RELASI DAN FUNGSI

Paper ini disusun untuk memenuhi syarat tugas perkuliahan

Matematika Diskrit

Oleh:

RISMAWATI

A410090016

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMADIYAH SURAKARTA

2012

KATA PENGANTAR

Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur

kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memberikan nikmat-Nya berupa kesehatan

dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan makalah “Matematika

Diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.

Makalah ini kami susun sebagai pendukung dalam proses perkuliahan dan

sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat dan saran dari teman-teman

namun dalam makalah ini pastilah terdapat kekurangan, oleh karena itu kritik dan

saran akan kami terima demi kualitas penyusunan makalah selanjutnya.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya saya sendiri

atau teman-teman pada umumnya.

Surakarta, 25 Oktober 2012

Penyusun

Rismawati

BAB I

PENDAHULUAN

Matematika diskret atau diskrit adalah cabang matematika yang

membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling

berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika

Diskrit seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara

kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang

dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial,

permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain.

Hubungan (relationship), antara elemen himpunan dengan elemen

himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Misalnya hubungan

antara mahasiswa dengan mata kuliah yang diambil, hubungan antara bilangan

genap dan bilangan yang habis dibagi 2 dan sebagainya. Di dalam bidang ilmu

komputer, dapat dicontohkan hubungan antara program komputer dengan peubah

yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan

(statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang

kriptografi dan sebagainya (Munir,2001). Hubungan antara elemen himpunan

dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi.

Dan fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi.

BAB II

PEMBAHASAN

RELASI DAN FUNGSI

1. RELASI

a. Relasi dalam Himpunan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya memetakan setiap

anggota pada himpunan A (x ∈ A) dengan anggota pada himpunan B

(y ∈ B)

Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan,

yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan

tertentu, contoh (x,y) ∈ R

Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian

dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)

b. Notasi dalam Relasi

Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan

pasangan berurutan (x,y) ∈ R

Contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:

F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}

xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y

c. Contoh Relasi

Humpunan A : himpunan nama orang

A={Via, Andre, Ita}

Himpunan B : himpunan nama makanan

B={es krim, coklat, permen}

Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

A B

via

Andre

Ita

permen

coklat

es krim

A : Domain

B : Kodomain

R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “

Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A

d. Cara Menyatakan Relasi

1) Diagram Panah

A B

via

Andre

Ita

permen

coklat

es krim

R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

2) Himpunan Pasangan Berurutan

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) ,

(Ita,es krim)}

3) Diagram Kartesius

via andre ita

permen

coklat

es krim

4) Tabel

Nama Makanan

Via Permen

Via Coklat

Andre Coklat

Andre Es Krim

Ita Es Krim

5) Matriks

Baris = domain

Kolom = kodomain

Permen Coklat Es krim

Via 1 1 0

Andre 0 1 1

Ita 0 0 1

Via

AndreIta

[1 1 00 1 10 0 1 ]

6) Graph Berarah

Hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan

(bukan antara dua himpuanan).

Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut

juga simpul atau vertex)

Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).

i. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a

ke simpul b.

ii. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)

iii. Simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)

iv. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari

simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut

loop

Contoh graph berarah

Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)}

adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.

7) Latihan 1

Z = {1,2,3,4};

R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}

Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk

a) Himpunan pasangan berurutan

b) Matrix

c) Graf

e. Sifat-sifat Relasi

1) Refleksif

Sebuah relasi dikatakan refleksif jika sedikitnya: x ∈ A, xRx

Minimal

2) Transitif

Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:

xRy , yRz => xR ; (x,y, z) ∈ A

Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

3) Simetrik

Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:

xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A

Contoh:

A={a,b,c,d}

R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

4) Asimetrik

Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik

Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R

Contohnya: R = {(a,b), (a,c), (c,d)}

5) Anti Simetrik

Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x dan y di dalam

A; jika xRy dan yRx maka x=y

6) Equivalen

Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat:

a) Refelksif

b) Simeteris

c) Transitif

7) Partially Order Set (POSET)

Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika

memenuhi syarat:

a) Refleksif

b) Antisimetri

c) Transitif

8) Latihan 2

a) A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A !

b) Apakah relasi berikut asimetris, transitif?

R = {(1,2),(3,4),(2,3)}

c) Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?

d) R merupakan relasi pada himpunan Z, yang dinyatakan oleh

aRb jika dan hanya jika a=b atau a= –b

Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !

f. Operasi dalam Relasi

Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan

(beda setangkup) juga berlaku pada relasi

Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpuna A ke

himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga

adalah relasi dari A ke B.

1) Contoh operasi relasi

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

Maka :

R1 ∩ R2 = {(a, a)}

R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}

R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

2) Operasi dalam bentuk matriks

Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan

oleh matriks

Maka

g. Komposisi Relasi

Misalkan :

R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke

C yang didefinisikan oleh :

T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }

Contoh komposisi relasi

Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}

Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :

R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

Relasi dari B ke C didefisikan oleh :

T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Maka komposisi relasi R dan T adalah

T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}

2. FUNGSI

a. Fungsi dari Himpunan

Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A

memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B

Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang

dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.

Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat

menuliskan dalam bentuk : f : A → B

artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.

Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.

b. Domain, Kodomain, dan Jelajah

f : A → B

A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil

(codomain) dari f.

Misalkan f(a) = b,

maka b dinamakan bayangan (image) dari a,

dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah

(range) dari f.

c. Penulisan Fungsi

1) Himpunan pasangan terurut.

Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}

maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

f = {(2, 4), (3, 9)}

2) Formula pengisian nilai (assignment)

f(x) = x2 + 10,

f(x) = 5x

d. Jenis-jenis Fungsi

1) Fungsi Injektif

Fungsi satu-satu

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk

sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1)

tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1)

sama dengan f(a2).

a 1b

cd 4

32

5

2) Fungsi Surjektif

Fungsi kepada

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk

sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam

domain A sehingga berlaku f(a) = b.

Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua

kodomain adalah peta dari domain).

3) Fungsi Bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika

untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam

domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak

terpetakan dalam B.

Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus

fungsi surjektif.

4) Fungsi Invers

Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri

a 1

b

cd

32

a 1b

cd 4

32

f : A ® B di mana f(a) = b

f –1: B ® A di mana f –1(b) = a

Catatan: f dan f –1 harus bijective

e. Operasi Fungsi

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

Komposisi:

(f o g)(x) = f(g(x))

f. Latihan 3

f(x) = x2 + 1

g(x) = x + 6

Tentukan:

a. (f + g)(x)

b. (f – g)(x)

c. (f . g)(x)

d. (f o g)(x)

e. Invers dari g(x)

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Kesimpulannya matematika disktrit adalah bagian dari matematika yang

mempelajari objek-objek diskrit. Di sini objek-objek diskrit diartikan sebagai

objek-objek yang berbeda dan saling lepas. Relasi dan fungsi merupakan bagian

dari matematika diskrit yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Dengan

mempelajari relasi dan fungsi tidak akan terjadi kesalahpahaman dan

memudahkan manusia dalam berkehidupan.

B. SARAN-SARAN

Dalam makalah ini masih terdapat kekurangan dan masih sangat

membutuhkan penambahan-penambahan, misalnya contoh-contoh dan

pembahasan yang mungkin masih belum bisa dimengerti dengan cepat oleh yang

sempat membacanya, kami harapkan semoga makalah ini dapat berguna bagi

pembacanya.

DAFTAR PUSTAKA

yenikustiyahningsih.files.wordpress.com/.../matdis-4- relasi-dan-fungs i ...

mohamad-haris.blogspot.com/.../makalah-tentang- pengertian –dan ma nfaat.html

http://adekdik.wordpress.com/2008/09/23/matematika-diskrit-relasi