INTEGRAL RIEMANN

Dibuat Untuk Memenuhi Tugas Akhir Mata Kuliah

Analisis Riil 2

Disusun Oleh:

Heru Wibowo (3125120198)

Program Studi Matematika

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Jakarta

2015

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI i

DAFTAR GAMBAR ii

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pembatasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Manfaat Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II PEMBAHASAN 4

2.1 Partisi dan Jumlah Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Integral Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Aplikasi Soal Integral Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Sifat-Sifat Integral Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

IIIKESIMPULAN 15

DAFTAR PUSTAKA 16

i

DAFTAR GAMBAR

2.1 Partisi dari [a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Tag Partisi pada interval tutup [a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Jumlah Riemann Tag Partisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Partisi Bertanda dari [a,b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Jumlah Riemaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Jumlah Riemann dari interval tutup [a,b] . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Perbandingan Jumlah Riemaan Atas dengan Bawah . . . . . . . 10

ii

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia ilmu Matematika adanya integral merupakan suatu kajian il-

mu yang mayoritas selalu muncul dalam setiap aplikasi dari ilmu Matematika.

Integral merupakan cabang kajian ilmu Matematika yang dapat diaplikasikan

dalam berbagai bidang ilmu, khususnya pada cabang ilmu Matematika dan

umumnya pada cabang-cabang ilmu lainnya seperti ilmu ekonomi, ilmu fisika

dan sebagainya. Integral memiliki banyak manfaat dan menjadi salah satu fak-

tor pendukung dalam penyelesaian permasalahan yang berhubungan dengan

pengintegralan.

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemukan kondisi dimana meli-

hat suatu bentuk atau bidang yang tidak beraturan, pembangunan rumah, jal-

an raya, gedung bertingkat dan sebagainya. Bentuk-bentuk seperti itu dalam

pembangunannya memerlukan penghitungan luas bidang yang ingin dibentuk.

Fungsi ilmu Matematika yang digunakan untuk mempermudah penghitungan

luas bidang yang tidak beraturan tersebut itulah menggunakan ilmu penginte-

gralan atau integral. Dasar pemikiran dari integral inilah yang digunakan un-

tuk mencari nilai eksak dengan memecah atau mempartisi luas bidang-bidang

yang tidak beraturan tersebut ke dalam bentuk-bentuk bidang yang beratur-

an untuk mendapatkan nilai pendekatan luas yang signifikan sehingga dapat

diperhitungkan luasnya dengan tepat.

Pada tahun 1850, Bernhard Riemann untuk pertama kalinya memberikan

definisi modern tentang integral tentu yang sekarang disebut dengan Integral

Riemann. Penelitian yang terus berlanjut tersebut dimulai dari sebuah pemar-

tisian domain dari sebuah fungsi yang berbentuk interval menjadi subinterval-

subinterval. Kemudian ditentukan jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann

bawah fungsi tersebut. Melalui penelitian Bernhard Riemann inilah maka in-

1

tegral yang digunakan untuk pengintegralan luas-luas bidang tersebut yaitu

Integral Riemann.

Pada pembahasan dalam makalah tugas akhir Analisis Riil 2 ini akan di-

bahas tentang pendefinisian Integral Riemann, Partisi dan Jumlah Riemann,

Pembahasan soal luas yang menggunakan Integral Riemann, serta beberapa

sifat dari Integral Riemann. Pembahasan mengenai Integral Riemann akan

dibahas secara jelas dan rinci dalam makalah tugas akhir ini.

1.2 Pembatasan Masalah

Dari permasalahan yang akan dihadapi tentu akan ada pembatasan karena

materi Integral Riemann sangat luas. Pembatasan masalah yang akan dipela-

jari hanya akan mencangkup materi tentang cara mempartisi untuk membuat

jumlah Riemann, mendefinisikan Integral Riemann dan Kriteria Keterinte-

gralan., Kekonvergenan Fungsi terintegrak Riemann dan Sifat-sifat Integral

Riemann.

1.3 Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Partisi dan Jumlah Riemann?

2. Bagaimana definisi dari Integral Riemann?

3. Bagaimana aplikasi soal dari Integral Riemann?

4. Apa saja sifat-sifat dari Integral Riemann?

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah :

1. Mengetahui definisi dari Partisi dan Jumlah Riemann

2. Mengetahui definisi dari Integral Riemann

3. Mengetahui apa saja aplikasi soal dari Integral Riemann

4. Mengetahui apa saja sifat-sifat dari Integral Riemann

2

1.5 Manfaat Penulisan

Adapun maanfaat penulisan yaitu,

1. Bagi Penulis :

(a) Menyelesaikan tugas akhir mata kuliah Analisis Riil 2

(b) Mendapat Ilmu baru serta pengetahuan yang lebih mengenai topik

Integral Riemann

(c) Membantu memperkaya sumber ilmu atau sumber bacaan mengenai

Integrak Riemann yang nantinya dapat berfungsi sebagai sumber

penulisan bagi penulis-penulis selanjutnya

2. Bagi Pembaca :

(a) Memperkaya pengetahuan tentang Integral Riemann dan pengapli-

kasiannya serta sifat-sifatnya

(b) Mengetahui dasar Pemikiran dan Pembentukan Integral Riemann

(c) Memperkaya pengetahuan tentang Integral Riemann secara menye-

luruh

1.6 Sistematika Penulisan

Karya tulis ini secara keseluruhan terdiri dari 3 bab yaitu Pendahuluan,

Pembahasan dan Kesimpulan, dilengkapi dengan daftar pustaka yang memuat

sumber-sumber materi referensi. Sistematika pembahasan pada tugas akhir ini

adalah sebagai berikut : Bab I Pendahuluan, pada bab ini dijelaskan tentang

latar belakang masalah, perumusan masalah yang dihadapi di dalam menyusun

karya tulis, pembatasan masalah, tujuan dibuatnya karya tulis dan sistematika

pembahasan laporan karya tulis yang menjelaskan sekilas dari isi tiap bab

yang terdapat pada karya tulis ini. Bab II Pembahasan, pada bab ini dibahas

mengenai Integral Riemann. Bab III Kesimpulan, bab ini merupakan bab

akhir laporan yang memuat kesimpulan dari pembahasan masalah yang ada

dalam karya tulis ini. Selain itu juga dimuat mengenai saran-saran penulis

untuk mengembangkan sistem pendukung keputusan dalam tugas akhir ini.

Dan terakhir daftar pustaka pada bagian akhir makalah yang memuat daftar

sumber materi yang ada dalam karya tulis ini.

3

BAB II

PEMBAHASAN

Integral adalah salah satu yang paling sering dijumpai dalam pemblajar-

an matematika, Pengintegralan adalah salah satu ilmu dasar dari matematika

yang harus dipelajari. Pendefinisian Integral Riemann dimulai dari memben-

tuk subinterval-subinterval tertentu yang kemudian dikembangkan menjadi pe-

nentuan untuk Jumlah Riemann Atas dan Jumlah Riemann Bawah. Namun

dalam pembentukan pengintegralan Riemann tersebut maka pembahasan akan

dimulai dari mengetahui definisi mengenai Partisi dan Jumlah Riemann yang

akan diikuti dengan Definisi dari Integral Riemann kemudian akan ditunjukkan

bagaimana aplikasi yang sesuai dengan pendefinisian pengintegralan Riemann

dan selanjutnya akan dibahas pula mengenai Sifat-sifat dari Integral Riemann.

2.1 Partisi dan Jumlah Riemann

Jika I := [a, b] sebuah interval tertutup dan terbatas di R maka sebuah

partisi dari interval I pasti terbatas dan berhingga, ada himpunan berurut

x0, x1, ..., xn dari titik-titik di dalam I dimana

a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b

Titik-titik pada P digunakan untuk membagi I = [a, b] ke dalam sub-sub

interval yang tidak saling tumpang tindih.

I1 := [x0, x1], I2 := [x1, x2], ..., In := [xn−1, xn] (2.1a)

dan

P := {[xi−1, xi]}ni=1 (2.1b)

4

ada pula yang mendefinisikan partisi hanya mencantumkan batas-batas

partisi seperti

P := {x0, x1, ..., xn−1, xn}

Interval [a, b] yang dibagi sebanyak n partisi yaitu P dapat digambarkan

seperti pada gambar 2.1

Gambar 2.1: Partisi dari [a,b]

Secara umum, panjang setiap interval yang telah dipartisi belum tentu seragam

seperti pada gambar diatas. Panjang setiap interval adalah selisih dari batas

atas suatu interval dengan batas bawah suatu interval misalnya untuk In =

[xn−1, xn] maka panjang interval In adalah (xn − xn−1)dan norm didefinisikan :

||P|| := max{∆x1,∆x2, ...,∆xn} (2.2)

Jika sebuah titik ti dipilih dari tiap-tiap subinterval Ii ∈ [xi, xi−1], untuk

I = 1, 2, , n, maka titik-titik tersebut dinamakan tag-tag dari Ii subinterval .

Suatu himpunan dari pasangan berurutan

P := {([xi−1, xi], ti)}ni=1 (2.3a)

Pada sub-sub interval dan berhungan dengan tag-tag dinamakan Partisi

Tag pada I. Titik-tik tag dapat ditempatkan pada titik akhir bagian kiri

atau titik kanan bagian akhir dan bisa juga ditempatkan pada tengah-tengah

interval.

Jika P yang telah disebutkan sebelumnya adalah sebuah Tag Partisi, maka

dapat didefinisikan Jumlah Riemann pada sebuah fungsi f : [a, b]→ R sebagai,

S(f ;P ) :=n∑i=1

f(ti)(xi − xi−1) (2.4a)

5

Gambar 2.2: Tag Partisi pada interval tutup [a,b]

Gambar 2.3: Jumlah Riemann Tag Partisi

Hasil yang dinginkan adalah deretan persegi panjang sangat tipis yang

dibangun untuk mendekati daerah antara f dan sumbu x. Pada setiap subin-

terval In pilihlah titik sebagai tanda yaitu

xn−1 ≤ cn ≤ xn

maka Partisi Bertanda didefinisikan

P := {[xi−1, xi], cn}ni=1 (2.5)

Gambar 2.4: Partisi Bertanda dari [a,b]

dengan menggunakan nilai f(cn) sebagai sebuah pendekatan panjang, lalu

menggunakan ∆xn sebagai sebuah pendekatan lebar suatu persegi. Luas

masing-masing persegi panjang adalah panjang kali lebar atau f(cn)(∆xn),

6

Gambar 2.5: Jumlah Riemaan

sehingga jumlah luas semua persegi panjang yang diberikan oleh jumlah Rie-

mann mendekati luas sebenarnya. (gambar 2.3)

S(f, P) :=n∑i=1

f(ci)(∆xi) (2.6)

Misal [a, b], a < b adalah interval tertutup dan terbatas di R. Kemudian

P dari [a, b] adalah himpunan dengan P = {x0, x1, x2, ..., xn} sedemikian se-

hingga a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b dan ∆xi = xi − xi−1. Misalkan

f adalah sebuah fungsi terbatas di [a, b] dengan f(ti) dengan ti ∈ [xi, xi−1].

Didefenisikan

mi = Inf {f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi} (2.7a)

dan

Mi = Sup {f(t) : xi−1 ≤ t ≤ xi} (2.7b)

Jumlah Riemann atas didefinisikan sebagai

U(P, f) =n∑

i=1

Mi ∆xi (2.8a)

Jumlah Riemann bawah didefinisikan sebagai

L(P, f) =n∑

i=1

mi ∆xi (2.9a)

7

Integral Riemann ditentukan jika nilai limit dari jumlah Riemann atas dan

bawah bernilai sama. Himpunan semua fungsi yang diintegralkan Riemann

dinotasikan dengan R pada interval [a, b] dinotasikan dengan R[a, b].

Gambar 2.6: Jumlah Riemann dari interval tutup [a,b]

2.2 Integral Riemann

Definisi 2.2.1. Diberikan interval tutup [a, b], fungsi bernilai real f : [a, b]→R dikatakan Integral Riemann jika terdapat bilangan L ∈ R sehingga untuk

setiap bilangan real ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap Tag

Partisi pada [a, b] dengan ‖P‖ < δ maka

|S(f ;P )− L| < ε (2.10a)

Himpunan dari semua fungsi yang terintegral Riemann pada [a, b] dinota-

sikan dengan R[a, b] dan ditulis

L = R

b∫a

f(x)dx (2.11a)

Definisi dari Integral Riemann di atas dapat pula dinyatakan sebagai limit

dengan

lim‖P‖→0

S(f ;P ) = A (2.12a)

8

Teorema 2.2.2. Jika f ∈ R[a, b] maka nilai integralnya adalah tunggal

Bukti:

Misalkan L1 dan L2 keduanya merupakan nilai integral Riemann fungsi f ,

maka cukup dibuktikan L1 = L2. Diketahui f ∈ R[a, b]. Misalkan bilangan

ε > 0. L1 adalah nilai integral f pada [a, b], maka terdapat bilangan δ′>0ε2

sehingga untuk setiap partisi P1 pada [a, b] dengan sifat ‖P1‖ < δ′ε2

|S(f ;P1)− L1| <ε

2(2.13a)

Dan juga jika L2 merupakan nilai integral f pada [a, b], maka terdapat

bilangan δ′′ε2> 0 sehingga untuk setiap partisi P2 pada [a, b] dengan sifat ‖P2‖ <

δ′′ε2

berlaku

|S(f ;P2)− L2| <ε

2(2.14a)

Dipilih δε := min{δ′,δ′′ε2}>0

ε2

akibatnya P merupakan Tag Partisi pada [a, b]

dengan sifat ‖P‖ < δε berlaku ‖P1‖ < δ′ε2

dan ‖P2‖ < δ′′ε2. Sehingga

|S(f ;P1)− L1| <ε

2(2.15a)

dan

|S(f ;P2)− L2| <ε

2(2.15b)

Selanjutnya dengan mengikuti Aturan Ketaksamaan Segitiga bahwa :

|L1 − L2| = |L1 − S(f ;P ) + S(f ;P )− L2|

≤ |L1 − S(f ;P )|+ |S(f ;P )− L2|

< ε2

+ ε2

= ε

∴ Karena ε sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan L1 = L2

Dari definisi mengenai Integral Riemann maka Integral Riemann dalam

pengintegralan luas bidang dibagi menjadi dua yaitu Jumlah Riemann atas

dan Jumlah Riemann bawah.

9

Untuk Mi := Sup{f(x∗i ) : x∗i ∈ [xi−1, xi]} maka

U(f,P) :=n∑i=1

Mi(∆xi) disebut Jumlah Riemann Atas

Untuk mi := Inf{f(xi∗) : xi∗ ∈ [xi−1, xi]} maka

L(f,P) :=n∑i=1

mi(∆xi) disebut Jumlah Riemann Bawah

Gambar 2.7: Perbandingan Jumlah Riemaan Atas dengan Bawah

Lemma 2.2.3. Jika f : [a, b]→ R. Jika P sebarang partisi dari [a, b] maka

L(f,P) ≤ U(f,P)

Bukti:

dengan mendapatkan nilai Mi sebagai Suprimum dan, mi sebagai Infimum

jelas bahwa ∀Mi,mi berlaku mi ≤ Mi dengan i = 1..n sedemikian sehingga

L(f, P) ≤ U(f, P).

∴ untuk P sebarang partisi dari [a, b] berlaku L(f,P) ≤ U(f,P) Q.E.D.

10

2.3 Aplikasi Soal Integral Riemann

Dalam menggunakan Definisi dalam menunjukkan Integral Riemann maka

harus diketahui:

1. Nilai L dari integral.

2. Membuat nilai δε yang memenuhi ε > 0

Contoh 1. Misal F (x) := 1 untuk x = 15, 25, 35, 45

dan F (x) := 0 untuk yang

lain di [0, 1]. Kita akan menunjukkan bahwa F ∈ <[0, 1] dan1∫0

F = 0

Kita memiliki empat titik, setiap titik memiliki dua sub interval dalam partisi

P . Misalkan kita memilih δε := ε8. Jika ‖P‖ < δε dan misalkan P0 adalah

subset dari P dengan tag berbeda dari 15, 25, 35, 45

dan misalkan P1 adalah subset

dari F dengan tag di titik-titik lain. Dari S(F ;P0) = 0 hal ini menunjukkan

bahwa

S(F ;P ) = S(F ;P0) + S(F ;P1) = S(F ;P1)

Dari 8 sub interval di S(F ;P1) dan setiap interval < 1 dapat disimpulkan

bahwa

0 < S(F ;P ) = S(F ;P1) < 8δε = ε

∴ Dengan demikian F ∈ <[0, 1] dan1∫0

F = 0

Contoh 2. Diberikan fungsi f(x) = 4x dengan 0 ≤ x ≤ 4.

Dengan menggunakan definisi Integral Riemann, partisikan [0, 4] menjadi n

subinterval (secara umum setiap subinterval dipartisikan tidak sama), lalu

menggunakan seperti contoh 2 agar mempermudah perhitungan maka se-

lisih setiap interval dibuat sama, maka didapat panjang tiap interval adalah

∆xi = 4−0n

= 4n

untuk setiap i = 1, 2, ..., n. Ambil ci = xi maka

11

S(f, P ) =∑n

i=1 f(xi)(∆xi)

= f(x1)(∆x1) + f(x2)(∆x2) + ...+ f(xn)(∆xn)

=(4 ∗ 4

n

)4n

+(8 ∗ 4

n

)4n

+ ...+(4n ∗ 4

n

)4n

= 4n

[(4 ∗ 4

n

)+(8 ∗ 4

n

)+ ...+

(4n ∗ 4

n

)]= 4

n

[4{(

1 ∗ 4n

)+(2 ∗ 4

n

)+ ...+

(n ∗ 4

n

)}]= 16

n

[{1 + 2 + ...+ n} 4

n

]= 16

n

[{(n+1)n

2

}4n

]= 16

n

[(4n+4)

2

]= 32n+32

nmaka didapat

limn→∞

S(f, P) = limn→∞

[32n+32

n

]= 32

∴ secara integral biasa juga didapat angka yang sama yaitu∫ 4

04x dx = 32.

Contoh 3. Setiap fungsi konstan pada [a, b] adalah berada pada <[a, b]

Jika f(x) := k untuk semua x ∈ [a, b]. Jika P = {([xi−1, xi])}ni=1 adalah

beberapa partisi tag dari [a, b] maka dengan jelas bahwa

S(f ;P ) =n∑i=1

k(xi − xi−1) =k(b− a)

maka untuk setiap ε > 0 kita dapat memilih δε := 1 sehingga ‖P‖ < δε maka

|S(f ;P )− k(b− a)| = 0 < ε

∴ Dari ε > 0 maka kita menyimpulkan bahwa f ∈ <[a, b] danb∫a

f = k(b− a)

12

Contoh 4. Misalkan G(x) := 1n

untuk x = 1n(n ∈ N) dan G(x) := 0 untuk

yang lain di [0, 1]

Diberikan ε > 0 misalkan Eε adalah himpunan titik-titik berhingga dimana

G(x) > ε misalkan nε adalah jumlah titik-titik di Eε dan misalkan δε := ε(2nε)

.

Dan misalkan P adalah tag partisi sedemikian sehingga ‖P‖ < δ. Misalkan

P0 adalah subset dari P dengan tag luar dari Eε dan P1 adalah subset dari P

dengan tag di dalam Eε maka kita mempunyai

0 ≤ S(G;P ) = S(G;P1) < (2nε)δε = ε

∴ Dari sembarang ε > 0 kita menyimpulkan bahwa G ∈ <[0, 1] dan1∫0

G

2.4 Sifat-Sifat Integral Riemann

1. Sifat Kelinearan/Sifat Kepositifan Integral Riemann

Misalkan f, g : I → < terintegralkan pada I dan c ∈ < suatu konstanta.

Maka cf dan f + g terintegralkan pada I dan

(a)b∫a

cf(x)dx = cb∫a

f(x)dx

(b)b∫a

(f + g)(x)dx =b∫a

f(x)dx+b∫a

g(x)dx

2. Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann

(a) Teorema Dasar Kalkulus I

Misalkan f terbatas pada I := [a, b] dan F didefinisikan I sebagai

F (x) =b∫a

f(t)dt, x ∈ I

maka F kontinu pada I. Selanjutnya jika f kontinu di c ∈ (a, b)

maka F mempunyai turunan di c dan F t(c) = f(c)

(b) Teorema Dasar Kalkulus II

Misalkan f terintegralkan pada I = [a, b]. Jika F : I → < adalah

anti turunan dari f pada I maka

b∫a

f(t)dt = F (b)− F (a)

13

3. Teorema Nilai Rata-Rata dan Teorema Taylor untuk Integral

Riemann

Jika f kontinu pada I = [a, b] maka f akan mencapai nilai maksimum

M dan minimum m pada [a, b] maka kita mempunyai

m(b− a) ≤b∫a

f(x)dx ≤M(b− a)

atau

m ≤ 1b−a

b∫a

f(x)dx ≤M

Nilai 1b−a

b∫a

f(x)dx disebut sebagai nilai rata-rata integral f pada interval

I. (Dalam versi diskrit) nilai rata-rata aritmetik dari sejumlah bilangan

adalah jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya

bilangan itu. Dalam versi ’kontinu’ integral menggantikan jumlah dan

panjang interval menggantikan banyaknya bilangan. Mengingat m dan

M ada di daerah nilai f dan 1b−a

b∫a

f(x)dx ada di antara kedua nilai ter-

sebut, maka menurut Teorema Nilai Antara mestilah terdapat suatu

titik c ∈ I sedemikian sehingga

f(c) = 1b−a

b∫a

f(x)dx

Fakta ini dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-Rata untuk integral

yang dinyatakan di bawah ini.

(a) Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral Riemann

Jika f kontinu pada I = [a, b] maka terdapat c ∈ I sedemikian

sehingga

f(c) = 1b−a

b∫a

f(x)dx

(b) Teorema Taylor untuk Integral Riemann

Misalkan f, f t, ..., f (n) kontinu pada I = [a, b] maka

f(b) = f(a) + (b− a)f t(a) + ...+ (b−a)n−1

(n−1)! f(n−1)(a) + En

dengan En = 1(n−1)!

b∫a

(b− t)n−1f (n)(t)dt

14

BAB III

KESIMPULAN

Dari pembahasan makalah mengenai Integral Riemann secara jelas dan

rinci maka dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu sebagai berikut:

1. Dalam Jumlah Riemann, untuk mencari luas sebenarnya kita menggu-

nakan luas persegi panjang, lalu mempartisi lebar persegi panjang menja-

di beberapa bagian lalu masing-masing bagian dikalikan dengan masing-

masing tinggi pasangannya lalu menggabungan semua persegi panjang

yang sudah terbentuk dengan menjumlahkan luas masing-masing persegi

panjang.

2. Jumlah Riemann atas didefinisikan sebagai

U(P, f) =n∑

i=1

Mi ∆xi (3.1a)

Jumlah Riemann bawah didefinisikan sebagai

L(P, f) =n∑

i=1

mi ∆xi (3.2a)

3. Dalam menggunakan Definisi dalam menunjukkan Integral Riemann ma-

ka harus diketahui:

(a) Nilai L dari integral.

(b) Membuat nilai δε yang memenuhi ε > 0

4. Sifat-Sifat Integral Riemann antara lain:

(a) Sifat Kelinearan/Sifat Kepositifan Integral Riemann

(b) Teorema Dasar Kalkulus untuk Integral Riemann

(c) Teorema Nilai Rata-Rata dan Teorema Taylor untuk Integral Rie-

mann

15

DAFTAR PUSTAKA

Abbott, S. 2001. Understanding Analysis. [ON LINE]. Tersedia http://www

.math.klte.hu/~maksa/Rint2.pdf (diakses tanggal 27 September 2015

pukul 09.21).

Bartle, Robert G. 1936. Return to the Riemann Integral. [ON LINE]. Terse-

dia https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m125b/ch1.pdf (diak-

ses tanggal 27 September 2015 pukul 10.58).

Bartle, Robert G. dan Shebert, Donald R. 1927. Introduction to Real Analysis

4th ed. University of Illinois. USA: Hamilton Printing Company

Darmawijaya,Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah

Mada. Yogyakarta.

Rahayu,Pipit Pratiwi. 2009. Hand Out Kuliah Pengantar Analisis Real MAT-

21414. Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan

Kalijaga. Yogyakarta.

Soebagyo, Joko. 2013. Integral Riemann-Stieltjes ditinjau dari Bentuk Rie-

mann. Universitas Negeri Jakarta. [ON LINE]. Tersedia http://www

.slideshare.net/jokosoebagyo/integral-riemann-stieltjes (di-

akses tanggal 28 September 2015 pukul 18.34).

16