Pohon

53
Rinaldi M/IF2120 Matdis 1 Pohon Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit Program Studi Teknik Informatika ITB

description

Pohon. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Program Studi Teknik Informatika ITB. Definisi. Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak mengandung sirkuit. Hutan. Sifat-sifat (properti) pohon. Pohon Merentang ( spanning tree ). Aplikasi Pohon Merentang. Pohon Merentang Minimum. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Pohon

Page 1: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 1

Pohon

Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit

Program Studi Teknik Informatika ITB

Page 2: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 2

Definisi Pohon adalah graf tak-berarah terhubung

yang tidak mengandung sirkuit

p o h o n p o h o n b u k a n p o h o n b u k a n p o h o n

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

a b

c d

e f

Page 3: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 3

H u t a n ( f o r e s t ) a d a l a h - k u m p u l a n p o h o n y a n g s a l i n g l e p a s , a t a u - g r a f t i d a k t e r h u b u n g y a n g t i d a k m e n g a n d u n g s i r k u i t . S e t i a p

k o m p o n e n d i d a l a m g r a f t e r h u b u n g t e r s e b u t a d a l a h p o h o n .

H u t a n y a n g t e r d i r i d a r i t i g a b u a h p o h o n

Page 4: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 4

Hutan

Page 5: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 5

Sifat-sifat (properti) pohon Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah

sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: 1. G adalah pohon. 2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan

lintasan tunggal. 3. G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi. 4. G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah

sisi. 5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi

pada graf akan membuat hanya satu sirkuit. 6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain dari

pohon.

Page 6: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 6

Pohon Merentang (spanning tree)

P o h o n m e r e n t a n g d a r i g r a f t e r h u b u n g a d a l a h u p a g r a f m e r e n t a n g y a n g b e r u p a p o h o n .

P o h o n m e r e n t a n g d i p e r o l e h d e n g a n m e m u t u s s i r k u i t d i d a l a m g r a f .

G T 1 T 2 T 3 T 4

Page 7: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 7

Setiap graf terhubung mempunyai paling sedikit satu buah pohon merentang.

Graf tak-terhubung dengan k komponen mempunyai k buah

hutan merentang yang disebut hutan merentang (spanning forest).

Page 8: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 8

Aplikasi Pohon Merentang1 . J u m la h r u a s j a la n s e m in im u m m u n g k in y a n g

m e n g h u b u n g k a n s e m u a k o ta s e h in g g a s e t i a p k o ta t e ta p t e r h u b u n g s a tu s a m a la in .

2 . P e r u te a n ( r o u t in g ) p e s a n p a d a j a r in g a n k o m p u te r .

(a) (b)

Router

Subnetwork

( a ) J a r in g a n k o m p u te r , ( b ) P o h o n m e r e n ta n g m u l t ic a s t

Page 9: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 9

Pohon Merentang Minimum

G r a f t e r h u b u n g - b e r b o b o t m u n g k i n m e m p u n y a i l e b i h d a r i 1 p o h o n m e r e n t a n g .

P o h o n m e r e n t a n g y a n g b e r b o b o t m i n i m u m – d i n a m a k a n p o h o n m e r e n t a n g m i n i m u m ( m i n i m u m s p a n n i n g t r e e ) .

a

bc

d

e

f

g

h

55

5

40

25

45

30

5020

15

35 10

a

bc

d

e

f

g

h

5

40

25 30

20

15

10

Page 10: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 10

Algoritma Prim

Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.

Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan

bersisian dengan simpul di T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T. Masukkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2 kali.

Page 11: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 11

procedure Prim(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung-berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma Cari sisi (p,q) dari E yang berbobot terkecil T {(p,q)} for i1 to n-2 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil namun bersisian dengan simpul di T T T {(u,v)} endfor

Page 12: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 12

Contoh:

1 2

3

4

5

6

1050

4530

2015

35

55

25

40

Page 13: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 13

L an g k ah S is i B o b o t P o h o n ren tan g

1 (1, 2) 101 210

2 (2, 6) 25

1 2

6

10

25

3 (3, 6) 151

3

6

10

15

25

4 (4, 6) 201 2

3

4

6

10

2015

25

5 (3, 5) 351 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

Page 14: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 14

Pohon merentang minimum yang dihasilkan:

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

1 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

Page 15: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 15

Pohon merentang yang dihasilkan tidak selalu unik meskipun bobotnya tetap sama.

Hal ini terjadi jika ada beberapa sisi yang

akan dipilih berbobot sama.

Page 16: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 16

Contoh:

Tiga buah pohon merentang minimumnya:

a b c d

ef g h

i j k l

3 2

4 2 3

5 4

4 2

4

a b c d

ef h

i j k l

3 2

4 2 3

5 3 4

4 2

4

a b c d

ef g h

i j k l

3 4 2

4 2 3

5 3 4

2

43

Bobotnya sama yaitu = 36

a b c d

ef g

h

i j k l

3

5

6

5 3 5 4

4 2

4 4

4 2

6324

Page 17: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 17

Algoritma Kruskal

( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) Langkah 1: T masih kosong Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot minimum yang tidak

membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.

Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 1 kali.

Page 18: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 18

procedure Kruskal(input G : graf, output T : pohon) { Membentuk pohon merentang minimum T dari graf terhubung –berbobot G. Masukan: graf-berbobot terhubung G = (V, E), dengan V = n Keluaran: pohon rentang minimum T = (V, E’) } Deklarasi i, p, q, u, v : integer Algoritma ( Asumsi: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar) T {} while jumlah sisi T < n-1 do Pilih sisi (u,v) dari E yang bobotnya terkecil if (u,v) tidak membentuk siklus di T then T T {(u,v)} endif endfor

Page 19: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 19

Contoh: 1 2

3

4

5

6

1050

4530

2015

35

55

25

40

Page 20: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 20

S i s i - s i s i d i u r u t m e n a i k :

S i s i ( 1 , 2 ) ( 3 , 6 ) ( 4 , 6 ) ( 2 , 6 ) ( 1 , 4 ) ( 3 , 5 ) ( 2 , 5 ) ( 1 , 5 ) ( 2 , 3 ) ( 5 , 6 ) B o b o t 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 5 5 0 5 5

L a n g k a h S i s i B o b o t H u t a n m e r e n t a n g

1 (1, 2) 10

2 (3, 6) 15

3 (4, 6) 20

0 1 2 3 4 5 6

1 2

1 2 3

6

4 5

1 2 3

6

4

5

4 (2, 6) 251 2 3

4

5

Page 21: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 21

Pohon merentang minimum yang dihasilkan:

Bobot = 10 + 25 + 15 + 20 + 35 = 105

5 (1, 4) 30 ditolak

6 (3, 5) 351 2

3

6

4

5

1 2

3

4

5

6

10

45

2015

35

55

25

Page 22: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 22

Pohon berakar (rooted tree) Pohon yang satu buah simpulnya diperlakukan sebagai akar dan

sisi-sisinya diberi arah sehingga menjadi graf berarah dinamakan pohon berakar (rooted tree).

(a) Pohon berakar (b) sebagai perjanjian, tanda panah pada sisi dapat

dibuang

a

b

cd

ef g

h i j

a

b

cd

ef g

h i j

Page 23: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 23

b s e b a g a i a k a r e s e b a g a i a k a r

P o h o n d a n d u a b u a h p o h o n b e ra k a r y a n g d ih a s ilk a n d a r i p e m ilih a n d u a s im p u l b e rb e d a se b a g a i a k a r

a

b

c

d

e f

g

h

f

g

a

b

cd

e

f

g h

d

e

hb

a c

Page 24: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 24

Terminologi pada Pohon Berakar

Anak (child atau children) dan Orangtua (parent)

b, c, dan d adalah anak-anak simpul a, a adalah orangtua dari anak-anak itu

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

Page 25: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 25

2. Lintasan (path)

Lintasan dari a ke j adalah a, b, e, j.

Panjang lintasan dari a ke j adalah 3. 3. Saudara kandung (sibling)

f adalah saudara kandung e, tetapi g bukan

saudara kandung e, karena orangtua mereka

berbeda.

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

Page 26: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 26

4. Upapohon (subtree)

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

Page 27: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 27

5. Derajat (degree)

Derajat sebuah simpul adalah jumlah upapohon (atau jumlah anak) pada simpul tersebut.

Derajat a adalah 3, derajat b adalah 2, Derajat d adalah satu dan derajat c adalah 0.

Jadi, derajat yang dimaksudkan di sini adalah derajat-keluar. Derajat maksimum dari semua simpul merupakan derajat pohon itu sendiri. Pohon di atas berderajat 3

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

Page 28: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 28

6. Daun (leaf)

Simpul yang berderajat nol (atau tidak mempunyai anak) disebut daun. Simpul h, i, j, f, c, l, dan m adalah daun.

7. Simpul Dalam (internal nodes)

Simpul yang mempunyai anak disebut simpul dalam. Simpul b, d, e, g, dan k adalah simpul dalam. a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

Page 29: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 29

8. Aras (level) atau Tingkat

9. Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)

Aras maksimum dari suatu pohon disebut tinggi atau kedalaman pohon tersebut. Pohon di atas mempunyai tinggi 4.

a

b

k

g

j

f

c d

ml

i

e

h

0

1

2

3

4

Aras

Page 30: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 30

Pohon Terurut (ordered tree)Pohon berakar yang urutan anak-anaknya penting disebut pohon terurut (ordered tree).

(a) (b)

(a) dan (b) adalah dua pohon terurut yang berbeda

1

2

6 87

34

9

10

5

1

2

68 7

3 4

9

10

5

Page 31: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 31

Pohon n-ary Pohon berakar yang setiap simpul cabangnya mempunyai

paling banyak n buah anak disebut pohon n-ary. < sentence>

<subject> <verb> <object> <article> <noun phrase> wears <article> <noun> A <adjective> <noun> a <adjective> <noun> tall boy red hat

Gambar Pohon parsing dari kalimat A tall boy wears a red hat

Pohon n-ary dikatakan teratur atau penuh (full) jika setiap simpul cabangnya mempunyai tepat n anak.

Page 32: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 32

Pohon Biner (binary tree) Adalah pohon n-ary dengan n = 2. Pohon yang paling penting karena banyak

aplikasinya. Setiap simpul di adlam pohon biner mempunyai

paling banyak 2 buah anak. Dibedakan antara anak kiri (left child) dan anak

kanan (right child) Karena ada perbedaan urutan anak, maka pohon

biner adalah pohon terurut.

Page 33: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 33

a

b c

d

a

b c

d

Gambar Dua buah pohon biner yang berbeda

Page 34: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 34

Gambar (a) Pohon condong-kiri, dan (b) pohon condong kanan

a

b

c

d

a

b

c

d

Page 35: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 35

Gambar Pohon biner penuh

Page 36: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 36

P o h o n B i n e r S e i m b a n g P a d a b e b e r a p a a p l i k a s i , d i i n g i n k a n t i n g g i u p a p o h o n k i r i d a n t i n g g i u p a p o h o n k a n a n y a n g s e i m b a n g , y a i t u b e r b e d a m a k s i m a l 1 .

T 1 T 2 T 3

G a m b a r T 1 d a n T 2 a d a l a h p o h o n s e i m b a n g , s e d a n g k a n T 3 b u k a n p o h o n s e i m b a n g .

Page 37: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 37

Terapan Pohon Biner1. Pohon Ekspresi

Gambar Pohon ekspresi dari (a + b)*(c/(d + e))

*

+ /

a b+

d e

c

daun operandsimpul dalam operator

Page 38: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 38

2. Pohon Keputusan

Gambar Pohon keputusan untuk mengurutkan 3 buah elemen

a : b

a : c b : c

b : c c > a > b a : c c > b > a

a > b > c a > c > b b > a > c b > c > a

a > b b > a

a >c c > a

b > c c > b

b > c c > b

a >c c > a

Page 39: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 39

3. Kode Awalan

Gambar Pohon biner dari kode prefiks { 000, 001, 01, 10, 11}

1

11

1

0

0

0

0

111001

001000

Page 40: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 40

4. Kode Huffman

Tabel Kode ASCII

Simbol Kode ASCII A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 01000100

rangkaian bit untuk string ‘ABACCDA’:

01000001010000010010000010100000110100000110100010001000001

atau 7 8 = 56 bit (7 byte).

Page 41: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 41

Tabel Tabel kekerapan (frekuensi) dan kode Huffman

untuk string ABACCDA

Simbol Kekerapan Peluang Kode Huffman A 3 3/7 0 B 1 1/7 110 C 2 2/7 10 D 1 1/7 111

Dengan kode Hufman, rangkaian bit untuk ’ABACCDA’:

0110010101110

hanya 13 bit!

Page 42: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 42

Algoritma pembentukan pohon Huffman1. Pilih dua simbol dengan peluang (probability) paling

kecil (pada contoh di atas simbol B dan D). Kedua simbol tadi dikombinasikan sebagai simpul orangtua dari simbol B dan D sehingga menjadi simbol BD dengan peluang 1/7 + 1/7 = 2/7, yaitu jumlah peluang

kedua anaknya.

2. Selanjutnya, pilih dua simbol berikutnya, termasuk simbol baru, yang mempunyai peluang terkecil.

3. Ulangi langkah 1 dan 2 sampai seluruh simbol habis.

Page 43: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 43

A = 0, C = 10, B = 110, D = 111

ABCD , 7/7

A , 3/7 CBD , 4 /7

C , 2/7 BD , 3/7

B , 3 /7 D , 3/7

1

1

1

0

0

0

Page 44: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 44

5. Pohon Pencarian Biner

R

T1 T2

Kunci( T1) < Kunci( R )

Kunci( T2) > Kunci( R )

Page 45: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 45

Data: 50, 32, 18, 40, 60, 52, 5, 25, 70

50

32

4018

50

52 70

5 25

Page 46: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 46

Penelusuran (traversal) Pohon Biner1. Preorder : R, T1, T2 - kunjungi R - kunjungi T1 secara preorder - kunjungi T2 secara preorder 2. Inorder : T1 , R, T2 - kunjungi T1 secara inorder - kunjungi R - kunjungi T2 secara inorder 3. Postorder : T1, T2 , R - kunjungi T1 secara postorder - kunjungi T2 secara postorder - kunjungi R

Page 47: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 47

(a ) p r e o r d e r (b ) in o r d e r

(c ) p o s to r d e r

R

T1 T2

Langkah 3: kunjungi R

Langkah 1: kunjungi T1secara postorder

Langkah 2: kunjungi T2secara postorder

R

T1 T2

Langkah 1: kunjungi R

Langkah 2: kunjungi T1secara preorder

Langkah 3: kunjungi T2secara preorder

R

T1 T2

Langkah 2: kunjungi R

Langkah 1: kunjungi T1secara inorder

Langkah 3: kunjungi T2secara inorder

Page 48: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 48

preorder : * + a / b c - d * e f (prefix) inorder : a + b / c * d - e * f (infix) postorder : a b c / + d e f * - * (postfix)

*

+ -

a / d *

b c e f

Page 49: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 49

Soal latihan1. Diketahui 8 buah koin uang logam. Satu dari

delapan koin itu ternyata palsu. Koin yang palsu mungkin lebih ringan atau lebih berat daripada koin yang asli. Misalkan tersedia sebuah timbangan neraca yang sangat teliti. Buatlah pohon keputusan untuk mencari uang palsu dengan cara menimbang paling banyak hanya 3 kali saja.

Page 50: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 50

2. Tentukan hasil kunjungan preorder, inorder, dan postorder pada pohon 4-ary berikut ini:

a

b c d

e f g h i j k l m

n o p q

Page 51: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 51

3. Gunakan pohon berakar untuk menggambarkan semua kemungkinan hasil dari pertandingan tenis antara dua orang pemain, Anton dan Budi, yang dalam hal ini pemenangnya adalah pemain yang pertama memenangkan dua set berturut-turut atau pemain yang pertama memenangkan total tiga set.

Page 52: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 52

4. Tentukan dan gambarkan pohon merentang minimum dari graf di bawah ini (tahapan pembentukannya tidak perlu ditulis).

a b c

de

f

g h i

5 4

2 3 5 6 37 1

6 8 3 4 4

4 2

Page 53: Pohon

Rinaldi M/IF2120 Matdis 53

6. Diberikan masukan berupa rangkaian karakter dengan urutan sebagai berikut:

P, T, B, F, H, K, N, S, A, U, M, I, D, C, W, O

(a) Gambarkan pohon pencarian (search tree) yang terbentuk. (b) Tentukan hasil penelusuran preorder, inorder, dan postorder,

dari pohon jawaban (a) di atas.