BAB 7

LIMIT FUNGSI

Disusun Oleh: 1 ATIT INDRIYANI, M.Pd

Standar Kompetensi: Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar:Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi disuatu titik dan di takhingga.

Indikator:

Menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik melalui perhitungan nilai nilai disekitar titik tersebut dan grafik. Menjelaskan arti limit fungsi ditak berhingga melalui grafik dan dan perhitungan

Isi:

Pengertian limit fungsi dapat dijabarkan menggunakan limit kiri dan limit kanan. Perhatikan beberapa contoh tentang ide limit di suatu titik limit dalam konsep matematis berikut ini.

Contoh 1: Diketahui f(x) = ,x2. Tentukan limit funsi f(x) untuk x mendekati 1 (x 1 ) Pernyataan diatas dapat dinotasikan sebagai berikut: Tentukan , x2

c

x mendekati 1 dari kiri x 0,8 0,9 0,99 0,9999

1 3

x mendekati 1 dari kanan 1,0000001 1,0001 1,001 1,05 1,1 3,0000001 3,0001 3,001 3,05 3,1

f(x) 2,8 2,9 2,99 2,9999

Darif(x) mendekati 3ditarik kesimpulanf(x) mendekati3 sini dapat bahwa: Bila nilai x bergerak semakin mendekati 1 baik dari arah kiri maupun arah kanan, nilai f(x) akan

semakin mendekati 3. Dalam konsep matematika dapat dinyatakan dalam bentuk: = =3o

dibaca limit dari2 dari arah kiri ( limit kiri )

untuk x mendekati

o

dibaca limit dari mendekati 2 dari arah kanan ( limit kanan )

untuk x

Proses pergerakan x 1 dari kiri maupun kanan sehingga menyebabkan variabel bebas f(x) mendekati 3 adalah seperti Y gambar 7.14 3 2

1

0

1

X

Timbul pertanyaan mengapa tidak menstubtitusikan x = 1 pada fungsi f(x) sehingga diperoleh f(1) = 3? Dalam beberapa kasus limit kita tidak bisa langsung menstubtitusikannya, tetapi dalam banyak kasus kita tidak dapat. Untuk lebih jelasnya pehatikan Contoh 2 berikut. Contoh 2: Tentukan , x 2.

Tabel 7.2x mendekati 2 dari kiri X f(x) 1,8 3,8 1,9 3,9 1,99 3,99 1,9999 3,9999 2 4 x mendekati 2 dari kanan 2,000001 4,000001 2,0001 2,001 4,0001 4,001 f(x) mendekati 4 2,05 4,05 2,1 4,1

f(x) mendekati 4

Tabel 7.2 di atas menunjukan bahwa nilai f(x) mendekati 4 untuk x mendekati 2. Jadi =4

Jika x = 2 disubstitusikan langsung maka,

=Dengan cara penyelesaian seperti itu, maka tidak mempunyai nilai karena pembagian dengan nol tidak terdefinisi. Untuk kasus limit seperti ini, penyelesaiannya adalah sebagai berikut. Jika x 2 maka: = =x+2 SehinggaKurva untuk f(x) =

=

=4diperlihatkan pada

Gambar 7.2

y

4

2

-4

2 2

0

2

x

Dari dua contoh diatas dapat didefinisikan pengertian umum limit fungsi sebagai berikut: Bila f suatu fungsi yang terdefinisi pada setiap bilangan pada suatu selang terbuka yang memuat a, kecuali mungkin a sendiri, maka limit f(x) untuk x mendekati a adalah L ditulis f(x) = L dengan L R, jika dan hanya jika untuk setiap bilangan 0 yang seberapapun kecilnya terdapat bilangan kecil 0, sehingga 0 |x - a| sehingga | f(x) - L|

Definisi bilangan nol dan bilangan tak berhingga: Bilangan nol ( 0 ) : bukan nol yang sebenarnya, yaitu bilangan kecil yang lebih kecil dari bilangan kecil lainnya. Bilangan tak hingga () : bilangan yang sangat besar lebih besar dari bilangan lainnya. Contoh: = =

Hitung nilai limit fungsi dibawah ini menggunakan tabel dan grafik! 1.

2.3.

Indikator:

Menentukan nilai limit fungsi aljabar dengan berbagai macam metode. Sifat sifat limit fungsi aljabar

MENGINGAT KEMBALIUntuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktoran, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut. 1) x2 y2 = (x y)(x + y) 2) x2 2xy + y2 = (x y)2

3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)24) x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2) 5) x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

Isi:Untuk menentukan limit jelas memerlukan waktu dan nilai pendekatannya kadang kadang kurang tepat jika hanya menggunakan tabel serta grafik. Sehingga akan dijelaskan cara menentukan limit dengan berbagi macam metode menurut bentuknya.

A. Menentukan Limit dengan Pemfaktoran Metode ini pada umumnya digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar pada fungsi pecahan.

Langkah langkah yang digunakan adalah menyederhanakan bentuk pecahan tersebutdengan memfaktorkannya. Contoh : Carilah Jawab: Fungsi tersebut tidak terdefinisi di x =1, karena menghasilkan penyebut yang nilainya 0. Dengan memfaktorkan pembilang maka akan diperoleh bentuk berikut ini.

=Dalam hal ini x hanya mendekati 1, dan tidak sama dengan 1, maka bentuk pecahan itu dapat disederhanakan menjadi: = Jadi =2 =2

B. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Bentuk Akar.

Bentuk akar pada umumnya tidak mudah untuk difaktorkan, maka agar pecahan dapat disederhanakan, pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawannya.

Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan Faktor Sekawan 1) (x a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya. 2) faktor sekawan dari dan sebaliknya.

3)4) 5)

faktor sekawan darifaktor sekawan dari sekawan dan3

dan sebaliknya.dan sebaliknya.

x 2 3 xy 3 y 2dan sebaliknya.

Ingat: (a b)(a2 + ab + b2) = a3 b3.

CONTOHCarilah nilai limit berikut

Jawab :

== = =

x

= = =Jadi, =-

SEKIAN PERTEMUAN PERTAMACara menyelesaikan limit fungsi aljabar dapat dilakukan dengan : Substitusi Memfaktorkan Mengalikan dengan faktor lawan

C. Menentukan Limit dengan Membagi Pembilang dan Penyebut dengan Variabel Pangkat Tertinggi Cara ini digunakan jika funsi pecahan dengan x mendekati tak hingga (),dengan fakta bahwa:

Contoh: Carilah

Jawab:

== = -

D. Limit Suku Banyak ( Polinom ) Jika P ( x )dan Q ( x ) adalah suku banyak, maka: 1. 2. Contoh: a.

4 (-1)3 + 5(-1)2 3(-1) -2

= -4 + 5 + 3 -2 =2 b. =

= -

Teorema Limit Fungsi

Teorema 1 Jika c dan k adalah konstanta, maka

Contoh:a. b.

Teorema 2 Jika c adalah suatu konstanta dan f adalah suatu fungsi dari x, maka Contoh: a. b.

Teorema 3 Jika f dan g fungsi fungsi dari x, dan c adalah suatu konstanta, maka

Teorema 4 Jika f dan g fungsi fungsi dari x, dan c suatu konstanta, maka dan jika f (x) = k maka

Contoh:

= (25)x(5+3) = - 3 x 8 = - 24

Teorema 5 Jika f dan g fungsi fungsi dari x, dan c adalah suatu konstanta, maka , dengan

Contoh:

= =

Teorema 6 Jika f adalah fungsi fungsi dari x, c suatu konstanta, dan n adalah bilangan bulat, maka

Catatan: Ruas kiri mempunyai limit jika: a. , jika n genap,dan

b.Contoh:

, jika n < 0

=

Teorema 7 Limit nilai mutlak fungsi 1. Jika 2. Jika Contoh: , maka

, maka

=

=

Latihan Soal

1.2. 3. 4. 5.

Indikator:

Menentukan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan beberapa rumus

Isi:

Limit Fungsi TrigonometriUntuk menentukan limit fungsi trigonometri perlu mengenal beberapa rumus rumus penting, yaitu: a. b. Contoh contoh: 1. Tentukan

Jawab: Misal y = 2x, maka x =

y

= 2. = 2. 1 = 2Jadi,

2. Hitunglah Jawab: Bagilah pembilang dan penyebut dengan x, agar rumus limit fungsi trigonometri dapat diterapkan.

=

=

=

=

Latihan Soal

1.2. 3. 4.

5.

TERIMA KASIH

OoOooo