Plot Fungsi Pada MATLAB (Tingkat SMA)
-
Upload
sas-wahid-hamzah -
Category
Documents
-
view
601 -
download
2
description
Transcript of Plot Fungsi Pada MATLAB (Tingkat SMA)
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
1
PLOT FUNGSI
A. PEMAHAMAN FUNGSI
Suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai suatu aturan yang membuat korespondensi
antara dua himpunan bilangan sehingga hubungan dari dua himpunan bilangan tersebut
menjadi tidak ambigu. Pada umumnya suatu fungsi dinotasikan dalam bentuk aljabar.
Sebagai contoh jika ada fungsi π¦ = π₯2 maka π¦ merupakan variable dependen, sedangkan π₯
adalah variable independent. Kita bisa mengatakan bahwa π¦ bergantung pada π₯ karena π₯
adalah variable bebas yang bisa kita ganti dengan nilai berapapun.
Fungsi dengan sebuah variable independen biasanya akan menghasilkan garis
tunggal atau kurva ketika digambar pada koordinat kartesian, sedangkan fungsi dengan dua
variable independen atau lebih akan menghasilkan suatu permukaan (surface) ketika
digambar.
Himpunan bilangan atau titik dimana suatu fungsi didefinisikan disebut sebagai domain
fungsi. Sebagai contoh, fungsi π¦ = π₯3 terdefinisi untuk semua bilangan real karena kita bisa
mengganti π₯ dengan nilai berapapun, lalu menhitung pangkat tiga nya. Himpunan bilangan
yang dihasilkan oleh suatu fungsi disebut sebagai range yang merupakan bagian dari co-
domain. Dengan kata lain, domain adalah bilangan β bilangan yang bisa kita inputkan ke
dalam fungsi, sedangkan range adalah bilangan β bilangan hasil keluaran suatu fungsi.
Lebih jelasnya lihat gambar berikut :
π₯ π¦ = 2π₯ + 1
π·πππππ βΆ 1, 2, 3, 4
πΆπ β π·πππππ βΆ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
π ππππ βΆ 3, 5, 7, 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
2
B. FUNGSI PADA KOORDINAT KARTESIAN
Secara tradisional, system koordinat kartesian dibangun dari dua sumbu atau tiga
sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yang umumnya sumbu β sumbu tersebut
disimbolkan sebagai sumbu π₯, sumbu π¦, dan apabila dalam bentuk tiga dimensi, maka akan
terdapat sumbu π§. Fungsi pada koordinat kartesian tiga dimensi bisa memuat dua variable
independen, dengan bentuk π¦ = π(π₯, π§) atau π§ = π(π₯, π¦). Untuk koordinat kartesian kita tidak
perlu membahasnya lebih panjang karena sudah sangat familiar.
C. FUNGSI PADA KOORDINAT POLAR
Dalam matematika, system koordinat polar adalah system koordinat dua dimensi
dimana suatu titik dalam bidang ditentukan oleh jarak titik tersebut ke titik pusat, dan sudut
yang dibentuk dengan garis acuan (lazimnya adalah searah dengan garis sumbu π₯ +).
Untuk lebih jelasnya lihat gambar sebagai berikut :
Gambar pertama menunjukkan titik dalam koordinat polar dengan titik pusat 0 dan
sumbu polar πΏ. Titik dengan garis hijau memiliki koordinat radial sebesar 3, dan koordinat
angular sebesar 60Β° (3, 60Β°), sedangkan titik dengan garis biru menunjukkan (4, 210Β°).
Ingatlah bahwa besaran sudut tidak selalu ditulis dalam satuan derajat, namun juga radian.
Gambar kedua menunjukkakn acuan besaran sudut pada koordinat polar, dan gambar
ketiga menunjukkan hubungan antara koordinat kartesian dan koordinat polar.
Untuk mengkonversi dari koordinat kartesian ke koordinat polar, digunakan persamaan
β persamaan sebagai berikut :
πππππ ππ πΎπππ‘ππ πππ βΆ π₯ = π cos π , π¦ = π sin π
πΎπππ‘ππ πππ ππ πππππ βΆ π = π₯2 + π¦2 , π = πππ π‘πππ¦
π₯
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :
Konversikan posisi titik (2, 2) ke koordinat polar
Jawab : π = 22 + 22 = 2 2
π = πππ tan2
2=
π
4= 45Β°
= (2 2,π
4)
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
3
Konversikan posisi titik (6,π
3) ke koordinat kartesian
Jawab : π₯ = 6 cosπ
3= 3
π¦ = 6 sinπ
3= 3 3
= (3, 3 3)
D. MENGGAMBAR PLOT FUNGSI DENGAN MATLAB
Secara mendasar, untuk menggambar suatu fungsi kita memerlukan fungsi yang akan
digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita definisikan terlebih dahulu.
Plot Garis 2D Koordinat Kartesian
Untuk melakukan plot 2D dari suatu fungsi, kita tuliskan perintah sebagai berikut :
β« ππππ‘(ππππππ, ππ’πππ π)
Contoh kita akan melakukan plotting untuk fungsi π¦ = π₯2 dengan domain β4 β€ π₯ β€ 4, maka
kita tuliskan perintah sebagai berikut :
β« π₯ = β4 βΆ 4 β²
β« π¦ = π₯. ^2 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦) β²
Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
4
Jika kita lihat sekilas, grafik diatas tidaklah smooth, dikarenakan MATLAB menggambar
dengan korespondensi sebagai berikut
β« π₯ = β4 β 3 β 2 β 1 0 1 2 3 4
β« π¦ = 16 9 4 1 0 1 4 9 16
Posisi titik β titik diatas lalu dihubungkan dengan garis lurus sehingga menghasilkan plot
yang kurang smooth dikarenakan peningkatan nilai = 1 . Untuk mengatasi hal ini maka
peningkatan nilai π₯ haruslah sangat kecil, taruhlah peningkatan nilai π₯ = 0.001 sehingga kita
perlu mengubah syntax sebagai berikut :
β« π₯ = β4 βΆ 0.001 βΆ 4 β²
β« π¦ = π₯. ^2 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦) β²
Plot yang dihasilkan adalah sebagai berikut :
Untuk memberikan label pada sumbu π₯, sumbu π¦, maupun judul grafik, kita tambahkan
perintah sebagai berikut :
β« π₯πππππ(β²π π’πππ’ π₯β²) β²
β« π¦πππππ(β²π π’πππ’ π¦β²) β²
β« π‘ππ‘ππ(β²ππππππ ππ’πππ π π¦ = π₯^2β²) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
5
Untuk mengganti properties pada kurva/garis kita dapat melengkapi syntax ππππ‘ menjadi
β« ππππ‘(ππππππ, πππππ, β²π€ππππ__πππππ π‘πππ__πππππ πππππππ__πππππ β²)
Dengan keterangan sebagai berikut:
Hal Nilai Inputan Arti (warna)
Warna
βcβ Cyan
βmβ Magenta
βyβ Kuning
βrβ Merah
βgβ Hijau
βbβ Biru
βwβ Putih
βkβ Hitam
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
6
Hal Nilai Inputan Arti (tipe)
Tipe
β-β Garis solid
β- -β Garis strip
β:β Garis berupa titik β titik
β-.β Garis strip dan titik
βnoβ Tanpa garis
βhurufβ Huruf
Hal Nilai Inputan Arti (marking)
Marking
β+β Tanda tambah
βoβ Lingkaran berlubang
β*β Asterisk
βxβ Huruf x
βsβ Persegi berisi
βdβ Diamond berisi
β^β Segitiga atas berisi
βvβ Segitiga bawah berisi
β>β Segitiga kanan berisi
β<β Segitiga kiri berisi
βpβ Pentagram (segi lima) berisi
βhβ Hexagram (segi enam) berisi
βnoβ Tanpa marking
βhurufβ Huruf
Kita akan coba membuat plot untuk fungsi kuadrat diatas dengan menggunakan properties
yang telah dijelaskan diatas, berikut syntaxnya
β« π₯ = β4 βΆ 4 β²
β« π¦ = π₯. ^2 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦, β²π β βπ β²) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
7
Untuk membuat beberapa kurva dalam bidang yang sama, maka kita gunakan perintah
ππππ ππ dengan diteruskan membuat fungsi dan plot yang baru. Misalnya kita akan
membuat plot dari tiga fungsi kuadrat yaitu π¦ = π₯2 , π¦ = π₯2 + 2, dan π¦ = π₯2 + 4 sekaligus
dalam satu bidang.
β« π₯ = β4 βΆ 4 β²
β« π¦1 = π₯. ^2 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦) β²
β« ππππ ππ β²
β« π¦2 = π₯. ^2 + 2 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦2, β²π β βπ β²) β²
β« ππππ ππ β²
β« π¦ = π₯. ^2 + 4 β²
β« ππππ‘(π₯, π¦3, β²π β π£β²) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
8
Jika kita ingin menggambar plot suatu grafik, namun kita bingung untuk menentukan domain
dari fungsi yang akan kita gambar, maka kita gunakan perintah ππ§ππππ‘ untuk menggambar
fungsi yang bersangkutan dengan memperkenalkan variable terlebih dahulu dengan
perintah π π¦ππ , contohnya kita akan menggambar plot untuk π¦ = π₯2 β 9 :
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
9
Plot Garis 2D Koordinat Polar
Seperti halnya pada koordinat kartesian, untuk menggambar suatu fungsi kita
memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita
definisikan terlebih dahulu. Dalam hal ini kita akan mencoba menggambar fungsi polar rose
dan fungsi spiral Archimedean.
Fungsi polar rose
Fungsi polar rose jika digambar mirip seperti kelopak bunga, salah satu persamaan polar
rose yang akan kita gambar adalah
π π = 2 sin 4π
Dengan domain 0 β€ π β€ 2π, dengan kenaikan π sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini π
akan kita ganti sebagai π‘ untuk mempemudah
β« π‘ = 0 βΆ 0.01: 2 β ππ; β²
β« π = 2 β sin 4 β π‘ ; β²
β« πππππ(π‘, π) β²
β« π‘ππ‘ππ(β²πΉπ’πππ π πππππ π΅π’πππβ²) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
10
Fungsi Spiral Archimedean
Seperti namanya fungsi ini berbentuk spiral, mungkin bisa dianalogikan dengan rumah
keong. Fungsi yang akan kita gambar adalah
π π =π
2π
Dengan domain 0 β€ π β€ 6π, dengan kenaikan π sebesar 0.01 radian. Dalam hal ini π
akan kita ganti sebagai π‘ untuk mempemudah
β« π‘ = 0 βΆ 0.01: 6 β ππ; β²
β« π = π‘/(2 β ππ); β²
β« πππππ(π‘, π) β²
β« π‘ππ‘ππ(β²πΉπ’πππ π ππππππ π΄ππππππππππβ²) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
11
Plot Kontur/Permukaan/3D
Seperti pada yang telah diterangkan sebelumnya, untuk menggambar suatu fungsi kita
memerlukan fungsi yang akan digambar, dan domain fungsi yang keduanya harus kita
definisikan terlebih dahulu. Pada fungsi kartesian dengan bentuk umum π§ = π(π₯, π¦) maka
kita perlu mendefinisikan domain fungsi pada sumbu π₯ dan pada sumbu π¦. Hal tersebut
dapat kita lakukan dengan perintah πππ πππππ dengan format sebagai berikut :
β« π₯, π¦ = πππ πππππ(π₯1: ππ₯: π₯2; π¦1, ππ¦, π¦2)
Dimana : π₯1 βΆ πππ‘ππ πππ€ππ ππππππ π₯ π¦πππ πππ‘π π‘πππ‘π’πππ
ππ₯ βΆ πππππππππ‘ππ πππππ ππππ ππππππ π₯ (π ππππππ πππππ π ππππππ πππ‘πππ)
π₯2 βΆ πππ‘ππ ππ‘ππ ππππππ π₯ π¦πππ πππ‘π π‘πππ‘π’πππ
π¦1 βΆ πππ‘ππ πππ€ππ ππππππ π¦ π¦πππ πππ‘π π‘πππ‘π’πππ
ππ¦ βΆ πππππππππ‘ππ πππππ ππππ ππππππ π¦ (π ππππππ πππππ π ππππππ πππ‘πππ)
π¦2 βΆ πππ‘ππ ππ‘ππ ππππππ π¦ π¦πππ πππ‘π π‘πππ‘π’πππ
Sedangkan untuk menggambar dalam koordinat tiga dimensi, ada beberapa perintah yang
bisa kita gunakan, yaitu :
β« π π’ππ (ππππππ_π, ππππππ_π, ππ’πππ π) : untuk menggambar permukaan
β« πππ π (ππππππ_π, ππππππ_π, ππ’πππ π) : untuk menggambar rangka dari fungsi
β« ππππ‘ππ’π (ππππππ_π, ππππππ_π, ππ’πππ π) : untuk menggambar kontur, yaitu garis β garis/
kurva β kurva pada bidang datar yang menunjukkan ketinggian
Apabila kita ingin menggambar suatu fungsi namun bingung dengan penentuan domain, kita
bisa menggunakan perintah β perintah sebagai berikut :
β« ππ§π π’ππ ( ππ’πππ π)
β« ππ§πππ π ( ππ’πππ π)
β« ππ§ππππ‘ππ’π (ππ’πππ π)
dengan memperkenalkan terlebih dahulu variable β variable dengan perintah π π¦ππ
Untuk lebih jelasnya akan dicontohkan kita akan menggambar beberapa fungsi tiga
dimensi sebagai berikut :
Fungsi Paraboloid (menggunakan π π’ππ)
Fungsi paraboloid merupakan hasil perputaran 360Β° fungsi parabola terhadap sumbu
simetrinya. Fungsi yang akan kita gambar adalah
π§ = π₯2 + π¦2,
dengan domain β5 β€ π₯ β€ 5, dan β5 β€ π¦ β€ 5, dengan peningkatan nilai domain sebesar
0.5. Kita ketikkan perintah sebagai berikut :
β« π₯, π¦ = πππ πππππ(β5: 0.5: β5, β5: 0.5: 5); β²
β« π§ = π₯. ^2 + π¦. ^2; β²
β« π π’ππ(π₯, π¦, π§) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
12
Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan ππ§πππ π)
Fungsi hyperbolic-paraboloid merupakan hasil perpaduan 2 fungsi hyperbolic, dan
sebuah fungsi parabolic. Dua fungsi hyperbola tegak lurus terhadap bidang π₯π¦
sedangkan sebuah fungsi hiperbola sejajar dengan bidang π§π¦. Fungsi ini jika dilihat
seperti sebuah pelana kuda. Fungsi yang akan kita gambar adalah
π§ = π¦2 β π₯2
Kita ketikkan perintah sebagai berikut :
β« π π¦ππ π₯; β²
β« π π¦ππ π¦; β²
β« π§ = π¦^2 β π₯^2; β²
β« ππ§πππ π(π§) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
13
Fungsi Hyperbolic-Paraboloid (menggunakan ππ§ππππ‘ππ’π)
Kita akan coba menggambar kontur dari fungsi hyperbolic-paraboloid pelana kuda
diatas. Yang perlu kita ketahui, output pada fungsi kontur adalah beberapa garis yang
memiliki berbagai macam warna. Warna β warna yang ada bisa kita deretkan seperti
aturan spectrum warna. Semakin kearah warna merah menunjukkan permukaan yang
tinggi, sedangkan semakin kearah warna biru menunjukkan permukaan yang rendah.
Kita ketikkan perintah sebagai berikut :
β« π π¦ππ π₯; β²
β« π π¦ππ π¦;
β« π§ = π¦^2 β π₯^2; β²
β« ππ§ππππ‘ππ’π(π§) β²
Sas Wahid H. Bogor, 07 Agustus 2012
14
REFERENSI
Stewart, James. 2008. Calculus, 6th Edition. California : Thomson Brooks/Cole
Varberg, D.E, Purcell, E.J., Rigdon, S.E. 2006. Calculus, 9th Edition. New Jersey :
Pearson Prentice Hall
Thomas, G.B., Weir, D.B., Hass, J. Giordano, F.R. 2004. Calculus, 11th Edition.
Massachussets : Addison Wesley
Perez, E. 2008. The Golden E-Book of Graphs of Mathematical Functions : A Selection
of Some Beautiful Mathematical Surfaces from The Domain of The Real and
Transcomplex Numbers System. Tanpa Kota : Tanpa Penerbit
The MathWorks, Inc. 2012. MATLAB Primer. Massachussets : The MathWorks Inc
REFERENSI ONLINE :
Pierce, Rod. (27 May 2011). "Domain, Range and Codomain". Math Is Fun. Tersedia pada
situs : http://www.mathsisfun.com/sets/domain-range-codomain.html βGraphing
Quadratic Functions : Introductionβ. (diakses pada 16 Juli 2012)
Stapel, Elizabeth. "Graphing Quadratic Functions." Purplemath. Tersedia pada situs :
http://www.purplemath.com/modules/grphquad.htm (diakses pada 15 July 2012)
βPolar Coordinate Systemβ. http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system (diakses
tanggal 15 Juni 2012)