Program Studi Matematika Jurusan Matematika FMIPA

Universitas Brawijaya 1

1. Dr. Wuryansari Muharini K., M.Si. (Koordinator) 2. Dr. Nur Shofianah, M.Si. 3. Dr. Ratno Bagus Edi Wibowo, M.Si. 4. Dr. Sobri Abusini, M.T.

Dosen

Sistem Perkuliahan Jadwal:

Kelas A: Senin 14.20 16.00 MP 1.2

Rabu 15.15 17.00 BM 2.1 (Berubah jadwal

menjadi Kamis 09.45 11.30 GS 1.7)

Kelas B: Selasa 13.25 15.05 MP 2.3

Kamis 15.15 17.00 BM 2.2

Tatap muka:

Pertemuan 1 16: kuliah oleh 4 orang dosen pengampu. Setiap

dosen mengampu 4 kali tatap muka.

Materi kuliah: teori dan contoh-contoh pemodelan matematika

Tidak ada Ujian Tengah Semester maupun Ujian Akhir

Semester 2

Sistem Perkuliahan (cont)

Pertemuan ke 17 20: mhs mengerjakan proyek berkelompok, terdiri dari 3 4 mhs per kelompok, dibimbing seorang dosen (jadwal sesuai kesepakatan)

Peserta: 43 (40) orang dibagi menjadi 12 kelompok

Pembentukan kelompok? Oleh Koordinator Mata kuliah

Daftar topik yang diajukan setiap kelompok paling lambat diserahkan pada tanggal 20 Maret 2015, dikoordinir oleh kating

Dosen pembimbing ditentukan berdasarkan topik yang diajukan (3 kelompok per dosen)

Koordinator MK mengumumkan dosen pembimbing setiap kelompok pada tanggal 27 Maret 2015

3

Sistem Perkuliahan (cont) Bila ada perubahan topik harus didiskusikan dengan dan

disetujui oleh dosen pembimbing

Pertemuan ke 21 32: presentasi proyek pemodelan matematika oleh mahasiswa secara berkelompok.

Urutan presentasi disesuaikan dengan topik yang dipilih.

Waktu presentasi per kelompok: 2 x 50 menit

Bila ada anggota kelompok yang tidak hadir pada saat kelompoknya mempresentasikan tugasnya, maka nilainya 50% dari nilai kelompok

Pada saat presentasi, dilakukan penilaian keaktifan mahasiswa baik sebagai penyaji maupun pendengar

4

Time Table

5

Pertemuan ke Acara PIC

1 4 Kuliah Dr. Wuryansari M.K., M.Si.

5 8 kuliah Dr. Nur Shofianah, M.Si.

9 12

Kuliah

Batas akhir kelompok mengusulkan

topik

Pengumuman distribusi dosen

pembimbing

Dr.Ratno Bagus E.W., M.Si.

Mhs Koordinator kuliah

Koordinator kuliah

13 16 Kuliah Dr. Sobri Abusini, M.T.

17 20 Mhs mengerjakan tugas kelompok Mahasiswa Dosen

Pembimbing

21 32 Presentasi tugas Kelompok mahasiswa

Evaluasi

Nilai dari kerja kelompok, dengan aspek penilaian:

Makalah (M)

- proses pemodelan (30 %)

- penyelesaian model (30 %)

- interpretasi (25 %)

- tulisan (15 %)

Presentasi (P): slide, daya tarik, penguasaan, diskusi

Nilai Kerja Kelompok: (M+P)/2

NILAI AKHIR:

Nilai Kerja Kelompok 70%

Kehadiran 10 %

Keaktifan Kelas 20 % 6

7

Gambaran atau wakil suatu obyek (sistem, proses atau peristiwa)

Abstraksi dari suatu sistem

Pengertian Model

Sistem adalah himpunan komponen dan relasi antar komponen yang disusun dengan tujuan tertentu

Bergantung pada tujuan dan cost yang tersedia, model

dapat dibuat sesederhana mungkin atau serumit yang

diperlukan

8

Klasifikasi Model

Model ikonik: mirip dengan obyek sesungguhnya secara fisik dan menekankan sifat statis, contoh: maket, peta, model pesawat, model mobil.

Model analog: meninjau sistem menggunakan sistem

lain yang bersifat sama dan menekankan sifat dinamik, contoh: model pertumbuhan penduduk analog dengan model penyebaran isyu

Model simbolik: menggunakan simbol-simbol,

contoh : model matematika

9

Model Matematika

Deterministik

Stokhastik

Diskrit Kontinu

Deterministik: keadaan awal menentukan keadaan berikutnya secara pasti

Stokhastik : keadaan awal dapat menghasilkan bermacam-macam keadaan dengan peluang masing-masing

Klasifikasi Model ........lanjutan

The process of bringing a mathematical

perspective to the study of a question

from outside of the field of mathematics.

Joshua Abrams Head of School Meridian Academy Brookline, Massachusetts, USA jabrams@meridianacademy.org

A representation of a particular situation using

mathematical elements such as graphs,

equations, and algorithms. It includes certain

features while ignoring others in order to

create a simplified tool.

What do we do with models?

Understand

Optimize

Design

What arrangement of ceiling lights provides the

most even illumination of a room?

What design of a movie theatre provides optimal

viewing lines?

What stirring method most evenly distributes

chocolate chips within cookie batter?

What do we do with models?

Understand

Optimize

Design

Predict

How can we harvest lobsters sustainably when

we dont know how many lobsters there are?

How is the Earths climate changing?

Why do we use models?

They are:

Safer

Faster

Cheaper

Easier to work with

Accessible

Feasible

To understand

to predict

to optimize

to control the systems

and to help to make things:

better

faster

safer

cheaper

Roles of Mathematical Modeling in Industry (H.Neunzert, UNIVERSITY OF KAISERSLAUTERN, GERMANY.)

17

Konstruksi Model Matematika

Problem Real

Model Matematika

Solusi matematis

Solusi problem

asumsi

Modifikasi - Generalisasi

Analisis & perhitungan

Implementasi - interpretasi

Uji - banding

18

Langkah-langkah Konstruksi Model Matematika

1. Perumusan masalah yang menarik

2. Identifikasi variabel dan parameter yang berpengaruh

3. Bila perlu tambahkan asumsi secukupnya

4. Perumusan model matematika berdasarkan informasi yang tersedia

5. Kajian secara matematika (analisa & perhitungan)

6. Kesimpulan matematika

7. Interpretasi hasil

8. Uji atau bandingkan dengan masalah nyata

9. Modifikasi model

Math Modeling Math Exercises

Unfamiliar

Memorable

Relevant

Many possibly correct answers

Lengthy

Complex

Discovering processes

Open-ended

Cyclic constant refining

Doesnt appear on particular page

Familiar

Forgettable

Irrelevant

One right answer

Brief

Simple

Following instructions

Closed - goal chosen by teacher

Linear

Appears too often & then not enough

20

Contoh Model Matematika Sederhana

Situasi nyata:

Tiga tahun yang akan datang, 2 kali umur ayah adalah 4 tahun lebih muda dari 6 kali umur Hasan. Delapan tahun yang lalu, umur ayah adalah 7 kali umur Hasan.

Identifikasi variabel:

Misalkan x = umur ayah sekarang

y = umur Hasan sekarang

Model Matematika:

yx

yx

78

46)3(2

21

-268y

16142 87

1062 1062

87 78

106246)3(2

yxyx

yxyx

yxyx

yxyx

Perhitungan:

Kesimpulan Matematika: 4

13y

Interpretasi: umur Hasan sekarang adalah -4,25 tahun

Uji hasil : umur Hasan negatif? Tidak masuk akal dong!

Perlu modifikasi model !

22

yx

yx

78

4)3(6)3(2

Modifikasi Model

Hasil : x = 1, y = -1 , masih tidak masuk akal! Jangan putus asa, modifikasi lagi!

)8(78

4)3(6)3(2

yx

yxModifikasi Model

Hasil : x = 43, y =13 , sudah mulai masuk akal! Jangan keburu senang! Uji hasil dulu!

23

Uji hasil:

3 tahun yang akan datang:

umur ayah 46 tahun, umur Hasan 16 tahun. Apakah 2 kali umur ayah adalah 4 tahun lebih muda dari 6 kali umur Hasan?

2.46=6.16-4? Ternyata benar. Horreee !!!!!

8 tahun yang lalu:

Umur ayah 35, umur Hasan 5 tahun. Apakah umur ayah adalah 7 kali umur Hasan? Yesss!

Masalah sudah terselesaikan. Jadi Umur Hasan sekarang adalah 13 tahun.

Contoh 2

Suatu penginapan memiliki 19 kamar. Di

antara kamar-kamar tersebut ada yang

untuk 1 orang dan ada yang untuk 2

orang. Jika pemilik penginapan hanya

memiliki 31 buah kasur, bagaimanakah

cara mengatur penempatan kasur di

kamar-kamar yang ada?

24

25

Sebuah tangga yang panjangnya 6 m bersandar pada dinding tegak. Jika ujung bawah tangga bergeser menjauhi dinding dengan laju 1 m/detik, seberapa cepat ujung atas tangga bergeser ke bawah pada saat ujung bawah tangga berjarak 3 m dari dinding?

y

x 0

m/detik 1dt

dx

6

Contoh 3

Contoh 4

Suatu polutan organik masuk ke dalam suatu danau dengan kecepatan konstan. Kemudian bakteri menguraikan polutan tersebut dengan laju yang sebanding dengan massa polutan. Dalam proses penguraian tersebut, oksigen dalam air danau digunakan dengan laju penggunaan yang sama dengan laju penguraian polutan. Namun oksigen di udara masuk ke danau melalui kontak antara permukaan air dengan udara dengan laju yang sebanding dengan perbedaan antara jumlah maksimum oksigen yang dapat terlarut dalam danau dan massa oksigen setiap saat. Tentukan massa polutan dalam danau setiap saat.

26

27

Identifikasi variabel dan parameter

Misalkan

t = waktu

x = massa polutan setiap saat

y = massa oksigen setiap saat

a = laju masuknya polutan ke dalam danau

ym = massa oksigen maksimum yang dapat terlarut

dalam danau

Model matematika

Asumsi: tidak ada polutan lain dan tidak ada gas lain dalam danau tersebut

xkyykdt

dy

xkadt

dx

m 12

1

)(