MATEMATIKA II

Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd

http://polmansem3.esy.es/

Limit Fungsi

1. Pengertian Limita. Defenisi

= L dapat diartikan bahwa jika x

mendekati a ( tetapi x ≠ a), maka f (x)

mendekati nilai L

b. Cara Menyelesaikan Limit Fungsi Aljabar

a) Substitusi Langsung

b) Dengan cara memfaktorkan

)(lim xfax

Cotoh:Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut:

Jawab:

2

)4(2

)34(.1

2

2

1

lim

lim

x

x

x

x

x

422)2(2

)2)(2(

2

)4(2

131.4)34(.1

limlimlim

lim

22

2

2

1

xx

xx

x

x

x

xxx

x

2. Pengertian Limit Fungsi f(x) untuk x Mendekati Tak- Berhingga

a. Defenisi:

Misalkan fungsi f terdefenisi dalam interval

a ≤ x < ∞ , = L jika dan hanya jika

Untuk tiap bilangan ϵ > 0 didapat bilangan

Positip M, demikian sehingga jika x > M, maka

| f (x) – L | < ϵ

)(lim xfax

b. Cara menyelesaikan1)Membagi dengan pangkat tertinggi Untuk

Jika m < n maka L = 0Jika m = n maka L = a/pJika m> n maka L = ∞

2) Mengalikan dengan faktor lawan

Larxqxpx

ccxbxaxnnn

mmm

x

...

...21

21

lim

Contoh:1.Hitunglah nilai limit fungsi berikut ini :

865

523.3

46

752.2

322

135.1

26

4

3

24

4

4

lim

lim

lim

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

Jawab:

0865

523.3

46

752.2

2

5

322

135.1

26

4

3

24

4

4

lim

lim

lim

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

2. Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

Jawab

12lim

xxx

00101

0

11

12

12

12

12.1212

12

1

lim

lim

limlim

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxxxx

3. Teorema LimitBeberapa teorema limit yang sering digunakan untuk menentukan limit fungsi aljabar.1.Jika f(x) = k, maka = k

(untuk setiap k konstanta dan a bilangan real)

2. Jika f(x) = x maka = a

(untuk setiap a bilangan real)

3.

)(lim xfax

)(lim xfax

)()()()( limlimlim xgxfxgxfaxaxax

4. Jika k konstanta, maka

5.a)

b)

6.a)

b)

)()( limlim xfxkxfxkaxax

)().()().( limlimlim xgxfxgxfaxaxax

)(/)()(/)( limlimlim xgxfxgxfaxaxax

n

ax

n

ax

xfxf

)()( limlim

nax

n

ax

xfxf )()( limlim

Contoh:Hitunglah nilai tiap limit berikut:

1)

2)

Jawab:

1)

)43(lim2

xx

x

x

x

52

2lim

242.343)43( limlimlim222

xxx

xx

2)

2

3

2

54

2

5

2

)5(55

limlim

lim

limlim

lim

2

2

2

2

2

2

2

22

2

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4. Limit Fungsi TrigonometriRumus Limit Fungsi Trigonometri

1.

2.

Contoh: Hitunglah nilai limit fungsi berikut:

1limlim

1sin

limsin

lim

00

00

tgxx

xtgx

xx

xx

xx

xx

xxtg

xx

xx 26

lim.252sin

lim.100

Jawab:

326

66

lim26

66

26

lim26

lim.2

52

22sin

lim52

22sin

52

lim52sin

lim.1

000

000

xxtg

xxtg

xxtg

xx

xx

xx

xxx

xxx

5. Kontinuitas dan Diskontinuitas FungsiDefenisi:Misalkan fungsi f (x) terdefenisi dalam suatu interval yang memuat x = a. Fungsi f (x) dikatakan kontinu di x = a, jika memenuhi tiga syarat berikut:

1) f(a) harus ada ( a berada dalam domain f(x))

2) Harus ada, dan

3) = f (a)

)(lim xfax

)(lim xfax

Contoh:

1.Apakah kontinu di x = 2?

Jawab:

1.

Oleh karena f (2) tidak ada maka

diskontinu di x = 2

2

4)(

2

x

xxf

)(0

0

22

42)2(

2

adatidakf

2

4)(

2

x

xxf

2. Apakah fungsi f (x) =

Kontinu di x = 1 ?Jawab:

1)f (1) = 3 f (1) ada

2)

1,

1,1

1

3

3

xuntuk

xuntukx

x

3111)1(lim1

1

)1)(1(lim11

1lim1

)(lim1

22

23

xx

x

x

xxx

xx

x

xxf

x

3)

Jadi f(x) kontinu di x = 1

)1()(lim1

fxfx

TERIMA KASIHSelamat Belajar