PROSIDING - personal.its.ac.idpersonal.its.ac.id/files/pub/5767-Subiono-SN-16 Subiono 2011...

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKAUniversitas Kristen Satya WacanaJln. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 Jawa TengahTelp.: (0298) 7100396, Fax.: (0298) 321433E-mail: [email protected]

PROSIDINGPROSIDING

SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VISEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI

ISSN: 2087- 0922Vol. 2 No.1, Juni 2011

FISIKA

BIDANG:

KIMIA

PENDIDIKAN FISIKA

MATEMATIKA

PENDIDIKAN MATEMATIKA

EDITOR:

Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat

Dr. Adi Setiawan, M.Sc.

Dra. Marmi Sudarmi, M.Si.

Yohanes Martono, S.Si. M.Sc.

Wahyu Hari Kristiyanto, M.Pd.

Adita Sutresno, S.Si. M.Sc.

Andreas Setiawan, S.Si. M.T.

Sylvia Andini, S.Si.

i

KATA PENGANTAR

Segenap Panitia mengucapkan banyak terimakasih kepada para kontributor

makalah, peserta seminar dan para donatur yang telah membuat seminar nasional ini

terlaksana. Terimakasih juga kepada Universitas Kristen Satya Wacana yang telah

mendukung acara ini dari Seminar I pada tahun 2005 sampai pada seminar ke VI saat ini.

Dari seminar tersebut, diperoleh kenyataan bahwa animo pemakalah relatif meningkat dari

tahun ke tahun, ini menunjukkan bahwa kegiatan penulisan dan presentasi ilmiah semakin

mendapat perhatian masyarakat.

Pada seminar ini terdaftar sebanyak 146 makalah yang isinya meliputi berbagai

masalah dibidang Pendidikan, Fisika, Matematika, Kimia, Biologi, dan Teknologi.

Semoga karya-karya tulis ini tidak hanya sekedar pemenuhan angka kredit semata namun

benar-benar merupakan usaha untuk memamajukan bangsa dan negara Indonesia tercinta.

Kecuali menyelenggarakan seminar kali ini kita juga akan membicarakan hal-hal

yang menyangkut kegiatan ilmiah/akademik bersama yang akan tergabung dalam

kelompok ilmiah ‘Joglosemar’ yang mempunyai tujuan membantu Universitas –

Universitas di Jawa Tengah dan Yogyakarta dalam meningkatkan mutunya semoga

Kegiatan ini dapat terlaksana dengan baik.

Tiada gading yang tak retak, mohon Maaf atas segala kekurangan penyelenggaraan

seminar ini.

Selamat berseminar. Tuhan Memberkati

Salatiga, 11 Juni 2011

Dr. Suryasatriya Trihandaru, M.sc.natKetua Panitia

ii

SAMBUTAN DEKAN

Puji syukur atas karunia Tuhan bahwa Fakultas Sains dan Matematika, Universitas

Kristen Satya Wacana , Salatiga dapat menyelenggarakan Seminar Nasional Sains dan

Pendidikan Sains yang Ke VI. Seminar kali ini mengangkat issue “Tantangan Sekolah dan

Perguruan Tinggi dalam menghadapi globalisasi dalam dunia pendidikan ( bidang Sains

dan Matematika )”

MIPA (SAINS) mendasari berbagai kompetensi bidang yang lain, sehingga ada”

kewajiban” bagi orang yang bergelut di bidang MIPA untuk melayani pembelajaran MIPA

dengan baik. MIPA adalah ilmu yang menguat teori dan menghasilkan terapan. MIPA

tidak dapat berdiri sendiri, dibutuhkan sinergi antar ilmu. Maka seminar ini diharapakan

dapat dipergunakan sebagai forum ilmiah antara ilmuan, sehingga akan terjalin sinergi

yang baik antar bidang MIPA. Aplikasi – aplikasi MIPA yang disajikan oleh para

penyaji makalah, dapat membuka wawasan bagi dunia MIPA.

Akhir kata, semoga Nasional Sains dan Pendidikan Sains ke VI ini membawa

manfaat bagi kita semua.

Selamat Berseminar . Tuhan memberkati.

Salatiga, 11 Juni 2011

Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc.Dekan FSM

iii

DENAH

Universitas Kristen Satya Wacana

BU : Lokasi Seminar

Gedung F : Lokasi Seminar Paralel

BU

Gdg. F

Pintu Masuk

iv

SUSUNAN ACARA

SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VI

WAKTU KEGIATAN

07.00 - 08.00 Daftar Ulang dan Penyerahan File Makalah Lengkap

08.00 - 08.10 Tarian Pembukaan

08.10 - 08.25

1. Sambutan Ketua Panitia( Dr Suryasatriya Trihandaru, M.Sc.nat

2. Sambutan Dekan Fakultas Sains Dan Matematika(Dra. Lusiawati Dewi, M.Sc)

3. Sambutan Rektor UKSW(Prof. Pdt. John Titaley, T.hD)

08.25 - 08.35 Vocal Group

08.35 - 09.30Keynote Speaker 1 : Pendidikan dan RSBI( Drs. Saptono Nugrahadi, M.Si)

09.30 - 09.45 Rehat, Vocal Group FSP

09.45 - 10.40Keynote Speaker 2 : Industri(Prof. Dr.Bambang Setiaji )

10.40 - 12.00Keynote Speaker 3 : Matematika dan ForumJoglosemar ( Prof. Dr. Sri Wahyuni )

12.00 - 13. 00 Ishoma dan Vocal Group FSP

13.00 - 16.00 Seminar Paralel

16.00 -16.15 Penutupan dan pembagian Sertifikat

v

ISSN : 2087-0922Vol. 2 No.1 Juni 2011

DAFTAR ISI

Kata Pengantar …….. ……. ........................................................................................................... iSambutan Dekan ........................................................................................................................... iiDenah ……………………………………………………………………………………………... iiiSusunan Acara ….………………………………………………………………………………... ivDaftar Isi....................................................................................................................................... . v

PEMBICARA UTAMA1. MENUJU SEKOLAH BERKELAS DUNIA

Drs. Saptono Nugrahadi, M.Si ……………………………………………………..……. MU1_1-8

2. MANFAAT KIMIA TERAPAN PADA PENGOLAHAN KELAPA TERPADU DALAMPENGEMBANGAN INDUSTRI KECILProf. Dr.Bambang Setiaji ………………………………………… ……..………. … MU2_1-12

BIDANG MATEMATIKA

1. ANALISIS STATISTIK NON PARAMETRIK PADA DATA SIMULASI INDEKSGEOMAGNET GLOBALJohn Maspupu ..…........................................................................................................…. M1_1-10

2. INFERENSI PARAMETER MEAN POPULASI NORMAL DENGAN METODEBAYESIAN OBYEKTIFAdi Setiawan …………….……………..……………………………………………..…………………….. …….. M2_1-10

3. KAJIAN NORMA-2 PADA RUANG BARISAN DENGAN MENGAITKAN RUANGDUALNYASadjidon dan Sunarsini …………………… .. ……. ………………………………………………………………... M3_1-4

4. ANALISIS MODEL DINAMIKA VIRUS DALAM SEL TUBUH DAN PENGARUHRESPON IMUN CTLNughthoh Arfawi Kurdhi …………………………………………………………………. M4_1-11

5. PENGENDALIAN PERSEDIAAN BARANG MENGGUNAKAN ECONOMIC ORDERQUANTITY (EOQ) UNTUK MEMINIMUMKAN BIAYA PERSEDIAAN TOTALWismanti Widi Nugrahani, Lilik Linawati. ………………………………………………………………. M5_1-8

6. ANALISA PERTIDAKSAMAAN KONSTRAIN UNTUK MENENTUKAN LEBARJALAN PADA SUATU AREA PERTOKOANSri Suprapti Hartatiati, Nuri Wahyuningsih, Marianik S ……………………..………………….……. PM6_1-7

vi

7. ANALISIS JUMLAH KUNJUNGAN WISATAWAN DI KABUPATEN SEMARANG(STUDI EMPIRIS DI OBYEK WISATA)Sri Subanti ……………………………………………………………………………………………………………………. M7_1-9

8. EWMA GRAFIK PENGENDALIErnita Dwi Hastuti, Sri Sulistijowati H., dan Muslich ……………………………………………………... M8_1-7

9. KERNEL PADA 1-GRAPH G(X,T) TANPA CIRCUITSumarno, Suharmadi, Suhud Wahyudi ……….………………………………………….……………………... M9_1-7

10. KADAR STEVIOSIDA MAKSIMUMPADA WAKTU DAN MASSA YANG MINIMUMH.A. Parhusip dan Y. Martono ……….…………………………………………..……….……………………... M10_1-6

11. PEMETAAN REMAJA PUTUS SEKOLAH USIA SMA DI PROVINSI JAWA TIMURPADA TAHUN 2009 DENGAN MENGGUNAKAN METODE GWR (GeographicallyWeighted Regression)Liska Septiana, Yulindia Federika, VivienWidyaningsih, Aulia Imawati ..…………………... M11_1-9

12. MENGESTIMASI DIMANA P PRIMASuzyanna .................................................................................................. ..…………………... M12_1-7

13. APLIKASI TEORI QUANTIFIKASI FUZZY UNTUK MENGETAHUI FAKTOR –FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KINERJA KEUANGAN PERBANKAN (STUDIKASUS BANK DI INDONESIA PERIODE 2005-2009)Enny Rohmawati Malik dan Imam Mukhlash............................................ ..…………………... M13_1-8

14. PENENTUAN “SPBU KANTONG” UNTUK KEMASAN BIOSOLAR JALURPANTURA LOSARI-BATANG JAWA TENGAH MENGGUNAKAN ALGORITMABREADTH-FIRST SEARCHLeopoldus Ricky Sasongko, Lydia Ninuk Rahayu, Alberth Roy Kota ........…………………. M14_1-10

15. PENERAPAN METODE TRANSPORTASI UNTUK PEMBUATAN JADUALPERENCANAAN PRODUKSILilik Linawati, Martha Lina Dwi Cahyani, Tundjung Mahatma ........……………………………. M15_1-7

16. PENYELIDIKAN AWAL KENAIKAN BILANGAN BINTIK MATAHARI PADASIKLUS 25John Maspupu ......................................................................................……………………………. M16_1-7

17. ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUSMaria Ulfa, Subiono, dan Mahmud Yunus.................................………………..…………………. M17_1-10

18. DIMENSI METRIK PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLAK1 + mK4

Suhud Wahyudi , Sumarno , Suharmadi.................................………………..……….……………. M18_1-10

19. PENGELOMPOKAN KABUPATEN/KOTA DI PROVINSI JAWA TIMURBERDASARKAN FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI TINGKATPENGANGGURAN TERBUKA DENGAN METODE FUZZY C MEANS SEBAGAIPERTIMBANGAN PEMERINTAH UNTUK MEMERATAKAN KESEJAHTERAANMASYARAKATArinda R.L. Andria R.Y.,Aulia Imawati, Laylia N.A, Khoiru L. A.N. …..……….……………. M19_1-8

vii

20. PETA KENDALI NP MENGGUNAKAN PENDEKATAN BAYESIANLaksmi Prita Wardhani, Rizckha Septiana. …..……….……………………………………………………. M20_1-11

21. REGRESI MULTIVARIAT PADA DAMPAK PENDERITA PENYAKIT KUTUKAN(KUSTA), DI KECAMATAN BRONDONG LAMONGAN TERHADAP KEHIDUPANSOSIALBrodjol Sutijo SU, Nurul Azizah, Rina Andriani, Ali Machmudin .……………………………. M21_1-11

22. KEPERIODIKAN DARI PERPANGKATAN MATRIKS TEREDUKSI DALAMALJABAR MAX-PLUS DAN APLIKASI PADA KELAS SIKLIKVenn Yan Ishak Ilwaru, Dr. Subiono,MS .………………………………………………………….…………. M22_1-7

23. MODEL REGRESI SPLINE TERBAIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE GCVDALAM MENENTUKAN PARAMETER PENGHALUSNYA MODEL REGRESISPLINE TERBAIK DENGAN MENGGUNAKAN METODE GCV DALAMMENENTUKAN PARAMETER PENGHALUSNYARowan Daflix Syaranamual .……………………………………………………………….…………….…………. M23_1-6

24. ANALISA POLA TINGKAH LAKU PENGENDARA SEPEDA MOTOR DI KOTASURABAYA DENGAN DRIVER BEHAVIOUR QUESTIONNAIRE (DBQ)Anna Riskiansah, Anindya Gita P., Mirba Halimatus D.S, Muhlas Hanif Wigananda,Kresnayana Yahya, Ismaini Zain ………….……………………………………………………………………… M24_1-14

25. PENJADWALAN PERAWAT PADA UNIT GAWAT DARURAT DENGANMENGGUNAKAN GOAL PROGRAMMINGSulistiyo, Atmasari ………….……………………………………………………………..……………………………… M25_1-6

26. PEMODELAN DAN PEMETAAN ANGKA BUTA HURUF DI PROVINSI JAWATIMUR DENGAN PENDEKATAN REGRESI SPASIALBertoto Eka Firmansyah, Moch. Agus Saifudin, Bin Hariyati,Silvia Roshita Dewi danSutikno ………………………………………………………………………………………………………………………….. M26_1-9

27. PENENTUAN MODEL PERAMALAN INDEKS HARGA SAHAM GABUNGANDENGAN METODE ARIMALeopoldus Ricky Sasongko, Lydia Ninuk Rahayu, dan Alberth Roy Kota …………………… M27_1-11

28. STUDI METODE RITZ UNTUK PERSAMAAN POISSONLukman Hanafi …………………………………………………………………………………………………..………… M28_1-5

29. PEMODELAN JUMLAH KEMATIAN BAYI DI PROPINSI JAWA TIMUR DENGANPENDEKATAN GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POISSON REGRESSIONSEMIPARAMETRICIntan P. R., Margareth G. S., Dhina O. P, Purhadi .……………………………………………..………… M29_1-8

30. DAERAH GERSCHGORIN DI BIDANG KOMPLEKS DAN KETAKSINGULARANSUATU MATRIKSBambang Susanto .…………………………………………………………………………………………....………… M30_1-6

31. INTERVAL KONFIDENSI BOOTSTRAP PADA PROSES AR(1)Bambang Suprihatin,Suryo Guritno, Sri Haryatmi .………………………………………....…………. M31_1-12

32. MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUSFarida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus .………………………………………….……....……..……. M32_1-9

PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW

M17-1

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAMALJABAR MAX-PLUS

Maria Ulfa1, Subiono2, dan Mahmud Yunus3

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3

e-mail: [email protected], [email protected],[email protected]

ABSTRAK

Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus telah banyak diteliti. Dalam penelitian ini akan dikajitentang vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus. Matriks berukuran merupakan

matriks sirkulan jika dan hanya jika dimana . Dalam penelitian ini diberikan

rumusan langkah-langkah untuk menentukan vektor eigen matriks sirkulan pada aljabar max-plus dan jugamembahas mengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan, posisi nilai maksimal dan dimensi dari ruangeigen matriks sirkulan.

Kata kunci: Aljabar Max-Plus, Eigenproblem, Matriks Sirkulan, Vektor Eigen.

1. PENDAHULUAN

Aljabar max-plus telah banyak digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan.Penerapan aljabar max-plus untuk memodelkan suatu permasalahan diantaranya pada penjadwalan,transportasi, manufakturing dan sistem antrian.

Eigenproblem pada matriks aljabar max-plus dapat digunakan untuk memperolehgambaran tentang kedinamikan sistem seperti pada penjadwalan sistem jaringan kereta,penjadwalan sistem produksi, penjadwalan jalur bus dalam kota dan penjadwalan kegiatanpembelajaran sekolah pada kelas moving. Pada penelitian-penelitian tersebut nilai eigen dan vektoreigen dari matriks yang dibentuk dari model yang telah dikontruksi digunakan untuk mengetahuikedinamikan sistem.

Matriks sirkulan adalah salah satu matriks khusus yang baris (atau kolomnya) merupakanpergeseran sirkular dari baris (atau kolom) sebelumnya. Seperti halnya matriks biasa, matrikssirkulan juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Beberapa penelitian berkaitan denganmatriks sirkulan diantaranya telah dilakukan oleh Gavalec (2010) yang membahas tentangkarakteristik struktur ruang eigen matriks sirkulan pada aljabar max-min. Kalman (2001) telahmelakukan penelitian tentang persamaan polynomial dan matriks sirkulan. Dalam penelitiannyadibahas tentang konsep dasar matriks sirkulan dan penggunaan matriks sirkulan untukmenyelesaikan persamaan polinomial kuadratik, kubik dan kuartik. Selain itu juga dibahas tentangpenggunaan matriks sirkulan untuk menganalisis akar-akar polinomial. Pada penelitian ini akandibahas mengenai vektor eigen matriks sirkulan dalam aljabar max-plus.

2. ALJABAR MAX-PLUS

Aljabar max-plus ( , , ) dengan elemen netral dan elemen satuan

selanjutnya cukup ditulis , dimana R adalah himpunan semua bilangan real.


M17-2

Definisi 1. Struktur aljabar [2]

Simbol menyatakan himpunan dengan operasi biner yaitu maksimum yang

dinotasikan dan penjumlahan yang dinotasikan .

Operasi biner dan pada didefinisikan dan ,

untuk setiap a,b .

Sifat-sifat dalam aljabar max-plus adalah sebagai berikut:

a. Assosiatif : dan

b. Komutatif : dan

c. Distributif terhadap :

d. Eksistensi elemen nol, yaitu :

e. Eksistensi elemen satuan, yaitu :

f. Elemen nol adalah absorbing untuk operasi :

g. Idempoten dari operasi :

Operasi pangkat dalam aljabar max-plus untuk setiap adalah

, untuk semua dan untuk didefinisikan . Karena

sehingga , untuk setiap dalam aljabar

biasa dapat ditulis .

Himpunan matriks dalam aljabar max-plus dinyatakan dimana . Notasi

atau menyatakan elemen dari matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, untuk n

dan m, dengan n . Sebagaimana biasa, matriks dapat ditulis dengan

nmnn

m

m

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Operasi penjumlahan matriks A, B , dinotasikan dengan didefinisikan dengan

rumus untuk n dan m. Operasi perkalian

dengan skalar didefinisikan oleh , dengan n

dan m. Sedangkan operasi perkalian matriks dan dinotasikan dengan

didefinisikan dengan rumus untuk n

dan m.


M17-3

Penjumlahan matriks dalam mempunyai sifat assosiatif, komutatif dan mempunyai

elemen nol yaitu . Matriks adalah matriks berukuran dengan semua

elemennya sama dengan . Sedangkan matriks berukuran yang semua elemennya sama

dengan , kecuali elemen yang terletak pada baris dan kolom yang sama nilainya sama dengan

dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan

Perkalian matriks dalam mempunyai sifat assoasiatif, distributif terhadap , mempunyai

elemen satuan , serta elemen penyerap untuk operasi .

Transpose matriks dinotasikan dengan dan didefinisikan oleh ,

untuk n dan m.

Pangkat ke-k dari matriks A dinotasikan dengan dan didefinisikan

, untuk dan . Matriks untuk juga dapat

dinyatakan dengan .

Suatu graph dapat diubah menjadi bentuk matriks dan begitu pula sebaliknya. Dari suatumatriks A berukuran dapat dibuat suatu digraph dengan verteks , yang didefinisikan

sebagai berikut:

Definisi 2. Precedence Graph [2]Precedence graph dari matriks bujur sangkar A dengan elemennya adalah sebuah digraph

berbobot dengan n verteks dan sebuah arc (j, i) ada jika , dimana bobot pada arc adalah

nilai dari . Precedence graph dinotasikan .

Suatu path adalah barisan verteks sedemikian hingga ada arc dari ke

untuk . verteks adalah verteks awal dan adalah verteks akhir dari path. Path

elementer adalah path yang tidak ada verteks muncul (dilalui) lebih dari sekali. Graph disebut

strongly connected jika ada suatu path dari setiap verteks ke verteks yang lain. Jika strongly

connected maka dikatakan bahwa matriks A irreducible.Path dengan verteks awal dan akhirnya adalah verteks yang sama disebut circuit

( ). Circuit elementer adalah circuit dengan path elementer. Suatu loop adalah

circuit ( ) yaitu circuit yang hanya terdiri dari satu verteks, jadi pada loop hanya ada satu arc dari

ke . Panjang dari path adalah jumlah arc pada path tersebut yang dinotasikan dengan , dengan

demikian maka panjang dari loop adalah 1. Bobot path adalah jumlah dari bobot arc yang

membentuk path tersebut yang dinotasikan dengan . Bobot rata-rata path adalah . Hal ini

juga berlaku jika path merupakan suatu circuit. Circuit dengan bobot circuit dan panjang

circuit maka bobot rata-rata circuit (circuit mean) adalah . Untuk suatu matriks A


M17-4

dengan circuit yang berbeda , circuit mean maksimum didefinisikan dengan

.

Adapun definisi nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus diberikan sebagaiberikut:Definisi 3. [6]Misalkan matriks A . Jika adalah sebuah skalar dan adalah sebuah

vektor yang memuat minimal satu elemen yang berhingga sehingga memenuhi , maka

λ disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen.

Dari suatu vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dapat diperoleh vektor

eigen yang lain dari mariks tersebut yang juga bersesuaian dengan nilai eigen .

Lemma 4. [1]Misalkan adalah matriks berukuran dengan eigenpair dan . Maka

juga merupakan eigenpair dari .

3. MATRIKS SIRKULAN

Matriks sirkulan adalah matriks dengan elemen baris pertama dan

baris berikutnya merupakan pergeseran kekanan sekali (satu elemen) dari elemen-lemen barissebelumnya. Jadi elemen matriks sirkulan tergantung pada input baris pertamanya. Berikut adalahbentuk umum matriks sirkulan berukuran

0321

3012

2101

1210

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

nnn

nn

n

Definisi 5. [4]Misalkan matriks berukuran . adalah matriks sirkulan jika dan hanya jika

dimana .

Definisi 6. [4]i. Diberikan maka matriks sirkulan dimana

dinotasikan oleh .

ii. Vektor (baris pertama dari matriks sirkulan) disebut vektor sirkulan.

Pada penjumlahan matriks sirkulan juga menghasilkan matriks sirkulan yang diberikanoleh sifat berikut:Teorema 7. [7]Jika , adalah matriks sirkulan maka , adalah matriks sirkulan.

Contoh 1Diberikan matriks dan maka


M17-5

Terlihat bahwa komutatif.

4. EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN

Nilai eigen pada matriks sirkulan, yang merupakan bentuk matriks khusus, dapat diperolehdengan mudah seperti yang diberikan oleh teorema berikut:Teorema 8. [7]Jika adalah matriks sirkulan maka .

Sedangkan vektor eigen matriks sirkulan dapat diperoleh

dengan melakukan langkah-langkah sebagai berikut:a. Hitung

b. Hitung

c. Hitung , dengan

d. Hitung

Vektor-vektor kolom pada ruang eigen merupakan vektor eigen matriks sirkulan dan

vektor eigen tersebut merupakan vektor basis. Dari Lemma 4, vektor-vektor eigen yang lain dapatdicari dengan mengalikan vektor basis dengan suatu skalar.Contoh 2.Diberikan matriks sirkulan , akan ditentukan vektor eigen dari . Dengan

mengikuti langkah di atas, penyelesaian sebagai berikut:

Matriks . Berdasarkan Teorema 8. maka

, selanjut diperoleh

Untuk memperoleh ruang eigen dicari terlebih dahulu , dengan . Karena

merupakan matriks sirkulan, berdasarkan Teorema 7. maka juga merupakan matriks sirkulan.


M17-6

Oleh karena itu, untuk memperoleh elemen-elemen cukup menghitung elemen pada baris

pertama saja, dari baris pertama dapat ditentukan elemen-elemen baris berikutnya.

Selanjutnya dapat diperoleh sebagai berikut:

Penghitungan memperoleh ruang eigen dengan cepat dapat menggunakan toolbox aljabar max-plus ver. 1.0.1 scilab 5.2.2 dengan mengetikkan = maxplusaplus( ). Vektor-vektor kolom pada

merupakan vektor eigen dari . Vektor kolom pertama ekivalen dengan vektor kolom ke-4,vektor kolom ke-2 ekivalen dengan vektor kolom ke-5 dan vektor kolom ke-3 ekivalen denganvektor kolom ke-6 berarti ada 3 kelas ekivalen yang terdiri dari vektor-vektor basis. Vektor

basisnya adalah

1

1

0

1

1

0

,

1

0

1

1

0

1

dan

0

1

1

0

1

1

. Jadi dimensi dari ruang eigen adalah 3.

Teorema 9. [9]Dimensi ruang eigen dari matriks sirkulan sama dengan faktor persekutuan terbesar dari semua

posisi nilai maksimal pada baris pertama dan ukuran dari matriks .

Contoh 3.Matriks pada Contoh 2. berukuran dan nilai maksimalnya adalah 5, pada baris pertama nilai

maksimal berada pada dan . Jadi dimensi ruang eigen adalah faktor persekutuan terbesar dari

dan yaitu 3.

Berdasarkan Teorema 9. dan contoh matriks sirkulan pada lampiran A, dapat diamatimengenai hubungan antara ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal dengan dimensi dariruang eigen yang diberikan dalam corollary berikut:


M17-7

Akibat 10.Jika adalah matriks sirkulan berukuran , maka banyak dimensi

ruang eigen yang mungkin adalah sebanyak faktor dari .

Bukti:Diberikan adalah himpunan faktor dari . Misal adalah dimensi dari ruang eigen dan posisi

nilai maksimal berada di untuk beberapa di . Berdasarkan Teorema 10,

adalah faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dan , berarti adalah faktor dari dan juga

faktor dari maka .

Dari Akibat 10. untuk matriks sirkulan berukuran dengan adalah elemen

bilangan prima, maka banyak dimensi yang mungkin dari ruang eigen adalah sebanyak 2 yaitu

dimensi 1 dan dimensi karena faktor dari adalah 1 dan itu sendiri.

5. KESIMPULANNilai eigen matriks sirkulan adalah sama dengan nilai elemen matriks yang maksimal.

Dimensi ruang eigen tergantung pada ukuran matriks sirkulan dan posisi nilai maksimal pada barispertamanya, sehingga dimensi ruang eigen yang mungkin dari matriks sirkulan adalah salah satufaktor dari ukuran matriks tersebut. Dimensi ruang eigen matriks sirkulan menunjukkan banyaknyavektor basis dari matriks tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Andersen, M.H. (2002), Max-plus Algebra: Properties and Applications, Tesis, Laramie, WY.

[2] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P. (2001), Synchronization and Linearity AnAlgebra for Discrete Event Systems, John Wiley & Sons, New York.

[3] Gavalec, M., dan Tomaskova, H. (2010), “Eigenspace of a Circulant Max-Min Matrix”,Kybernetika, vol. 46, No.3, hal. 397- 404.

[4] Jones, A. W. (2008), Circulants, Carlisle, Pennsylvania.

[5] Kalman, D., dan White, J.E. (2001), “Polynomial Equations and Circulant Matrices”, TheMathematical Association of America, hal. 821-840.

[6] Konigsberg, Z.R. (2009), “A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible RegularMatrices Over the Max-Plus Algebra”, International Mathematical Forum, vol. 4, No. 24, hal.1157-1171.

[7] Plavka, J., (2001), “On Eigenproblem for Circulant Matrices in Max-Algebra”, Optimization,vol. 50, No. 5, hal. 477-483.

[8] Subiono, (2009), Max-Plus Algebra Toolbox ver. 1.01, Jurusan Matematika Institut TeknologiSepuluh Nopember, Surabaya.

[9] Tomaskova, H. (2010), “Eigenproblem for Ciculant Matrices in Max-plus Algebra”, UniversityHradec Kralove, Czech Republik.


M17-8

A. Penghitungan dimensi ruang eigen menggunakan Teorema 9.Matriks sirkulan berukuran

Posisi nilai maksimalDimensi,

= 0 - 2

=1 =1 1

Matriks sirkulan berukuran


= 0 - 3

=1,2 =1,2 1



= 0 - 4

2 2 2

=1,3 =1,3 1



= 0 - 5

=1,2,3,4 =1,2,3,4 1



= 0 - 6

=3 =3 3

2,4 2,4 2

=1,5 =1,5 1


M17-9



= 0 - 7

=1,2,3,4,5,6 =1,2,3,4,5,6 1



= 0 - 8

=4 =4 4

2,6 2,6 2

=1,3,5,7 =1,3,5,7 1



= 0 - 9

3,6 3,6 3

=1,2,4,5,7,8 =1,2,4,5,7,8 1



= 0 - 10

=5 =5 5

2,4,6,8 2,4,6,8 2

=1,3,7,9 =1,3,7,9 1



= 0 - 11

=1,…,11 =1,…,11 1


M17-10



= 0 - 12

=6 =6 6

=4,8 =4,8 4

=3,9 =3,9 3

2,10 2,10 2

=1,5,7,11 =1,5,7,11 1



= 0 - 13

=1,…,13 =1,…,13 1



= 0 - 14

=7 =7 7

2,4,6,8,10,12 2,4,6,8,10,12 2

=1,3,5,9,11,13 =1,3,5,9,11,13 1

PROSIDING - personal.its.ac.idpersonal.its.ac.id/files/pub/5767-Subiono-SN-16 Subiono 2011...

Documents

Transcript of PROSIDING - personal.its.ac.idpersonal.its.ac.id/files/pub/5767-Subiono-SN-16 Subiono 2011...