ppt mac laurin
-
Upload
anjarcahya -
Category
Documents
-
view
121 -
download
16
Transcript of ppt mac laurin
Deret dan Aproksimasi
Deret MacLaurin
Deret Taylor
Tujuan
• Kenapa perlu perkiraan?– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –
polynomial.– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi
dengan mudah. – Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;
• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah konstanta, sehingga:
• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order polynomial approximation;
• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada konstanta itu?
00 )( axp
Polynomial Approximations
• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.
• Sehingga: )0()(0 fxp
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p(x)
Polynomial Approximations
• Contoh
xxf
1
1)(
1)(11
1)0( 0 xpf
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
Sangat akurat
Kurang akuratTidak akurat
Polynomial Approximations
• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan dengan menggunakan aproksimasi linier (1st order approximation);
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi sebenarnya.
xaaxp 101 )(
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
• Menyamakan slope:
• Sehingga polinom nya:
)0(
)0(0)0()0(
0
101
fa
faafp
)0()0()0( 11 fafp
xffp )0()0()0(1
Polynomial Approximations
• Contoh
xxf
1
1)(
xaaxp 101 )(
1)0(101
1)0( 0
faf
1)0(1
1
1)0( 12
fa
xf
xxp 1)(1
Ingat, Metode Newton Raphson
tangent
dy
dxf
f xf x
x x
rearrange
x xf x
f x
ii
i i
i ii
i
'
'
'
0
1
1
f(xi)
xi
tangent
xi+1
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
Masih ‘lumayan’ sampai disini
Polynomial Approximations
• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva (turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.
22102 )( xaxaaxp
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
• Menyamakan kemiringan:
)0(
)0(00)0()0(
0
22102
fa
faaafp
)0(02)0()0( 212 faafp
Polynomial Approximations
• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):
• Memberikan polinom
)0(2
1
)0(2)0()0(
2
22
fa
fafp
22 )0(
2
1)0()0()( xfxffxp
Polynomial Approximations
• Contoh
• Dari sebelumnya:
xxf
1
1)(
22102 )( xaxaaxp
1,1 10 aa
1
2)0(21
2)(
2
23
a
fax
xf
22 1)( xxxp
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
p2(x)
Lebih ‘lumayan’ lagi ya..
Polynomial Approximations
• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom hingga n derajad.
• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan rumus:
!)0(
!2)0(
)0()0()()(
)(2
n
xf
xf
xffxpxfn
n
n
Polynomial Approximations
• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring dengan penambahan polinom;
• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna biru).
Polynomial Approximations
-1 -0.5 0 0.50.5
1
1.5
2
x
y
f(x)
p0(x)
p1(x)
p2(x)
p6(x)
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak hingga
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya, bukan penaksiran lagi!
!)0(
!2)0(
)0()0()(
)(2
n
xf
xf
xffxfn
n
Taylor Series
• Sesungguhnya, kita bisa membuat deret polinom yang berasal dari titik manapun. 0xx
• Dari awal kita selalu memulai perkiraan pada nilai 0x
• Ini disebut Taylor Series.
• Jadi, Deret MacLaurin merupakan Deret Taylor yang berpusat pada x0=0
Taylor Series
• Rumus umum Deret Taylor:
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
0
00
)(
!
)()(
n
nn
n
xxxf
Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x) What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
0 ( ) (0.35)T x f
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
1( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
T x f
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
2
212
( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
T x f
f x
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
( )
0
( )!
iiN
Ni
f a x aT x
i
10 ( )T x
2
212
( ) (0.35)
'(0.35) 0.35
''(0.35) 0.35
T x f
f x
f x
What is f(x) near x=0.35?
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
X
f(x)
=si
n(2
x)Taylor Series
• Approximate function? Copy derivatives!
• Look out for “approximate” or “when x is small” or “small angle” or “close to” …
1( ) ( )
'( )
T x f a
f a x a
Most Common: 1st Order
Contoh – Taylor Series
• Bentuklah Deret Taylor untuk:
• Cari nilai fungsi dan turunannya untuk fungsi pada x0=1
1),ln()( 0 xxxf
Contoh – Taylor Series
0)1ln()()ln()( 0 xfxxf
11
1)(
1)( 0 xf
xxf
11
1)(
1)(
202 xf
xxf
11
0)(
1)(
)1()!1(1
)1()!1()(
)1()!1()(
nn
nn
n
nn
nn
xf
x
nxf
21
2)(
2)(
303 xf
xxf
Contoh – Taylor Series
• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:
!
)1()1()!1(
!3
)1(!2
!2
)1()1(0)ln(
1
32
n
xn
xxxx
nn
n
x
xxxx
nn )1(
)1(
3
)1(
2
)1()1()ln(
1
32
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
Truncated Taylor Series
• We cannot evaluate a Taylor series – it is infinite!
• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak tak terhingga;
• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
Truncated Taylor Series
• To find an nth order truncated Taylor series
• Note: This is the same concept as the polynomial approximations we introduced earlier.
!
)()(
!2
)()())(()()(
00
)(
20
0000
n
xxxf
xxxfxxxfxfxf
nn
Example – Truncated Taylor Series
• Find a cubic (degree 3) truncated Taylor series for the function:
centered at:
)2cos()( xxf
4
x
Example – Truncated Taylor Series
• For a degree 3 approximation:
• So we need to evaluate the function and its first three derivatives at the center.
!3
)()(
!2
)()(
))(()()(3
00
20
0
000
xxxf
xxxf
xxxfxfxf
Example – Truncated Taylor Series
• Evaluating these:
82
sin84
)2sin(8)(
02
cos44
)2cos(4)(
22
sin24
)2sin(2)(
02
cos4
)2cos()(
fxxf
fxxf
fxxf
fxxf
Example – Truncated Taylor Series
• … which gives:
!34
8!24
0
420)(
!3
)()(
!2
)()(
))(()()(
32
30
0
20
0
000
xx
xxf
xxxf
xxxf
xxxfxfxf
3
43
4
42)(
xxxf
Example – Truncated Taylor Series
-3 -2 -1 0 1 2 3-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
y
f(x) t3(x) /4
)2cos( x
40x
)(3 xp
Series Accuracy
• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai Maclaurin?
• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin jauh dari titik awal x0;
• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan titik yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk melakukan perkiraan.