ANALISIS KOMPLEKSPertemuan -2

Bentuk Polar (Lanjutan)

3/17/20111

Bentuk Polar

Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk

polar yaitu dalam parameter r dan dengan hubungan

sebagai berikut :

r : disebut modulus z, r juga dinotasikan dengan | z |

: disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg z

Jadi z bisa dituliskan dalam bentuk :

Cosrx

Sinry

sinicosrsinricosrz

3/17/2011

Bentuk Polar

Gambar:

r1

1

iy

x

z1

r2

2

z2

3/17/2011

Bentuk Polar

Dari hubungan x,y terhadap r dan maka r dan dapat

dinyatakan dalam bentuk :

Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik

asalnya (0,0) sedangkan merupakan sudut z yang diukur

dari sumbu x positif dan tidak terdefinisi pada z = 0.

Nilai prinsipil didefinisikan pada

Karena sifat dari yang berulang ,seringkali kita hanya

menggunakan nilai pada selang tersebut.

22 yxrx

ytgarc

3/17/2011

Operasi

Perkalian dan Pembagian

Untuk mempermudah dapat digunakan sifat operasisebelumnya untuk mendapatkan hasil operasi dalam bentukpolar. Diketahui:

11111 SinirCosrz dan 22222 SinirCosrz

Perkalian )(Sini)(Cosrrz.z 21212121

Pembagian )(Sini)(Cosr

r

z

z2121

2

1

2

1

Hasil operasi diatas menggunakan sifat

212121 SinCosCosSin)(Sin

212121 SinSinCosCos)(Cos

3/17/2011

Operasi

Perkalian dan Pembagian

Contoh 1:

Tentukan nilai prinsipil dari argumen 1+i dan –1–i

beserta modulusnya.

Jawaban :

Modulus 1+i =

Argumen 1+I = arc tg(y|x) =

Modulus –1–i =

Argumen = arc tg (y|x) =

211i1 22

41tgarc

2)1()1(i1 22

4

31tgarc

3/17/2011

Bentuk Polar

Jawaban (lanjutan)

Untuk menghindari kesalahan

penentuan argumen, dapat

digunakan bidang kompleks

untuk menggambarkan titik –

titik tersebut.

2

2

/4

iy

x

1+i

–3/4

–1–i

3/17/2011

Bentuk Polar

Contoh 2:

Diketahui z1 = 1–i, z2 = –1+i

a. Gambarkan kedua bilangan kompleks tersebut dalam

bidang kompleks

b. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen dari

kedua bilangan kompleks tersebut

c. Sajikan kedua bilangan kompleks tersebut bentuk

polar

3/17/2011

Bentuk Polar

Jawaban

a. Gambar dalam bidangkompleks

Dalam gambar tersebutterlihat bahwa z1 terletakpada kuadran 4 sedangkanz2 terletak pada kuadran 2. Dengan rumus arc tg keduabilangan kompleks akanmenghasilkan nilai yang sama yaitu arc tg (–1).

X

iY

1

1

2

2

-1

-1

-2

-2

Z1

Z2

3/17/2011

Operasi

Perkalian dan Pembagian

Jawaban (lanjutan):

b. | z1 | = , | z2 | =

Sedangkan untuk nilai dapat kita tentukan dengan

karena keduanya merupakan sudut istimewa.

Untuk z1 , 1 = 315o ( nilai prinsipilnya − ¼ )

Untuk z2 , 2 = 135o ( nilai prinsipilnya ¾ )

c. ,

2)1(1 22 21)1( 22

4Sini

4Cos2z1

4

3Sini

4

3Cos2z2

3/17/2011

Operasi

Perkalian dan Pembagian

Contoh 3:

Diketahui dan

a. Tentukan modulus (z1z2) dan nilai prinsipil argumen

(z1z2)

b. Tentukan modulus dan nilai prinsipil argumen

Jawaban:

Jika dituliskan bentuk polar

z1 = ( cos /4 + i sin /4 ) dan

z2 = 2 (cos /6 + i sin /6 )

i1z1 i3z2

2

1

z

z

2

1

z

z

3/17/2011

Operasi

Perkalian dan Pembagian

Jawaban (lanjutan)

a.

sehingga modulus (z1z2) = 2 dan argumen (z1z2) =

b.

sehingga modulus dan argumen

64Sini

64Cos22z21z

12

5Sini

12

5Cos22

2 125

64Sini

64Cos

2

2

z

z

2

1

12Sini

12Cos

2

2

2

2

z

z

2

1

12z

z

2

1

3/17/2011

Bentuk pangkat

Dari hasil operasi perkalian bentuk polar dapat

diperoleh bentuk pangkat bilangan kompleks zn yaitu :

Bentuk pangkat ini lebih dikenal dengan nama rumus

De Moivre.

...Sini...Cosr...r.rzn

nSininCosrn

3/17/2011

TUGAS 02

1. Hitung

a. b.

2. Tentukan modulus , argumen dan nilai prinsipil

argumen dari bilangan kompleks berikut

a. 1+ i d. –1–i

b. −5 e. 3i

c.

z

z

1z

1z

3i1

3/17/2011

Soal−soal latihan

3. Diketahui ,tentukan

a. Re(z5) b. Im(z7)

i3z

3/17/2011