Propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría a...

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Propuesta metodológica para la enseñanza de la geometría a través de la papiroflexia Por: Mateus Leidy Nataly Fajardo Prieto Nelson Giovanny Guataquira López Rossmajer Gutierrez Vargas Andres Velásquez Luis Carlos Diana del Pilar Rodríguez ALIANZA Compartir Saberes Compartir Saberes

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  • Propuesta metodolgica para la enseanza de la geometra a travs de la papiroflexia

    Por: Mateus Leidy Nataly Fajardo Prieto Nelson Giovanny Guataquira Lpez Rossmajer Gutierrez Vargas Andres Velsquez Luis Carlos Diana del Pilar Rodrguez

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    La presente propuesta metodolgica surge del trabajo realizado en el espacio de formacin: Didctica de la Geometra del proyecto curricular de Licenciatura en Educacin Bsica con nfasis en Matemticas de la Universidad Distrital Francis-co Jos de Caldas, como un taller que posibilita a profesores y alumnos, mediante la papiroflexia y el uso de diferentes recursos tecnolgicos (Geogebra y Cabri 3D), abordar y aprehender conceptos geomtricos, algebraicos y trigonomtricos.

    Resumen

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    ProblemticaEl planteamiento de esta propuesta nace luego de identificar, mediante la prctica docente, que el trabajo desarrollado en la educacin bsica y media para la cons-truccin y comprensin de la geometra como una interrelacin entre el espacio y los objetos, se ha convertido en un terreno casi inexplorado por parte de los profesores y en consecuencia de los estudiantes de bachillerato. En nuestras prcticas docentes se ha evidenciado el desconocimiento y poca significancia que le dan los estudiantes a los conceptos geomtricos aprendidos, convirtindose ello en una meta por reba-sar, esta situacin nos lleva a plantear nuevas propuestas que permitan hacer de la geometra una estructura articulada con el resto de conceptos construidos. El uso de la papiroflexia nos permitir ensear algunos elementos de la geometra de una manera activa y amena, desarrollando relaciones espaciales y geomtricas. Objetivos

    Objetivo GeneralPresentar una propuesta didctica para la enseanza de conceptos geomtricos, algebraicos, trigonomtricos y relaciones entre estos, a travs de la papiroflexia, que pueda incluirse en el currculo escolar de acuerdo a la pertinencia o concepto a abordar en un grado especfico.

    Objetivos Especficos: Reconocer y analizar conceptos de geometra plana, asociados a la construc-

    cin del modulo del icosaedro estrellado. Dar cuenta de elementos geomtricos, algebraicos y trigonomtricos presentes

    en la realizacin del mdulo y la construccin del icosaedro estrellado por me-dio del anlisis y proceso de ensamble.

    Promover en el aula el uso de tecnologas como Cabri 3D y Geogebra para po-

    Contextualizacin

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    tenciar la comprensin, en los estudiantes, de algunos conceptos geomtricos, adems de despertar el inters por las matemticas en ellos.

    Mostrar la papiroflexia y las tecnologas en el aula, como dispositivos didcticos para la enseanza de la geometra, el lgebra y la trigonometra.

    JustificacinComo anteriormente se mencion esta propuesta surge del trabajo realizado en el curso de Didctica de la geometra del proyecto curricular de Licenciatura en Edu-cacin Bsica con nfasis en Matemticas (L.E.B.E.M), de la universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, donde inicialmente fue abordada como un taller para el tratamiento de conceptos geomtricos y algebraicos utilizando diferentes recur-sos y materiales que nos permitieran identificar desde la papiroflexia, conceptos como lnea, paralela, perpendicular, polgono, rea, volumen, poliedros, entre otros conceptos geomtricos que en ese momento en el curso estaban siendo tratados tericamente.

    Dicho taller como propuesta metodolgica surge luego del anlisis que estudian-tes del espacio de formacin Didctica de la Geometra hicieron sobre la cons-truccin y el proceso de enseanza-aprendizaje de la geometra en la escuela. El objetivo propuesto consisti en determinar cmo abordar la geometra por medio de una metodologa didctica que permitiera aplicar dicho trabajo en cualquier po-blacin acadmica, por tal motivo se desarroll una metodologa cuya base son los anlisis que se pueden realizar en el aula de clase con relacin a cada uno de los conceptos geomtricos susceptibles de ser abordados.

    Esta metodologa se llev a cabo exitosamente en el espacio de formacin Di-dctica de la Geometra y posteriormente en la semana de la matemtica de L.E.B.E.M., la cual tuvo lugar en la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas y cuyos asistentes fueron estudiantes y profesores del proyecto curricular. En los resultados obtenidos se destac la pertinencia de sta metodologa en los pro-cesos de enseanza y aprendizaje puesto que posibilitaron enunciar y visualizar los conceptos y la comprensin tangible del objeto estudiado, sin embargo, cabe resaltar, que el tiempo del que se dispona no permiti abordar la modelacin me-diante el uso de tecnologas.

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    Una de las razones por las que se quera abordar dichos conceptos geomtricos con ayuda de la tecnologa, es que est brinda diversas formas de visualizar ca-ractersticas de conceptos geomtricos, usando software como: Geogebra y Cabri Geometry 3-D, que nos brindan la posibilidad por una parte, de modelar la figura base para la construccin del icosaedro estrellado (modulo) explorando medidas, proporciones, figuras cerradas y conceptos geomtricos como las paralelas, per-pendiculares, ngulos, bisecciones, segmentos de recta, punto, entre otros, y por otra parte, la modelacin de la figura final (icosaedro estrellado) nos permite evi-denciar las caractersticas de este tipo de figuras y sus relaciones con la geometra plana a travs del espacio.

    En cuanto al desarrollo y resultados de la propuesta, inicialmente se profundiz en el anlisis de cada mdulo (del icosaedro) con relacin a las definiciones matem-ticas enmarcadas en la geometra plana (es decir, geometra, aritmtica y clculo) y posteriormente, luego del ensamble de los mdulos, se abord la geometra tri-dimensional, con respecto al volumen y algunas relaciones proporcionales, estos desde lo visual y analtico, pues como ya se haba mencionado el tiempo no fue suficiente para usar las tecnologas.

    Marco TericoComo parte del desarrollo de este taller daremos un vistazo a algunos de los as-pectos histricos que enmarcan la actividad geomtrica-matemtica como lo son: el origen del trabajo geomtrico, el uso de recursos didcticos, origen del origami y la definicin de algunos de estos aspectos geomtricos en la historia.

    El material didctico pude considerarse como cualquier medio o recurso que se usa en la enseanza y aprendizaje de las matemticas teniendo en cuenta este modo de entender el material didctico se puede llegar a decir que la manipulacin de distintos materiales didcticos hace que el aprendizaje en los nios y jvenes sea ms significativo, claro est, dependiendo del uso que se le da a un material en especfico, en nuestro caso concreto el papel. Esta significacin estar pues encaminada en dos sujetos directos, el docente y el estudiante que intervienen en el proceso de manipulacin e interaccin con el material; el profesor como pro-motor de actividades y guiador de los procesos que encuentra significado en este

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    tipo de actividades dejando ver de alguna manera lo abstracto de ideas y nociones matemticas y geomtricas en lo real. Adems con esto se hace que la geometra se vuelva una rama experimental y gracias a la manipulacin de material, sea de gran inters en los estudiantes. Mientras el estudiante, participante activo en la manipulacin y experimentacin con el material, empieza a sentir ms inters por lo que est haciendo dndole significado a lo aprendido.

    Adems de conocer cmo usar el material didctico, esto quedara a la deriva si no lo asociamos con la geometra, la clave de usar los materiales adecuados hace que los contenidos y nociones matemticas cobren y se llenen de sentido tanto para el que aprende como para el que ensea. De esta manera, los profesores harn un ambiente ms ameno en cada una de sus clases y los estudiantes podrn llevar sus ideas y conjeturas a la experimentacin, fortaleciendo as el conocimiento sobre el objeto de estudio. Teniendo esto como base se puede decir que esta propuesta, adems de ser de gran inters para los estudiantes, ya que promueve el aprendi-zaje, los orienta y permite la retencin y comprensin de informacin nueva, es de gran ayuda al modificar patrones de conducta en los estudiantes, permitiendo una mejor organizacin y desempeo en las sesiones de clase.

    La importancia de usar recursos didcticos en la geometra radica en tres dimen-siones: la parte cognitiva donde se da significado a la actividad, esta ayuda a reco-nocer diferencias y similitudes, adems desarrolla la habilidad de construir defini-ciones como forma de asociar y caracterizar el conocimiento teniendo en cuenta lo aprendido; la parte procedimental donde se enfatiza en el valor que se le da a la codificacin (formar una serie de leyes para interpretar lo abstracto en lo real), es decir, el valor que se da a un objeto matemtico mediante las diferentes acciones; la parte actitudinal donde se enfoca en el inters, curiosidad, recreacin y socializa-cin de los estudiantes que es parte fundamental en el desarrollo crtico y reflexivo de los estudiantes .

    En suma, se puede decir que la geometra es fundamental para comprender la importancia de las matemticas y gracias a la manipulacin de los materiales, el estudiante le dar ms significado a lo que realmente se est aprendiendo. Tenien-do en cuenta la teora desarrollada en educacin matemtica, la enseanza cobra

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    valor al asociar materiales didcticos, experimentacin y el objeto matemtico que en nuestro caso son algunos conceptos de la geometra.

    La geometra en la historia surge en los tiempos prehistricos donde nuestros an-tepasados realizaban diferentes trazos para comunicarse, desde entonces se ma-nejaban algunos de los conceptos geomtricos que hoy en da conocemos, solo que estos conceptos eran utilizados empricamente y sin conciencia alguna sobre la geometra. La palabra geometra proviene del griego geometrein que significa geo-tierra, metrein-medir, por lo cual esta es la rama de las matemticas que se encarga de estudiar las propiedades del espacio, y surge principalmente con los egipcios cuando estos la manejaban para hallar la medida de los campos y obtener ngulos rectos para las esquinas de los edificios, despus fue utilizada por los grie-gos que implementaban el uso de regla y comps para las construcciones geom-tricas, de donde surgieron tres grandes problemas que hasta la fecha no se han podido solucionar utilizando solo estos elementos (adems del papel y el lpiz), que son: la triseccin del ngulo, la duplicacin del cubo y la cuadratura del crculo.A lo largo de la historia podemos destacar grandes autores que fueron fundamen-tales en la generalizacin de la geometra, algunos de ellos fueron: Pitgoras, Eu-clides, Apolonio de Perga, Carl Friedrich Gauss, Nikoli Lobachevski, Jnos Bolyai, Arthur Cayley, Ren Descartes, Isaac Barrow, Bernhard Riemann, Felix Klein, entre otros que desarrollaron diferentes ramas de la geometra tales como la geometra analtica, la geometra Euclidiana y la no Euclidiana, la geometra proyectiva, la geo-metra cartesiana, la geometra diferencial, entre otras.

    Partiendo de que el origami es elaborado con papel, hace falta hablar del papel, El papel fue inventado por los chinos en el primer siglo despus de Cristo (este he-cho se atribuye a Tsai Lun, un oficial de la corte china) y el arte de su fabricacin (a base de prendas desintegradas y luego de materiales vegetales) se mantuvo secreto durante 500 aos. A comienzos del siglo VII los monjes budistas llevaron la tcnica de la fabricacin del papel a Japn y aparecen los libros manuscritos he-chos de papel fabricado a partir del rbol de mora . Posteriormente, despus de las guerras y conquistas sucedidas en Europa y el mundo se difundi el uso del papel y con el tiempo la tcnica del origami.

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    El origami es una palabra de races japonesas que significa doblar papel, hoy es una disciplina considerada como un arte educativo en el cual las personas desarrollan su expresin artstica, este arte se vuelve creativo, luego pasa a ser un pasatiempo y en los ltimos aos est tomando vuelo desde el punto de vista matemtico y cientfico. Los plegados inicialmente fueron de tipo ceremonial y religioso, como los noshi que eran ofrendas hechas en ciertas celebraciones, el tzuru (grulla), el yakko (representacin de un guerrero japons) y el sambo (una caja para guardar comida). Estas son figuras de tradicin generacional. El primer libro impreso de origami se public en 1797 y se llam Sembatzuru Orikata (el plegado de las mil grullas). El origami japons se dio a conocer ms cuando luego de 200 aos de aislamiento con el mundo, el Japn fue reabierto .

    Teniendo en cuenta la formalidad que requiere la disciplina matemtica y en este caso el trabajo geomtrico daremos la definicin de algunos de los conceptos que se pretenden desarrollar con esta propuesta:

    Punto: Lo que no tiene partes.Lnea: Longitud sin anchura .Segmento: Segmento es la porcin de recta limitada por dos puntos, llamados ex-tremos .Perpendicular: Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ngulos rectos.Bisectriz: La bisectriz de un ngulo es la semirrecta que divide a ste en dos partes iguales, es decir, es el lugar geomtrico de los puntos que equidistan de los lados del ngulo .Simetra: Cuando hablamos de objetos fsicos o elementos geomtricos el con-cepto de simetra est asociado a transformaciones geomtricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones .

    PropuestaEl presente taller es una propuesta metodolgica para promover la construccin en los estudiantes, de algunas nociones geomtricas con relacin a la geometra plana y tridimensional (lnea recta, paralela, perpendicular, semejanza, congruencia, identidades trigonomtricas, rea, volumen, polgono y poliedro), su diseo permite

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    el trabajo geomtrico en gran parte de los niveles educativos de la bsica y adems cuenta con un desarrollo matemtico y analtico dirigido a los grados dcimo y once. La propuesta didctica tiene como punto central la construccin de la geo-metra desde la papiroflexia, un arte de fcil acceso que permite el entendimiento a todo tipo de poblacin, teniendo en cuenta aspectos tan importantes como: edad, grado de escolaridad, recursos econmicos, entre otros y adems cuenta, con el apoyo visual del software Cabri 3D y Geogebra, mediante los cuales se evidencian algunas de las caractersticas susceptibles de ser abordadas.

    Aparte de usar la papiroflexia u origami como recurso didctico, tambin se usara para hablar un poco de la cultura oriental, quienes crearon el papel y desarrollaron por primera vez el uso de la tcnica del doblado del papel, generando en los estu-diantes o interesados motivacin por encontrar y usar al mximo esta tcnica ya que permite realizar abstracciones de objetos reales y plasmarlos en mdulos o formas diversas con el papel o en nuestro caso realizar aplicaciones geomtricas y analticas, en la educacin.

    Las nociones geomtricas susceptibles a abordar mediante el presente taller, por parte de profesores de matemticas y estudiantes para profesor, han sido descri-tas a partir de los Estndares Curriculares para Matemticas con relacin al desa-rrollo del Pensamiento Geomtrico:

    Curso Temas1 - 3 Caracterizacin de figuras tridimensionales (teniendo en cuenta

    lo tangible y lo que puedo clasificar de acuerdo a lo que perciben los sentidos), simetras, modelacin desde lo tridimensional a lo bidimensional (veo y siento, para plasmarlo en el cuaderno, te-niendo en cuenta caractersticas, fsicas o de numerosidad). Se puede usar algunas figuras simples de origami, as como el mo-dulo del icosaedro.

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    4 - 5 Reconocer figuras tridimensionales (caracterizacin y modela-cin en el software), comprensin de algunos conceptos como: ngulo, punto, vrtice, cara, lado, plano y tridimensional; y final-mente desarrollar estrategias que permitan ir de lo bidimensional a lo tridimensional y viceversa.

    6 - 7 Desarrollar la percepcin del estudiante, para describir objetos usando caractersticas de geometra; clasificacin de los polgo-nos e identificacin de algunas caractersticas; elaboracin de mo-delos geomtricos y conjeturas. (rea, semejanzas y diferencias)

    8 - 9 Elaborar conjeturas, usar propiedades, congruencias y seme-janzas (en cuanto a lneas, polgonos, slidos, magnitudes y re-laciones) para clasificar algunos objetos matemticos. Usar las tecnologas para visualizar rotaciones, traslaciones, homotecias bidimensionales y tridimensionales.

    10 - 11 Resaltar la modelacin de una figura geomtrica y realizar nfa-sis en los tringulos, teniendo en cuenta transformaciones y el modelo matemtico que se genere. Tanto en los mdulos como en el icosaedro estrellado, usando las relaciones y proporciones.

    Ahora bien, la propuesta est enmarcada bajo los planteamientos didcticos y metodolgicos de Godino (1998) y el Grupo DECA (citado por Guerrero, 2006), planteamientos mediante los cuales se disea el taller buscando un conocimiento significativo en el estudiante, haciendo uso de instrumentos manipulables grfico-textuales-verbales, desarrollados en una planeacin y diseo del trabajo en el aula que promueva la construccin y apropiacin de un concepto por medio de los mo-mentos de inicio e introduccin, desarrollo y reestructuracin, aplicacin y profun-dizacin y evaluacin.

    ActividadesLas actividades se llevaran a cabo teniendo en cuenta los planteamientos para el desarrollo de una situacin problema propuestos por el grupo DECA :

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    I SESINEn la primera sesin del taller se llevar a cabo la realizacin de los mdulos del icosaedro estrellado y se abordaran algunas nociones de geometra plana y de trigonometra, la metodologa a desarrollar est enmarcada en la primera etapa de una situacin problema propuesta por el grupo DECA.

    Introduccin:Momento en el cual se organizaran, de forma adecuada dentro del recinto, tanto los asistentes como los instrumentos necesarios para el desarrollo del taller, en este momento se reparte el material necesario, de forma rpida, a cada uno de los asistentes y se dan las indicaciones pertinentes para trabajar, las cuales a nivel pro-cedimental estn dadas a partir de la necesidad de crear 30 mdulos (de los cuales 20 sern otorgados por los talleristas), cada uno construido con un cuadrado de papel, y otras actitudnales, que tienden a una buena interaccin, entre el grupo de talleristas y los asistentes, las cuales son:

    Breve introduccin de los propsitos a alcanzar con la realizacin del taller, mo-tivando a los participantes a lograr la realizacin del icosaedro estrellado y a alcanzar y/o identificar conocimientos geomtricos, algebraicos y trigonomtri-cos en dicha tarea.

    Especificar que la forma de trabajo ser de carcter individual y que el material proporcionado es el necesario para la construccin del icosaedro.

    Puntualizar que los talleristas emitirn las indicaciones pertinentes para que los asistentes puedan realizar los mdulos y la construccin del icosaedro y que ellos se encuentran presentes para solucionar cualquier posible duda o ambi-gedad que se presente luego de haber dado las indicaciones.

    Solicitar que las preguntas o inquietudes relativas a la construccin del icosae-dro sean expresadas desde el puesto de trabajo.

    Desarrollo: En la realizacin de los mdulos se propiciaran preguntas y orientaciones que sa-quen a flote nociones de geometra plana como: lnea recta paralela y perpendicu-lar, biseccin de ngulos y mediatriz, y algunas nociones de trigonometra como:

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    las identidades trigonomtricas, tales nociones irn de la mano con el manejo de Geogebra, que permita a los asistentes una mejor comprensin del trabajo que se est desarrollando.

    II SESIN

    En la segunda sesin se llevara a cabo la construccin del icosaedro estrellado, a partir de los 30 mdulos obtenidos en la sesin anterior y se abordaran algunas nociones de geometra tridimensional. Profundizacin:Para este momento se iniciara el ensamble de los mdulos para la construccin propiamente dicha del icosaedro estrellado, para ello, talleristas presentaran las instrucciones con el fin de que primero sean interpretadas y luego si desarrolladas por cada uno de los asistentes.

    Se invitara a los asistentes a realizar, como en la sesin anterior, anlisis en cuan-to a la construccin que estn desarrollando buscando nociones matemticas en sta, en este tiempo se introducir el trabajo con simetra y regularidades, a partir de la geometra en 3D.

    Luego de que el icosaedro se encuentre construido se presentara entonces un desarrollo matemtico que esta propiamente relacionado con el clculo del vo-lumen de la figura y la descomposicin de la misma, apoyndose constante-mente en el uso del software para garantizar la significatividad del trabajo que se est desarrollando.

    Evaluacin:Este tiempo tambin se aprovechar para incitar a los participantes a ver en la papiro-flexia y en las nuevas tecnologas, herramientas llamativas y apropiadas para motivar a los estudiantes a poner en prctica los conocimientos matemticos abordados en el aula de clase mediante frmulas y procedimientos con bolgrafo y papel.

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    RECURSOS DIDCTICOSLos recursos que se emplearan para llevar a cabo el taller son los siguientes:

    Recurso Clasificacin del recurso

    Funcin Hiptesis de aprendizaje

    1. Cuadrados de Papel

    Instrumento Semitico:-Manipulativo-Tangible

    Realizar el modulo del Icosaedro estrellado.

    Identificar conceptos bsicos de geome-tra plana en la reali-zacin del mdulo.

    2. Software de doblez

    Instrumento Semitico- Manipulativo grfico-Textual-Verbal

    Realizar los doble-ces del papel.

    Reconocer median-te el software pro-piedades geomtri-cas en la realizacin de los dobleces.

    3. Cabri 3D Instrumento Semitico:- Manipulativo grfico-Textual-Verbal.

    Mostrar el icosae-dro estrellado.

    Evidenciar median-te el software con-ceptos y afirmacio-nes geomtricas.

    RESULTADOS ESPERADOSComo se ha mencionado en apartados anteriores, con la puesta en marcha del pre-sente taller en el espacio de formacin de Didctica de la Geometra y en la semana de la matemtica L.E.B.E.M. se ha evidenciado que ofrece grandes bondades a la hora de trabajar geometra plana y tridimensional en el aula de clase, dichas bon-dades se presentan debido a que en la propuesta se aborda la geometra desde un

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    enfoque diferente al que es usual en el aula de clase, donde el origami (en este caso modular) se presenta como un medio para construir, en el aula, nociones de geome-tra desde la actividad propia del estudiante, con materiales de fcil acceso y manejo.

    La implementacin de la propuesta con el origami modular y bajo el uso de papel y nuevas tecnologas permite una nueva forma de presentar la geometra a los estudiantes, donde no usaran las herramientas tradicionales de la regla y com-ps, abordando figuras geomtricas comunes, que permite construir conceptos geomtricos tanto en el plano como en espacio tridimensional.

    Por ltimo, la funcin del docente de la bsica y la media en el proceso de ense-anza-aprendizaje debe jugar un papel importante en la vida de los estudiantes, teniendo en cuenta que la escuela es el espacio donde el estudiante se desarrolla tanto mental, motora, crtica y socialmente. Para ello, la implementacin de nuevas metodologas y actividades que logren el inters de los estudiantes y la compren-sin de los conceptos puestos en juego es fundamental para ellos sean capases de darle la importancia a lo que viven da a da en sus espacios acadmicos y que lo relacionen con su entorno acadmico y social.

    REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

    ASOCOLME (2006). Estndares curriculares. rea matemtica. Editorial Gaia. Bogot

    CABELLO Santos, Lili G (2006). La Enseanza De La Geometra Aplicando Los Mo-delos de Recreacin y Reflexin a Travs de la Funcionalidad de Materiales Educa-tivos. V festival internacional de matemticas.

    GODINO Juan D. (1998). Uso de Material Tangible y Grfico-Textual En El Estudio De Las Matemticas: Superando Algunas Posiciones Ingenua. En: A. M. Machado y cols. (Ed.), Actas do ProfMat 98 (pp. 117-124). Associaao de Professores de Ma-temtica: Guimaraes, Portugal.

    GUERRERO Fernando, SNCHEZ Neila y LURDUY Orlando (2006). La Prctica Do-

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    cente a Partir del Modelo DECA Y La Teora De Las Situaciones Didcticas. V Fes-tival Internacional de la Matemtica. Bogot.

    GRUPO DECA. (1992).Orientaciones Para El Diseo y Elaboracin de Actividades de Aprendizaje y de Evaluacin. PUBLICADO EN REVISTA AULA, N6, PGS.: 33-39

    MALDONADO Diego y SUREZ lvarez Mariano (2002). Slidos platnicos y Origa-mi. 10 de mayo.

    SNCHEZ, Nstor (2005). Practiquemos origami. Editorial Nessan Ltda.

    http://www.geocities.com/tokyo/6211/origami1.html. 12 de junio 2009.

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