1

FUNGSI DAN GRAFIKNYA PADA MAPLE

A. Pengertian Fungsi

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan

sebagai domain) kepada anggota himpunanyang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini

berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi

dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu

kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan".

B. Komponen Fungsi.

Komponen dari suatu fungsi terdiri atas variabel, koefisien, dan konstanta.

1) Variabel.

Variabel adalah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan/ mewakili faktor tertentu dan

terdiri atas variabel bebas dan variabel tak bebas.

Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain. Sedangkan

variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung varia-bel lain.

2) Koefisien.

Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dlm sebuah fungsi.

3) Konstanta.

Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan

variabel (berdiri sendiri).

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

2

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A

kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua

himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan

dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

C. Sistem Korodinat Kartesius

Sistem koordinat Kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang

saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang (bidang

xy). Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga

dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut

ortogonal antar satu dengan yang lain. (Satu sumbu dengan sumbu lain bertegak lurus.)

3

D. Macam-Macam Fungsi

1) Fungsi konstan (fungsi tetap)

Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu

konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya

sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.

2) Fungsi linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh

f(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa

garis lurus.

Salah satu contoh fungsi linear

f (x) = x+4

Fungsi tersebut memetakan bilangan real ke bilangan real juga. Selanjutnya,bagaimana cara

mendefinisikan fungsi dalam Maple?

Dalam Maple, fungsi di atas dapat didefinisikan dengan cara:

> f := (x) -> x+4;

3) Fungsi kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh

f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan

grafiknya berupa parabola.

f (x) = -x^2+5*x

atau notasi pada maple

> f := -x^2+5*x ;

4) Gabungan Fungsi Linear Dan Fungsi Kuadrat Pada Maple

T[1] := plot(x+4, x = -16 .. 2, color = blue, thickness = 3);

T[2] := plot(-x^2+5*x, x = 2 .. 16);

display(T[1], T[2], thickness = 2, view = [-20 .. 20, -20 .. 20])

4

T[1] := plot(x^2-3*x+1, x = -6 .. 0, color = red, thickness = 5);

T[2] := plot(x^3-x^2-3*x+1, x = 0 .. 6, color = blue, thickness = 5);

display(T[1], T[2]);

5) Fungsi Implisit dan Explisit

fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel takbebas tidak diberikan secara "eksplisit"

dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan

cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

y = f(x).

Sebailknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan

memecahkan persamaan dalam bentuk:

R(x,y) = 0

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, namun kita tidak

diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Secara formal, sebuah fungsi f:X→Y dikatakan sebagai fungsi implisit apabila fungsi tersebut

memenuhi persamaan:

Contoh pada Maple

#Fungsi Implisit 3x + 7y = 3 penulisan pada Maple adalah :

implicitplot(3*x+7*y = 3, x = -Pi .. Pi, y = -Pi .. Pi)

#Fungsi Explisit f(x) = x + 2 penulisan pada Maple adalah :

plot(x+2, x = -6 .. 6);

5

6) Fungsi vektor

Fungsi adalah suatu aturan yang memasangkan setiap elemen didaerah asal kepada sebuah

elemen di daerah hasil. Fungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan

bilangan real dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.

Pada R2 :

Jika a = [a1, a2] dinyatakan dengan ruas garis berarah yang bertitik awal adalah titik asal 0,

maka a disebut vektor posisi dari titik (a1, a2).

Misal f dan g masing – masing merupakan fungsi skalar t dalam selang (interval) I, maka [f(t),

g(t)] mendefinisikan sebuah vektor untuk setiap bilanagn t dalam I. Dikatakan bahwa suatu

fungsi vektor r dengan selang I didefinisikan dan mempunyai nilai (vektor).

r(t) = [f(t), g(t)], atau ditulis juga dengan r(t) = f(t)i + g(t)i

Artinya, jika r(t) menyatakan suatu vektor posisi untuk suatu bilangan t dalam I, maka selama

t menjelajahi semua nilai dalam I, titik ujung P(f (t), g (t)) dari vektor posisi itu menjelajahi

lengkungan datar (kurva dalam bidang datar) C. Pada gambar di bawah ini yang akan

dinyatakan dengan persamaan parameter :

x = f (t), y = g (t) untuk t ∈ I.

Fungsi vektor r dikatakan kontinu di t = t0 jika :

r terdefinisi di t = t0

limt→t0

r(t) ada, dan

limt→t

r(t) = r(t0)

Dengan demikian, syarat perlu dan cukup agar r(t) = [f(t), g(t)] kontinu di t = t0 ialah g (t)

keduanya kontinu di t = t0.

Secara umum apabila t berubah, maka panjang / besar dan arah r(t) juga berubah.

Pada R3 :

P(f (t), g (t))

r(t)

𝑋 0

0

Y

6

Definisi – definisi untuk fungsi – fungsi vektor pada R3 merupakan perluasan secara wajar

dari definisi – definisi untuk fungsi – fungsi vektor pada R2.

6) Turunan fungsi vektor.

Misal r suatu fungsi vektor. Turunan dari r adalah vektor lain r′ yang didefinisikan oleh :

r′(t) = lim∆t→t

∆r(t)

∆t= lim

∆t→0

r(t + ∆t) − r(t)

∆t

dengan syarat limit itu ada.

Ilustrasi secara geometri :

7) Fungsi trigonometri

Fungsi sinus

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, penulisan pada Maple: plot(sin(x), x = 0 .. 10)

P(f (t), g (t)) r′(t)

P(f (t+∆t), g (t+∆t))

r′(t)

r′(t) = t + +∆t

𝑟

X

Y

0

7

Fungsi Cosinus

Bentuk umum : y = f(x) = cos x, Penulisan pada Maple: plot(cos(x), x = 0 .. 10);

8) Kecepatan dan Percepatan.

Misal r(t) = f(t)i + g(t)j suatu fungsi vektor pada R2 yang dapat didiferensialkan

dalam suatu selang I. Jika r(t) suatu vektor posisi yang dinyatakan oleh ruas garis

berarah OP⃗⃗⃗⃗ ⃗. Maka selama t berubah titik ujung P(f (t), g (t)) menjelajahi lengkung C

yang mempunyai persamaan parameter x = f (t), y = g (t), t ∈I. Dari hubungan ini,

r(t) = f(t)i + g(t)j disebut persamaan vektor dari lengkungan tersebut. Perhatikan

gambar berikut :

X

Y

0

Gambar 2.3

P(f (t), g (t)) v(t)

r(t)

8

Jika t menyatakan waktu maka r′(t) = f′(t)i + g′(t)j disebut vektor kecepatan dari titik

bergerak P, dilambangkan dengan : v(t) = r′(t) , dengan syarat r′(t) ada.

E. Grafik Fungsi 3 Dimensi

Selain grafik fungsi dalam 2 dimensi, Maple dapat pula digunakan untuk

Menggambar grafik fungsi 3 dimensi untuk fungsi-fungsi yang memiliki 2 variabel. Diberikan

fungsi z = f(x,y). Apabila grafik fungsi tersebut akan digambar menggunakan Maple, maka

digunakan perintah plot3d dengan sintaks perintahnya

adalah:

plot3d(f(x,y), x=a..b, y=c..d);

Contoh:

plot3d([4*cos(u)*sin(v)+2, 4*sin(u)*sin(v)+1, 4*cos(v)+3], u = 0 .. Pi, v = 0 .. 2*Pi, title =

BOLA);

9

1) Fungsi Pada Permukaan 3 Demensi

implicitplot3d(x^3+y^3+z^3+1 = (x+y+z+1)^3, x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, z = -2 .. 2, grid =

[13, 13, 13])

2) Fungsi Real

plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x = -2 .. 2, y = -2 .. 2, grid = [49, 49]);

3) Fungsi Parametrik

plot3d([x*sin(x)*cos(y), x*cos(x)*cos(y), x*sin(y)], x = 0 .. 2*Pi, y = 0 .. Pi);

10

4) Gabungan bangun ruang demensi 3

A := plot3d([cos(u)*sin(v), sin(u)*sin(v), .16], u = 0 .. Pi, v = 0 .. 21*Pi)

B := plot3d([cos(u)*sin(v), sin(u)*sin(v), .6*cos(v)+.7], u = 0 .. 2*Pi, v = .5*Pi .. .85*Pi);

display(A, B, title = cawan*buah);

F. Grafik Fungsi dalam Koordinat Polar

Dengan Maple juga dapat dibuat grafik dalam koordinat kutub (polar).Misalkan diberikan fungsi

r(t) dalam system koordinat polar untuk domain t∈[a,b]. Untuk membuat grafiknya dengan

Maple, perintahnya adalah:

>with(plots):

>polarplot(r(t),t=a..b)

Perintah polar plot dapat dijalankan apabila paket (package) bernama plots telah dipanggil. Oleh

karena itu sebelum menggunakan perintah polarplot, paket plots harus dipanggil terlebih dahulu

dengan perintah with(plots):

Contoh:

Buatlah grafik fungsir(t) = 1 + sin(t), untuk t∈[0,2π] dalam koordinat polar.

Penyelesaian:

>with(plots);

>polarplot(1+sin(t),t=0..2*Pi);

11

TUGAS MATAKULIAH KOMPUTER GARFIK

Oleh :

ROHMAD WAHID RHOMDANI, S.Pd

NIM : 121820101004

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

UNIVERSITAS JEMBER

2012