Ringkasan Materi - MATHEMATICS | With me … · Web viewJika tan A – tan B = x dan cot B – cot...

RUMUS – RUMUS TRIGONOMETRI

PENDAHULUAN

Trigonometri pada mulanya merupakan kajian tentang segitiga dan diterapkan sebagai tambahan kepraktisan pada astronomi, survey dan navigasi. Peninggalan berupa tablet dari tanah liat bangsa Babilonia dan batang papyrus dari Bangsa Mesir yang menunjukkan tahun sekitar 1600 SM menunjukkan bukti-bukti pemecahan masalah praktis dengan menggunakan pengukuran segitiga.

Ahli Astronomi bangsa Yunani telah berusaha menghilangkan perbandingan di surga ketika mereka sedang menghitung panjang lintasan (orbit) yang dilalui oleh bintang-bintang. Dengann demikian, kajian mereka dalam bidang trigonometri secara praktiknya adalah menggunakan table tali busur perhitungan periode dan orbit. Hiparcus (140 SM) yang dikenal sebagai Bapak Trigonometri telah menulis 12 buku tentang perhitungan dari tali busur yang berkaitan dengan sudut pusat yang dipotong oleh tali busur itu. Sebagai fakta nyata, ketika mereka berkecimpung dengan masalah-masalah pada ruang dimensi tiga, apa yang mereka bangun biasanya dirujuk sebagai trigonometri bola, ketimbang sebagai trigonometri bidang.

STANDAR KOMPETENSI2. Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.KOMPETENSI DASAR DAN INDIKATOR

KOMPETENSI DASAR INDIKATOR2.1 Menurunkan rumus jumlah dan selisih

sinus dan cosinus Menyatakan perkalian sinus dan cosinus dalam

jumlah atau selisih sinus atau cosinus. Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan

selisih dua sudut dalam pemecahan masalah. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan

selisih dua sudut. Membuktikan rumus trigonometri jumlah dan

selisih dari sinus dan cosinus dua sudut.2.2 Menggunakan rumus jumlah dan

selisih sinus dan cosinus Merancang dan membuktikan identitas

trigonometri Menyelesaiakan masalah yang melibatkan rumus

jumlah dan selisih dua sudut

A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DUA SUDUT DAN SELISIH DUA SUDUT

Antara / SMA N 1 Simo / Mat XI IPA 43

Contoh 1:1. sin 500 cos 400 + cos 500 sin 400 = ?2. Bila cos (x - 30)0 = sin x0 , tentukan nilai tan x !3. Diketahui sin x = dan sin y = ( x dan y sudut lancip ). Hitunglah nilai sin

( x + y ) !4. Tanpa tabel / kalkulator hitunglah cos 15o !Jawab :1. sin 500 cos 400 + cos 500 sin 400 = sin (50+40)0 = sin 900 = 12. Cos (x - 300) = sin x0

cos x0 cos 300 + sin x0 sin 300 = sin x0

. cos x0 + sin x0 = sin x

cos x0 = sin x

Tan x = = . Jadi tan x =

3. Diketahui sin x = dan sin y = ( x dan y sudut lancip ).

Sin x = cos x = untuk Sin y = cos y =

Sin ( x+y ) = sin x cos y + cos x sin y = . + . =

Jadi , sin ( x+y ) = 4. cos 15o = cos (60o – 45o) = cos 60o cos 45o + sin 60o sin 45o

= =

LATIHAN 1

I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat!1. =….

A. B. C. D. E. 2. =....

A. C. E.

Antara / SMA N 1 Simo / Mat XI IPA

Sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin bSin (a-b) = sin a cos b - cos a sin bCos (a+b) = cos a cos b – sin a sin bCos (a-b) = cos a cos b + sin a sin bTan (a+b) = Tan (a-b) =

44

B. D. 3.

A. C. E.

B. D. 4.

A. B. C. D. E. 5.

A. B. C. D. E. 6. Sin 75o cos 15o + cos 75o sin 15o = ….

A. 0 B. B. C. D. 21 E. 1

7. Sin 105o cos 75o + cos 105o sin 75o = ….A. – 1 B. - C. 0 D. E. 1

8. Sin 50o cos 30o + cos 50o sin 30o = ….A. cos 10o B. sin 10o C. sin 20o D. cos 70o E. sin 40o

9. Sin 4x cos x – cos 4x sin x =….A. cos 3x B. sin 2X C. sin 3x D. sin 5x E. cos 5x

10.Cos 105° cos 15° - sin 105° sin 15° =….A. - B. - C. 0 D. E.

11.Cos 105° cos 15° – sin 105° sin 15° =….A. sin 90° B. cos 30° C. cos 0° D. -1 E. 1

12.Cos 70° cos 20° + sin 70° sin 20° =…A. 1 B. 0 C. sin 40° D. sin 130° E. cos 40°

13. ….A. 0 B. C. D. E. 1

14.A. B. C. D. E.

15.

A. B. C. D. E. 1

16.

A. B. C. D. E. 17.Cos (2x – 3y) = ....

a. sin 2x cos 3y + cos 2x sin 3y d. cos 2x cos 3y – sin 2x sin 3yb. sin 2x cos 3y – cos 2x sin 3y e. cos 2 2x – cos 2 3yc. cos 2x cos 3y + sin 2x sin 3y

18.Sin (2x – ½ ) = ...........a. 2 sin2 x – 1 c. sin 2x e. – cos xb. 2 cos 2 x – 1 d. cos 2x

19.Jika sin A = , cos B = , dengan A dan B sudut lancip. Maka nilai cos (A + B) = ….


a. b. c. 1 d. e.

20.Sin ( – 165) = ........a. c. e.

b. d.

21.Jika sin A = dan cos B = , dengan sudut A dan B di kuadran II, maka nilai tan (B – A) adalah ….a. b. c. d. e.

22.Jika sin A = , cos B = , dengan sudut A, B tumpul, maka tan2 (A+B) + tan2 (A – B) + 2 tan (A + B). Tan (A – B) = ....a. b. c. d. e. 6

23.Pada segitiga ABC ditentukan sin A = dan sin B = . Nilai cos C = ….

a. b. c. d. e.

24.Diketahui cos x = , cos y = ( x dan y sudut lancip). Nilai cos ( x + y ) =….

A. B. C. D. E.

25.Diketahui tan A= dan sin B= ; A dan B sudut lancip. Nilai cos (A – B) =….

A. B. C. D. E.

26.Jika + = dan cos ( ) = , maka cos ….

A. B. C. D. E.

27.Jika tan x = maka 2 sin x = sin (x + + cos

A. B. 0 C. D. 1 E.

28.Diketahui tan x = dan tan y = . Nilai tan (x – y) =….

A. -1 B. C. D. E. 129.Jika a sin x + b = sin( 30+ x) untuk setiap x, maka a + b =….

A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 E. 3

30.Jika diketahui sin A .sin B = ,<A + <B = 90 dan sin ( A – B) = 5a. Nilai a =….

A. . B. C. D. E. 31.Diketahui sin ( x + 30) = sin x. Nilai tan x adalah ….

A. -2 - B. -1 - C. 1 + D. 2 - E. 2 +


32.Diketahui cos (x + 135) = Sin x. Nilai tan x =….A. - - 1 B. - + 1 C. - 1 D. - 2. E. + 2

33.Diketahui cos (x – y) = dan sin x sin y = . Nilai tan x . tan y = ….

A. B. C. D. E.

34.Diketahui tan x = dan tan y = (x sudut lancip dan y sudut tumpul), maka ….

A. x + y = C. tan (x + y) = -1 E. sin (x – y) =

B. x – y = D. tan (x – y) = 1

35.Diketahui tan = 4 tan , maka nilai tan A = ….

a. - atau 3 b. atau 3 c. atau – 3d. atau 1 e. 3 atau – 1

36.Diketahui tan x = dan tan y = ( x dan y sudut lancip), maka ….

A. tan = C. tan = - E. x + y =

B. tan = D. x – y <

37.Jika A, B dan C sudut segitiga. Jika A – B = 30 dan sin C = , maka cos A. sin B = ....a. 1 b. c. d. e.

38. senilai dengan ....a. cos ( B – A) c. cos A . cos B e. – sin A sin Bb. cos ( A – B) d. sin A . sin B

39.Pada segitiga ABC ditentukan Sin A Cos B = dan (A – B) = . Nilai Tan A cotg B = ….a. – 4 b. c. d. 2 e. 4

40.Diketahui tan x = dan tan y = . Nilai x + y = ….

a. b. c. d. e. 41. , , dan adalah sudut- sudut sebuah segitiga jika tan + tan =2 tan maka

tan tan = ….a. –1 b. –2 c. –3 d. 4 e. 5

42.Jika tan 5 = x, maka tan ( – 140) = ......a. b. c. d. e.


43.Jika tan 6 = t, maka nilai dari tan 51 adalah .....a. b. c. d. e.

44.Jika tg > 0, tg 2 = dan tg ( - ) = , maka tg 2 - tg 2 = ....a. – 40 b. – 20 c. 8 d. 20 e. 60

45.Jika cos (A+B) = , dan cos (A – B) = , maka adalah .....a. 2 + b. 2 - c. 2 d. e. 2

II. Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Jika a – b = 30o dan cos a cos b = , tentukan nilai sin (a + b) !2. Diketahui sin x + sin y = a dan cos x + cos y = b. Tentukan nilai cos (a – b) !3. Dalam segitiga ABC sebarang, tunjukkan bahwa tan A + tan B + tan C = tan A. Tan

B. Tan C !4. Diketahui tan (x + y) = dan tan (x – y) = . Tentukan nilai tan 2x !5. Diketahui tan (a + b) = x dan tan (a – b) = y. Tentukan nilai tan 2b !6. Diketahui cos x = dan tan y = dengan x dan y lancip. Tunjukkan bahwa x + y

= !7. Buktikan bahwa :

a. c.

b. d. (1 + tan a)(1 + tan b) = 2 jika a + b = 45o !

8. Jika tan 20o = p, hitunglah : !9. Jika tan A – tan B = x dan cot B – cot A = y, hitunglah cot (A – B) !10.Jika tan a dan tan b merupakan akar – akar persamaan kuadrat 2x2 – 5x + 1 = 0

dengan a dan b sudut lancip, hitunglah tan (a – b) !

B. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT RANGKAP

Sin 2a = 2 sin a cos aCos 2a = cos2a – sin2aCos 2a = 1 – 2 sin2aCos 2a = 2 cos2a – 1Tan 2a =


Sin =

Cos =

Tan = =

Contoh 2 :Diketahui sin a = (a sudut tumpul), tentukan nilai :

a. sin 2a d. sin a

b. cos 2a e. coa a

c. tan 2a f. tan aJawab :sin a = maka cos a = ( karena sudut tumpul / di kuadran 2 maka nilainya

negative)a. sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ( ) =

b. cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = – =

c. Tan 2a = =

d. sin a = = = =

e. cos a = = = =

f. tan a = = 3 atau

tan a = = = 3

LATIHAN 2I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat!

1. Ditentukan sin A = . Nilai cos 2A = ....

A. B. - C. D. E. 2. Nilai 1-2 sin 36 =…….

A. 2 sin 90 cos 90 C. cos 72 E. cos 36B. 2 cos 144 - 1 D. 1 – 2 sin 44

3. Diketahui : sin x = t, maka : ….A. sin 2x = 2t C. cos 2x = 1 – 2t E. cos 3x = 3B. tan 2x = D. sin 3x = 3


Catatan :Karen a dikudran 2 maka90o < a < 180o maka a di kuadran 1, yaitu :

45o < < 90o

4. Untuk A sudut lancip ditentuukan sin 2A = . Nilai cos A - sin A = .....

A. B. C. D. E. 5. Yang tidak ekuivalen dengan sin 8x adalah ………

A. 2 sin 4x cos 4x D. 2 sin 2x cos 2x cos 4x B. 8 sin 2x cos 2x – 4 sin 2x cos 2x E. 8 sin 2x cos 2x – 4 sin 2x .cos

2xC. 4 sin 2x cos 2x – 8 sin 2x cos 2x

6. Diketahui: tan x = 0 < x < 90 nilai sin x – sin 3x = …. (Ebtanas 2000)

A. - B. - C. - D. - E.

7. Nilai dari tan 2 15 = ....a. b. c. d. 7 e. 1

8. Jika cos = , dengan di kuadran III, maka 3 tan 2 = ....

a. b. c. 1 d. 3 e. – 4

9. Jika = dan cos = , maka cos = ....

a. b. c. d. e.

b. d.

10.Jika cos = , maka nilai dari 2 cos 1650 = ....

a. c. e.

b. - d.

11.Jika tan = , dengan sudut tumpul, maka sin 2 = ....

a. b. c. d. e.

12.Diketahui sin = , nilai cos = ..........

a. b. c. d. e.

13.Jika sin x – cos x = , maka sin x + cos x = ...

a. b. c. d. e.

14.Jika A + B + C = 360, maka = ....


a. tan b. cot c. sec d. 1 e. 0

15.Jika 2 cos (x + ) = cos (x – ) maka tan 2x = …a. b. c. d. e. 1

II. Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !1. Diketahui tan a = dan tan b = hitunglah tan (2a – b) !

2. Diketahui tan x = p, tentukan cos x !3. Dengan memisalkan 3a = 2a + a buktikan rumus berikut :

a. sin 3a = 3 sin a – 4 sin 3 ab. cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a

4. Jika sin 47o = a, tentukan sin 86o !5. Jika tan x = (x sudut lancip), hitunglah cos x !6. Tanpa tabel hitunglah tan 24o sin 48o + cos 48o !7. Jika sin 2x = , tentukan nilai sin x + cos x !8. Hitunglah :

a.2A + B + 4C jika cos 4x = A + B cos2 x + C cos4 x b. Sin 2x jika cos 2x – sin 2x =

c. jika 2 sin cos = d. 24 cos4 112,5o – 24 sin4 112,5o

9. Buktikan :a. (sin a + cos a) 2 = 1 + sin 2a e. tan B sin 2B + cos 2B = 1b. (2 cos a – 1)(2 cos a + 1) = 2 cos 2a + 1 f. Tan (a + ) =

c. g. cos 2 (45o – β) – sin 2 (45o – β) = sin 2β

d.

10.Diketahui A adalah sudut lancip dan cos a = . Tentukan nilai sin a !

C. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a – b)2 cos a sin b = sin (a + b) – sin (a – b)2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a – b)2 sin a sin b = cos (a – b) – cos (a + b)

Contoh 3 :Tanpa tabel atau kalkulator hitunglah nilai :a. 2 sin 105o cos 75o c. cos 37,5o cos 7,5o

b. 8 cos 75o sin 15o d. sin 82,5o sin 37,5o

Jawab :


a. 2 sin 105o cos 75o = sin (105o + 75o) + sin (105o – 75o)= sin 180o + sin 30o = 0 + =

b. 8 cos 75o sin 15o = 4 (2 cos 75o sin 15o )= 4 (sin (105o + 75o) – sin (105o – 75o))= 4 (sin 180o – sin 30o) = 4 (0 – )= – 2

c. cos 37,5o cos 7,5o = (2 cos 37,5o cos 7,5o)

= (cos (37,5o + 7,5o) + cos (37,5o – 7,5o))

= (cos 45o + cos 30o) = =

d. sin 82,5o sin 37,5o = (2 sin 82,5o sin 37,5o)

= (cos (82,5o – 37,5o) – cos (82,5o + 37,5o))

= (cos 120o – cos 45o) = =

LATIHAN 3

I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat!

1. 2 cos 400 cos 200 – 2 sin 550 sin 350 = ….a. b. c. d. e. 1

2. sin 390 sin 210 + cos 540 cos 360 = ….a. b. c. d. e. 1

3. 2 sin 750 cos 150 = ….a. b. c. d. e.

4. 2 cos 750 sin 150 = ….a. b. c. d. e.

5. sin 450 cos 150 = ….a. b. c. d. e.

6. 8 Sin 105º cos 15º =....A. (-2 + ) C. (2 + ) E. 2 + 2B. (2 - ) D. 2(2 + )

7. Cos 67,5º sin 22,5º = ....A. (1 - ) C. (1 + ) E. (2 + )

B. (2 - ) D. (2 + )


8. cos 112,5º sin 67,5º =....

A. - B. - C. - D. E.

9. 2 sin 40º cos 20º + 2 cos 70º sin 50º = ….a. b. c. d. e.

10.sin 100º cos 80º + cos 130º sin 110º = ….a. - b. - c. d. e.

11.sin 52º sin 68º - sin 47º cos 77º - cos 65º cos81º = ….a. - b. - c. d. e. 1

12.Bentuk sederhana 4 sin 36 cos 72 sin 108 adalah …. (Ebtanas 2000)A. 1 – cos 75 C. 1 – cos 36 E. 2 cos 75B. 1 + cos 36 D. 1 + cos 75

13.Jika sin 2x = 2 sin x cos x dan cos 2x = cos 2 x – sin 2 x maka sin 4x = ....a. 4 sin x cos 3 x – 4 sin 3 x cos xb. 4 sin 3 x cos x – 4 sin x cos 3 xc. 4 sin x cos 3 x – 4 sin x cos 3 xd. cos 32x – sin 3 2xe. cos 2 2x – sin 22x

14.Nilai cos 3x – 2 ( sin 3x . sin 4x + cos 5x . cos 2x) = ....a. – cos x c. sin x e. sin 2x – cos 2xb. cos x – sin x d. sin x – cos x

15.Nilai dari 16 cos ( + ) cos ( - ) sin 2 = .... a. 8 tan 2 b. 8 tan 4 c. 16 cos 4 d. 4 sin 4 e. 4 sin 2 2

II. Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !1. Tentukan nilai dari :

a. 8 sin 10o sin 50o sin 70o

b. cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o

2. Carilah jumlah 6 suku pertama dari deret :a. sin a sin 3a + sin 2a sin 6a + sin 4a sin 12a + ....b. cos 96a sin 32a + cos 48a sin 16a + cos 42a sin 8a + ....

3. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari :a. y = 12 sin sin

b. y = – 6 cos ( + x) cos ( – x)4. Hitunglah tanpa menggunakan tabel atau kalkulator :

a. cos 56o + sin 56o tan 28o

b. c. 16 sin 18o sin 54o

5. Buktikan :a. 2 sin 3x sin 4x + 2 cos 5x cos 2x – cos 3x = cos x


b. sin 3b + (cos b + sin b)(1 – 2 sin 2b) = cos 3bc. cos β cos 2β cos 4β cos 8β =

D. RUMUS TRIGONOMETRI JUMLAH SINUS DAN KOSINUS

Sin a + sin b = 2 sin (a + b) cos (a – b)

Sin a – sin b = 2 cos (a + b) sin (a – b)

Cos a + cos b = 2 cos (a + b) cos (a – b)

cos a – cos b = – 2 sin (a + b) sin (a – b)

tan a + tan b =

tan a – tan b =

Contoh 4 :Tanpa table / kalkulator hitunglah :a. cos 75o + cos 15o

b. sin 105o – sin 15o

c. tan 165o – tan 15o

Jawab :a. cos 75o + cos 15o = 2 cos (75o + 15o) cos (75o – 15o)

= 2 cos 45 cos 30 = 2. . =

b. sin 105o – sin 15o= 2 cos (105o + 15o) sin (105o – 15o)

= 2 cos 60o sin 45o = 2 . . =

c. tan 165o – tan 15o =

=

= =

LATIHAN 4I. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat!

1. Cos 80º + cos 40º = ….a. -sin 20º b. -cos 40º c. cos 20º d. cos 40º e. sin 40º

2. Cos 44 + cos 16 = …..A. sin 56 C. cos 28 E. 2 cos 14B. b. sin 28 D. cos 14


3. Cos 35 - cos 25 = ….a. sin 175 b. sin 5 c. sin 75 d. cos 5 e. cos 75

4. Cos 175 - cos 125 = .…A. – sin 50 B. – sin 25 C. sin 65 D. cos 25 E. cos 65

5. Sin 85 + sin 35 =….A. sin 100 C. cos 50 E. cos 25B. cos 45 D. sin 65

6. Nilai sin 40o – sin 50o senilai dengan ....a. sin 5 c. sin 10 e. sin 10b. sin 5 d. sin 10

7. Cos 100 + cos 1100 + cos 1300 = ....a. – 1 b. c. 0 d. e.

8. senilai dengan ....a. cotan x b. – cotan x c. cotan 2x d. – tan x e. – tan 2x

9. Jika P = k cos (x – ) dan Q = k cos (x + ) maka P + Q = ....a. 2k cos x cos c. 2k sin x cos e. 2k cos (x + )b. 2k cos x sin d. 2k sin x sin

10. Nilai dari ( 2 sin 15 + 2 sin 105 ) = ....a. b. c. 4 d. e.

11. Nilai dari 2 cos 15 – 2 sin 75 = ....a. b. c. d. e.

12. Jika tan x = , untuk 0 x 90, maka nilai sin 2x – sin x adalah ....

a. b. c. d. e.

13. Nilai = ….

A. √3 B. C. D. E. –√314. sin ( + 2A) + sin ( – 2A) = …

A. 2 sin A B. 2 cos A C. 2 sin 2A D. 2 cos 2A E. cos 2A15. Himpunan penyelesaian dari sin 3x0 + sin x0 – sin 2x0 = 0 untuk 0 x 360

adalah …A. { 0 , 30 , 120 , 180 , 240 , 300 }B. { 0 , 60 , 90 , 180 , 270 , 300 }C. { 0 , 60 , 150 , 180 , 210 , 330 }D. { 0 , 60 , 120 , 180 , 270 , 330 }E. { 0 , 30 , 180 , 210 , 270 , 330 }

II. Jawablah dengan singkat, jelas dan benar !

1. Tentukan nilai dari :


a. cos 80o + cos 40o – cos 20o c. tan 10o + tan 70o – tan 50o

b. sin 50o – sin 70o + sin 10o d. 48 cos 36o – 48 cos 72o

2. Sederhanakan :a.

b.

3. Bila tan 3a = 2 hitunglah bentuk : !4. Jika p = sin 3x + sin x dan q = cos 3x + cos x buktikan bahwa :

a. p + q = 2 cos x (sin 2x + cos 2x)b. = tan 2xc. p2 + q2 = 2 + 2 cos 2x

5. Buktikan :a.

b. c. sin 2x + sin 4x + sin 6x = 4 sin 3x cos 2x cos xd. jika A + B + C = 180o maka sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C

Sumber :Drs. Sumadi dkk. 1966. Matematika SMU 2A. Solo : Tiga Serangkai.Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga.Tim Galaksi. 2004. GALAKSI SMU Matematika II A. Klaten : CV.Merpati.Tim Penyusun. 2007. 2007 Soal Pemantapan UN Matematika. Bandung : Yrama Widya.


Ringkasan Materi - MATHEMATICS | With me … · Web viewJika tan A – tan B = x dan cot B – cot...

Documents

Transcript of Ringkasan Materi - MATHEMATICS | With me … · Web viewJika tan A – tan B = x dan cot B – cot...