3 4 5JawabDari gambar tersebut, panjang kawat, letak absis dan ordinat titik beratnya adalah: kawat pertama:L1 = 4, x1 = 2, dan y1 = 4. kawat kedua:L2 = 4, x2 = 2, dan y2 = 2. kawat ketiga:L3 = 4, x3 = 4, dan y3 = 4. kawat keempat:L4 = 2, x4 = 4, dan y4 = 2.Xo = = = =Yo = = = =Jadi zo (Xo,Yo) = ( , ) Uji Kompetensi II 1. Suatu batang AB yang homogen, massanya 30 kg, panjangnya 5 meter, menumpu pada lantai di A dan pada tembok vertikal di B. Jarak dari B ke lantai 3 meter; batang AB menyilang tegak Lurus garis potong antara lantai dan tembok vertikal. Berapa besarnya gaya K mendatar yang harus di berikan pada batang di A supaya batang tetap seimbang ? dan Hitung juga gaya tekan pada A dan B.1. 2 benda A dan B masingmasing bermassa 5 kg dan 2 kg dihubungkan dengan sebuah tali dengan sebuah katrol bermassa 2 kg dan berjari-jari 10 cm . Hitung percepatan benda dan tegangan tali!1. Diketahui m1 = 4 kg, M = 1 kg, r = 1 cm, m2 = 2 kg. Hitung percepatan benda dan tegangan tali!1. Suatu sistem katrol digunakan untuk mempertahankan beban 49 Nseperti pada gambar. Bila massa katrol diabaikan dan sistem dalamkeadaan setimbang, tentukan besarnya tegangan tali pada kabelpaling atas (T) !1. Sebuah batang AB massanya 10 kg, panjangnya 6 meter. Ujung B diikat dengan tali dan ujung tali yang lain diikat di C pada sebuah tembok vertikal. Ujung A dari batang bertumpu pada tembok itu juga. Dalam sikap seimbang ini tali membuat sudut 300 dengan tembok. Tentukan :a. Gaya tegangan tali.b. Tekanan tembok di Ac. Sudut yang dibuat batang dengan tembok.1. Sebuah batang dengan berat 50 N seperti tampak pada gambar di bawah ini. Berapa besar tegangan dalam kabel pendukungnya dan berapa komponen dari gaya yang dikerjakan oleh engsel pada batang.1. Susunan benda pejal homogenYang terdiri dari silinder berongga dan setengah bolaterletak di atas lantai seperti tampak pada gambar.Tentukan jarak titik beratsusunan benda tersebut dari lantai.1. Sebuah bangun berupa luasan memiliki bentuk dan ukuran seperti tampak pada gambar. Tentukan koordinat titik beratnya.Y84X0 4 81. Sebuah bidang homogen tampak seperti pada gambar di bawah ini. Tentukan letak titik beratnya terhadap sisi alasnya.1. Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W1 = 400 N dan koefisien gesek statik antara balok W1 dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W2,dan gaya tegang tali T1 dan T2, dan T3.60oT3W1W2 Latihan Soal Akhir Bab IIISoal soal Pilihan GandaBerilah tanda silang (x) pada pilihan jawaban yang benar!1.m = 3 kgSebuah benda bermassa 3 kg diikat dengan tali pada langit-langit. Berapakah tegangan pada tali tersebut ? (g = 9,8 m/det2)1. 30,0 N2. 29,4 N3. 17,0 N4. 14,7 N5. 8,5 N1. TaliTwSistem seperti terlihat pada gambar berada dalam keadaan seimbang. Berat batang dan tali diabaikan. Gaya-gaya yang berkerja pada sistem adalah T, F, dan w. Manakah di antara pernyataan berikut yang tidak benar?1. F2 + w2 = T22. F = w tg 3. T = w sec 4. F dan w adalah komponen gaya T5. w = T cos 1. 4580,5 kgSebuah balok yang massanya 80,5 kg tergantung pada dua utas tali yang bersambungan seperti yang terlihat pada gambar. Jika percepatan gravitasi bumi g = 9,8 m/det2 maka besar tegangan pada tali horizontal A adalah 1. 80,5 N2. 385 N3. 598,5 N4. 643,7 N5. 788,9 N1. 1. Sistem pada gambar di atas berada dalam keadaan seimbang. Berat balok A adalah 600 N dan koefisien gesekan static antara balok A dan meja adalah 0,2. Berat balok B adalah 1. 20 N2. 20 N3. 40 N4. 40 N5. 40 N1. 1. Sebuah gaya F yang bekerja pada sebuah benda tegar dapat diganti dengan . . . .1. sebuah gaya lain yang sama besar, sejajar, dan searah tetapi mempunyai garis kerja yang berbeda dengan F.2. sebuah koppel3. sebuah gaya dan sebuah Koppel yang sebidang4. sebuah gaya atau sebuah koppel5. sebuah gaya yang sebidang atau dengan sebuah Koppel yang sebidang1. 1. Sebuah penggaris homogen mempunyai keseimbangan di titik tengahnya (P) pada suatu poros. Sebuah benda seberat 10 N digantung pada penggaris itu dalam berbagai posisi tetapi tidak pada titik P. Mana salah satu di antara momen-momen gaya terhadap titik P berikut ini yang tidak mungkin ?1. -1 Nm2. 0 Nm3. +1 Nm4. +5 Nm5. +10 Nm1. 1. Seseorang memikul dua beban dengan tongkat homogen (AB) yang panjangnya 1,5 m. Beban yang satu di ujung A dan yang lainnya di ujung B. Beban di A 100 N dan di B 500 N. Supaya batang AB horizontal (seimbang), pundak (bahu) orang tersebut harus ditempatkan pada . . . .1. 0,2 m dari B2. 0,25 m dari B3. 0,3 m dari B4. 0,5 m dari B5. 0,75 m dari B1. 1. Sebuah balok homogen (AB) memiliki panjang 5 m dan berat 100 N. Pada ujung A digantungkan beban 25 N. Di manakah balok itu harus ditumpu agar balok tetap seimbang ?1. 1,5 m dari ujung A2. 2 m dari ujung A3. 2 m dari ujung B4. 2,5 m dari ujung B5. 3 m dari ujung A1. 1. Sumbu kedua roda muka dan sumbu kedua roda belakang sebuah truk yang bermassa 3000 kg, berjarak 3 m. Pusat massa truk terletak 2 m di belakang roda muka. Diandaikan percepatan gravitasi bumi adalah 10 m/detik2. Beban yang dipikul oleh kedua roda muka truk itu sama dengan 1. 5000 newton2. 10000 newton3. 15000 newton4. 20000 newton5. 25000 newton1. 1. P R S Q1 m1 m2 mFPada diagram, PQ adalah sebuah batang homogen dengan panjang 4 m. Batang itu diam pada penopang di R (1 m dari P) dan S (1 m dari Q). Jika berat batang 150 N, berapakah minimum gaya ke bawah F yang dikerjakan di Q yang akan mengangkat batang lepas dari penopang di R?1. 50 N2. 75 N3. 100 N4. 125 N5. 150 N1. 1. Sebuah bola pejal menggelinding dari keadaan diam menuruni bidang miring kasar yang membentuk sudut 30o dengan arah mendatar. Kelajuan linier bola ketika sudah menempuh lintasan sepanjang 3,5 m adalah m/sa. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 21. 1. Dari gambar di sampjng, massa katrol 300 gram. Katrol mula-muladiam, kemudian dilepas sehingga berputar turun. Maka besar te-gangan tali adalah Na. 1 b. 1,5 c. 2 d. 3,3 e. 41. 1. Seorang penari balet berputar 3 putaran per detik dengan lengan direntangkan, saat itu momen inersianya 8 kg m2. jika kedua lengannya dirapatkan sehingga momen inersianya menjadi 2 kg m2, maka frekwensi putarannya menjadi . putaran per detik.a. 0,75 b. 3 c. 5,3 d. 8 e. 121. 1. Dalam waktu 2 detik, sebuah roda yang berotasi murni, mengalami perubahan kecepatan dari 4 rad/s menjadi 20 rad/s secara beraturan. Sebuah titik terletak 30 cm dari poros roda. Besar percepatan tangensial yang dialami titik tersebut adalah m/s2a. 240 b. 26,7 c. 4,8 d. 2,4 e. 0,271. 1. Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusatF massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder ber-gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip.tg = 4/3. Besarnya energi kinetik pada t = 2 detik, jika mula-mula silinder diam adalah .a. 234 J b. 243 J c. 324 J d. 342 J e. 432 J1. 1. Gerak menggelinding terjadi karena.1. 1. gaya yang diberikan jumlahnya tidak nol2. jumlah torsi tidak nol3. jumlah gaya dan jumlah torsi tidak nol4. hanya bias terjadi di bidang miring5. dapat terjadi di bidang yang licin sempurna1. 1. Gambar berikut adalah sebuah batang yang ditarik dengan gaya. Momen gaya terhadap titik O adalah.1. 75 N2. 50 N3. 100 N4. 100 N5. 250 N1. 1. Perhatikan gambar berikut ini. Bila massa batang AB diabaikan, maka besar dan titik tangkap gaya resultannya adalah.1. 1. 30 N dan 0,7 m di kiri A2. 30 N dan 0,7 m di kanan A3. 30 N dan 1,0 m di kiri A4. 30 N dan 2,0 m di kanan A5. 30 N dan 2,0 m di kiri A1. 1. Sebuah benda begerak melingkar berubah beraturan dengan kelajuan anguler mula-mula 6 rad/s. Setelah 4 detik kelajuan angulernya 14 rad/s. Jika jari-jari 10 meter, maka percepatan linier yang dialami benda tersebut adalah . m/s21. 2802. 1203. 604. 405. 201. 1. Sebuah partikel A bermassa m diputar pada jari-jari R, dan partikel B bermassa 2 m diputar pada jari-jari . Jika kelajuan sudut putaran kedua partikel tersebut sama, maka perbandingan momentum anguler partikel A dan partikel B adalah : 1. 2 : 12. 1 : 23. 3 : 14. 1 : 35. 1 : 11. 1. Sebuah bola pejal menggelinding tanpa slip dengan kelajuan linier v, jika massa bola pejal 5 kg, maka energi kinetik bola pejal saat menggelinding tersebut adalah .v21. 1,02. 2,53. 3,54. 5,05. 7,51. 1. Massa katrol adalah 2 kg dan besar F = 122 newton, maka gaya tegangan tali Tadalah newton1. 1002. 1203. 1224. 2205. 2421. 1. Tangga homogen, panjang 10 m, massa 10 kg, bersandar pada dinding licin dan lantai kasar. Ujung atas tangga berada 8 meter dari lantai. Bila tangga tepat akan menggeser tentukan besarnya koefisien gesek statis lantai dengan tangga.1. 0,802. 0,753. 0,604. 0,3755. 0,301. 1. FSebuah silinder pejal dengan diameter 1 meter berada pada bidang datar kasar didorong tepat pada pusat massanya dengan gaya F = 6 kali massa benda sehingga meng gelinding tanpa slip, maka percepatan liniernya adalah (gaya dan massa bersatuan sesuai SI).1. 1 m/s22. 2 m/s23. 3 m/s24. 4 m/s25. 5 m/s21. 1. R30oP QBatang PQ horizontal beratnya 60 N menggunakan engsel pada titik P, sedang ujung Q diikat tali bersudut 30o ke dinding. (lihat gambar di atas) Pada titik Q digantungkan beban 40 N, maka besar gaya tegangan tali QR 1. 30 N2. 35 N3. 70 N4. 120 N5. 140 N Soal Uraian Jawablah dengan benar !1. Sebuah bola pejal massa 5 kg berada di atas bidang miringkasar, mula-mula dalam keadaaan diam, kemudian mengge-linding tanpa slip (jika tg 37o = ) hitung energi kinetik37o setelah bergerak 7 detik.1. Hitunglah T1 dan T2 dari susunan kesetimbangan di bawah ini.1. Hitunglah Gaya T pada susunan kesetimbangan ini.1. Massa A = massa B = 5 kg, jika tg 53o = 4/3 dan koe-fisien gesekan antara benda A dan bidang miring 0,2massa katrol 4 kg, Hitung percepatan sistem.1. Silinder pejal dengan massa 4 kg ditarik pada pusatF massanya dengan gaya 56 N sehingga silinder ber-gerak sepanjang bidang miring ke atas, tanpa slip.tg = 4/3. Tentukan besarnya energi kinetik padat = 2 detik, jika mula-mula silinder diam.1. Massa A = 8 kg, massa B = 6 kg, massa katrol = 4 kg, koefisien gesek bidang dengan benda A = 0,25. Hitung percepatan benda A !1. Sebuah silinder pejal homogen tingginya 2R, bagian bawahnya berongga dengan bentuk setengah bola. tentukan letak titik beratnya.1. Tentukan letak titik berat benda berupa bidang diukur dari alasnya.1. Susunan benda pejal homogenyang terdiri dari silinder Rberongga dan setengah bolaterletak di atas lantai seperti3Rtampak pada gambar.Tentukan jarak titik beratsusunan benda tersebut dari lantai.1. Batang PQ beratnya 400 N dan panjangnya 4 m. Jarak tumpuan PA adalah 3m dan di titik A batang dapat berputar. Seseorang beratnya 600 N berjalan dari titik menuju Q. Berapa jarak maksimum dari titik P agar batang tetap seimbang (ujung batang P hampir terangkat).P A