Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan...

30
Adam Hendra Brata Probabilitas dan Statistika “Ruang Sampel”

Transcript of Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan...

Page 1: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Adam Hendra Brata

Probabilitas dan

Statistika“Ruang Sampel”

Page 2: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Probabilitas

Probabilitas

Probabilitas adalah suatu ilmu untuk

memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat

disebut peluang suatu kejadian berdasarkan

pendekatan matematis.

Dengan ilmu probabilitas, kita dapat

memprediksikan suatu kejadian berdasar

kumpulan data yang telah diolah dengan ilmu

statistik.

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 3: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Ruang Sampel

Ruang Sampel

Ruang Sampel adalah kumpulan semua even

(kejadian) atau himpunan dari semua outcome

yang mungkin dari suatu eksperimen random

dinyatakan dengan S

Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang

sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)

Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel

dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan

ruang sampel kontinu

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 4: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Ruang Sampel

Ruang Sampel

Ruang sampel S dikatakan diskrit , bila ruang

sampel tersebut mengandung titik (unsur) yang

berhingga atau tak berhingga yang dapat

disusun menurut barisan sederhana

- Percobaan pelemparan uang koin

Sedangkan ruang sampel dikatakan kontinu ,

bila ruang sampel mengandung titik yang tak

hingga yang dinyatakan dalam garis real atau

dinyatakan dalam interval dengan semesta

bilangan real

- Percobaan pengukuran tinggi badan

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 5: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Ruang Sampel

Contoh Ruang Sampel

Eksperimen melempar sebuah mata koin dua

kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka

ruang sampelnya :

S = { GG , GA , AG , AA}

Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah

dan hijau, maka ruang sampelnya :

S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }

Eksperimen mengukur berat badan seseorang

yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka

ruang sampelnya :

S = { x | 45,5 < x < 50,5 }

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 6: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Ruang Sampel

Pelemparan 2 Keping KoinProbabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 7: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Ruang Sampel

Pelemparan 2 Keping Koin

Angka A

Angka A

Garuda G

Garuda G

E1 = AA

E2 = AG

E3 = GA

E4 = GG

Angka A

Garuda G

Koin 1 Koin 2 Hasil

Kejadian Koin 1 Koin 2

E1 Angka Angka

E2 Angka Garuda

E3 Garuda Angka

E4 Garuda Garuda

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 8: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Pencacahan

Pencacahan

Pencacahan adalah menyatakan banyaknya

kemungkinan berbeda dari suatu persoalan

Contoh

Berapa banyak rute yang dapat ditempuh dari kota

S ke kota T, jika diketahui jaringan jalan seperti

berikut ?

S A T

X1

X2

X3

Y1

Y2

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 9: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Pencacahan

Aturan Penjumlahan (Sum Rule)

Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah

pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing

dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm cara, dan

setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat

dilakukan secara bersamaan, maka akan ada n1

+ n2 + … + nm cara untuk melakukan pekerjaan

ini

Contoh

Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah

komputer kepada seorang mahasiswa atau

seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa

banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa

dan 110 orang dosen di TIF ?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 10: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Pencacahan

Aturan Penjumlahan (Sum Rule)

Contoh

Prodi TIF UB akan memberikan hadiah sebuah

komputer kepada seorang mahasiswa atau

seorang dosen secara eksklusif. Ada berapa

banyak pilihan berbeda jika ada 800 mahasiswa

dan 110 orang dosen di TIF ?

Jawab: Ada 800 + 110 = 910 buah pilihan

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 11: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Pencacahan

Aturan Perkalian (Product Rule)

Jika ada suatu prosedur yang terdiri atas

pekerjaan-pekerjaan yang dilakukan secara

berurutan T1, T2, …,Tm yang masing-masing

dapat dilakukan dengan n1, n2, …, nm buah

cara, maka akan ada n1×n2 ⋅ …×nm buah cara

untuk mengerjakan prosedur tersebut

Contoh

Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan

bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa

buah kemungkinan kode yang dapat dibuat?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 12: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Pencacahan

Aturan Perkalian (Product Rule)

Contoh

Nomor polisi yang tertulis di plat nomor kendaraan

bermotor dibuat dengan 3 buah abjad. Ada berapa

buah kemungkinan kode yang dapat dibuat ?

Jawab : Ada 26 buah kemungkinan untuk huruf

pertama, kemudian 26 buah kemungkinan untuk

huruf kedua dan 26 kemungkinan lain untuk

huruf terakhir. Jadi terdapat 26⋅26⋅26 = 17576

buah nomor polisi yang berbeda yang bisa dibuat

dari 3 buah abjad

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 13: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi

Permutasi

Penyusunan kembali suatu kumpulan objek

dalam urutan yang berbeda dari urutan yang

semula

Susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu

kumpulan benda yang diambil seluruhnya atau

sebagian

Permutasi memperhatikan urutan, ( AB ≠ BA )

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 14: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi

Permutasi

Terdapat beberapa jenis permutasi, yaitu :

1. Permutasi dari n benda yang berlainan

2. Permutasi dari n benda berlainan yang diambil

k sekaligus

3. Permutasi dengan elemen yang sama

4. Permutasi siklis atau permutasi dari n benda

yang disusun secara melingkar

5. Permutasi dengan penyekatan

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 15: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi (n)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan

Contoh

Berapakah permutasi dari 4 kartu huruf A, B, C

dan D yang nantinya digunakan untuk sebuah

kode ?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 16: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi (n,k)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang

Diambil k Sekaligus

Contoh

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka

yang berbeda yang dapat disusun dari angka -

angka 3, 5, dan 7?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 17: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi (n,k)

Permutasi dari n Benda yang Berlainan yang

Diambil k Sekaligus

Contoh

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka

yang berbeda yang dapat disusun dari angka-

angka 3, 5, dan 7?

Banyaknya bilangan yang terdiri atas 2 angka

berbeda dan disusun dari angka-angka 3, 5, dan 7

adalah sama dengan permutasi yang terdiri atas

dua unsur yang dipilih dari 3 unsur, P (3, 2)

P (3, 2) = 3!/(3-2)! = 3!/1! = 3 x 2 x 1!/1! = 3 x 2 = 6

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 18: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Untuk untai S sepanjang n yang mengandung

satu macam unsur identik sebanyak k :

Contoh

Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,

yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak

2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari

aabc ?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 19: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Contoh

Suatu untai aabc terdiri dari 4 macam unsur,

yaitu a, b, dan c tetapi unsur a muncul sebanyak

2 kali. Kedua a tersebut identik. Permutasi dari

aabc ?

Total permutasi dari untai aabc adalah sebanyak

4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup

posisi a0 dan a1 yang bertukar-tukar, yang

jumlahnya adalah 2! (karena a terdiri dari 2 unsur:

a0 dan a1). Dengan demikian jika dianggap a0 =

a1 maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi

dengan 2!

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 20: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi Elemen Identik

Permutasi dengan Elemen yang Sama

Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah n,

mengandung m macam unsur yang masing-

masing adalah sebanyak k1, k2, ..., km, maka :

Contoh

Hitunglah banyak permutasi huruf yang mungkin

terjadi jika diberikan huruf m,a,t,e,m,a,t,i,k,a ?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 21: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi Siklis

Permutasi dengan n Benda yang Disusun

Secara Melingkar

Banyak permutasi n benda berlainan yang

disusun melingkar adalah (n-1)!

Contoh

Dalam sebuah rapat ada 8 orang duduk

melingkar. Berapa susunan duduk yang

berlainan dalam rapat tersebut ?

Permutasi siklis dapat dihitung

dengan menganggap bahwa satu

elemen harus ditulis sebagai awal

untai abcdefgh

Jadi Permutasinya : (8-1)! = 7!

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 22: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi dengan Penyekatan

Permutasi dengan Penyekatan

Banyak permutasi n benda berlainan yang

disusun melingkar adalah (n-1)!

Banyaknya permutasi dari n benda jika n1

diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis

kedua dan seterusnya hingga nk berjenis ke

k adalah :

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 23: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Permutasi dengan Penyekatan

Permutasi dengan Penyekatan

Contoh

Ada 9 bola lampu disusun seri. Berapa cara

menyusun bola lampu tersebut jika 3

diantaranya merah, 4 biru dan 2 hijau ?

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

1260!2!4!3

!9

Page 24: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Kombinasi

Kombinasi

Kombinasi adalah penggabungan beberapa

objek dari suatu kelompok tanpa

memperhatikan urutan

Dengan kata lain, kombinasi adalah

pengelompokan beberapa objek tanpa melihat

urutan seperti halnya permutasi

Rumus kombinasi dari n benda yang

berlainan bila diambil sebanyak r adalah :

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

)!(!

!

rnr

nnCr

Page 25: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Kombinasi

Kombinasi

Contoh

Dalam babak penyisihan suatu turnamen sepak

bola, ada 4 tim yang satu sama lain akan

bertanding satu kali. Banyaknya pertandingan

yang terjadi adalah ?

Untuk menentukan banyaknya pertandingan yang

terjadi digunakan kombinasi, karena tidak melihat

urutannya lagi

C (4, 2) = 4!/(4-2)! 2!

= 4!/(2! 2!) = 4 x 3 x 2!/(2! 2!)

= 4x 3/ 2 x 1 = 12/2 = 6

Probabilitas

- Ruang

Sampel

Pencacahan

Permutasi

Kombinasi

Page 26: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Tugas 4

• Mengerjakan soal – soal yang berada di beberapa

slide selanjutnya secara individu

• Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara

menghitung dan ditulis di kertas

• Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya (besok)

Page 27: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Tugas 4

1. Ada 5 buku matematika, 4 buku fisika dan 3 buku kimia.

Tentukan banyak cara menyusun buku tersebut dalam

sebuah rak jika :

a. peletakannya sembarang

b. buku fisika harus berkumpul jadi satu

c. buku fisika tidak boleh berkumpul jadi satu

2. Permutasikan semua susunan huruf : STATISTIKA

Page 28: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Tugas 4

3. Di dalam sebuah kelas dilangsungkan pemilihan pengurus

kelas dengan 4 jabatan tersedia. Di dalam kelas tersebut

terdapat 7 orang calon pengurus. Berapa kemungkinan cara

agar setiap posisi jabatan dijabat oleh seorang siswa yang

menjadi calon pengurus?

Ke

tua

Wa

kil

Se

kre

tari

s

Be

nd

ah

ara

GF

D E

B CA

Page 29: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Tugas 4

4. Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing,

dan 1 ekor sapi dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor

ayam, 4 ekor kambing, 3 ekor sapi. Dengan berapa cara

petani tersebut dapat memilih ternak – ternak yang di

inginkannya ?

Page 30: Probabilitas dan Statistika · PDF fileStatistika “Ruang Sampel ... • Mengerjakan soal –soal yang berada di beberapa slide selanjutnya secara individu • Mengerjakan soal –soal

Terimakasih dan Semoga

Bermanfaat v^^