PROYEKSIOleh:Dr. RIYADI, M.Si.PROGRAM PASCASARJANAUNIVERSITAS SEBELAS MARET

Misal g, dan g garis-garis sebidang dan berbeda, dan misal S keluarga garis-garis sejajar yang sebidang dengan g, dan g tetapi tidak memuat keduanya.

Jika P sebarang titik pada g, suatu garis dari keluarga garis S yang melalui titik P akan berpotongan dengan g di titik P.

Transformasi dari titik-titik pada g ke dalam titik-titik pada g disebut proyeksi sejajar dari g ke g.

Jika keluarga garis S tegak lurus garis g disebut dengan proyeksi ortogonal dari g ke g.

Definisi

Proyeksi Sejajar

Proyeksi Sejajar

Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut.

Proyeksi Sejajar

Torema

Proyeksi paralel dari g pada garis g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (k = 1 atau k ( 1), dan mengawetkan keantaraan.

Bukti:

Adanya korespondensi satu-satu dari g ke g mudah dibuktikan.

Pada kesempatan kali ini hanya akan dibuktikan bahwa proyeksi paralel mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (k = 1 atau k ( 1) sebagai berikut.

Perhatikan gambar di atas. Buat garis melalui B dan sejajar g, misal memotong

di A, dan buat garis melalui C dan sejajar g, misal memotong

di B.

_1380776605.unknown

_1380776668.unknown

Diperoleh gambar berikut.

Proyeksi Sejajar

Perhatikan bahwa (ABA ( (BCB, akibatnya diperoleh:

Proyeksi Sejajar

(

(

sebab AB = AB dan BC = BC.

Jika

= k, maka AB = k . AB dan BC = k . BC.

_1380777118.unknown

Proyeksi Pusat

Diketahui titik P dan bidang V dengan P ( V. Didefinisikan fungsi proyeksi f dengan aturan

untuk setiap Q sehingga

tidak sejajar dengan V. Selanjutnya f disebut proyeksi Q pada V dan P disebut pusat proyeksi f.

_1336017303.unknown

_1336017304.unknown

Definisi

Proyeksi Pusat

Diberikan garis g sebidang dengan garis g, dan titik O di luar garis g dan g.

Ditinjau untuk kasus g // g, seperti nampak paga gambar di bawah ini.

Selanjutnya P disebut bayangan dari P oleh proyeksi pusat dengan titik pusat O.

Untuk sebarang titik P pada garis g, garis OP berpotongan dengan g di P, pengawanan seperti itu disebut proyeksi pusat dari g pada g dengan pusat O.

Proyeksi Pusat

Torema

Proyeksi pusat dari g pada garis yang sejajar g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama, yaitu k (umumnya k ( 1), dan mengawetkan keantaraan.

Bukti:

Diambil sebarang garis g yang sejajar dengan garis g, dan titik O di luar g dan g.

Selanjutnya jika A, B, C sebarang tiga titik pada garis g, maka diperoleh titik-titik A, B, dan C pada g, dan dengan menggunakan segitiga-segitiga yang sebangun diperoleh perbandingan sebagai berikut:

Diambil sebarang titik P pada garis g, kemudian dibuat garis OP yang berpotongan dengan g di P. Pengawanan titik-titik dari garis g ke titik-titik pada g merupakan proyeksi pusat dengan pusat titik O.

Proyeksi Pusat

Jika

= k, maka jelas bahwa k ( 1, kecuali jika O terletak tepat di tengah-tengah antara g dan g.

_1380766040.unknown

Proyeksi Pusat

Torema

Jika A, B, C dan D adalah empat titik yang segaris, maka nilai

disebut perbandingan menyilang, dimana C dan D adalah pembagi ruas garis AB, dan disimbolkan dengan (AB, CD).

_1380786276.unknown

Definisi

Proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g memetakkan garis g pada (onto) g sehingga ada korespondensi satu-satu antara g dan g, kecuali pada satu titik pada setiap garis, mengawetkan perbandingan menyilang, tidak mengalikan panjang ruas dengan faktor yang sama dan tidak mengawetkan keantaran.

Proyeksi Pusat

Bukti:

Diambil sebarang titik-titik A, B, dan P pada garis g yang bukan vanishing point, dan misal bayangan hasil proyeksi A, B, dan P pada g secara berturut-turut adalah A, B dan P.

Misalkan:

dan

............................................................... (1)

_1381371905.unknown

_1381371932.unknown

dan diasumsikan A-P-B, yaitu A, B dan P berbeda, dan P terletak diantara A dan B seperti gambar berikut.

Proyeksi Pusat

Proyeksi Pusat

Selanjutnya diperhatikan (AOP, dengan aturan sinus diperoleh:

(

..................................... (2)

Selanjutnya berdasarkan (BOP, dan dengan aturan sinus diperoleh:

(

..................................... (3)

Proyeksi Pusat

Perhatikan bahwa

= 180o (

, sehingga diperoleh:

_1381372743.unknown

_1381372775.unknown

=

=

.......................... (4)

_1381372855.unknown

_1381372912.unknown

_1381372834.unknown

Berdasarkan (3) dan (4) diperoleh:

=

................................... (5)

_1381372665.unknown

_1381559470.unknown

Akibatnya berdasarkan (2) dan (5) diperoleh:

=

:

=

................................................ (6)

Proyeksi Pusat

Dengan cara yang sama, untuk (AOP dan (BOP diperoleh:

=

................................................ (7)

Perhatikan lagi gambar tersebut, berdasarkan gambar tersebut terlihat bahwa:

(AOP = (AOP dan (BOP = (BOP .................................... (8)

Berdasarkan (7) dan (8) diperoleh:

=

:

=

:

=

:

=

(

=

Proyeksi Pusat

Hal ini berakibat:

=

( r ............................................................ (9)

_1381377394.unknown

_1381377462.unknown

Perhatikan bahwa

, sebab andaikan

berakibat

= 1, atau ekuivalen dengan

.

_1381579314.unknown

_1381579356.unknown

_1381579412.unknown

_1381377394.unknown

Karena

berakibat (AOB ( (AOB.

_1381579466.unknown

Hal ini tidak mungkin, sebab garis g tidak sejajar dengan garis g.

Kontradiksi, jadi haruslah

.

_1381579314.unknown

Dengan kata lain, proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g tidak mengalikan panjang ruas garis dengan faktor yang sama.

Proyeksi Pusat

Dengan beberapa modifikasi seperlunya, persamaan (9) tersebut di atas juga berlaku untuk titik P yang tidak berada diantara A dan B, misal P di atas V (vanishing point) seperti gambar di bawah ini:

Proyeksi Pusat

Karena P di atas V (vanishing point), maka

bertanda negatif, yaitu:

_1381560798.unknown

= (

................................................ (10)

_1381373142.unknown

_1381373292.unknown

Akibatnya nilai perbandingan

juga bertanda negatif, yaitu:

_1381377017.unknown

= (

................................................. (11)

_1381373568.unknown

_1381373615.unknown

Berdasarkan persamaan (10) dan (11) diperoleh persamaan:

=

:

=

:

=

Proyeksi Pusat

Hal ini berakibat:

=

( r .......................................................... (12)

_1381377394.unknown

_1381377462.unknown

Berdasarkan persamaan (9) dan (12), nampak bahwa nilai

tidak bergantung dari posisi P, baik P terletak di antara A dan B maupun P tidak terletak di antara A dan B.

_1381377394.unknown

Dengan kata lain, nilai

konstan, dan misal:

_1381377394.unknown

= k ............................................................. (13)

_1381377394.unknown

Dengan mensubstitusikan kembali

dan

ke dalam persamaan (9) atau (12) dan menggabungkannya dengan persamaan (13) diperoleh:

_1381371905.unknown

_1381371932.unknown

= k ( r

_1381377462.unknown

(

= k (

................................... (14)

_1381561620.unknown

_1381561657.unknown

Proyeksi Pusat

Selanjutnya diambil sebarang titik-titik A, B, C, dan D pada g yang bukan merupakan vanishing point, seperti gambar berikut:

Proyeksi Pusat

Berdasakan persamaan (14) dan dengan mengambil secara berturut-turut P = C, dan kemudian P = D diperoleh:

= k (

_1381562136.unknown

_1381562168.unknown

dan

= k (

.

_1381562245.unknown

_1381562270.unknown

Akibatnya diperoleh:

:

_1381562136.unknown

_1381562330.unknown

=

:

_1381723844.unknown

_1381723883.unknown

=

:

_1381562168.unknown

_1381562270.unknown

Dengan kata lain proyeksi pusat dari g pada garis yang berpotongan g mengawetkan perbandingan menyilang.

***********************