1

Pohon

Struktur Diskrit

2

Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung

yang tidak mengandung sirkuit

p o h o n p o h o n b u k a n p o h o n b u k a n p o h o n

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

3

H u t a n ( f o r e s t ) a d a l a h - k u m p u l a n p o h o n y a n g s a l i n g l e p a s , a t a u - g r a f t i d a k t e r h u b u n g y a n g t i d a k m e n g a n d u n g s i r k u i t . S e t i a p

k o m p o n e n d i d a l a m g r a f t e r h u b u n g t e r s e b u t a d a l a h p o h o n .

H u t a n y a n g t e r d i r i d a r i t i g a b u a h p o h o n

4

Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah

sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan

lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah

sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi

pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari

pohon.

5

Pohon Merentang (spanning tree)

P o h o n m e r e n t a n g d a r i g r a f t e r h u b u n g a d a l a h u p a g r a f m e r e n t a n g y a n g b e r u p a p o h o n .

P o h o n m e r e n t a n g d i p e r o l e h d e n g a n m e m u t u s s i r k u i t d i d a l a m g r a f .

G T 1 T 2 T 3 T 4

6

Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.

Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah

hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).

7

Aplikasi Pohon Merentang1 . J u m la h r u a s ja la n s e m in im u m m u n g k in y a n g

m e n g h u b u n g k a n s e m u a k o ta s e h in g g a s e t i a p k o ta t e t a p te r h u b u n g s a tu s a m a la in .

2 . P e r u te a n ( r o u t in g ) p e s a n p a d a j a r in g a n k o m p u te r .

(a) (b)Router

Subnetwork

( a ) J a r in g a n k o m p u te r , ( b ) P o h o n m e r e n ta n g m u l t i c a s t

8

Pohon Merentang Minimum G r a f t e r h u b u n g - b e r b o b o t m u n g k i n m e m p u n y a i l e b i h d a r i 1

p o h o n m e r e n t a n g . P o h o n m e r e n t a n g y a n g b e r b o b o t m i n i m u m – d i n a m a k a n p o h o n

m e r e n t a n g m i n i m u m ( m i n i m u m s p a n n i n g t r e e ) .

a

bc

d

e

f

g

h55

5

40

25

45

30

5020

15

35 10

a

bc

d

e

f

g

h

5

40

25 30

20

15

10

9

Algoritma Prim Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum,

masukkan ke dalam T. Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan

bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

10

procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor

11

Contoh:

1 2

3

4

5

6

1050

4530

2015

35

55

25

40

12

L an gk ah S isi B ob o t P oh o n ren tan g

1 (1, 2) 101 210

2 (2, 6) 25

1 2

6

10

25

3 (3, 6) 151

3

6

10

15

25

4 (4, 6) 201 2

3

4

6

10

2015

25

5 (3, 5) 351 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

13

Pohon merentang minimum yang dihasilkan:

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

1 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

14

Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.

Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang

akan dipilih berbobot sama.

15

Contoh:

Tiga buah pohon merentang minimumnya:

a b c d

ef g h

i j k l

3 2

4 2 3

5 4

4 2

4

a b c d

ef h

i j k l

3 2

4 2 3

5 3 4

4 2

4

a b c d

ef g h

i j k l

3 4 2

4 2 3

5 3 4

2

43

Bobotnya sama yaitu = 36

a b c d

ef g

h

i j k l

3

5

6

5 3 5 4

4 2

4 4

4 2

6324

16

Algoritma Kruskal ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak

membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.

17

procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor

18

Contoh: 1 2

3

4

5

6

1050

4530

2015

35

55

25

40

19

S i s i - s i s i d i u r u t m e n a i k :

S i s i ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 5 ) ( 1 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) B o b o t 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5

L a n g k a h S i s i B o b o t H u t a n m e r e n t a n g

1 (1, 2) 10

2 (3, 6) 15

3 (4, 6) 20

0 1 2 3 4 5 6

1 2

1 2 3

6

4 5

1 2 3

6

4

5

4 (2, 6) 251 2 3

4

5

20

Pohon m erentang m inim um yang dihasilkan:

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

4 (2, 6) 251 2 3

4

5

5 (1, 4) 30 ditolak

6 (3, 5) 351 2

3

6

4

5

1 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

21

Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan

sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).

(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat

dibuang

a

bc

d

ef g

h i j

a

bc

d

ef g

h i j

22

b s e b a g a i a k a r e se b a g a i a k a r

P o h o n d a n d u a b u a h p o h o n b e ra k a r y a n g d ih a s ilk a n d a r i p e m ilih a n d u a s im p u l b e rb e d a se b a g a i a k a r

a

b

c

d

e f

g

h

f

g

a

b

cd

e

f

g h

d

e

hb

a c

23

Terminologi pada Pohon Berakar

Anak (child atau children) dan Orangtua (parent) b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

24

2. Lintasan (path) Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j. Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. 3. Saudara kandung (sibling) f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan saudara kandung e, karena orangtua mereka berbeda.

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

25

4. Upapohon (subtree)

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

26

5. Derajat (degree) Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut. Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0. Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

27

6. Daun (leaf) Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun. 7. Simpul Dalam (internal nodes) Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

28

8. Aras (level) atau Tingkat

9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth) Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras

29

Pohon Terurut (ordered tree)Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).

(a) (b)

(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

1

2

6 87

34

9

10

5

1

2

68 7

3 4

9

10

5

30

Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai

paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>

<subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat

Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat

Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.

31

Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak

aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai

paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak

kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon

biner adalah pohon terurut.

32

a

b c

d

a

b c

d

Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda

33

Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan

a

b

c

d

a

b

c

d

34

Gambar Pohon biner penuh

35

P o h o n B i n e r S e i m b a n g P a d a b e b e r a p a a p l i k a s i , d i i n g i n k a n t i n g g i u p a p o h o n k i r i d a n t i n g g i u p a p o h o n k a n a n y a n g s e i m b a n g , y a i t u b e r b e d a m a k s i m a l 1 .

T 1 T 2 T 3

G a m b a r T 1 d a n T 2 a d a l a h p o h o n s e i m b a n g , s e d a n g k a n T 3 b u k a n p o h o n s e i m b a n g .

36

Terapan Pohon Biner1. Pohon Ekspresi

Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))

*

+ /

a b+

d e

c

daun operandsimpul dalam operator

37

2. Pohon Keputusan

Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

a : b

a : c b : c

b : c c > a > b a : c c > b > a

a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a

a > b b > a

a >c c > a

b > c c > b

b > c c > b

a >c c > a

38

3. Kode Awalan

Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

1

11

1

0

0

0

0

111001

001000

39

4. Kode Huffman

Tabel Kode ASCII

Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100 rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:

01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001

atau 7 8 = 56 bit (7 byte).

40

Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman untuk string ABACCDA

Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111

Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:

0110010101110

hanya 13 bit!

41

Algoritma pembentukan pohon Huffman1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling

kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang kedua anaknya.

2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.

3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.

42

A = 0, C = 10, B = 110, D = 111

A BCD , 7/7

A , 3/7 CBD , 4 /7

C , 2/7 BD , 3/7

B , 3 /7 D , 3/7

1

1

1

0

0

0

43

5. Pohon Pencarian Biner

R

T1 T2

Kunci( T1) < Kunci( R )

Kunci( T2) > Kunci( R )

44

Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70

50

32

4018

50

52 70

5 25

45

Penelusuran (traversal) Pohon Biner1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R

46

( a ) p re o r d e r (b ) in o rd e r

( c ) p o s to r d e r

R

T1 T2

Langkah 3: kunjungi R

Langkah 1: kunjungi T1secara postorder

Langkah 2: kunjungi T2secara postorder

R

T1 T2

Langkah 1: kunjungi R

Langkah 2: kunjungi T1secara preorder

Langkah 3: kunjungi T2secara preorder

R

T1 T2

Langkah 2: kunjungi R

Langkah 1: kunjungi T1secara inorder

Langkah 3: kunjungi T2secara inorder

47

preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)

*

+ -

a / d *

b c e f

48

Soal latihan1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari

delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.

49

2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:

a

b c d

e f g h i j k l m

n o p q

50

3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.

51

4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).

a b c

de

f

g h i

5 4

2 3 5 6 37 1

6 8 3 4 4

4 2

52

6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:

P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O

(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,

dari pohon jawaban (a) di atas.