KELOMPOK :

Citra Sari (0607127)Dini Rohaeni (0607131)Ema Nur Luthfiyani (0607263)Krisyanti Amalia (060641)Ratih Rahmawati (060541)

TUGAS RISET OPERASI

RANGKUMAN MODEL JARINGAN

I. DEFINISI JARINGAN

Sebuah jaringan terdiri dari sekelompok node yang dihubungkan oleh busur atau

cabang. Suatu jenis arus tertentu berkaitan dengan setiap busur. Notasi standar untuk

menggambarkan sebuah jaringan G adalah G = (N,A), dimana N adalah himpunan node

dan A adalah himpunan busur. Suatu jenis arus tertentu berkaitan dengan setiap

jaringan. Pada umumnya, arus dalam sebuah busur dibatasi oleh kapasitasnya, yang

dapat terbatas atau tidak terbatas. Sebuah busur dikatakan terarah atau terorientasi

jika busur tersebut memungkinkan arus positif dalam satu arah dan arus nol dalam arah

yang berlawanan. Karena itu, jaringan yang terarah adalah jaringan dengan semua

busur yang terarah.

Jalur adalah urutan busur-busur tertentu yang menghubungajan dua node tanpa

bergantung pada orientasi busur-busur tersebut secara individual. Jalur akan

membentuk sebuah loop atau siklus jika jalur itu menghubungkan sebuah node dengan

dirinya sendiri. Sebuah loop yang terarah (atau sebuah sirkuit) adalah sebuah loop di

mana semua busur-busurnya memiliki arah atau orientasi yang sama.

Jaringan yang berhubungan adalah sebuah jaringan dimana setiap dua node

dihubungkan dengan sebuah jalur. Pohon adalah sebuah jaringan yang berhubungan

yang dapat hanya melibatkan sebagian dari node dan sebuah pohon perentangan

adalah sebuah jaringan yang berhubngan yang mencakup semua node dalam jaringan

tersebut tanpa loop.

1

II. MASALAH POHON PERENTANGAN

Model yang dihasilkan adalah model khas dari masalah pohon perentangan minimal,

dimana kita menginginkan pohon perentangan yang menghasilkan jumlah terkecil dari

busur-busur penghubung. Akibatnya pohon perentangan minimal menangani penemuan

yang paling “efisien” diantar semua node dalam jaringan, yang berdasarkan definisinya,

tidak dapat mencakup loop atau siklus apapun.

Algoritma pohon perentangan minimal memerlukan awal dari salah satu node manapun

dan menghubungkannya dengan node terdekat dalam jaringan tersebut. Dua node yang

dihasilkan lalu membentuk himpunan yang dihubungkan, C, dengan node sisanya

membentuk node yang tidak dihubungkan, C. Selanjutnya, kita memilih sebuah node

dari himpunan yang tidak dihubngkan yang terdekat (memiliki panjang busur

terpendek) ke salah satu node dalam himpunan yang dihubungkan. Node yang dipilih

tersebut lalu disingkirkan dari himpunan yang tidak dihubungkan dan dimasukkan ke

dalam himpunan yang dihubungkan. Proses ini diulangi sampai himpunan yang tidak

dihubungkan kosong (atau dengan kata lain, sampai semua node dipindahkan dari C ke

himpunan C). Jarak terdekat yang sama dapat dipilih secara sembarang. Tetapi, jarak

yang sama tersebut menunjukkan adanya pemecahan alternatif.

III. MASALAH RUTE TERDEKAT

Masalah rute terdekat berkaitan dengan penentuan busur-busur yang dihubungakan

dalam sebuah jaringan transportasi yangs ecara bersama-sama membentuk jarak

terdekat di antara sumber dan tujuan. Penerapan tersebut juga diikuti dengan penyajian

algoritma pemecahan.

Contoh Penerapan rute terdekat

Sebuah perusahaan penyewaan mobil sedang mengembangkan sebuah rencana

penggantian armadanya dalam 5 tahun mendatang. Sebuah mobil harus dipergunakan

setidakanya 1 tahun sebelum penggantian dapat dipertimbangkan. Tabel 1 meringkas

biaya penggantian per mobil (dalam ribuan dollar) sebagai fungsi dari waktu dan

jumlah tahun operasi. Biaya ini mencakup pembelian, nilai sisa, biaya operasio, dan

2

perawatan. Masalah ini dapat direpresentasikan dengan sebuah jaringan sebagai berikut.

Setiap tahun diwakili dengan sebuah node. “Panjang” sebuah busur yang

menghubungkan dua node sama dengan biaya penggantian yang bersangkutan seperti

yang diberikan dalm tabel 1. Gambar 1 memperlihatkan jaringan ini. Masalahnya jadi

menemukan “rute” terdekat dari node 1 ke node 5.

”Rute” terdekat dapat ditentukan dengan menggunakan algoritma yang akan kami

sajikan dalam bagian selanjutnya.

1 2 3 4 5

Tahun 1

2

3

4

ALGORITMA RUTE TERDEKAT

A. ALGORITMA ASIKLIS

Algoritma Asiklis didasari oleh penggunaan perhitungan rekursif, yang

merupakan dasar dari perhitungan pemrograman dinamis. Langkah-langkah dari

algoritma ini diterangkan melaui contoh numerik.

Contoh

Node 1 adalah node awal (sumber atau asal) dan node 7 adalah titik terminal

(tujuan). Jarak dij antara node i dan j diberikan secara lagsung untuk setiap busur.

Misalnya d12 = 2. Jaringan ini bersifat asiklis karena mencakup loop.

Anggaplah

uj = jarak terdekat dari node 1 ke node j

[2, 1] 5 [7, 2]

4,0 5,4 9,8 13,7

4,3 6,2 8,1

4,8 7,1

4,9

31 7

52

3

4

6

2 11 8 6

[0, -] 10 [7, 3] [13, 5]

4 3 7 9

1

[4, 1] [5, 3]

Dimana node u1 = 0 berdasarkan definisinya. Nilai-nilai uj, j = 1, 2, …, n,

dihitung secara rekursif dengan rumus berikut ini

jarak terdekat ui ke satu node i yang tepat mendahuluinya

uj = min plus

jarak dij antara node saat ini j ke node sebelumnya i

= min { ui + dij }

Rumus rekursif mengharuskan bahwa jarak terdekat uj ke node j dihitung setelah

kita menghitung jarak terdekat ui ke setiap node sebelumnya i yang

dihubungkan ke j dengan sebuah busur langsung.

Dalam pemecahan akhir dari model rute terdekat ini, kita juga harus

mengidentifikasi node-node yang ditemui sepanjang rute tersebut. Untuk

mncapai tujuan ini, kita mengggunakan prosedur pelabelan yang mengkaitkan

label berikut ini dengan node j:

label node j = [uj,n]

di mana n adalah node j yang tepat mendahuluinya, yang mengarah pada jarak

terdekat uj; yaitu

uj = min { ui + dij }

= un + dnj

Berdasarkan definisinya, label di node 1 adalah [0, -], yang menunjukkan bahwa

node 1 adalah sumber.

Tabel berikut memberikan urutan perhitungan yang mengarah pada pemecahan akhir.

4

Node j Perhitungan uj Label1 u1 = 0 [0, -]2 u2 = u1 + d12 = 0 + 2 = 2, dari 1 [2, 1]3 u3 = u1 + d13 = 0 + 4 = 4, dari 1 [4, 1]4 u4 = min { u1 + d14, u2 + d24, u3 + d34}

= min {0 + 10, 2 + 11, 4 + 3} = 7 dari 3 [7, 3]5 u5 = min { u2 + d25, u4 + d45 }

= min {2 + 5, 7 + 8} = 7 dari 2 [7, 2]6 u6 = min { u3 + d36, u4 + d46 }

= min {4 + 1, 7 + 7} = 5, dari 3 [5, 3]7 u7 = min { u5 + d57, u6 + d67 }

= min {7 + 6, 5 + 9} = 13, dari 5 [13, 5]

Rute optimum tersebut diperoleh dengan dimulai dari node 7 dan menelusuri ke

belakang dengan menggunakan informasi label. Urutan berikut ini memperlihatkan

prosedur tersebut:

)1(]1,2[)2(]2,7[)5(]5,13[)7( →→→→→→

Algoritma ini pada kenyataannya memberikan jarak terdekat antara node 1 dan setiap

node lainnya dalam jaringan ini.

B. ALGORITMA SIKLIS (Dijakstra)

Algoritma siklis memungkinkan sebanyak mungkin kesempatan sebagaimana

yang diperlukan untuk mengevaluasi ulang sebuah node. Ketika terlihat bahwa

jarak terdekat ke sebuah node telah dicapai, node tersebut dikeluarkan dari

pertimbangan lebih lanjut. Proses ini berakhir ketika node tujuan dievalusi.

Algoritma siklis menggunakan dua jenis label: sementara dan tetap. Dengan

format [d, n], dimana d adalah jarak terdekat yang sejauh ini tersedia untuk node

saat ini, dan n adalah node yang tepat mendahuluinya yang memungkinkan

realisasi jarak d. Algoritma ini memulai dari node sumber yang memiliki label

tetap [0, -]. Selanjutnya kita mempertimbangkan semua node yang dapat dicapai

secara langsung dari node sumber tersebut dan lalu menentukan labelnya yang

sesuai. Label yang baru dibuat ini dinyatakan sebagai label sementara. Label

tetap berikutnya dipilih dari di antara semua label sementara saat ini dengan d

terkecil dalam label [d, n] yang bersangkutan (angka yang sama dipilih secara

sebarang). Proses ini lalu diulangi untuk node terakhir yang telah dinyatakan

dengan label tetap. Dalam kasus demikian, label sementara dari sebuah node

5

hanya dapat diubah jika label baru tersebut menghasilkan jarak d yang lebih

dekat.

MASALAH RUTE TERDEKAT DIPANDANG SEBAGAI MODEL

TRANSSHIPMENT

Kita dapat memandang jarinagn rute terdekat sebagai sebuag model

transportasidengan satu sumber dan satu tujuan. Penawaran di sumber adalah satu unit

dan permintaan di tujuan juga satu unit. Satu unit akan mengalir dari sumber ke tujuan

melalui rute yang dapat diterima dalam jaringan tersebut. Tujuannya adalah

meminimumkan jarak yang ditempuh oleh unit tersebut sementara mengalir dari sumber

ke tujuan.

Lihat pengembangan model transshipment pada jaringan Gambar 8-12. Model

transshipment hanya menghitung jarak terdekat diantara dua node. Jadi deangan asumsi

bahwa kita tertarik untuk menentukan jarak-jarak terdekat diantara dua node 1 dan 7 ,

(Tabel 8-4) memberikan model transsphipment yang berkaitan dengan masalah ini.

Jumlah B biasanya dirujuk sebagai buffer sama dengan 1, karena disetiap saat selama

transshipment ini tidak lebih dari satu unit akan memalui setiap node dalam jaringan ini.

Catat pula bahwa node 1 tidak berfungsi sebagai tujuan, karena node ini merupakan

sumber (utama) untuk jaringan ini. demikian pula, node 7 tidak dapat bertindak sebagai

sumber, karena mewakili tujuan akhir dari arus unit tersebut. “ Biaya transportasi” sama

dengan jarak yang bersangkutan. Sel yang berwarna abu-abu berarti bawha rute yang

bersangkutan tidak tersedia dan harus diberikan biaya M yang sangat tinggi ketika

memecahkan model ini. Yang terkahir, jarak dari sebuah node ke node itu sendiri

adalah nol.

Tabel 8-4 juga memberikan pemecahan optimum, yang diperoleh dari

penggunaan teknik transportasi. Tabel tersebut memperlihatkan bahwa

x12 = 1, x26 = 1, x33= =1 , x44 = 1 x57 = 1 , x56 = 1

nilai x33=x44= 1 tidak berkonstribusi bagi pemecahan, karena keduannya

menghubungkan node 3 dan 4 dengan node itu sendiri. Sehingga

x12=1, x26= 1, x65= 1, x57=1

yang memperlihatkan bahwa rute optimal adalah 1 2 6 5 7 (kondisi

optimalitas seperti ini memperlihatkan pemecahan optimum alternatif antara node 1 dan

7).

6

3

5

8

2

98

2

4 8

8

1

2 3

9

8

52

10232

107 14

9

1

5

11

5

42

3

1

6

7

Gambar 8-12

7