REPRESENTASI GRAF PADA MATRIK

FITRI UTAMININGRUM,ST,MT

PENDAHULUANJaringan komputer adalah suatu kumpulan

komputer yang saling berkomunikasi satu sama lain dengan menggunakan cara (protokol) tertentu.

Komputer pada jaringan komputer dapat berupa router, workstation, modem, printer, dan perangkatperangkat lainnya. Jaringan komputer dapat dimodelkan dengan menggunakan graf.

Pemodelan keterhubungan antar router dan algoritma routing yang digunakan, pada suatu jaringan komputer, dapat memanfaatkan teori graf.

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek- objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Graf sering digunakan untuk memodelkan jalur transportasi, penjadwalan, jaringan komputer, dan lain sebagainya.

PENDAHULUAN

Di dalam suatu graf seringkali perhitungan-perhitungan yang dikerjakan akan lebih sederhana bila graf yang dihadapi dinyatakan dalam bentuk matriks.Bentuk - bentuk representasi matriks dari suatu graf, yaitu:

Matriks AdjasensiMatriks InsidensiMatriks Ruas

MATRIK ADJASENSIMatriks Adjasensi dari G dengan ukuran m x

m matriks A = [aij] menunjukkan jumlah busur yang menghubungkan vi dan vj. Xij bernilai 1 jika busur (i. j) Î E mempunyai arah dari simpul i Î V ke simpul j Î V, dan bernilai 0 jika tidak ada hubungan sama sekali. Jika loop diberi nilai 2.

Jika graf G merupakan graf tak berarah, setiap busur (i, j) dapat dinyatakan sebagai suatu busur dengan dua arah. Dalam hal ini matriks Adjasensi X merupakan matriks simetris.

CONTOH 1

Matriks Adjasensi X dari graf berarah diatas adalah:

CONTOH 2

Matriks Adjasensi X dari graf tak berarah diatas adalah

BEBERAPA SIFAT PENTING DAPAT DITURUNKAN DARI REPRESENTASI MATRIKS SUATU GRAF BERARAH MAUPUN GRAF TAK BERARAH :

MATRIKS ADJASENSI X DARI GRAF BERARAH :

Suatu kolom yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu sumber.

Suatu baris yang seluruh elemennya bernilai 0 menyatakan suatu muara.

Jika seluruh elemen diagonal utamanya bernilai 0, maka menyatakan tidak terdapat loop dalam graf tersebut. Sebaliknya, suatu elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal menyatakan suatu loop.

MATRIKS ADJASENSI X DARI GRAF TAK BERARAH :

Jika pada graf ditambahkan suatu simpul yang tidak terhubung, maka pada matriks X akan ditambahkan pula baris dan kolom yang seluruh elemennya bernilai 0.

Matriks X simetris.Elemen yang tidak bernilai 0 pada diagonal

utama menyatakan suatu loop

MATRIK INSIDENSISecara khusus, jika V(G) = {v1,v2, ..., vm} dan

E(G) = {e1, e2, ..., en} kita definisikan sebagai matriks Insidensi dari G dengan ordo m x n.

Matriks Insidensi Z dari graf berarah merupakan matriks [zij] di mana

a) zij bernilai 1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi meninggalkan simpul j ,

b) zij bernilai -1 jika elemen i insedensi ke dan orientasi menuju simpul j

c) dan bernilai 0 jika elemen i tidak insidensi ke simpul j

CONTOH

Matriks Insidensi Z dari graf berarah tersebut adalah :

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7V1 0 0 0 -1 0 1 0V2 0 0 1 0 1 -1 1V3 1 0 0 0 0 0 0V4 -1 1 0 1 -1 0 0V5 0 -1 -1 0 0 0 0V6 0 0 0 0 0 0 -1

PADA GRAF BERARAH :

• Pada suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah 1 menunjukkan bahwa barisan (simpul) merupakan suatu sumber.

• Suatu baris yang semua elemen-elemen tidak nolnya adalah -1 menunjukkan bahwa baris (simpul) merupakan muara.

• Jumlah elemen 1 pada suatu baris menunjukkan derajat keluar dari baris (simpul). Jumlah elemen -1 pada suatu baris menunjukkan derajat masuk dari simpul.

• Setiap kolom mempunyai satu elemen -1 dan satu elemen 1. Hal ini sebagai akibat bahwa setiap busur selalu mempunyai satu simpul awal dan satu simpul akhir.

CONTOHMatriks Insidensi Z dari graf tak berarah

adalah matriks [zij] di mana zij bernilai 1 jika simpul i dihubungkan dengan busur dan bernilai 0 jika lainnya

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7V1 0 0 0 1 0 1 0V2 0 0 1 0 1 1 1V3 1 0 0 0 0 0 0V4 1 1 0 1 1 0 0V5 0 1 1 0 0 0 0V6 0 0 0 0 0 0 1

DARI REPRESENTASI MATRIKS INSIDENSI Z PADA CONTOH DI ATAS DAPAT DILIHAT BAHWA :

PADA GRAF TAK BERARAH :Jumlah elemen tidak nol pada suatu baris

menunjukkan derajat dari simpul.Setiap kolom mempunyai tepat dua

elemen yang tidak nol.Suatu kolom yang hanya mempunyai satu

elemen tidak nol menunjukkan suatu gelung.

LATIHANTentukan matrik Adjasensi dan Insidensi dari Graf tak berarah Berikut

V4

V5

V2 V3

V1

e6

e5

e4

e3

e2

e1

e8

e7JAWAB

MATRIK RUAS

Matriks ukuran (2 X M) atau (M X 2) yang menyatakan ruas dari Graf.

Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya simpul terpencil, kecuali jumlah simpul yang terdapat dalam Graf disebutkan.

CONTOHV4

V5

V2 V3

V1

e6

e5

e4

e3

e2

e1

e8

e71 21 31 41 52 33 43 54 5

n x 2

1 1 1 1 2 3 3 42 3 4 5 3 4 5 5

2 x n

Atau

GRAF PLANARSebuah graf dikatakan graf planar bila graf

tersebut dapat disajikan (secara geometri) tanpa adanya ruas yang berpotongan. Sebuah graf yang disajikan tanpa adanya ruas yang berpotongan disebut dengan penyajian planar/map/peta.

Pada penyajian planar/map, dikenal istilah region. Derajat dari suatu region adalah panjang walk batas region tersebut.

CONTOH

d ( r1 ) = 3 d ( r2 ) = 3 d ( r3 ) = 4 d ( r4 ) = 4 d ( r5 ) = 3

FORMULA EULER UNTUK GRAF PLANAR Untuk Graf Planar berlaku Formula Euler

berikut : V – E + R = 2

Dimana V = jumlah simpul, E = jumlah ruas, R = jumlah region

PEWARNAAN GRAF Pewarnaan graf adalah pemberian warna

terhadap simpul-simpul graf dimana 2 buah simpul yang berdampingan tidak boleh mempunyai warna yang sama.

G berwarna n artinya graf tersebut menggunakan n warna.

Bilangan kromatis dari G = K(G) adalah jumlah minimum warna yang dibutuhkan.

Algoritma yang dapat digunakan untuk mendapatkan bilangan kromatis dari sebuah graf adalah Algoritma Welch-Powell.

Adapun langkah-langkahnya adalah :

Urutkan simpul-simpul berdasarkan derajatnya. Dari besar ke kecil.

Warnai.

CONTOH

Langkah 1 : Urutkan vertex berdasarkan derajatnya dari

besar ke kecil : E, C, A, B, D, G, F, H

Langkah 2 : mewarnai : a. Ambil warna ke-1, misalnya hijau untuk E dan

A yang tersisa adalah C, B, D, G, F, H b. Ambil warna ke-2, misalnya merah untuk C,

H, D yang tersisa adalah B, G, F c. Warna ke-3 misalnya putih, Selesai. d. Sehingga bilangan kromatis graf K(G) di atas

adalah 3.

PEWARNAAN REGION (WILAYAH)

Dua buah region dari sebuah graf bidang dikatakan bertetangga jika keduanya mempunyai sebuah sisi bersama.

Pewarnaan region dari suatu graf planar (graf bidang) G adalah suatu pemetaan warna – warna ke region - region dari graf G sedemikian sehingga region - region yang bertetangga mempunyai warna yang berbeda.

CONTOH

PEWARNAAN DUAL Dari suatu permasalahan pewarnaan region pada graf

bidang, bisa kita bawa ke permasalahan pewarnaan simpul dengan membangun sebuah graf dual dari graf bidang tersebut.

Cara membentuk graf dual: a. Misal terdapat sebuah graf bidang M. Dalam setiap

region dari M, pilih sebuah titik. Jika dua buah region mempunyai sebuah sisi bersama, maka titik-titik yang terkait dapat dihubungkan dengan sebuah garis melalui sisi bersama tersebut.

b. Garis-garis ini akan membentuk kurva. Kurva-kurva ini digambarkan sedemikian hingga agar tidak bersilangan. Dengan demikian kurva-kurva tersebut membentuk sebuah graf yang disebut sebagai graf dual dari M.

CONTOH

Jawab 1V1 V2 V3 V4 V5

V1 0 1 1 1 1V2 1 0 1 0 0V3 1 1 0 1 1V4 1 0 1 0 1V5 1 0 1 1 0

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8V1 1 1 0 1 1 0 0 0V2 1 0 1 0 0 0 0 0V3 0 1 1 0 0 1 1 0V4 0 0 0 1 0 1 0 1V5 0 0 0 0 1 0 1 1

Matriks Adjacency

Matriks Incidence