PENDUGAAN PARAMETER ARIMA (p,d,q) Laporan Praktikum Ke-5 Disusun untuk Memenuhi Praktikum Analisis Deret Waktu Oleh : Nama: Fachriyatul Umah NIM: 0910950038 Asisten I: Rifqi Ramadhan P Asisten II : Yustian Al-Fariz PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2011 BAB I PENDAHULUAN 1.1Latar Belakang Databerkala(timeseriesdata)adalahdatayang dikumpulkan dariwaktukewaktuuntukmenggambarkanperkembangansuatu kegiatan.Analisisdataberkalamemungkinkanuntukmengetahui perkembangansuatuataubeberapakejadiansertahubunganatau pengaruhnya terhadap kejadian lain. Oleh karena data berkala terdiri dari beberapa komponen, maka dengananalisisdataberkaladapatdiketahuimasing-masing komponen,bahkandapatmenghilangkansatuataubeberapa komponenjikainginmenyelidikikomponentersebutsecara mendalamtanpakehadirankomponenlain.Makapentinguntuk dibuat plot atau grafiknya. DenganmenggunakanprogramMinitab,pendugaanparameter ARIMA(p,d,q)dapatdilakukandengan3metodeyaitumetode moment, metode kuadrat terkecil, dan metode Maximum LikelihoodAkhirnyakitadapatmengetahuinilaiparameterdariARIMAyang dihasilkan oleh ketiga metode diatas. 1.2Tujuan Praktikum 1.2.1Tujuan Umum Mahasiswamampumelakukanpendugaanparameter dengan berbagai cara 1.2.2Tujuan Khusus Mahasiswa mampu melakukan : 1.Pendugaan parameter dengan metode moment 2.Pendugaan parameter dengan metode least-square 3.Pendugaan parameter dengan metode maximum likelihood BAB II DASAR TEORI 2.1 Pendugaan Parameter Pendugaanadalahprosesyangmenggunakansamplestatistik untukmendugaataumenaksirhubunganparameterpopulasiyang tidakdiketahui.Pendugaanmerupakansuatupernyataanmengenai parameterpopulasiyangdiketahuiberdasarkaninformasidari sample,dalamhalinisamplerandom,yangdiambildaripopulasi bersangkutan.Jadidenganpendugaanitu,keadaanparameter populasi dapat diketahui. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sample ( statistik sample ). Secaraumum, parameter diberi lambang ( baca : theta ) (Anonim, 2005). 2.1.1 Ciri ciri Penduga yang Baik Banyakciriatausyaratuntuukmenentukanapakahsebuah pendugatergolongbaikatautidak.Suataupendugadikatakan baik apabila memiliki ciri ciri berikut : 1.Tidak Bias ( Unbiased ) Suatu penduga ( ) dikatakan tidak bias bagi parameternya ()apabilanilaipendugasamadengannilaiyang diduganya ( parameternya ). Jadi , penduga tersebut secara tepat dapat menduga nilai dari parameternya. 2.Efisien Suatupendugadikatakanefisienbagiparameternya() apabilapendugatersebutmemilikivariansyangkecil. Apabilaterdapatlebihdarisatupenduga,pendugayang efisienadalahpendugayuangmemilikivariansterkecil. Dua buah penduga dapat dibandingkan efisiensinya dengan menggunakan efisiensi relatif ( relative efficiency ). 3.Konsisten Suatupendugadikatakankonsistenapabilamemenuhi syarat berikut : a.Jikaukuransamplesemakinbertambahmakapenduga akanmendekatiparameternya.Jikabesarnyasample menjaditakterhinggamakapendugakonsistenharus dapatmemberisuatupendugaantitikyangsempurna terhadap parameternya. b.Jikaukuransamplebertambahtakterhinggamaka distribusisamplingpendugaakanmengecilmenjadi suatugaristegaklurusdiatasparameteryang sebenarnya dengan probabilitas sama dengan 1. Catatan:Suatupendugakonsistenbelumtentumerupakan penduga yang baik , karena konsisten hanya merupakan salah satu syarat (Anonim, 2008) 2.2Metode Moment Metodemomentmerupakanmetodeyangpalingmudahdan seringdipakaiuntukmendugaparameter.Metodeiniterdiridari persamaanmomentsederhanauntukuntukmomentdanpersamaan hasilpenyelesaianuntukmendugaparameteryangtidakdiketahui. Contohsederhanadarimetodeiniadalahuntukmendugawaktu rata-rata dengan sample rata-rata Z. Model MA(1) adalah :Zt = at - at-1 , dengan 1 < 1,maka21 uu+= Denganmenganggap 1menjadir1,nilai dapardidugadengan menyelesaikan persamaan kuadrat. Jika | | = 0.5 diperoleh penduga parameternya adalah: ( )12124 1 1rr + = u Jika r1 = 0,5, maka = 1 yang berarti model tidak invertible. Jika|r1 |>0.5makanilaitidakada.Jadimetodemomentgagal untukmenghasilkanpendugadari.Tentusajajika|r1 |>0.5, spesifikasi dari model MA(1) akan diragukan. Untuk model MA(q), metode moment akan lebih cepat mendapatkan hasil. Model AR (1) adalah : t t ta Z Z + =1|, dengan 1 < 1 Untukmodeliniterdapathubungansederhana | =1.Pada metode moment, 1 adalah disamakan dengan r1, pada lag 1 sample autokorelasi. Jadi penduga | adalah 1r = |. Model AR (2) adalah : t t t ta Z Z Z + = 2 2 1 1| |UntukkasusAR(2),hubunganantaraparameter 1|dan 2|akan mengikuti persamaan Yule - Walker : 2 1 1 1| | + =dan2 1 1 2| | + = Dengan metode moment, 1 digantikan oleh r1 dan 2 diganti oleh r2 sehingga menghasilkan : 2 2 1 1| | r r + = dan 2 1 1 2| | + = r r Kemudian diselesaikan untuk memperoleh 1| dan 2|

( )212 1111rr r= | dan 2121 221rr r= | UntukkasusAR(p)prosesyangsamadilakukandengan menggantikank denganrk,padapersamaanYule-Walker diperoleh: p p p pp pp pr r rr r rr r r| | || | || | |+ + + =+ + + =+ + + = .........2 2 1 12 2 1 1 21 2 1 1 1 Persamaan linier ini diselesaikan untukmencari p| | |,...,,2 1dalam bentuk r1, r2,., rp (Cryer, 1986). 2.3Metode Least-Square Karenametodemomenttidakdapatmemenuhiuntukmodel MA,makaharusdidugadenganmetodependugaanlain,salah satunya dengan Metode Kuadrat Terkecil.Model AR(1) adalah : t t ta Z Z + = ) (1 | Modelregresidenganvariablebebasadalah 1 tZdanvariable respon tZadalah Metode kuadrat terkecil berusaha meminimumkan jumlah kuadrat menjadi :t t ta Z Z = ) (1 | Sehingga diperoleh: | |= =nttZ Z S221 *) ( ) ( ) , ( | | disebutFungsiJumlahKuadrat.Berdasarkanprinsipmetode kuadratterkecilasumsi|dan denganhargamasing-masing bahwanilaiminimumS*(|,)diberikanolehZ1,Z2,,Zn. Mempertimbangkanpersamaan 0*= c c S,makadiperoleh: ( ) ( ) | |( )== + =ccntt tZ ZS21*0 1 2 | | Sehingga penyelesaian untuk adalah( )( ) || = ==1 1212nZ Znttntt Untuk n besar didapat : ZnZnZntntt t~~ = =2 211 1 Jadi,dengantanpamelihatharga |,didapatkan: ZZ Z=~i|1 Untuk meminimalkan S*(|,) terhadap | didapatkan: ( )( ) ( ) | |( )= =ccntt t tZ Z Z Z Z ZZ S21 1*2,||| Sehingga|adalah ( )( )( )== =nttntt tZ ZZ Z Z Z22121| Kecualiuntuksatubentukkesalahanpenyebut,nama ( )2Z Zn adalahsamadenganr1,jadimetodekuadratterkecildanmetode pendugaan moment identik khususnya untuk sample yang besar. MODEL MA(1) Rumus umum untuk model MA (1) adalah Zt = at - at-1, model invertiblenyaadalah t t t ta Z Z Z + = ....221u u ,rumusini disebutmodelautoregressivetetapiberasaldariordeyangtidak terbatas.Jadimetodekuadratterkecilbisadiselesaikandenganmemilih nilaiuntukparameter yang telahdiminimalkanyaitu denganrumus =2*) (ta S u dimanaat=at()adalahfungsidariobservasi waktu dan parameter . Untuk Z1, Z2,, Zn dan nilai tertentu dari untukmenyelesaikanrumusdiatasdenganmenggunakanrumus umum untuk MA(1) diperoleh at = Zt + at-1 dan untuk keadaan a0 = 0 digunakan a1 = Z1, a2 = Z2 + a1, a3 = Z3 + a2, ., an = Z2 + an-1. untukordeyanglebihbesardigunakanpersamaanat=Zt+1a1+ 2a2++ qat-q, dengan a0 = a-1 = ... = a1-q = 0 (Cryer, 1986). 2.4 Metode Maximum Likelihood Fungsi log likelihood adalah dimanaSSRadalahJumlahkuadratsisaandenganrumus ProsesARMAuntukWtdimanat>0disebutfungsilikelihood bersyaratkarenadiasumsikanet =0.BoxandJenkins(1976) mengatakanbahwanilailog-likelihooddalammodelARIMAbisa ditulis dengan Dengan catatan Dan Sehingga Untuk matrix variance-covariance pendugaan parameter didapat dari invers matrix Dalam prakteknya nilai 1ij atau Sij didekati oleh salah satu observasi yaitu Untukvariandarisamplebesardigunakan (William,1990). BAB III METODOLOGI 3.1Metode Moment 1.Memplotkan data stat > time series > time series plot 2.Hitung autokorelasi stat > time series > autokorelasi.3.Duganilaiparameterdenganmetodemoment.Rumusuntuk menduga nilai parameter1| dan 2| adalah212 111) 1 (rr r= |dan 2121 221rr r= |. 3.2Metode Kuadrat Terkecil (MKT) 1.Lakukantransformasilag1(Zt-1)danlag2(Zt-2)daridata percobaan Zt. stat > time series > lag 2.stat > regression option > fit intercept (tidak dicentang) 3.3.Metode Maximum Likelihood 1.Duganilaiparameterdenganmetodemaximumlikelihood tanpa memasukkan nilai awal. stat > time series > ARIMA hilangkan tanda cek pada starting value inputkan 2 pada nonseasonal AR 2.Duganilaiparameterdenganmemasukkannilaihasil pendugaan parameter metode momen sebagai nilai awal. stat > time series > ARIMA cek pada starting value masukkankolomdimananilaihasilpendugaparameter pada metode momen di tulis. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN Pada praktikum tentang pendugaan parameter untuk ARIMA (p,d,q ) data yang digunakan sebanyak 36, yang di asumsikan mengikuti model AR(2). Dengan data sebagai berikut: 266.0145.9183.1119.3180.3168.5 231.8224.5192.8122.9336.5185.9 194.3149.5210.1273.3191.4287.0 226.0303.6289.9421.6264.5342.3 339.7440.4315.9439.3401.3437.4 575.5407.6682.0475.3581.3646.9 Dataderetwaktutersebut sudahstasioner padaragam danrata-rata sertamengikutimodelAR(2).Sehinggabisalangsungdilakukan pendugaanparameterAR(2)denganmenggunakanmetodeMomen, metodeLeastSquare(MetodeKuadratTerkecil)sertametode Maximum Likelihood. 4.1 Metode Moment IndexC136 32 28 24 20 16 12 8 4700600500400300200100Time Series Plot of C1 KarenadatamengikutimodelAR(2)makaperludiketahui model AR(2) yaitu: a Z Z Z ARt t t+ = = 2 2 1 1) 2 ( | |Untuk mencari nilai dari|diperlukan nilai r1 dan r2 yang dapat dilihatpadagrafikautokorelasiuntukdatakarenanilai 2 2 1 1 r dan r = = yaitu: Daridatadiatasdiperolehnilair1 =0.662558danr2 =0.716545. Sehingga diperoleh nilai: 334759 . 0) 662558 . 0 ( 1) 716545 . 0 1 ( 662558 . 01) 1 (2 212 11===rr r|494747 . 0) 662558 . 0 ( 1) 662558 . 0 ( 716545 . 01222121 22===rr r| Atau dengan perhitungan secara minitab : Yang dapat ditulis menjadi : Sehinggapendugaanparameterdari LagAutocorrelation9 8 7 6 5 4 3 2 11.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8-1.0Autocorrelation Function for zt(with 5% significance limits for the autocorrelations)metodemomenadalah334759 . 01 = | dan 494747 . 02 = |.Darihasil perhitungantersebutmodelAR(2)dapatditulisdalampersamaan sebagai berikut : t t t ta Z Z Z + + = 2 1494747 . 0 334759 . 0 4.2Metode Kuadrat Terkecil (MKT) Pendugaandenganmetodekuadratterkecildapatdilakukan denganterlebihdahulumelakukantransformasilag1(Zt-1)dan lag2(Zt-2). Setelah didapatkan lag 1 dan lag 2, kemudian dilakukan uji regresi, Hasil regresi Zt terhadap Zt-1 dan Zt-2 sebagai berikut : Dari hasil regresi tersebut di peroleh nilai303 . 01 = |dan765 . 02 = |di mana nilai dari 2 1| | danmerupakan koefisien regresi dari Zt-1 dan Zt-2 sehinggadenganmetodekuadratterkecildiperolehmodelAR(2) yaitu: t t t ta Z Z Z + + = 2 1765 . 0 303 . 0 4.3Metode Maximum Likelihood (MLE) 4.3.1Tanpa Penduga awal Pada kolom series masukkan nilai Zt. Karena model ini mengikutimodelAR(2),padakolomautoregressivediisi dengan nilai 2. Dan didapatkan hasil seperti di bawah ini : Denganmelihathasilkeluaranminitabdiatasdidapatkannilai 1|dan 2|masing-masingsebesar0.2952dan0.7110.Sehinggadarihasil perhitungantersebutmodelAR(2)dapatditulisdalampersamaan sebagai berikut : t t t ta Z Z Z + + = 2 17110 . 0 2952 . 0 4.3.2Dengan Penduga Awal Pendugaanparameterdenganmenggunakanmetodelikelihood dengannilaiawaldarihasilpendugaanparametermetodemoment 334758 . 01 = |dan494748 . 02 = | Sehinggapendugaanparameterdarimetodemaximumlikelihood denganpendugaawalnilaihasildarimetodemomenadalah 3110 . 01 = | dan6949 . 02 = | .Darihasilperhitungantersebutmodel AR(2) dapat ditulis dalam persamaan sebagai berikut : t t t ta Z Z Z + + = 2 16949 . 0 3110 . 0 BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan PendugaanparametermodelARIMA(p,d,q)dapatdilakukan dengan3metodeyaitumetodemoment,metodekuadratterkecildan metode maksimum likelihood. Dan didapatkan hasil : -Metode moment t t t ta Z Z Z + + = 2 1494747 . 0 334759 . 0 -Metode kuadrat terkecil t t t ta Z Z Z + + = 2 1765 . 0 303 . 0 -Metode maximum likelihood a)Dengan nilai awal tidak ditentukan t t t ta Z Z Z + + = 2 17110 . 0 2952 . 0 b)Dengannilaiawalmenggunakanpendugaawalhasil metode momen t t t ta Z Z Z + + = 2 16949 . 0 3110 . 0 Dari ketiga metode di atas, metode penduga yang terbaik adalah metodemaximumlikelihood(MLE),karenamenghasilkanKTG/MSE yang lebih kecil dibandingkan dengan metode lain. 5.2 Saran Saatmelakukananalisa,disarankanagarlebihteliti,terutama ketikamelakukanperhitunganyangmenggunakanrumus,baik perhitungan secara manual maupun ketika menggunakan minitab. DAFTAR PUSTAKA Anonim.2005.www.xycoon.com/arima_estimation.htm/.Diakses27 November 2011 Anonim.2008.www.ilmustatistik.com/2008/11/16/pendugaan-parameter/ Diakses 27 November 2011 Cryer, Jonathan D. 1986. Time Series Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston USA. Wei,William.W.S.1990.TimeSeriesAnalysis.Addison.Weshley PublishingCompany.