Relasi Ekuivalensi dan Automata MinimalΒ Β· Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi πΏ...
Transcript of Relasi Ekuivalensi dan Automata MinimalΒ Β· Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi πΏ...
Relasi Ekuivalensi dan Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013
Teori Bahasa dan Automata Semester Ganjil 2013
Jumβat, 15.11.2013
Dosen pengasuh: Kurnia Saputra ST, M.Sc
Email: [email protected]
Jurusan Informatika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Syiah Kuala 1
Relasi Ekuivalensi (Equivalence Relations)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 2
Pengertian Relasi Ekuivalensi
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 3
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Definisi Relasi Sebuah relasi π yang homogen atau unary pada himpunan π adalah subset dari π β π Γ π. Relasi π selain dapat ditulis dengan π1,π2 β π dapat juga ditulis dengan π1 π π2.
Contoh Relasi:
π, π β π βΉ π π
Pengertian Relasi Ekuivalensi
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 4
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Relasi Ekuivalensi Relasi ekuivalensi π pada himpunan π adalah relasi dari π β π Γ π yang memiliki properti sebagai berikut:
β’ Relasi π dikatakan reflexive jika (π,π) β π , dimana π β π. β’ Relasi π dikatakan symmetric jika (π, π) β π dan (π,π) β π . β’ Relasi π dikatakan transitive jika (π, π) β π dan (π, π) β π dan
dapat direlasikan juga dengan (π, π) β π .
Note: Elemen π, π dan π pada π adalah sebarang.
Pengertian Relasi Ekuivalensi
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 5
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Reflexive: π
π π Symmetric:
Transitive: π π π
(π, π) β π
(π, π) β π dan (π,π) β π
(π, π) β π dan (π, π) β π dan (π, π) β π
Kelas Ekuivalensi (Equivalence Classes)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 6
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Kelas Ekuivalensi Diketahui π adalah relasi ekuivalensi pada himpunan π dan π β π. Kelas ekuivalensi [π]π dari π adalah himpunan:
[π]π = π β π (π,π) β π } Kelas ekuivalensi di atas dapat juga ditulis dengan [π] jika relasi yang dimaksud sudah jelas.
Kelas Ekuivalensi (Equivalence Classes)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 7
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Properti Kelas Ekuivalensi Diketahui π adalah relasi ekuivalensi pada himpunan π dan π β π. Maka akan berlaku kondisi:
[π1]π = [π2]π atau
[π1]π β© [π2]π = β dimana untuk π berlaku kondisi:
π = οΏ½ [π]π πβπ
Dua buah kelas ekuivalensi bisa akan sama atau bisa juga terpisah. Kedua kelas ekuivalensi terdapat di dalam himpunan π. Dengan kata lain kelas ekuivalensi adalah partisi/bagian dari himpunan π.
Acceptance Equivalence
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 8
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Apakah automata di atas dapat disederhanakan?
Acceptance Equivalence
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 9
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
1 2/3 4/5 π
π
π
π π, π
π, π
6
State 2 dan 3 adalah acceptance equivalence. Sama halnya pada state 4 dan 5, state-state tersebut dapat digabungkan.
Acceptance Equivalence
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 10
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Definisi Acceptance Equivalence Diketahui sebuah DFA dengan π = (π, Ξ£, πΏ, π§0,πΈ) . Dua buah state π§1, π§2 β π dikatakan acceptance equivalence jika semua word π€ β Ξ£β dan kondisi berikut harus terpenuhi:
οΏ½ΜοΏ½ π§1,π€ β πΈ βΊ οΏ½ΜοΏ½(π§2,π€) β πΈ
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 11
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Definisi Ekuivalensi Myhill-Nerode Diketahui sebuah bahasa πΏ, dimana word π₯,π¦ β Ξ£β. Relasi ekuivalensi β‘πΏ dapat didefinisikan dengan π₯ β‘πΏ π¦ if and only if (iff)
untuk semua π§ β Ξ£β harus memenuhi kondisi (π₯π§ β πΏ βΊ π¦π§ β πΏ)
Selain pada state, acceptance equivalence juga dapat dilakukan pada word. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan ekuivalensi Myhill-Nerode.
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 12
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Diketahui πΏ = ππππ π β β}. Apakah kondisi di bawah ini memenuhi bahasa πΏ di atas?
β’ π4π3 β‘πΏ π3π2 ? β’ π2π2 β‘πΏ π3π2 ? β’ π4π2 β‘πΏ π3π2 ? β’ πππ β‘πΏ ππππ ?
Spesifikasikan kelas ekuivalensi Myhill-Nerode pada bahasa berikut ini: β’ πΏ1 = π€ β π, π β #π π€ πππππ} β’ πΏ1 = π€ β π, π, π β π‘π‘π‘ππ πππππ π‘ππ‘π‘π‘π‘π‘ π‘ππ‘π‘ π π ππ€ππ‘π‘ πππ}
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 13
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Ekuivalensi Myhill-Nerode dan Bahasa Regular Sebuah bahasa πΏ β Ξ£β dikatakan regular, iff β‘πΏ memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite.
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 14
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
πΏ regular βΉ β‘πΏ memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite. Diketahui bahasa πΏ dan automata π = (π, Ξ£, πΏ, π§0,πΈ) adalah DFA, dimana π π = πΏ. Relasi ekuivalensi β‘π didefinisikan dengan:
π₯ β‘π π¦ βΊ πΏ π§0, π₯ = πΏ π§0,π¦ dimana π₯,π¦ β Ξ£β Jumlah kelas ekuivalensi β‘π sama dengan jumlah state yang mampu dicapai pada automata π, atau dapat juga disebut dengan berhingga/finite.
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 15
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Selanjutnya, kita dapat membuktikan bahwa π₯ β‘π π¦ akan sama dengan π₯ β‘πΏ π¦. Asumsikan π₯ β‘π π¦ kemudian pilih sebarang π§ β Ξ£β. Pastikan kondisi berikut ini terpenuhi:
π₯π§ β πΏ βΊ οΏ½ΜοΏ½ π§0, π₯π§ β πΈ
βΊ πΏ(οΏ½ΜοΏ½ π§0, π₯ , π§) β πΈ
βΊ πΏ(π§0,π¦π§) β πΈ
βΊ οΏ½ΜοΏ½(οΏ½ΜοΏ½ π§0,π¦ , π§) β πΈ
βΊ π¦π§ β πΈ
(Definisi bahasa yang bisa diterima)
(Definisi πΏ)
π₯ π π π¦
(Definisi πΏ)
(Definisi bahasa yang bisa diterima)
Maka kondisi π₯ β‘πΏ π¦ dapat terpenuhi. Dengan demikian, β‘π terhubung dengan semua word pada β‘πΏ dan memiliki kelas ekuivalensi yang sama seperti β‘πΏ. Jadi β‘πΏ memiliki kelas ekuivalensi yang finite.
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 16
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
β‘πΏ memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite βΉ πΏ regular Diasumsikan β‘πΏ memiliki kelas ekuivalensi berhingga/finite. Automata finite π0 = (π, Ξ£, πΏ, π§0,πΈ) untuk πΏ dapat dikonstruksikan, dimana definisinya adalah sebagai berikut:
π = π€ β‘πΏ π€ β Ξ£β}
π§0 = [π]β‘πΏ
πΈ = π€ β‘πΏ π€ β πΏ}
πΏ π€ β‘πΏ ,π = [π€π]β‘πΏ
(Definisi bahasa yang bisa diterima)
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 17
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Dari πΏ π€ β‘πΏ ,π = [π€π]β‘πΏ diikuti oleh πΏ π€ β‘πΏ ,π = [π€π ]β‘πΏ.
Maka kondisinya menjadi:
π₯ β πΏ(π0) βΊ πΏ [π], π₯ β πΈ
βΊ [π₯] β πΈ
βΊ π₯ β πΈ
Sehingga π π0 = πΏ
(Definisi bahasa yang bisa diterima)
(Definisi Final state)
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 18
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Dengan metode MyHill-Nerode kita dapat membuktikan sebuah bahasa regular atau tidak regular. Contoh:
β’ Bahasa πΏ = ππππ π β₯ 0} memiliki kelas ekuivalensi tak hingga dan tidak regular.
β’ Bahasa πΏ = ππππππ π,π β₯ 1} βͺ {ππππ | π,π β₯ 1} memiliki kelas ekuivalensi tak hingga dan tidak regular.
(Kedua bahasa di atas dapat juga dibuktikan dengan pumping lemma)
Ekuivalensi Myhill-Nerode (Myhill-Nerode Equivalence)
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 19
Teori Bahasa dan Automata Relasi Ekuivalensi
Jika diketahui π0 adalah DFA yang dikonstruksi dari kelas ekuivalensi. Untuk sebarang automata π dimana π π = π π0 , maka memenuhi kondisi berikut:
β‘π β β‘πΏ = β‘π0 Artinya bahwa π0 bisa dikonstruksi dari π dengan menggabungkan state kelas ekuivalensi. Dengan kata lain, π0 adalah DFA minimal dari bahasa πΏ. Semua DFA minimal yang berasal dari satu bahasa yang sama maka DFA tersebut akan sama (walaupun dengan state yang berbeda).
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 20
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 21
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
Bagaimana caranya untuk mengetahui bahwa sebuah DFA dikatakan minimal tanpa melakukan konstruksi kelas ekuivalensi? Solusi: Dengan cara menggabungkan state yang memiliki acceptance equivalence. Sebelum melakukan penggabungan state, hal yang pertama sekali dilakukan adalah menentukan terlebih dahulu state yang tidak acceptance equivalence (state final dan state non final), dan dilanjutkan dengan melakukan pencarian state yang non acceptance equivalence.
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 22
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
Algoritma Automata Minimal Input: DFA π Output: Himpunan state acceptance equivalence
1. Hapus state yang tidak dapat dijangkau dari start state. 2. Buatlah tabel pasangan state {π§, π§β²}, dimana π§ β π§β². 3. Beri tanda pasangan state π§, π§β² dimana π§ β πΈ dan π§β² β πΈ. Note: π§, π§β² tidak acceptance equivalence. 4. Untuk pasangan yang tidak diberi tanda {π§, π§β²} dan dimana π β Ξ£,
lakukan pengecekan apakah {πΏ π§,π , πΏ(π§β²,π)} sudah pernah diberi tanda. Jika ya, tandai {π§, π§β²}.
5. Ulangi langkah di atas sampai tidak mungkin diberi ditandai lagi. 6. Untuk pasangan {π§, π§β²} yang belum diberi tanda, berarti π§ dan π§β²
adalah acceptance equivalence.
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 23
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
Buat tabel untuk semua pasangan state
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 24
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(1) Tandai pasangan state final dan state non final
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 25
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(2) Beri tanda {2, 4} karena πΏ 2,π = 1, πΏ 4,π = 6 dan {1, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 26
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(3) Beri tanda {3, 5} karena πΏ 3,π = 1, πΏ 5,π = 6 dan {1, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 27
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(4) Beri tanda {2, 5} karena πΏ 2,π = 1, πΏ 5,π = 6 dan {1, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 28
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(5) Beri tanda {3, 4} karena πΏ 3,π = 1, πΏ 4,π = 6 dan {1, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 29
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(6) Beri tanda {1, 5} karena πΏ 1,π = 3, πΏ 5,π = 6 dan {3, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 30
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(7) Beri tanda {1, 4} karena πΏ 1,π = 3, πΏ 4,π = 6 dan {3, 6} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6 7
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 31
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(8) Beri tanda {1, 3} karena πΏ 1, π = 2, πΏ 3, π = 5 dan {2, 5} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6 7
8
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 32
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
(9) Beri tanda {1, 2} karena πΏ 1, π = 2, πΏ 2, π = 4 dan {2, 4} sudah ditandai
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6 7
8
9
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 33
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
Pasangan state yang tersisa {2, 3} dan {4, 5} tidak bisa ditandai karena acceptance equivalent.
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6 7
8
9
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 34
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
1
2
3
4
5
6 π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π, π
Gunakan algoritma automata minimal pada automata berikut:
Pasangan state yang tersisa {2, 3} dan {4, 5} tidak bisa ditandai karena acceptance equivalent.
2
3
4
5
6 1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
2 3 4 5
6 7
8
9
1 2/3 4/5 π
π
π
π π, π π, π
6
Automata Minimal
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 35
Teori Bahasa dan Automata Automata Minimal
Hint penggunaan algoritma automata minimal: β’ Buatlah sebuah tabel dimana setiap pasangan state hanya ada satu. Secara vertikal 2, β¦ ,π dan secara horizontal 1, β¦π β 1. β’ Spesifikasikan pasangan mana yang telah diberi tanda.
Referensi
FMIPA Informatika Universitas Syiah Kuala β Semester Ganjil 2013 36
Teori Bahasa dan Automata Referensi
1. Hopcroft, Motwani, Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley, 2001
2. James A. Anderson: Automata Theory with Modern Applications, Cambridge University Press, 2006.
3. Uwe SchΓΆning: Theoretische Informatik β kurzgefaΓt. Spektrum, 2008. (5. Auflage)