Potensial Skalar.pdf

8/9/2019 Potensial Skalar.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/potensial-skalarpdf 1/10

Universitas Gadjah Mada 1

Bab 5 Potensial Skalar

A. Pendahuluan

Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang memberikan

informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansial informasi yang sama

dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan memudahkan

dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat hubungan antara

medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari potensial skalar,

atau sebaliknya. Akan disajikan juga tentang tenaga potensial listrik hubungannya dengan

potensial skalar.

Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menjelaskan

definisi dan sifat-sifat potensial skalar, dapat menentukan potensial skalar dan beragam

sistem distribusi muatan, dan dapat menentukan potensial skalar dan hubungannya dengan

medan listrik yang telah diketahui, serta dapat tenaga potensial listrik sistem muatan.

B. Penyajian

5.1 Definisi Potensial Skalar

Pada ungkapan medan listrik

∑

(persamaan (3-2)), kita dapat mengganti

dengan sehingga diperoleh

dengan | | Didefinisikan medan skalar yang di sebut sebagai potensial skalar atau potensial

elekstrostatik:

Dengan demikian kita dapat menulis

medan listrik merupakan negative gradien potensial skalar ; dan berlaku bahwa

Satuan potensial skalar: volt .(V); dari persamaan (5-3), medan listrik dapat dinyatakan

dalam volt/meter yang kenyataannya sering digunakan. Mengingat satuan untuk

sebelumnya adalah newton/coulomb, maka berarti 1 volt = 1 joule/coulomb.




Mengingat teorema Stokes: ∮ ∫ ( ) dan menurut persamaan (5-4) bahwa

, maka diperoleh

dengan C adalah lintasan tertutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik

merupakan medan konservatif.

Potensial skalar pada persamaan (5-2) diungkapkan dalam SKC:

Karena merupakan besaran skalar, maka secara umum akan lebih mudah menghitung

medan listrik secara tidak langsung dengan menggunakan persamaan (5-2) dulu,

kemudian mendiferensialkannya menggunakan persamaan (5-3), dari pada mengevaluasi

langsung jumlahan vektor persamaan (3-2); inilah alasan mengapa penting secara praktis.

Potensial listrik dari terdistribusi muatan kontinyu:

Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)

Jika semua ragam distribusi muatan tersebut hadir serentak, total di suatu titik merupakan

jumlahan skalar dari semua ragam sumbangan persamaan (5-2) dan persamaan (5-7)

hingga persamaan (5-9), dan total di suatu titik dapat diperoleh sebagai negative gradien

dari potensial skalar total ini.




Jika potensial skalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang:

maka kita akan memperoleh yang sama seperti semula (persamaan (3-2)). Jadi, secara

prinsip, potensial skalar selalu menyertakan suatu tetapan tambahan dan kita dapat

memilihnya secana sembanang tanpa menyebabkan perubahan pokok permasalahan.

Seringkali, meskipun tidak selalu, dipilih C = 0, sehingga potensial = 0 di tempat yang

sangat jauh dari muatan-muatan ( ).

Integral garis medan antara titik awal P1 di dan titik akhir P2 di serupa dengan Gambar

1-16:

Jadi kita dapat menulis:

yang menghubungkan perubahan (beda) potensial skalar dan integral garis . Hasil ini

hanya bergantung pada nilai-nilai di titik awal dan titik akhir, nilai integral garis tidak

bergantung pada lintasan, berarti adalah medan konservatif. [Jika lintasannya tertutup,

berarti , maka persamaan (5-11) kembali menghasilkan persamaan (5-5).]

Pada persamaan (5-11), sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam definisi

telah lenyap saat menghitung beda potensial. Kita dapat menggunakan persamaan (5-11)

untuk menghitung beda potensial antara dua titik jika medan telah diketahui atau diperoleh

dengan cara lain

Suatu permukaan dengan nilai tetap disebut permukaan ekipotensial.

Ingat: Gradien skalar memiliki arah normal (tegak lurus) terhadap permukaan yang memiliki

nilai skalar tetap, dan menuju permukaan dengan nilai skalar yang lebih besar. Jadi, gradien

potensial listrik () tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, demikian juga dengan

tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 5-2 di mana

permukaan-permukaan ekipotensial digambarkan sebagai garis tak putus, sedangkan garis

putus (disebut garis gaya atau garis medan) digambar untuk menunjukkan arah di tiap titik

untuk kasus > . (Nilai numerik lebih besar di daerah di mana garis-garis gaya

saling berdekatan dari pada nilai di daerah di mana garis-garis gaya terpisah lebih jauh.)




5.2 Potensial Muatan Titik Tunggal

Ditinjau sebuah muatan titik Q yang terletak di .Potensialnya, menurut persamaan (5-2):

dengan | |. Dengan demikian, medan listrik:

yang tentu saja sesuai dengan persamaan (3-2) untuk muatan tunggal.

Nilai yang diberikan oleh persamaan (5-12) sebagai sebuah fungsi jarak R dari Q

ditunjukkan oleh Gambar 5-3 untuk kedua tan Q. Permukaan-permukaan ekipotensial

diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertentu

untuk ; hasilnya adalah

sehingga permukaan-permukaan ini berkaitan dengan R = tetapan, yaitu berupa bola-bola

yang berpusat pada muatan Q. Situasi ini ditunjukkan oleh Gambar 5-4 di mana kita telah

mengasumsikan Q bernilai positif sehingga . Menurut Gambar 5-2, haruslah

tegak lurus terhadap bola-bola ini dan dengan demikian memiliki arah radial ke luar dari Q,

sesuai dengan persamaan (5-13).




Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu , dengan persamaan (4-10), yaitu

⁄ , maka diperoleh bahwa

Dengan kata lain, potensial skalar memenuhi persamaan diferensial ini yang dikenal sebagai

“persamaan Poisson”. Di dalam daerah di mana = 0, persamaan (5-15) berubah menjadi

“persamaan Laplace”:

5.3 Potensial Distribusi Muatan Bola Seragam

Ditinjau: Bola berjejari a, bermuatan total Q, rapat muatan tetap

Akan dihitung potensial skalar di titik sejauh dari pusat bola (Gambar 5.5).




Jadi diperoleh

Integrasian ke dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2. Jika kita

menggunakan , maka persamaan (5-17) menjadi

Integrasi ke dapat diperoleh dengan menggunakan tabel integral, hasilnya

Sekarang ada dua kasus yang akan ditinjau.

Kasus I: Di luar bola, r > a; padahal r a, berarti kita punya r > r , sehingga | | | |dalam persamaan (5-19) menjadi dan integral ke sama

dengan 2/z . Dengan memasukkan hasil ini ke persamaan (5-18) dan mengintegrasikannya

ke r , maka diperoleh potensial di suatu titik di luar (outside) bola sejauh r dari pusatnya

sebagai




Kasus II: Di dalam bola, r < a, sehingga r > r atau r < r .

Jika r < r < a, maka persamaan (5-19) menjadi

jika r < z < a, maka persamaan (5-19) sama dengan 2/r seperti sebelumnya. Dengan

demikian, ungkapan potensial di dalam (inside) bola sejauh r dari pusatnya adalah

Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) memberikan nilai potensial yang sama, yaitu

⁄ , di permukaan bola di mana r = a.

Substitusi persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) ke dalam persamaan (5-3) akan

menghasilkan medan listrik di luar dan di dalam bola, berturut-turut sebagai

Ini sesuai dengan hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss.

Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) menunjukkan bahwa nilai-nilai tetap berkaitan

dengan nilai-nilai r yang tetap; dengan kata lain, permukaan-permukaan ekipotensialnya

berupa bola-bola sepusat yang berpusat di titik asal sistem koordinat (yaitu di pusat distribusi

muatan).

Gambar 5-6 menunjukkan plot potensial sebagai fungsi r dalam contoh ini; negatif slope

kurva ini memberikan medan listrik E r .




5.4 Potensial Skalar dan Tenaga Potensial

Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya

elektrostatik q dan sebuah gaya mekanik q,m:

atau

Kita bayangkan mengerakkan muatan q dengan sangat lambat dari suatu titik awal ke titik

akhir sepanjang suatu lintasan. Dalam kondisi ini, pada dasarnya kecepatannya selalu nol

dan tetap sehingga percepatannya nol. Muatan akan selalu dalam keadaan setimbang, atausangat hampir setimbang, sehingga persamaan (5-24) berlaku. Kita mengasumsikan

prosedur ini sehingga kita dapat menghitung banyaknya kerja dikerjakan oleh gaya mekanik

luar, dan dengan mempertahankan kecepatan nol kita dapat yakin bahwa tidak akan ada

disipasi atau efek gesekan yang terlibat. Jika kita tulis sebagai kerja yang dilakukan

gaya mekanik luar, maka kita memperoleh

dengan menggunakan persamaan (5-11). Dengan kata lain, kerja yang dilakukan padamuatan sama dengan nilai muatan tersebut dikalikan dengan perubahan potensial. Kerja

yang dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial muatan sehingga persamaan

(5-46) menjadi

Perubahan ini tak bergantung pada sembarang tetapan tambahan yang dapat

disertakan dalam . Karena ruas kanan persamaan (5-26) telah memiliki bentuk selisih

(beda), maka wajar untuk menulis ruas kiri persamaan tersebut dengan cara yang sama,yaitu , dan dengan perbandingan kita dapat mendefinisikan tenaga

potensial sebuah muatan q di , yaitu , sebagai

Kita dapat menambahkan sembarang tetapan pada ruas kanan persamaan (5-27) tanpa

merubah selisih tenaga potensial. Tetapi, secara umum kita akan memiih bentuk persamaan

(5-27) karena ia memiliki sifat yang memudahkan, yaitu bahwa jika lenyap di tempat jauh

tak hingga, maka demikian juga dengan . Karena satuan tenaga

adalah joule, maka




tampak dari persamaan (5-48) bahwa satuan , yaitu volt, akan sama dengan 1

joule/coulomb.

Contoh: Dua muatan titik

Ditinjau: sebuah sistem yang terdiri dari dua muatan titik q dan Q yang terpisah sejauh R

(Gambar5.10).

Potens di tempat kedudukan q diberikan oeh persamaan (5-12) yaitu

, dan jika

dimasukkan ke persamaan (5-27), maka kita memperoleh

Tenaga ini dapat diinterpretasikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan q

dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan Q dipeahankan tetap di.. Tetapi, karena kesimetrian ungkapan persamaan (5- 28), maka hal ini secara setara

dapat diungkapkan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari tempat

jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan q tetap di . Dengan kata lain, lebih

tepat memandang U e sebagai tenaga potensial bersama sistem dua muatan, bukan

menggambarkannya sebagai milik salah satu muatan atau milik muatan lainnya.

C. Penutup

Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan mampu menyelesaikan

soal-soal latihan berikut ini.

1. Apakah vektor merupakan medan elektrostatik? Jika ya,

carilah potensial sedemikian sehingga medan tersebut dapat diperoleh darinya!

2. Dua buah muatan titik q dan -q yang terletak pada sumbu z berturut-turut di z = a dan

z = -a. Carilah potensial di sembarang titik ( x, y, z )! Tunjukkan bahwa bidang xy

merupakan permukaan ekipotensial dan carilah potensialnya!

3. Sebuah bola berjejari a memiliki rapat muatan yang bervariasi terhadap jarak r dari

pusat bola menurut dengan A adalah tetapan dan n 0. Carilah potensial




di semua titik di dalam dan di luar bola dengan menggunakan persamaan (5.7) dan

ungkapkan hasil yang diperoleh dalam muatan total bola Q!

4. Suatu muatan terdistribusi dengan rapat muatan permukaan yang konstan pada

sebuah piringan lingkaran berjejari a yang terletak di bidang xy yang berpusat di titik

asal O. Tunjukkan bahwa potensial di suatu titik pada sumbu z diungkapkan oleh

Bagaimana ungkapan untuk a yang sangat besar?

5. Ditinjau distribusi muatan pada soal no.2. Berapakah kerja (usaha) yang harus

dilakukan oleh agen (gaya) luar untuk mengubah jarak pemisah kedua muatan dari

2a menjadi a? Ilustrasikan hal ini pada plot U e versus jarak pisah R !

Daftar Pustaka

1. Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York

Potensial Skalar.pdf

Documents

Transcript of Potensial Skalar.pdf