UKURAN STATISTIK BAGI DATA

Parameter vs Statistik

Populasi

Sampel

Parameter

Nilai Tengah ()

Simpangan baku ()

Ragam (2)

Statistik

Nilai Tengah (x )

Simpangan baku (s)

Ragam (s2)

Uji kesamaan

Definisi ParameterDefinisi Parameter

Definisi StatistikDefinisi Statistik

Parameter Sembarang nilai yang menjelaskan ciri populasi misalnya, , 2, , dsb.

Statistik Sembarang nilai yang menjelaskan ciri suatu sampel, misalnya : x, s2, s, dsb.

2.2. Ukuran Gejala Pusat / Ukuran 2.2. Ukuran Gejala Pusat / Ukuran Pemusatan DataPemusatan Data

Ukuran Pemusatan / Lokasi Pusat

Data

Sembarang ukuran yang menunjukkan pusat segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai tersebar atau sebaliknya

2.2.1. Mean (Nilai Tengah)2.2.1. Mean (Nilai Tengah)

Nilai Tengah (Mean)

Populasi ()

Sampel / Contoh( x )

Bila segugus data x1, x2, … xN, tidak harus semuanya berbeda,

menyusun sebuah populasi terhingga berukuran N

Misalkan x1, x2, … xn, tidak harus semuanya berbeda, merupakan

sebuah contoh terhingga ukuran n

N

X μ

N

1ii

n

X X

n

1ii

2.2.2. Median

Median Median segugus data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar atau sebaliknya adalah pengamatan yang tepat di tengah-tengah bila banyaknya pengamatan itu ganjil, atau rata-rata kedua pengamatan yang ditengah bila banyaknya pengmatan genap

2.2.3. Modus (Frekuensi Data yang

Sering Muncul Modus Nilai yang terjadi paling sering atau yang

mempunyai frekuensi paling tinggi

2.2.4. Hubungan antara Mean, 2.2.4. Hubungan antara Mean, Median Median dan Modus dan Modus

UPSUPS Keuntungan Keuntungan Kerugian Kerugian

Mean Mean 1.1. Ukuran lokasi pusat yang Ukuran lokasi pusat yang paling umum digunakan dalampaling umum digunakan dalam

2.2. Mudah dihitung dan Mudah dihitung dan memanfaatkan semua infoasi memanfaatkan semua infoasi yang dimiliki.yang dimiliki.

1.1. Sangat dipengaruhi oleh Sangat dipengaruhi oleh nilai ekstrem nilai ekstrem

Median Median 1.1. Kemudahan menghitung bila Kemudahan menghitung bila banyaknya pengamatan relatif banyaknya pengamatan relatif kecilkecil

2.2. Tidak dipengaruhi oleh nilai Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim sehingga memberikan ekstrim sehingga memberikan rata-rata yang lebih benar rata-rata yang lebih benar

--

ModusModus 1.1. Tidak memerlukan perhitunganTidak memerlukan perhitungan

2.2. Dapat digunakan bagi data Dapat digunakan bagi data kualitatif ataupun kuantitatifkualitatif ataupun kuantitatif

1.1. Ukuran pemusatan data Ukuran pemusatan data yang paling jarang yang paling jarang digunakan.digunakan.

2.2. Untuk gugus data yang Untuk gugus data yang kecil, manfaat modus kecil, manfaat modus hampir atau bahkan tidak hampir atau bahkan tidak ada sama sekali. ada sama sekali.

Ukuran Pemuatan Data Lainnya

Tengah Wilayah

Nilai Tengah Terboboti

Nilai Tengah Gabungan

Nilai Tengah Geometrik

Nilai Tengah Harmonik

Tengah Wilayah Rata-rata pengamatan yang terkecil dan terbesar

Nilai Tengah Terboboti

Bila kita ingin merata-ratakan k buah nilai x1, x2, …, xk tetapi dengan menganggap bahwa sebagian lebih penting dari lainnya. Ini dapat dilakukan dengan memberi pembobot w1, w2,…, wk pada nilai-nilai tersebut, sedangkan pembobot- pembobot itu mengukur pentingnya yang satu relatif terhadap yang lain. Maka nilai tengah terboboti, w atau xw diberikan :

w

xw

k

1ii

k

1iii

Nilai Tengah Gabungan

Populasi Contoh

Misalkan k buah populasi terhingga masing-masing ukuran

populasi N1, N2, …, Nk mempunyai nilai tengah 1, 2,…,

k

Bila contoh acak berukuran n1, n2, …, nk yang diambil dari k

populasi tersebut, masing-masing mempunyai nilai tengah x1, x2, …,

xk

Nilai tengah contoh gabungannya, xc, adalah :

n

xn x k

1ii

k

1iii

c

Nilai tengah populasi gabungan,c, dari semua populasi

itu adalah :

N

μNμ k

1ii

k

1iii

c

Nilai Tengah Geometrik

Nilai Tengah Geometrik, G, bagi k bilangan positif x1, x2, …xk adalah akar ke-k hasil kali

semua bilangan itu, jadi :

k

k21 x,....,x,x G

Nilai Tengah Harmonik

Nilai tengah harmonik, H, bagi k buah bilangan x1, x2, …xk

adalah k dibagi dengan jumlah kebalikan bilangan-bilangan

tersebut, jadi :

k

1i ix1

k H

2.3. Ukuran Dispersi / Keragaman (Varians) Data

Statistik Ukuran Keragaman (Dispersi) Data

Wilayah Ragam Simpangan Baku

Beda antara pengamatan terbesar dan terkecil dalam kumpulan data tersebut

Ukuran keragaman yang memperhatikan posisi relatif setiap pengamatan terhadap nilai tengah gugus data tersebut

Simpangan sebuah peng-amatan dari nilai tengahnya diperoleh dengan mengu-rangkan pengamatan terse-but dengan nilai tengah

Jika wilayah suatu data A > B, maka data A dikatakan telah menyebar

Populasi Sampel

Ragam populasi

terhingga x1, x2, …xn,

dedefinisikan

N

μx σ

k

1i

2i

2

Ragam contoh untuk

sebuah contoh/

sampel acak

n

xx S

k

1i

2i

2

Populasi Sampel

x1, x2, …xN populasi

terhingga, simpangan-

nya : x1-2, x2- 3,

…, xN-

N

μx σ

k

1i

2i

2

x1, x2, …xn contoh/ sampel acak, simpangan-nya : x1 - x1, x2 -x,…, xn-x

R = Ymaks – Ymin

2.3.1. Varians (Keragaman)2.3.1. Varians (Keragaman)

Bila ragam gugus data A > ragam gugus data B, maka hal tersebut menunjukkan bahwa gugus data A lebih beragam daripada gugus data B, begitupula senaliknya.

2.3.2. Simpangan Baku (Standar Deviasi)2.3.2. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Bila suatu sebaran data hasil pengukuran mempunyai simpangan baku yang kecil, maka dapat dinyatakan bahwa sebagian besar data mengumpul di sekitar nilai tengahnya, atau keragamannya kecil, begitupula sebaliknya.

2.4. Dalil Chebyshev2.4. Dalil Chebyshev

Ahli Matematika Berkebangsaan

Rusia, P.L.Chebyshev

(1821-1894)

Proporsi pengukuran yang jatuh antara dua nilai yang setangkup terhadap nilai tengahnya berhubungan dengan simpangan bakunya

Mengemukakan

Dalil Shebyshe Memberikan dugaan yang konservatif terhadap proporsi data yang jatuh dalam k simpangan baku dari nilai tengahnya, untuk suatu bilangan tetap k tertentu

Dalil Shebyshe berbunyi :

Sekurang-kurangnya 1 – 1/k2 bagian data terletak dalam k simpangan baku dari nilai tengannya

2.5. Nilai Z2.5. Nilai Z

Nilai Z Suatu pengamatan x dari suatu populasi yang mempunyai nilai tengah dan simpangan baku , mempunyai nilai z atau skor z yang didefinisikan sebagai :

σ

μ -x z

Nilai Z

Positif Mengukur berapa simpangan baku letak suatu pengamatan diatas nilai tengahnya

Negatif Mengukur berapa simpangan baku letak suatu pengamatan dibawah nilai tengahnya

Nilai z suatu gugus data A (positif) > nilai z suatu gugus data B → tampilan relatif data A lebih baik daripada tampilan relatif data B