PP-4(Bab4)

7/17/2019 PP-4(Bab4)

1/19

Penggunaan KALKULUS - 1 Slide -Slide - 11

Bab # 4:Bab # 4:

PPENGGUNAANENGGUNAAN

TTURUNANURUNAN
http://images.google.co.id/imgres?imgurl=http://www.crystalinks.com/newton.jpg&imgrefurl=http://www.crystalinks.com/newton.html&h=351&w=334&sz=10&tbnid=coL6x0lUUBaQBM:&tbnh=120&tbnw=114&prev=/images%3Fq%3Dfoto%2Bnewton%26um%3D1&start=2&sa=X&oi=images&ct=image&cd=2

7/17/2019 PP-4(Bab4)

2/19


Jika fungsi f(x) memp. turunan terbatas f(xo) di x xo!kur"a # f(x) memp. garis singgung di Po(xo! #o) #g

tangen (koefisien) ara$n#a ada%a$ &

m tan f (xo)Jika m '! maka kur"a tsb mempun#ai garis singgung

$orisonta% (seaar sumbu x) dgn persamaan # #odi Po!

seperti di A! * + pada gambar.

Garis Singgung dan Normal

,aris singgung tsb memp.

persamaan &

# #o m(x xo)

.

/

A

0

)

1

+

7/17/2019 PP-4(Bab4)

3/19


Jika f(x) kontinu pada x xotetapi ! kur"a

memp. garis singgung "ertika% (seaar sumbu #) dgn

Persamaan x xo! seperti di 0 * .

,aris norma% suatu kur"a pada sa%a$ satu titikn#a ada%a$

garis #g %e2at titik tsb dan tegak %urus garis singgung

di titik tsb. Persamaan garis norma% di (xo! #o) ada%a$&

0i%a &

- garis singgung 33 sumbu #! maka garis norma% 33 sumbu x-garis singgung 33 sumbu x! maka garis norma% 33 sumbu #.

=

f(x)%im'xx

)x(xm

1## 'o =

7/17/2019 PP-4(Bab4)

4/19


Contoh :

1. Tentukan persamaan garis singgung * garis norma%

pada # x4 5x56 7 pada titik (5! 7).

Pen#e%esaian &

f (x) # 4x5 7x dan f (5) 7

Jadi garis singgung &

# #o m(x xo) # 7 7(x 5) atau # 7x - 7

,aris norma% &

# 7 - atau 7# x 6 17

)x(xm

1## 'o =

7

5)(x

7/17/2019 PP-4(Bab4)

5/19


Nilai Maksimum dan Minimum

Fungsi naik dan turun Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di x = xo, jika untuk

h positif & cukup kecil, f(xoh)f(xo) f(xo! h)" Suatu

fungsi f(x) dikatakan turun di x = xo, jika untuk h positip

dan cukup kecil, f(xo h) # f(xo)#f(xo! h)"

$ika , maka f(x) ad" fungsi naik di x= xo%

jika , maka f(x) ad" fungsi turun di x = xo

')(xf o8 >

')(xf o8

7/17/2019 PP-4(Bab4)

6/19


engujian 'urunan ertama

" ecahkan u mendapatkan harga kritis

*" Gam+ar harga kritis pd garis +ilangan, dgndemikian ter+entuk sejumlah selang

" 'entukan tanda pd tiap selang"

-" .isalkan x +ertam+ah setelah tiap harga kritis

x = xo, maka f(x) memp" harga maksimum (=f(xo))jika +eru+ah dari ! ke /,

0 f(x) memp" harga minimum (=f(xo)) ,

jika +eru+ah dari ke !

0 f(x) tdk memp" harga maksimum ataupunminimum di x = xo jika tdk mengalami

peru+ahan tanda"

')(xf o8 =

)(xf o8

(x)f8

(x)f8

(x)f8

7/17/2019 PP-4(Bab4)

7/19Penggunaan KALKULUS - 1 Slide -Slide - 77

engujian kedua untuk .aksimal dan .inimal"

engujian turunan kedua

" ecahkan f

(x) = 1 u mendapatkan nilai kritis *" 2ntuk harga kritis x = xo3

0 f(x) memp" harga maksimum (= f(xo)),

jika f (x) 1

0 f(x) memp" harga minimum (=f(xo)),jika f (x) # 1,

0 engujian gagal jika f (xo) = 1 atau menjadi

tak terhingga"

4alam keadaan terakhir, metode turunan pertama harusdigunakan"

7/17/2019 PP-4(Bab4)

8/19Penggunaan KALKULUS - 1 Slide -Slide - 88

5ontoh 3

1. iketa$ui &

Tentukan &

a) titik-titik kritis b) inter"a% dimana # naik dan turun

9) ni%ai-ni%ai maksimum dan minimum dari #

:;xx5

1x

4

1# 54 ++=

Pen#e%esaian &

a)

u3 #< ' memberikan & x -4 * x 5

Titik-titik ekstrim ad.

b) Jika #< positif! maka # naik=

ika negatif! maka # turun

u3 x >-4 maka #< (-)(-) 6!berarti fungsi naik

u3 -4> x >5 maka (6)(-) -! berarti fungsi turun

u3 x ? 5 maka (6)(6) 6! berarti fungsi naik

9) kesimpu%an & P titik maksimum dan @ titik minimum.

5)4)(x(x;xx# 58 +=+=

dan5

744!P

=

=

4

55!@

7/17/2019 PP-4(Bab4)

9/19


4. 0ia#a tota% produksi seum%a$ x komputer setiap $ari

ad% & rupia$ * $arga ua% setiap komputer

rupia$. Agar dipero%e$ keuntungan optima%!

berapa #g $arus diproduksi komputer setiap $arin#a.

5A)4Axx7

1( 5 ++

x)5

1(A'

Pen#e%esaian &

0ia#a produksi

Basi% penua%an

Caka keuntungan & f(x) ($asi% penua%an) (bia#a produksi)

5A)4Axx7

1( 5 ++

5x5

1A'xx)

5

1x(A' =

)x

5

1(A'x5A)4Axx

7

1( 55 ++=)x(f

5A1Axx7

4 5 +=

1Ax7

;(x)f8 =

1'x

1Ax7

;

'1Ax

7

;'(x)f8

=

=

==

7/17/2019 PP-4(Bab4)

10/19


Kecepatan dan Percepatan,erak suatu partike% P sepanang garis %urus se9ara

%engkap din#atakan o3 persamaan s f(t)! t ' 2aktu!

dan s arak P dari suatu titik tetap #g tertentu ' pada %intasann#a.Ke9epatan (velocity) dari P pada 2aktu t ad%.

Jika & " ? '! P bergerak seara$ dengan naiknn#a s.

" > '! P bergerak seara$ dengan turunn#a s. " '! P da%am keadaan ber$enti3diam.

dt

ds"=

Per9epatan (accelaration) dari P pd 2aktu t ad%. &

5

5

dt

sd

dt

d"a == Jika a ? '! " naik3bertamba$=ika a > '! " turun3berkurang.

Ke%auan (speed) bertamba$ bi%a " dan a bertanda

sama

Ke%auan berkurang bi%a " dan a ber%ainan tanda.

7/17/2019 PP-4(Bab4)

11/19


Contoh :

1. Sebua$ benda bergerak sepanang garis koordinat

s$g posisi s-n#a memenu$i! s 5t5

15t 6 :! dgn sdiukur d%m 9m dan t d%m detik. Tentukan ke9epatan

benda bi%amana t 1 dan t ;.

a) Kapan ke9epatann#a ' D

b) Kapan ia positif D

Pen#e%esaian &

Jika digunakan %ambang "(t) u3 ke9epatan pd saat t!

maka &

Jadi 9m3detik

157tdt

ds"(t) ==

:157(1)"(1) ==

15157(;)"(;) == 9m3detik

7/17/2019 PP-4(Bab4)

12/19


a) Ke9epatan ' bi%amana 7t 15 '! #aitu pd saat t 4.

b) Ke9epatan positif bi%amana t ? 4.

7/17/2019 PP-4(Bab4)

13/19


5. Sebua$ partike% bergerak sepanang garis %urus dgn

ketentuan . Satuann#a meter * detik.

Tempatkan partike% re%atif ter$adap titik a2a% '

(ketika t ').Tentukan ara$ * ke9epatan serta tentukan apaka$

ke%auan bertamba$ atau berkurang ketika &

(a) t 135 = (b) t 435 = (9) t 35 = (d) t 7

Et;tts 54 +=

Pen#e%esaian & (a) 53: m di kanan ' bergerak ke kanan dgn

ke9epatan " 137 m3det! berkurang.

(b) 5F3: m di kanan ' bergerak ke kiri dgn

" -E37 m3det! bertamba$.

(9) 3: di kanan ' bergerak ke kiri dgn

" -E37 m3det! berkurang.

(d) 7 m di kanan ' bergerak ke kanan dgn

" E m3det! bertamba$.

7/17/2019 PP-4(Bab4)

14/19


4. Jum%a$ dari 5 bi%angan positif 5'. tentukan bi%angan-

bi%angan tersebut apabi%a &

a) perka%iann#a maksimum

b) um%a$ kuadratn#a minimum 9) perka%ian dari kuadrat bi%angan pertama * pangkat

tiga bi%angan #g kedua ada%a$ maksimum.

Ja2ab &

a) 1'! 1'

b) 1'! 1'

9) :! 15

7/17/2019 PP-4(Bab4)

15/19


Soal - soal :

4) Sebua$ kotak terbuka dibuat dari se$e%ai kertas berukuran (' x ') 9m!dengan memotong uung-uungn#a sebesar buur sangkar. Bitung "o%ume

terbesar dari kotak terbuka #ang dapat dibuat dari kertas tersebut.

1) ari%a$ koordinat titik ekstrim dan $arga ekstrim dari # x5 5x 67

5) Jika bia#a tota% #g dike%uarkan sebua$ perusa$aan untuk memproduksi barang /din#atakan o%e$ & 5/4 11:/56 5;4'/ 6 7''' * $arga ua% barang / din#atakan

dengan persamaan & 5''' 7/. Agar keuntungan #g diterima perusa$aanmaksimum! tentukan um%a$ barang (/) #ang $arus terua% * berapa besarn#a

keuntungan maksimum tersebut D

Jika ban#akn#a barang #g terua% seban#ak 5' dan 7'! apaka$ perusa$aan

untung atau rugi * berapa keuntungan atau kerugian perusa$aan D

7/17/2019 PP-4(Bab4)

16/19


7) Kotak persegi panang dibuat dari se%embar papan!

panang 57 9m * %ebar E 9m! dgn memotong buur

sangkar identik pd keempat pook * me%ipat ke atas

sisi-sisin#a! seperti gambar. ari ukuran kotak #g"o%umen#a maksimum. 0erapa "o%ume tersebut D

7/17/2019 PP-4(Bab4)

17/19


Keuntunan! Keruian dan Pulan Pokok

,rafik tingkat produksi #g meng$asi%kan keuntungan! kerugian

dan keadaan pu%ang pokok &

7/17/2019 PP-4(Bab4)

18/19



Tingkat produksi @1dan @7menunukkan keadaan pu%ang pokok!

dimana penerimaan tota% penge%uaran (bia#a) tota% G .

aera$ sebe%a$ kiri @1dan disebe%a$ kanan @7menunukkan

keadaan rugi! dimana penerimaan tota% %ebi$ ke9i% daripada penge-

%uaran tota% G > .

aera$ diantara @1dan @7menunukkan keadaan untung! dimana

penerimaan tota% %ebi$ besar daripada penge%uran tota% G > .

Tingkat produksi @4menunukkan tingkat produksi #ang

memberikan penerimaan tota% maksimum.

0esar ke9i%n#a keuntungan ditunukkan o%e$ besar ke9i%n#a se%isi$

positif antara G dan ! semakin %ebar arak positif G dan semakin

besar keuntungan #ang dipero%e$.

7/17/2019 PP-4(Bab4)

19/19



5ontoh 3

Penerimaan tota% #g dipero%e$ sebua$ perusa$aan ditunukkan o%e$

persamaan & G - '!1' @5

6 5' @! sedangkan bia#a tota% #gdike%uarkan & '!5 @4 4 @56 F @ 6 5'. Bitung%a$ profit

perusa$aan ini ika di$asi%kan dan terua% barang seban#ak 1' dan 5'

unit.

Ja2ab &

G - '!1' @56 5' @ '!5 @46 4 @5 F@ 5' - '!5 @46 5!E' @56 14 @ 5'

@ 1' -'!5(1')46 5!E'(1')56 14 (1') -5' -5' 6 5E' 6 14' 5' 1' (keuntungan)

@ 5' - '!5(5')46 5!E' (5')56 14(5') 5' - 5''' 6 11;' 6 5;' 5' - ;'' (kerugian)

PP-4(Bab4)

Documents

Transcript of PP-4(Bab4)