RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran : MatematikaKelas / Semester : X / 2Pertemuan ke : 1 dan 2Alokasi Waktu : 8 x 45 menitStandar Kompetensi : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks.Kompetensi Dasar : Menyelesaikan operasi matriks Indikator : a. Matriks ditentukan unsur dan notasinya

b. Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya

I. Tujuan : Setelah mempelajari konsep mendeskripsikan macam-macam matriks diharapkan siswa dapat : 1. Memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks. 2. Dapat membedakan antara baris dan kolom matriks3. Mengetahui elemen-elemen suatu matriks4. Dapat menuliskan notasi-notasi matriks5. Dapat menyebutkan ordo suatu matriks6. Dapat menyebutkan macam-macam matriks7. Dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama8. Memiliki kemampuan untuk menunujukkan transpose suatu matriks dan lawan

suatu matriks

II. Materi Ajar :Pengertian MatriksDalam kehidupan sehari-sehari tanpa kita sadari terkadang sebuah kegiatan yang kita laksanakan dapat kita tampilkan dalam materi matematika, kita sajikan dalam bentuk tabel.Contoh 1 :Dalam menyiapkan Ujian Akhir Nasional, Parmin mencatat dan mengevaluasi semua hasil ulangan untuk program diklat Matematika, Bahasa Indonesia dan Bahasa Inggris seperti pada tabel di bawah ini :

Ulangan ke : I II II IVMatematika 6 7 5 7Bahasa Indonesia 6 7 7 8Bahasa Inggris 5 6 7 7

Catatan nilai Parmin dapat disajikan dalam bentuk :

atau dalam bentuk

Contoh 2 :Kondisi presensi tiap hari untuk setiap tingkat dapat ditampilkan dalam bentuk tabel sebagai berikut :

Sakit Ijin Alpha

1

Kelas MO 1 1 2 1Kelas MO 2 2 1 1Kelas MO 3 0 0 1Kelas MO 4 1 2 0

Tampilan tabel di atas dapat disajikan dalam bentuk :

atau dalam bentuk

Dari tabel Contoh 1 dan Contoh 2 tersebut di atas dan kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susuanan lambang bilangan atau angka dituangkan ke dalam tanda kurung atau kurung siku, maka susunan seperti itu dinamakan : Matriks.

Matriks Contoh 1 :

Matriks Contoh 2 :

Jadi, Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilangan-bilangan yang disusun pada baris dan kolom dan diletakkan di dalam dua tanda kurung atau kurung siku.Elemen dan Notasi Suatu MatriksSetiap bilangan pada matriks disebut elemen matriks dan diberi nama sesuai dengan nama baris dan nama kolom. Perhatikan Matriks A di bawah ini :

A =

2

Baris ke -1

Baris ke -2Baris ke -3

kolom1 2 3 4

Baris ke -1Baris ke -2Baris ke -3Baris ke -4

1 2 3kolom

Untuk menamai suatu matriks., seringkali kita gunakan satu huruf kapital seperti A, B, C. Sedangkan elemen-elemen matriks seringkali dinotasikan dengan huruf kecil sesuai dengan nama matriksnya, seperti untuk elemen-elemen matriks A.

Angka 8 dalam lingkaran menunjukkan elemen matriks A yang dituliskan dengan notasi , yang berarti angka 8 adalah elemen baris ke- 2 dan kolom ke- 4. Apabila ada tampilan eleman , berarti menyatakan elemen matriks A baris ke- i dan kolom ke- j.Apabila disuruh menyebutkan elemen-eleman dari baris ke- 3 adalah : 5, 6, 7, dan 7.Apabila disuruh menyebutkan elemen-elemen dari kolom ke 2 adalah : 7, 7, dan 6.Ide penampilan matriks dalam metematika dikenalkan pada tahun 1857 oleh Arthur Cayley (1821 – 1895) yang berkebangsaan Inggris.

Ordo Suatu MatriksSuatu matriks A berukuran i x j adalah susunan berbentuk persegi panjang dari ij elemen (dalam bentuk bilangan) yang disusun dalam i baris dan j kolom. Matriks A sering dinotasikan dalam bentuk : A = ( ) =

Ukuran matriks yaitu i x j, seringkali disebut ordo matriks, sehingga matriks A dapat ditulis dengan : atau .

Contoh 3 : C = D =

Matriks C mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordo matriks C adalah 2x 3 (dibaca 2 kali 3) dan dituliskan atau . Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom (contoh matriks D) maka matriks itu disebut matriks bujursangkar. Karena istilah bujursangkar disesuaikan menjadi pengertian persegi, maka disebut matriks persegi. Matriks D adalah matriks persegi dengan ordo 3.Macam-macam Matriks

Matriks BarisSuatu matriks yang hanya terdiri dari satu baris.Contoh : A = , B = .

Matriks KolomSuatu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh : A = , B =

Matrisk PersegiSuatu matriks dengan banyak baris dan banyak kolom sama. Suatu matriks persegi dengan banyak j baris dan j kolom disebut pula matriks ordo j.

Contoh : A = , B =

3

Matriks IdentitasSuatu matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 (satu) dan elemen lainnya 0 (nol). Pada umumnya matriks Identitas dilambangkan dengan I, yang terkadang disertai dengan ordonya.

Contoh : A = = , B = =

Matriks NolSuatu matriks dengan semua elemennya 0 (nol). Matriks nol sering kali dilambangkan dengan O.

Contoh : A =

Matriks SegitigaMatriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen-elemen 0 pada separoh bagiannya.

Contoh : A = , B =

Kesamaan MatriksDefinisi dari kesamaan matriks adalah :

Contoh : matriks A = sama dengan matriks B =

Oleh karena itu dasar kesamaan matriks digunakan untuk menyelesaikan persamaan matriks.Contoh 1 :

Tentukan nilai x dan y jika

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : 2x = 8 atau x = 4 dan 3y =9 atau y = 3.

Contoh 2 :

Carilah nilai x dan y yang memenuhi

Dengan dasar kesamaan matriks maka didapatkan : x + 2 = 5 atau x = 5 – 2 atau x = 3y – 5 = 6 atau y = 6 + 5 atau y = 11

4

Matriks A = ( ) berordao m x n dan matriks B = ( )berordo p x q dikatakan sama jika dan hanya jika sebagai berikut :

M = p dan n = q, yang berarti matrik A dan matriks B berordo sama. untuk semua i dan j, yang berarti semua elemen yang seletak sama.

Catatan :Elemen yang seletak adalah elemen yang mempunyai nomor baris

Transpose MatriksTranspose artinya perputaran, yang dilambangkan dengan A’ atau AT atau , yaitu menukar elemen pada baris menjadi elemen pada kolom atau dengan kata lain elemen-elemen baris dari matriks A akan menjadi elemen-elemen kolom matriks .Secara lebih terperinci apabila elemen matriks A dan apabila ditranspose menjadi matriks maka elemen tersebut menjadi .

Contoh 1 :

Matriks A = maka matriks transposenya adalah =

Contoh 2 :

Matriks C = maka matriks transposenya adalah =

III.Metode Pembelajaran :A. CeramahB. Tanya JawabC. DiskusiD. Pemberian TugasE. CBSA

IV. Langkah-langkah PembelajaranA. Kegiatan Awal :

1. Mengadakan tanya jawab dengan siswa tentang pembelajaran sebelumnya.2. Membahas soal-soal pekerjaan rumah apabila ada.3. Menjelaskan kepada siswa tentang bagian yang perlu untuk dibenahi.

B. Kegiatan Inti :1. Menjelaskan pengertian matriks dan definisi matriks2. Menjelaskan pengertian notasi sigma, baris, kolom, elemen dan ordo matriks3. Membedakan jenis-jenis matriks4. Menentukan elemen (anggota) pada matriks berordo (mxn)5. Menjelaskan kesamaan matriks (syarat kedua matriks sama)6. Menjelaskan transpose matriks dari suatu matriks yang ditentukan7. Menjelaskan lawan matriks dari suatu matriks yang ditentukan

C. Kegiatan Akhir1. Peserta didik membuat rangkuman.2. Siswa diberi kesempatan menanyakan materi yang belum jelas3. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif dan kinerjanya

baik4. Guru memberi tugas untuk dikerjakan di rumah

V. Alat / Bahan / Sumber Belajar

5

A. Alat tulis seperti : Papan tulis, kapur, penggaris, buku, dll.Alat perga seperti : Benda-benda di sekitar kita yang diatur secara matriks

B. Bahan untuk peraga seperti benda atau siswa sebagai elemen matriksC. Sumber belajar : Buku modul yang memuat matriks

Referensi lain yang relevan

VI. Penilaian 1 -2 3 5

Diketahui matriks A = 4 -4 6 0 -3 7 8 -6 9 0 2 -5

Dari matriks A, sebutkan :a. Ordo matriksb. Banyaknya

barisc. Banyaknya

kolomd. Unsur-unsur

baris keduae. Elemen-elemen

kolom keduaf. Unsur baris ke

3 kolom ke 4

g. Elemen baris ke 4 kolom ke 3

h. Letak dari elemen 2 dan elemen -2

i. Elemen-elemen pada diagonal utama

j. Elemen-elemen pada diagonal samping

k. Tuliskan transpose matriksnya

l. Tuliskan lawan matriks A

Jawab :a. Ordo matriks A = 4 x 4b. Banyak baris matriks A = 4c. Banyak kolom matriks A = 4d. Unsur-unsur baris ke 2 = (4, -4, 6, 0)e. Elemen-elemen kolom ke 2 = (-2, -4,

7, 0)f. Elemen baris ke 3 kolom ke 4 = -6g. Elemen baris ke 4 kolom ke 3 = 2

h. Letak dari elemen 2 pada baris ke 4 kolom ke 3

Letak elemen -2 pada baris pertama kolom ke 2

i. Elemen-elemen pada diagonal utama = (1, -4, 8, -5)

j. Elemen-elemen pada diagonal samping = (5, 6, 7, 9)

1 4 -3 9k. Transpose dari matriks A = AT = -2 -4 7 0

3 6 8 2 5 0 -6 -5

l. Lawan matriks A =-1 2 -3 -5

-A = -4 4 -6 0 3 -7 -8 6-9 0 -2 5

6

Mengetahui,Kepala Sekolah

(…………………………………)NIP. …………………………….

Klaten, ……………………….2007Guru Mata Pelajaran Matematika

(…………………………………)NIP. …………………………….

7

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran : MatematikaKelas / Semester : X / 2Pertemuan ke : 3, 4, 5 dan 16Alokasi Waktu : 8 x 45 menitStandar Kompetensi : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks.Kompetensi Dasar : Menyelesaikan operasi matriks Indikator : a. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan atau

pengurangan b. Dua matriks atau lebih ditentukan hasil kalinya.

I. Tujuan : Setelah mempelajari penyelesaian operasi matriks diharapkan siswa dapat : 9. Menjelaskan operasi-operasi matriks atau lebih baik syarat maupun penyelesaiannya

untuk penjumlahan.10. Menjelaskan dan menyelesaikan opersi pengurangan dua matriks atau lebih11. Memahami dengan cepat perkalian skalar atau bilangan riil dengan matriks12. Memahami perkalian matriks dengan matriks baik syarat dan penyelesaiannya13. Memahami sifat-sifat operasi matriks untuk penjumlahan14. Memahami sifat-sifat operasi matriks untuk pengurangan15. Memahami sifat-sifat operasi matriks untuk perkalian

II. Materi Ajar :Penjumlahan Matriks

Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik, coba simaklah persoalan di bawah ini :

Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari sebuah SMK. Penentuan siapa yang berhak mengikuti seleksi siswa teladan tingkat kabupaten didasarkan pada jumlah nilai mata diklat matematika dan bahasa inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata diklat yang dicapai oleh Dewi dan Budi ditampilkan pada tabel di bawah ini :

Mata Diklat Semester I Semester II JumlahDewi Budi Dewi Budi Dewi Budi

Matematika 82 86 80 80 162 166Bahasa Inggris 72 78 73 74 145 152

Dari tabel di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata diklat Matematika dan Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi. Dengan demikian Budi lebih berhak mengikuti seleksi siswa teladan.Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks. Bila data atau informasi pada tabel di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan sebagai berikut :

8

+ =

Selanjutnya perhatikan contoh penjumlahan dua matriks di bawah ini.

Diketahui dua buah matriks : A dan B

1. Tentukan : A + B dan B + A2. Apakah : A + B = B + AJawab :

1. A + B = + = =

B + A = + = =

2. Dari jawaban 1 terlihat bahwa A + B = B + A = 0Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seletak dari matriks B dan matriks A saling berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatife dari matriks A, dan ditulis sebagai -A.

Dalam operasi bilangan real, kita ketahui bahwa operasi pengurangan dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah bilangan dengan lawan atau negatif dari suatu bilangan.

Dengan menggunakan pemikiran yang serupa dengan operasi pengurangan pada bilangan real, maka opersi pengurangan dalam matriks dapat ditentukan dengan menjumlahkan sebuah matriks dengan lawan atau negative dari matriks lainnya. Apabila A dan B masing-masing matriks berordo sama maka pengurangan matriks A oleh B dapat dinyatakan sebagai berikut :

A - B = A + (-B)

Selanjutnya perhatikan contoh di bawah ini :

Contoh 1 :

Jika matriks A dan matriks B , maka : A - B = - =

=

A +(-B) = +{- } =

=

Contoh 2 :

9

Jika matriks P dan matriks B , dengan melihat contoh 1 bahwa A

– B akan sama dengan A + (-B) maka hasilnya adalah : +{- } =

=

Perkalian skalar (bilangan real) dengan matriks

Ide penjumlahan yang berlaku pada bilangan real dapat kita terapkan pada penjumlahan matriks, yaitu :a + a = 2 a, penjumlahan dua buah bilangan yang sama a + a + a + … + a = n . a penjumlahan n buah bilangan yang sama

Pada matriks, pandanglah matriks A

Berdasarkan aturan penjumlahan matriks, diperoleh :

A + A = + = =

matriks bisa dituliskan sebagai 2. atau 2 A

Jadi, A + A = 2 ADengan demikian A + A + A = 3 A, dan seterusnya.Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa, jika A adalah sebuah matriks, dan k adalah skalar (bilangan real), maka k A adalah sebuah matriks baru yang didapat dari hasil perkalian k dengan elemen-elemen matriks A.2. Perkalian matriks dengan matriksUntuk memahami perkalian suatu matriks dengan matriks lain, perhatikan persoalan di bawah ini:

Ketika jam istirahat Anto dan Tomi membeli makanan di kantin sekolah. Anto menghabiskan 4 buah kue dan 2 gelas es jeruk. Tomi menghabiskan 3 buah kue dan 1 gelas es jeruk. Harga kue per buah dan es jeruk per gelas masing-masing Rp. 100,00 dan Rp. 250,00. Persoalan ini jika disajikan dengan memakai tabel dapat ditunjukkan seperti di bawah ini

Kue Es Jeruk Harga (Rp)

Anto 4 2 Kue 100Tomi 3 1 Es Jeruk 250

Persoalannya adalah, berapakah jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto, dan oleh Tomi.Jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto adalah 4 x 100 + 2 x 250 = 900Untuk menyatakan perhitungan ini dalam bentuk matriks, diperlukan dua buah informasi, yaitu : a. Jenis dan jumlah makanan yang dibeli oleh Anto. Informasi ini dapat ditulis

dengan matriks baris sebagai berikut :

10

b. Harga setiap jenis makanan. Informasi ini dapat ditulis dengan matriks kolom

sebagai berikut :

Dengan demikian, jumlah uang yang harus dibayar oleh Anto dapat dinyatakan sebagai :

x = = =

Langkah-langkah perhitungan seperti di atas pada hakekatnya diperoleh dengan cara mengalikan tiap elemen matriks baris ( 1 x 2 ), dengan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks kolom ( 2 x 1 ). Matriks hasil perkaliannya adalah matriks ( 1 x 1 ).

Akhirnya jumlah uang yang harus dibayarkan oleh Anto dan Tomi dapat dinyatakan sebagai : 4 2 100 4 x 100 + 2 x 250 900 3 1 250 3 x 100 + 1 x 250 550

Proses atau cara penggabungan dua buar matriks menjadi sebuah matriks seperti penjelasan di atas disebut perkalian matriks. Sehingga dapat dikatakan, aturan perkalian matriks adalah :

Mengalikan tiap elemen pada baris matriks sebelah kiri dengan tiap elemen pada kolom matriks sebelah kanan, kemudian hasilnya dijumlahkan.

Atau secara umum :

Jika diketahui matriks-matriks : A B

maka perkalian matriks A dan B dapat ditentukan dengan persamaan :

A x B = =

Syarat dua buah matriks A dan B dapat dikalikan, apabila banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

III.Metode Pembelajaran :F. CeramahG. Tanya JawabH. DiskusiI. Pemberian TugasJ. CBSA

IV. Langkah-langkah PembelajaranD. Kegiatan Awal :

1. Mengadakan tanya jawab dengan siswa tentang pembelajaran sebelumnya.2. Membahas soal-soal pekerjaan rumah apabila ada.3. Menjelaskan kepada siswa tentang bagian yang perlu untuk dibenahi.

11

E. Kegiatan Inti :1. Menjelaskan operasi matriks tentang penjumlahan2. Menjelaskan opersai matriks tentang pengurangan3. Menjelaskan operasi matriks tentang perkalian skalar dengan matriks4. Menjelaskan operasi matriks tentang perkalian matriks dengan matriks5. Menyelesaikan opersai penjumlahan dan / atau perkalian matriks6. Menyelesaikan operasi pengurangan dan / ataubperkalian matriks7. Menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan8. Menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan pengurangan dan perkalian

matriksF. Kegiatan Akhir

1. Peserta didik membuat rangkuman.2. Siswa diberi kesempatan menanyakan materi yang belum jelas3. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif dan kinerjanya

baik4. Guru memberi tugas untuk dikerjakan di rumah

V. Alat / Bahan / Sumber BelajarD. Alat tulis seperti : Papan tulis, kapur, penggaris, buku, dll.

Alat perga seperti : Benda-benda di sekitar kita yang diatur secara matriksE. Bahan untuk peraga seperti benda atau siswa sebagai elemen matriksF. Sumber belajar : Buku modul yang memuat matriks

Referensi lain yang relevan

VI. Penilaian Diketahui matriks A = 0 3 B = -1 -2 C = 2 -3

2 -4 5 6 7 -6Ditanyakan :

1. A + 2B2. 2A – 3B3. A x B4. (A + B) x (A – B)5. (A + B – C) x BT

Jawab :

1. A + 2B = + 2

= +

=

12

2. 2A – 3B = 2 - 3

= +

=

3. A x B = x

=

=

4. (A + B) x (A – B) = x

=

=

=

5. (A + B – C) x BT = x

= x

13

=

=

=

14

Mengetahui,Kepala Sekolah

(…………………………………)NIP. …………………………….

Klaten, ……………………….2007Guru Mata Pelajaran Matematika

(…………………………………)NIP. …………………………….

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

Mata Pelajaran : Matematika

Kelas / Semester : X / 2

Pertemuan ke : 7, 8, 9 dan 10

Alokasi Waktu : 8 x 45 menit

Standar Kompetensi : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks.

Kompetensi Dasar : Menyelesaikan operasi matriks

Indikator : a. Matriks ditentukan determinannya.

b. Matriks ditentukan inversnya.

I. Tujuan :

Setelah mempelajari konsep menentukan determinan dan invers diharapkan siswa dapat

16. Menjelaskan pengertian determinan suatu matriks.

17. Menentukan determinan matrisk ordo 2 dengan benar

18. Menentukan adjoin matriks-matriks ordo 2

19. Menentukan invers matriks ordo 2

20. Menyelesaikan determinan matriks ordo 3 secara langsung

21. Menyelesaikan determinan matriks ordo 3 secara aturan Sorrus

22. Menyelesaikan determinan matriks ordo 3 secara aturan Cramer

23. Menjelaskan pengertian minor matriks ordo 3

24. Menjelaskan pengetian kofaktor matriks ordo 3

25. Menjelaskan penertian adjoin matriks ordo 3

26. Menentukan invers matriks ordo 3

27. Memahami hubungan matriks identitas dengan invers matriks.

28. Menyelesaiakn bentuk persamaan matriks

29. Menyelesaikan sistem persamaan linear 2 peubah dengan matriks

30. Menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan matriks

31. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan determinan matriks.

II. Materi Ajar :

1. Determinan matriks berordo 2 2.

15

Misalkan A adalah matrik persegi berordo 2 2 yang dituliskan dlam bentuk A =

Maka determinan matriks A = ditulis sebagai det. A = = = ad –

bc.Contoh :

1. Jika A = maka det A = = 3.4 – 2.5 = 12 – 10 = 2

2. JIka B = maka det B = = 7.3 – 4.5 = 21 – 20 = 1

2. Invers matriks berordo 2 2.

Misal A = ,maka invers matriks A ditulis A ditentukan oleh :

A = , dengan det. A = ad – bc 0

Keterangan :1. Jika A sebuah matriks dengan det A 0, maka A disebut matriks tak singular

atau non singular. Setiap matriks tak singular mempunyai invers.

2. Jika A sebuah matriks dengan det A= 0, maka A disebut matriks singular. Setiap matriks singular tidak mempunyai invers.

Contoh 1 :

Tentukan invers matriks A =

Jawab :

Det. A= = 5(-2) – (-3). 4 = -10-(-12) = 2

A = =

Matriks A adalah matriks non-singular.Contoh 2:

Tentukan nilai x apabila matriks P = merupakan matriks singular!

Jawab :Syarat matriks singular adalah det. P = 0, maka :

= 0

4.2 – 10x = 08 – 10x = 0

8 = 10x → x =

16

3. Penyelesaian Persamaan Matriks Setelah memahami pengertian invers matriks, sekarang kita mempelajari cara menyelesaikan soal yang berhubungan dengan invers matriks. Sebagai contoh adalah menyelesaikan persamaan matriks berbentuk A.X = B atau X.A = B, dengan A, B, dan X adalah matriks-matriks berordo 2x2. Agar X ada ( dapat ditentukan ) disyaratkan bahwa matriks A haruslah matriks non singular, sehingga matriks A mempunyai invers A .a. Persamaan bentuk A . X = B

Untuk persamaan AX = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A dari arah kiri.

A .( A.X ) = A .B(A .A) X = A .B

I. X = A .B, sebab A .A= I X = A .B, sebab I . X = X . I = X

Jadi jika A.X = B, maka X = A . Bb. Persamaan berbentuk X.A = B

Untuk persamaan A X = B, kalikan persamaan matriks tersebut dengan A dari arah kanan.

(X.A). A = B. AX.(A. A )= B. AX. I = B. A , sebab A. A = 1

X = B. A , sebab I . X = X . I = XJadi jika X . A = B, maka X = B . AContoh :

Diketahui matriks-matriks A = B =

Tentukan matriks X berordo 2x2 yang memenuhi persamaan :a. A . X = B b. X . A = BJawab :

Det.A = = 15 – 14 = 1, sehingga A = .

a. Untuk persamaan matriks A.X = B penyelesaiannya adalah

X = A .B = =

b. Untuk persamaan matriks X.A = B penyelesaiannya adalah

X = B. A = =

4. Pemakaian matriks untuk menyelesaikan system persamaan linier 2 variabel

Untuk persamaan linier berbentuk :

= = aq – bp

= = cq – br

17

= = ar – cp

Sehingga :

x = , y =

Contoh :

Selesaikan persamaan dengan menggunakan determinant

matriks !Jawab :

= = 12 – 10 = 2,

x = = 51 – 55 = -4

y = = 44 – 34 = 10

x = = = -2 , y = = = 5

Determinan matriks ordo 3 x 3.

Jika matriks A ordo 3 x 3 dengan bentuk A = maka determinan A

dapat dicari dengan

= = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Contoh :

Jika B = maka det B = = 2.2.5 + 3.1.1 + 2.4.3 –

2.2.1 – 2.1.3 – 3.4.5 = 20 + 3 + 24 - 4 – 6 – 60 = - 232. Invers matriks ordo 3 x 3. Untuk menentukan invers matriks ordo 3 x 3 dapat digunakan beberapa cara,

antara lain : a. menggunakan pengertian dasar invers yakni jika A adalah invers B maka akan

berlaku AB = BA = I ( matriks identitas ordo 3 x 3 ).

18

+ + +- - -

Misal A = dan B = saling invers maka akan

berlaku :

= =

Contoh :

Tentukan invers dari matriks A =

Penyelesaian:

Misal B = adalah invers matriks A = maka

akan berlaku

=

=

dengan kesamaan matriks akan diperoleh persamaan linier sebagai berikut :

i.

(1)…. 2p + 3s – v = 1(2)…. 2p + 4s + 2v = 0(3)…. –p –s + 3v = 0dari (2) – (1) diperoleh s + 3v = -1 …. (4)dari (2) + 2(3) diperoleh 2s + 8v = 0 …. (5)dari (5) – 2(4) diperoleh v = 1 Substitusi ke (4) diperoleh s = -4.jika v = 1 dan s = -4 disubstitusi ke (3) diperoleh p = 7

19

ii.

(1) …. 2q + 3t – w = 0(2) …. 2q + 4t + 2w = 1(3) …. –q – t + 3w = 0dari (2) – (1) diperoleh t + 3w = 1 …. (4)dari (2) + 2(3) diperoleh 2t + 8w = 1 …. (5)dari (5) – 2(4) diperoleh w = - , w = - substitusi ke (5) diperoleh t =

jika w = - dan t = substitusi (3) akan diperoleh q = -4

iii.

(1) …. 2r + 3u – x = 0(2) …. 2r + 4u + 2x = 0(3) …. –r – u + 3x = 1dari (2) – (1) diperolehu + 3x = 0 …. (4)dari (2) + 2(3) diperoleh 2u + 8x = 2 …. (5)dari (5) – 2(4) diperoleh x = 1, jika x = 1 substitusi ke (4) diperoleh u = -3Jika x = 1 dan u = -3 disubstitusi ke (3) akan diperoleh r = 5

Jadi invers dari matriks A = adalah B =

a. Menggunakan adjoin matriks.Jika A adalah matriks non singular berordo m x n , maka invers matriks A dapat dicari dengan adjoin matriks sebagai berikut :

20

di mana Adj (A) adjoin matriks A dapat dicari dengan terlebih dulu mengetahui minor dan kofaktor matriks itu.Jika adalah elemen matriks baris ke-i kolom ke-j maka :

i. Minor matriks adalah determinan matriks dengan menghapus (menghilangkan) baris ke- i kolom ke-j

Misal A =

= = ei – fh (menghapus baris ke-1 kolom ke-1 )

= = di – fg ( menghapus baris ke-1 kolom ke-2 )

= = dh – eg ( menghapuskan baris ke-1 kolom ke-3 )

dan seterusnya.

ii. Kofaktor Kij adalah perkalian dengan Mij

= = 1(ei – fh)

dan seterusnya

Adjoin matriks A dirumuskan Adj (A) =

Contoh :

Tentukan invers dari matriks A = dengan adjoin matriks

Penyelesaian :i. det A =

= 24 – 6 + 2 – 4 + 4 – 18 = 2

iii. minor-minor matriks A

21

iv. Kofaktor-kofaktor matriks A

v. invers matriks A dapat ditemukan

III.Metode Pembelajaran :

K. Ceramah

L. Tanya Jawab

M. Diskusi

N. Pemberian Tugas

O. CBSA

IV. Langkah-langkah Pembelajaran

G. Kegiatan Awal :

1. Mengadakan tanya jawab dengan siswa tentang pembelajaran sebelumnya.

2. Membahas soal-soal pekerjaan rumah apabila ada.

22

3. Menjelaskan kepada siswa tentang bagian yang perlu untuk dibenahi.

H. Kegiatan Inti :

1. Menjelaskan pengertian determinan matriks

2. Menentukan determinan matriks ordo 2

3. Menentukan invers matriks ordo 2

4. Menjelaskan pengertian minor matriks

5. Menjelaskan pengertian kofaktor matriks ordo 3

6. Menjelaskan pengertian adjoin matriks ordo 3

7. Menentukan determinan matriks ordo 3 secara langsung

8. Menentukan determinan matriks dengan aturan Sorrus

9. Menentukan determinan matriks dengan aturan Cramer

10. Menentukan invers matriks ordo 3

11. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan determinan matriks

12. Menyelesaikan sistem persamaan linear 2 peubah dengan matriks

13. Menyelesaikan sistem persamaan linear 3 peubah dengan matriks

I. Kegiatan Akhir

1. Peserta didik membuat rangkuman.

2. Siswa diberi kesempatan menanyakan materi yang belum jelas

3. Guru memberi penghargaan pada peserta yang aktif dan kinerjanya

baik

4. Guru memberi tugas untuk dikerjakan di rumah

V. Alat / Bahan / Sumber Belajar

G. Alat tulis seperti : Papan tulis, kapur, penggaris, buku, dll.

Alat perga seperti : Benda-benda di sekitar kita yang diatur secara matriks

H. Bahan untuk peraga seperti benda atau siswa sebagai elemen matriks

I. Sumber belajar : Buku modul yang memuat matriks

Referensi lain yang relevan

VI. Penilaian

1 2 3 1. Diketahui matriks A = 2 1 4

3 2 1

23

Ditanyakan :

1. Determinan A dengan cara :

a. Langsung

b. Aturan Sarrus

c. Dijabarkan menggunakan kolom pertama

2. Semua Minor A

3. Semua kofaktor minor A

4. Adjoin A

5. Invers A

x -16. Harga x, y, z apabila A y = -4

z 5

Jawab :

1 2 3 1. a. A = 2 1 4

3 2 1

1 2 3Det A secara langsung = 2 1 4

3 2 1

Det A = 1x1x1 + 2x4x3 + 3x2x2 – 3x1x1 – 2x2x1 – 1x4x2

= 1 + 24 + 12 – 9 – 4 – 8

= 37 – 21

= 16

1 2 3 1 2b. Det A aturan Sarrus = 2 1 4 2 1

3 2 1 3 2

Det A = 1x1x1 + 2x4x3 + 3x2x2 – 3x1x1 – 2x2x1 – 1x4x2

= 1 + 24 + 12 – 9 – 4 – 8

= 37 – 21

= 16

1 2 3c. Det A aturan Cramer = 2 1 4

3 2 1

24

= 1 - 2 +3

= 1(1 – 8) – 2(2 – 6) + 3(8 – 3)

= -7 + 8 + 15 = 16

2. Minor Aij = Mij Baris dan kolom aij dihilangkan

Minor A11 = M11 = 1 4 = 1 – 8 = 7 2 1

Minor A12 = M12 = 2 4 = 2 – 12 = -10 3 1

Minor A13 = M13 = 2 1 = 4 – 3 = 1 3 2

Minor A21 = M21 = 2 3 = 2 – 6 = -4 2 1

Minor A22 = M22 = 1 3 = 1 – 9 = -8 3 1

Minor A23 = M23 = 1 2 = 2 – 6 = -4 3 2

Minor A31 = M31 = 2 3 = 8 – 3 = 5 1 4

Minor A32 = M32 = 1 3 = 4 – 6 = -2 2 4

Minor A33 = M33 = 1 2 = 1 – 4 = -3 2 1

3. Kofaktor minor Aij = Kij = (-1)i+j Mij

K11 = (-1)1+1 M11= 1(-7) = -7

K12 = (-1)1+2 M12= -1(-10) = 10

K11 = (-1)1+3 M13= 1(1) = 1

K11 = (-1)2+1 M21= -1(-4) = 4

K11 = (-1)2+2 M22= 1(-8) = -8

K11 = (-1)2+3 M23= -1(-4) = 5

25

K11 = (-1)3+1 M31= 1(5) = 5

K11 = (-1)3+2 M32= -1(-2) = 2

K11 = (-1)3+3 M33= 1(-3) = -3

K11 K21 K31

4. Adjoin A = K21 K22 K32 K31 K32 K33

Kij = Kofaktor minor Aij pada soal nomor 2.

-7 4 5 Adjoin A = 10 -8 2

1 4 -3

5. Invers matrik A = A-1= x Adj.A

Determinan A = det.A = pada soal 1

Adjoin A = Adj.A pada soal 4

-7 4 5 -7/6 1/4 5/16

Invers A = A-1= x 10 -8 2 = 5/8 -1/2 1/8

1 4 3 1/16 1/4 3/16

x -1 1 2 3 x -16. A = y = -4 2 1 4 y = -4

z 5 3 2 1 z -4

Determinan A = A= pada soal 1 = 16

Determinan x = x kolom ke 1 diganti ketentuan

y = y kolom ke 2 diganti ketentuan

z = z kolom ke 3 diganti ketentuan

Rumus : x = , y = , z =

-1 2 3

x = x = -4 1 4 = (-1.1.1+2.4.5+3.(-4).2)–(3.1.3+ 2.(-4).1+(-1).4.2)/16

5 2 1 = ((-1 + 40 – 24) – (15 – 8 – 8))/16

16

=

= 1

1 -1 3

26

y = y = 2 -4 4 =1.(-4).1+(-1).4.3+3.2.5–(3.(-4).3+ (-1).2.1+1.4.5)/16

3 5 1 = ((-4 – 12+ 30) – (-36 – 2 + 20))/16

16

=

= 2

Dengan cara yang sama akan diperoleh z=-2

Jadi harga x = 1 harga y = 2 dan harga z = -2

27