kendi_mas_media@yahoo.com

MATEMATIKA

BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONENDefinisi Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan bulat positif (bilangan asli), maka:

...= na a a a a a

Dengan:a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat PositifJika m, n, dan p adalah bilang bulat positif, ,a b R , maka:

a. m n m na a a + =

b. : , 0= m n m na a a a

c. ( )nm mna a=d. ( )m n p mp npa b a b=

e. , 0pm mp

n np

a ab

b b

=

f. 0 1a = , 0a

g. 1n

na

a

= , 0a

2. Persamaan Eksponen

a. ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= = b. ( ) ( ) ( ) 0f x f xa b f x= =c. ( ) ( )( ) ( )g x h xf x f x= maka:

n g(x) = h(x)n f(x) = 1n f(x) = 1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/

ganjiln f(x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif

3. Pertidaksamaan Eksponen

Jika ( ) ( )f x g xa a> maka berlaku:n f(x) > g(x) , untuk a > 1n f(x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

B. BENTUK AKARSifat-sifat Bentuk Akar

a. nn a a=

b. a b a b =

c. a abb

=

d. mnmn a a=

e. 1 1 1a

aaa a a

= =

kendi_mas_media@yahoo.com

C. LOGARITMALogaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

loga cb c a b= =

Di mana:

1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 1a< < atau a > 1,

2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan b > 0,

3. c dinamakan hasil logaritma.

1. Sifat-Sifat LogaritmaDalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

a. loga cb c a b= =

b. log log loga a ab c bc+ =

c. log log loga a ab

b cc

=

d. log logna m amb b

n=

e. log

loglog

pa

p

bb

a= , dengan 0 1 1p p< < >

f. 1loglog

ab

ba

=

g. loga ba b=

h. log log log loga b c ab c d d =

2. Persamaan Logaritmalog ( ) log ( ) ( ) ( )a af x g x f x g x= =

3. Pertidaksamaan Logaritma

Jika log ( ) log ( )a af x g x , maka berlaku:I. Syarat Basis:

1. Untuk 0 < a < 1

( ) ( )f x g x2. Untuk a > 1

( ) ( )f x g xII. Syarat Numerus:

1. ( ) 0f x >

2. ( ) 0g x >

BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRATA. PERSAMAAN KUADRATBentuk umum persamaan kuadrat adalah

+ + =2 0ax bx c

dengan a, b, c bilangan real dan 0a .

1. Jenis-jenis Akar

Persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c mempunyai:1. akar real jika 0D , 2. akar real berlainan jika > 0D , 3. akar real kembar jika = 0D , 4. akar imajiner/ khayal jika < 0D , dengan = 2 4D b ac .

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

Diketahui 1 2 dan x x adalah akar-akar dari persamaan

kuadrat + + =2 0ax bx c , maka:

+ =1 2b

x xa

=1 2

cx x

a =1 2

Dx x

a

( )( )( )( ) ( )

22 21 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 1 2

33 31 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

2

3

1 1

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x x x

+ = +

= +

+ = + +

++ =

3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

Diketahui persamaan kuadrat + + =2 0ax bx c de-

ngan 1 2 dan x x akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:

1. Kedua akarnya positif, jika:

+ > > 1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x

kendi_mas_media@yahoo.com

2. Kedua akarnya negatif, jika:

+ < > 1 2 1 20 ; 0 ; D 0x x x x

3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:

0x x

4. Kedua akarnya berlawanan, jika:

+ =1 2 0x x

5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:

=1 2 1x x

4. Menentukan Persamaan KuadratPersamaan kuadrat baru yang akarnya dan

adalah

( ) + + =2 0x x

B. FUNGSI KUADRAT

Fungsi f yang didefinisikan sebagai = + +2( )f x ax bx c

di mana , ,a b c R dan 0a didefinisikan sebagai fungsi kuadrat.

1. Hubungan a, b, c, dan D

Fungsi kuadrat = + +2( )f x ax bx c didapat hubungan:a. a menentukan keterbukaan kurva.

i. a > 0 parabola terbuka ke atas.ii. a < 0 parabola terbuka ke bawah.

a > 0a < 0

b. Jika > 0a b maka puncak berada di sebelah kiri sumbu y.

Jika < 0a b maka puncak berada di sebelah kanan sumbu y.

c. c menentukan titik potong dengan sumbu y.i. c > 0 parabola memotong sumbu y positif.ii. c = 0 parabola memotong sumbu y di (0, 0).iii. c < 0 parabola memotong sumbu y negatif.

d. = 2 4D b ac menentukan titik potong dengan sumbu x.

i. D > 0 parabola memotong sumbu x di

dua titik.ii. D = 0 parabola menyinggung sumbu x.iii. D < 0 parabola tidak memotong sumbu x.

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat 2( )f x ax bx c= + + mempunyai:

1. Sumbu simetri:

=

2b

xa

2. Nilai ekstrem:

=

2 44 4D b ac

a a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0. Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat

a. Diketahui titik puncak ( , )p px y dan titik lain

= +2( )p py a x x y

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, 1( ,0)x dan

2( ,0)x serta titik lain

= 1 2( )( )y a x x x x

c. Diketahui tiga titik pada parabola

= + +2y ax bx c

4. Definita. Definit Positif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif. Syarat:D < 0 dan a > 0

b. Definit Negatif Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif

untuk semua x disebut definit negatif. Syarat:

D < 0 dan a < 0

kendi_mas_media@yahoo.com

BAB 3 PERTIDAKSAMAAN

A. SIFAT UMUMSifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, dan d R adalah sebagai berikut.1. a > b maka a + c > b + c2. a > b, c > d maka a + c > b + d3. a > b, b > c maka a > c4. a > b, c > 0 maka a c > b c5. a > b, c < 0 maka a c < b c

6. a > b, a > 0, b > 0 maka 2a > 2b

7. a > b, a < 0, b < 0 maka 2a < 2b

8. ab

> 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAANn Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan

tanda pada ruas yang paling kanan.n Pangkat genap memiliki tanda yang sama.n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKARLangkah penyelesaian:1. Kuadratkan kedua ruas.2. Syarat di dalam akar harus 0.

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI MUTLAK

Nilai mutlak untuk x R didefinisikan:

jika 0

jika 0

0 jika 0

x x

x x x

x

>= -

kendi_mas_media@yahoo.com

D. EKUIVALENSI

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.Contoh: p q q p p q

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

n Konvers dari implikasi p q adalah q pn Invers dari implikasi p q adalah ~ p ~ qn Kontraposisi dari implikasi p q adalah ~ q ~ p

F. PENARIKAN KESIMPULAN

(B)

(B)

(B)

p q

p

q

\

(B)

(B)

(B)

p q

q

p

\

(B)

r (B)

(B)

p q

q

p r

\

Modus Ponens Modus Tollens Sillogisme

BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik ( )1 1, x y dengan gradien m, berlaku:

1 1( )y y m x x =

2. Garis yang melalui ( )1 1, x y dan ( )2 2, x y , berlaku:

1 1

2 1 2 1

y y x x

y y x x

=

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:

y

a

bx

ax + by = a.b

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis 1 1:g y m x c= + dan garis

2 2:h y m x c= + makan Garis g dan h sejajar jika 1 2m m=

n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika

1 2 1m m =-n Garis g dan h berpotongan dan membentuk sudut

sebesar a dengan

1 2

1 2

tan1

m m

m ma -=

+

kendi_mas_media@yahoo.com

A. SISTEM PERSAMAANSistem persamaan dapat diselesaikan dengan:n Metode eliminasin Metode substitusin Metode campuran

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik dengan gradien m, berlaku:

2. Garis yang melalui dan , berlaku:

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku:

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis dan garis

makan Garis g dan h sejajar jika

BAB 6 STATISTIKA DAN PELUANG

A. STATISTIKA

1. Rata-rata/mean ( x )Data tunggal:

1 2 1... =+ + += =

n in i

xx x x

xn n

n = banyak data,xi = data ke-i,i = 1, 2, 3, , n.

Data kelompok:

1 1 2 2 1

1 2

1

...

...=

=

+ + += =

+ + +

n

i in n i

nn

ii

f xf x f x f x

xf f f

f

fi = banyak data xi,

1 2 ...= + + + nn f f f .

2. Modus (Mo)Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak atau data yang paling sering muncul.n Data tunggal:

Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.Modus dari data tersebut adalah 7.

n Data kelompok:

1

1 2

= + + b

dMo t c

d d

tb = tepi bawah kelas modusd1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnyad2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnyac = panjang kelas

3. Median (Me/Q2)Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau kuartil tengah.Data tunggal:

Jika n ganjil maka: 12+= nMe x

Jika n genap maka: 1

2 2

2

++

=

n nx x

Me

Data kelompok:

12

2 bk

n fMe Q t c

f

= = +

tb = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q2 f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Mefk = frekuensi kelas yang memuat Me

4. KuartilNilai yang membagi sekumpulan data yang telah terurut menjadi 4 bagian.Data kelompok:

Kuartil bawah (Q1): ( )14 1

1 11

= +

b

n fQ t c

f

Kuartil atas (Q3): ( )34 3

3 33

= +

b

n fQ t c

f

Dengan:tb1 /tb3 = tepi bawah kelas yang memuat Q1 /Q3( ) 1f / ( ) 3f = jumlah frekuensi sebelum Q1/Q3f1 / f3 = frekuensi kelas yang memuat Q1/Q3

5. Jangkauan (J)n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:

max min= J x x

n Jangkauan antarkuartil (H):

3 1= H Q Q

n Jangkauan semi antarkuartil (Qd):

3 11

( )2

= dQ Q Q

6. Simpangan rata-rata (SR)Data tunggal:

1

| |=

=

n ii

x x

SRn

Data kelompok:

1

1

| |=

=

=

n

i ii

n

ii

f x x

SR

f

kendi_mas_media@yahoo.com

7. Ragam/variansi (R)Data tunggal:

2

2 1

| |=

= =

n ii

x x

R Sn

Data kelompok:

2

2 1

1

| |n

i ii

n

ii

f x x

R S

f

=

=

= =

8. Simpangan baku/deviasi standar (S)Data tunggal:

1

| |=

=

n ii

x x

Sn

Data kelompok:

1

1

| |=

=

=

n

i ii

n

ii

f x x

S

f

9. Perubahan dataBila masing-masing data diubah dengan nilai yang sama, berlaku

Perubahan data

Ukuran pemusatan

Ukuran penyebaran

+-x:

+-x:

TETAPTETAP

x:

Catatan:- Yang termasuk ukuran pemusatan adalah: x , Mo,

Me, Q1 .- Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H,

Qd, S, R.

B. PELUANG

Aturan PerkalianMisalkan terdapat n tempat tersedia dengan:n A1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat

pertama.n A2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat

kedua setelah tempat pertama terisi.n A3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga

setelah tempat pertama dan kedua terisi.

n An adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n 1) terisi.

Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah:

A1 A2 A3 ... In

Notasi Faktorial

n! = 1 2 3 ... (n 1) n1! = 0! = 1

dengan n bilangan asli

1. Permutasin Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda dengan memperhatikan urutannya (AB BA)

n Rumus dan notasi yang digunakan dalam permutasi adalah:- Banyaknya permutasi n unsur yang diambil

dari n unsur adalah P(n, r) = n!- Banyaknya permutasi r unsur yang diambil

dari n unsur:

!( , )

( )!=

nP n r

n r

n Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan unsur yang sama adalah:

!! ! !k

m n cara

n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur adalah

(n 1)!

2. Kombinasin Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan-nya (AB = BA).

n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan

dengan nCk atau ( , )C n k .n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n

unsur adalah

!( , )

( )! !

nC n k

n k k=

3. Peluang KejadianPeluang kejadian A ditulis P(A), ditentukan dengan rumus:

n(S) = banyaknya anggota semestan(A) = banyaknya anggota AP(A) = peluang kejadian A

( )( )

( )

n AP A

n S=

kendi_mas_media@yahoo.com

4. Peluang Komplemen Suatu KejadianMisalkan Ac adalah komplemen kejadian A, maka

( ) 1 ( )cP A P A=

5. Frekuensi Harapan Suatu KejadianFrekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah

FH(A) = n P(A)

6. Peluang Kejadian Majemuka. Gabungan Dua Kejadian Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = +

b. Kejadian Saling Lepas Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling

lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang

berakibat ( )P A B = 0, sehingga

( ) ( ) ( )P A B P A P B = +

c. Kejadian Saling BebasA dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian lainnya.

( ) ( ) P(B)P A B P A =

BAB 7 TRIGONOMETRIDalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:

B C

A

c

xa

b

sin

cos

tan

bx

ca

xcb

xa

=

=

=

A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0 2 3 1

Cos 1 3 2 0

Tan 0 13 3 1 3 ~

B. SUDUT-SUDUT BERELASIy

Kuadran ISemua positifSin, Cosec

positif

Tan, CotPositif

Cos, Sec Positif

Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

0o

90o

180o

360o

sin(90 ) cos

sin(90 ) cos

cos(90 ) sin

cos(90 ) sin

tan(90 ) cot

tan(90 ) cot

o

o

o

o

o

o

a a

a a

a a

a a

a a

a a

- =

+ =

- =

+ =-

- =

+ =-

sin(180 ) sin

sin(180 ) sin

cos(180 ) cos

cos(180 ) cos

tan(180 ) tan

tan(180 ) tan

o

o

o

o

o

o

a a

a a

a a

a a

a a

a a

- =

+ =-

- =-

+ =-

- =-

+ =

sin(270 ) cos

sin(270 ) cos

cos(270 ) sin

cos(270 ) sin

tan(270 ) cot

tan(270 ) cot

o

o

o

o

o

o

a a

a a

a a

a a

a a

a a

- =-

+ =-

- =-

+ =

- =

+ =-

sin(360 ) sin

sin(360 ) sin

cos(360 ) cos

cos(360 ) cos

tan(360 ) tan

tan(360 ) tan

o

o

o

o

o

o

a a

a a

a a

a a

a a

a a

- =-

+ =

- =

+ =

- =-

+ =

C. IDENTITAS TRIGONOMETRIDalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat:

1. sin tancos

xx

x= 4.

2 2tan 1 secx x+ =

2. 2 2sin cos 1x x+ = 5. 1

seccos

xx

=

3. 1 secsin

co xx

= 6. 2 21 cot cosx ec x+ =

kendi_mas_media@yahoo.com

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS

A B

C

b

c

a

sin sin sina b c

A B C= =

Pada setiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan sinus, yaitu:

Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan

cosinus, yaitu:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + -

= + -

= + -

E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGAJika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan:

A B

C

b

c

a

1sin

21

sin21

sin2

L bc A

L ac B

L ab C

=

=

=

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

2 2

2

2

2

sin2 2sin cos

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

2tan tan2

1 tan

x x x

x x x

x

x

xx

x

=

=

=

=

=

sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

tan tantan ( )

1 tan tantan tan

tan ( )1 tan tan

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A BA B

A BA B

A BA B

+ = +

=

+ =

= +

++ =

=

+

G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS1 1

sin sin 2sin ( )cos ( )2 21 1

sin sin 2cos ( )sin ( )2 21 1

cos cos 2cos ( )cos ( )2 21 1

cos cos 2sin ( )sin ( )2 2

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

+ = +

= +

+ = +

= +

2sin cos sin( ) sin( )

2cos sin sin( ) sin( )

2cos cos cos( ) cos( )

2sin sin cos( ) cos( )

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

x y x y x y

= + + -= + - -= + + -

- = + - -

H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TRIGONOMETRI

a. Sinus

1 1

sin sin

.360 atau (180 ) .360o o ox

x k x k

=

= + = +

b. Cosinuscos cos

.360 ox

x k

=

= +

c. Tantan tan

.180 ox

x k

=

= +

k = ..., 1, 0, 1, 2,

kendi_mas_media@yahoo.com

BAB 8 DIMENSI TIGA

A. JARAKn Jarak Antara Dua Titik

Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua titik itu.

A B

Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara titik A dan titik B.

n Jarak Titik ke GarisAdalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.

A

g

B

AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak lurus g.

n Jarak antara Titik dengan BidangAdalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik proyeksinya pada bidang.

B. SUDUTn Sudut Dua Garis Bersilangan

Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara melukis sudut antara garis g dan h adalah:- lukis garis g yang sejajar g dan memotong h,- sudutnya = sudut antara garis g dan h.

n Sudut Antara Garis g dan Bidang VLangkah:- proyeksikan garis g ke bidang V, sebut

hasilnya g,- sudutnya = sudut antara garis g dan g.

n Sudut Antara Dua BidangLangkah:- tentukan perpotongan antara bidang V dan

W sebut l,- lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,- lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h,- sudutnya = sudut antara garis g dan h.

Jarak antara P dan bidang ditun-jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang.

BAB 9 LINGKARANLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

A. PERSAMAAN LINGKARANn Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari

jari = r.y

xr

(0, 0)

2 2 2x y r+ =

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari = r.

y

x

r

(0, 0)

(a, b)( ) ( )2 2 2 + =x a y b r

n Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan menyinggung sumbu x:

kendi_mas_media@yahoo.com

y

x

r(0, b)

( ) ( )2 2 2x a y b b + =

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan menyinggung sumbu y:

y

xr(a, 0)

( ) ( )2 2 2x a y b a + =

n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan menyinggung garis px + qy + r = 0.

ypx + qy + r = 0

x

d(a, b) ( ) ( )2 2 2x a y b d + =

Dengan 2 2

ap bq rd

p q

+ +=

+. Jari-jari lingkaran

adalah d.

1. Persamaan Umum Lingkaran2 2 0x y Ax By C+ + + + =

Pusat ,2 2A B

dan jari-jari 2 2

4 4A B

r C= +

2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaanL: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x1, y1). Kedudukan titik A(x1, y1) terhadap lingkaran L adalah:

K = x12 + y1

2 + 2ax1 + 2by1 + c

n K > 0 maka titik A(x1, y1) berada di luar lingkaran.

n K < 0 maka titik A(x1, y1) berada di dalam lingkaran.

n K = 0 maka titik A(x1, y1) berada pada lingkaran.

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA LINGKARAN

1. Diketahui titik singgungnya ( )1 1,x yn Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +

y2 = r2 di titik (x1, y1). Rumus: 2

1 1 x x y y r+ =

n Persamaan garis singgung pada lingkaran

( ) ( )2 2 2x a y b r + = di titik (x1, y1). Rumus:( )( ) ( )( ) 21 1x a x a y b y b r + =

n Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada lingkaran: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0. Rumus:

1 1 1 1 ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c+ + + + + + =

2. Diketahui gradien mn Persamaan garis singgung dengan gradien m

pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan jarijari r.Rumus:

21= +y mx r m

n Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran (x a)2 + (y b)2 = r2. Rumus:

( ) 21 = +y b m x a r m

C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARANDiberikan garis g: y = mx + n dan lingkaran:

2 2 2 x + =L y r . Hubungan antara garis g dan lingkaran L dapat diselidiki dengan cara: n Substitusi garis g ke L.n Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi,

yaitu:1. D > 0, maka garis memotong lingkaran pada

dua titik,2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada

satu titik (garis menyinggung lingkaran),3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.

1 2 3

kendi_mas_media@yahoo.com

BAB 10 SUKU BANYAKBentuk umum:

f(x) = anxn + a

n-1xn-1 + a

n-2xn-2+ ... + a1x + a0,

dengan an 0, n bilangan cacah. an, an-1, an-2, ... , a1, a

0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masing-

masing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta real dan an 0. Sedangkan a0 disebut suku tetap (konstanta).

A. NILAI SUKU BANYAK

Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:1. Cara Substitusi

Jika f(x) = x4 2x3 + x + 5 maka nilai suku banyak tersebut untuk x = 1 adalah

f(1) = (1)4 2.( 1) 3 + 1 + 5 = 52. Metode Horner

Jika ax3 + bx2 + cx + d adalah suku banyak maka f(h) diperoleh cara sebagai berikut.

a

a ah3 + bh2 + ch + d

ah3 + bh2 + ch

ah2 + bh + c

ah2 + bh

ah + b

ah h b c d

+

Berarti kalikan dengan h

B. PEMBAGIAN SUKU BANYAKJika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa pembagian s(x), secara matematis pembagian ini dapat ditulis:

f(x) = h(x) g(x) + s(x)

Keterangan: f(x) = yang dibagi berderajat ng(x) = pembagi berderajat kh(x) = hasil bagi berderajat (n k)s(x) = sisa berderajat (k 1)Catatan: k < n

C. TEOREMA SISAn Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x a) maka

sisanya = f(a).n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka

sisanya = f(a).

n Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax b) maka sisanya = f( b

a).

n Jika (x a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x) maka f(a) = 0.

D. TEOREMA FAKTOR

n Jika f(a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat nol suku banyak f(x), maka (x a) adalah faktor dari suku banyak f(k).

n Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b) = 0, maka f(x) habis dibagi (x a) (x b).

n Jika (x a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah akar dari f(x).

E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAKn Fungsi derajat tiga: ax3 + bx2 + cx + d = 0

1 2 3

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1.

2.

3. . .

bx x x

ac

x x x x x xa

dx x x

a

+ + =

+ + =

=

n Fungsi derajat empat: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0

1 2 3 3

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 3 4 1 2 4 2 3 4

1 2 3 4

1.

2.

3.

4. . . .

bx x x x

ac

x x x x x x x x x x x xa

dx x x x x x x x x x x x

ae

x x x xa

+ + + =

+ + + + + =

+ + + =

=

kendi_mas_media@yahoo.com

BAB 11 FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis : f A B .

A. FUNGSI KOMPOSISI

f(x)x g(f(x))

gof

f

A B C

g

( )( ) ( )( )=g f x f f xSifat-sifat fungsi komposisi:n f g g f

n ( )f g h = ( )f g h f g h= n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka

berlaku I f f I= dan 1 1f f f f I = =

B. FUNGSI INVERSSuatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)

dinotasikan 1( )f x .

f(x)x

f-1

f

A B

Sehingga jika f(x) = y maka f-1 (y) = x. Fungsi invers berlaku:

-1( ) ( )= =f a b f b a

Rumus,

( ) ( )1ax b dx bf x f xcx d cx a

-+ - += =+ -

C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI

f(x)x g(f(x))

gof

(gof)-1

f

A B C

g

Sifat:

( ) ( ) ( )( )1 1 1g f x f g x =

BAB 12 LIMITA. TEOREMA LIMIT

n Jika f(x) = k, maka limx a

f(x) = k, dengan k konstanta, k dan a real

n Jika f(x) = x, maka limx a

f(x) = a

n limx a

{ f(x) g(x)} = limx a

f(x) limx a

g(x)

n limx a

k. f(x) = k. limx a

f(x), k konstanta

n limx a

{ f(x). g(x)} = limx a

f(x). limx a

g(x)

n lim ( )( )

lim , lim ( ) 0( ) lim ( )

= x ax a x a

x a

f xf xg x

g x g x

n { } { }lim ( ) lim ( ) nnx a x a

f x f x

=

kendi_mas_media@yahoo.com

Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan setiap anggota domain dengan tepat satu kawan dengan anggota kodomain ditulis .

A. FUNGSI KOMPOSISI

Sifat-sifat fungsi komposisi:n

n n I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka

berlaku dan

B. FUNGSI INVERSSuatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)

dinotasikan .

A. TEOREMA LIMIT

n Jika f(x) = k, maka f(x) = k, dengan k konstanta, k dan a real

n Jika f(x) = x, maka f(x) = a

n { f(x) g(x)} = f(x) g(x)

B. LIMIT ALJABAR

1. Bentuk 0

0

a. Dengan pemfaktoran.b. Dengan aturan LHospital diperoleh:

( ) '( ) '( )lim lim

( ) '( ) '( )x a x aF x F x F aG x G x G a

= =

2. Bentuk tak tentu

1

1

...lim

...

n n

m mx

ax bx cL

px qx r

+ + +=

+ + +

n Untuk n = m a

Lp

=

n Untuk n > m L =

n Untuk n < m 0L =

3. Bentuk tak tentu

Rumus cepat:

( )2 2lim ( )2

( )

( )

x

b qax bx c px qx r Jika a p

aJika a p

Jika a p

-+ + - + + = =

= >=-