PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang...

86
PERBANDINGAN INTERPOLASI DALAM METODE SPLINE Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Oleh : Anastasia Vrysca Jayanti NIM : 013114014 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang...

Page 1: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PERBANDINGAN INTERPOLASI DALAM METODE SPLINE

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Anastasia Vrysca Jayanti

NIM : 013114014

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2007

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

When Jesus Say That He Love Me

I feel that I am lonely

It doesn’t prove that I am alone

I listen to the words He say That He will always be by my side

I mean everything to Him And He will never leave me

‘cause He love me so

When He say that He love me It means He give the best for me

When He say that He love me He will give everything for me No more fear about the future

And the blame for the past He will give everything

When He say that He love me

He died for me He give His life for me

When He say that He love……….

Say that He love me

I think that I am nothing I think that I can’t do anything

But I can do a lot of things with Him

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

  

 

Apa yang kuberikan untuk Mama 

Untuk Mama tersayang Tak kumiliki sesuatu berharga 

Untuk Mama tercinta  

Hanya ini kutuliskan Tugas Akhir dari tanganku untuk Mama Hanya sebuah tugas akhir sederhana 

Tugas akhirku untuk Mama  

Walau tak dapat lagi kuungkapkan Rasa cintaku untuk Mama 

Namun dengarlah hatiku selalu berkata Sungguh kusayang padamu Mama 

 Mama . . . . . . . 

                                                                                                                                                                       Yogyakarta, 28 Maret 2007 

                                                                      

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

“Janganlah gelisah hatimu; percayalah kepada Allah,

percayalah juga kepada-Ku. ”

- Yohanes 14 : 1 -

Kupersembahkan untuk :

My Sweet Heart Jesus

My Beautiful Life

My Be Loved Mom

My Cute Father

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 28 Maret 2007

Penulis,

Anastasia Vrysca Jayanti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

ABSTRAK

Metode Spline adalah salah satu metode Interpolasi yaitu dengan memakai

pendekatan fungsi-fungsi Spline sebagai polinom penghubung. Fungsi Spline ter-

diri Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik.

Pada skripsi ini akan dibuat perangkat lunak untuk membandingkan Spline

Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Perbandingan dilakukan dalam hal galat

dan waktu komputasi. Proses perhitungan galat dihasilkan dari harga mutlak nilai

sebenarnya dikurangi nilai hampiran dibagi nilai sebenarnya dikali seratus persen.

Lama tidaknya waktu komputasi ditunjukkan dari banyaknya data yang dicari

dalam proses perhitungan.

Hasil percobaan menunjukkan bahwa beda jauh data mempengaruhi galat.

Semakin besar nilai data yang dicari galat yang dihasilkan semakin kecil dan se-

makin kecil nilai data yang dicari galat yang dihasilkan semakin besar. Spline

Linear menghasilkan galat yang besar dan waktu komputasi yang paling cepat,

Spline Kuadrat menghasilkan galat yang besar dan waktu komputasi yang lama

dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi

yang paling lama.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

ABSTRACT

Spline method is one of Interpolation method that with make approxima-

tion Spline functions as connected polynom. Spline function consist of Linear

Spline, Quadrate Spline and Cubic Spline.

In this thesis, will make a program to compare Linear Spline, Quadrate

Spline ang Cubic Spline, on particular the error and the time computation. Process

error computation is shown by absolute value from exact value minus approxima-

tion value divide exact value and multiply one hundred percent. While the compu-

tation processing duration by determining how many times the time computation

from data quantity in computation process.

The result shows that if searching data value is more bigger, the result

fewer of error, if searching data value is more fewer, the result bigger of error.

Linear Spline has bigger error but faster time computation, Quadrate Spline result

bigger error and longer time computation and Cubic Spline result fewer of error

and longer of time computation.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah Bapa Yesus Kristus atas Roh Kudus dan segala

kasih-Nya yang berlimpah, sehingga skripsi yang berjudul Perbandingan Interpo-

lasi Dalam Metode Spline, sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sar-

jana Sains (S.Si) Program Studi Matematika, dapat terselesaikan dengan baik.

Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan dari ber-

bagai pihak, baik yang terlibat secara langsung maupun tidak langsung. Oleh

karena itu, dalam kesempatan ini dengan segala kerendahan hati, penulis ingin

menyampaikan rasa terima kasih yang mendalam kepada :

1. My Be Loved Mom…………..Love u, Miss u, Need u,Want u so much.

2. Keluarga yang selalu memberi semangat dan segenap doa : Babeh Nano, Mas

Chemi, Ade Luchia dan Tante Lusi. Terima kasih atas segala-

segalanya………Kakak lulus!!

3. Bapak Drs. Jong Jek Siang, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi dan pani-

tia penguji yang telah memberi bimbingan, pengarahan, saran dan koreksi

dalam penyusunan skripsi penulis.

4. Bapak Y. G. Hartono, S. Si, M. Sc, selaku Kaprodi Fakultas MIPA Univer-

sitas Sanata Dharma, dosen penguji dan dosen pembimbing akademik. Terima

kasih atas pencarian judul skripsi, telah memberikan yang terbaik sebagai

dosen, berbagi canda seperti teman dan memahami seperti ayah.

5. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S. Si, M. Sc, selaku dosen penguji dan sebagai

dosen pengajar, terima kasih atas kebaikannya dan yang selalu sabar seperti

seorang ibu dan tempat bercerita sebagai seorang teman.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

6. Dosen-dosen Program Studi Matematika yang memberi dukungan kepada pe-

nulis baik selama kuliah maupun dalam penyusunan skripsi ini.

7. Bapak Z. Tukijo yang telah membantu dalam urusan administrasi dan persia-

pan ujian akhir.

8. Sahabat-sahabat tersayang di Tangerang:

• Elly yang selalu menemani saat-saat yang paling menyakitkan dan yang

selalu bisa diandalkan untuk bertukar fikiran.

• Olla yang selalu menemani saat-saat yang paling hancur dan selalu men-

jadi teman yang paling manja.

• Linda yang selalu menemani saat-saat langkah kaki terasa sangat berat dan

yang selalu bisa diandalkan untuk jalan-jalan.

Sahabat termanis di Yogyakarta :

• Cece yang selalu mencoba mendekatkan pada Kristus, tempat berbagi suka

dan duka. Terima kasih atas persahabatan yang manis dan yang selalu

melarang pergi ke luar paingan saat fikiran penulis sedang kacau.

Kehadiran kalian membuat penulis percaya bahwa Tuhan tidak meninggalkan

saat-saat penulis merasa tidak dapat lagi melangkah.

9. Angkatan 2001 yang teristimewa (urut abjad) : Ajeng, Andre, Ariel, Alam ,

Agnes, April, Bita, Dani, Deta, Daniel, Erika, Fanya, Indah, Maria, Ray, Rita,

Tedi,Yuli, Upik, Veri, Wiwit. Terima kasih untuk semua kisah yang sudah

dilewati bersama.

10. Mas Robeth . . . . . . . . . Thanks ya!!

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

11. - Fanya dan kostnya yang selalu menjadi tempat pelarian dikala stress.

- Eko yang selalu siap membantu, menyupir dan mentraktir, he....he....

Cayoo Fanya & Eko, Semangat !!!

12. Catur Prasdianto tempat bertukar fikiran, thanks for everything, Koko Satijan,

Robet Tampa, Moko, Mba Sumi, Bruder Koko, Mba Dwi, Mba Nia.

13. Keluarga kost 99999 : Bora, Diana, Maria, Okta, Grace, Emi, Desi, Cicil, Lia,

Nana, Juli, Hanny, Vivi. Terima kasih kalian telah menjadi keluarga inti di

jogja. Terima kasih untuk Welly, Olive dan lainnya. You All always be My

Friends!! Bapak dan ibu kost atas nasihat-nasihatnya dan penjagaannya.

14. Kediaman DED : Rm. Sari Jatmiko...terima kasih atas setiap doa dan paksaan

untuk mengerjakan skripsi, Mba Tika, Mba Vivi, Septi, Eko, Siska, Theo, Mas

Adhit.

Penulis berharap agar Tugas Akhir ini dapat berguna bagi penulis maupun pi-

hak lain sebagai wahana pembelajaran interpolasi dengan Metode Spline. Tak ada

gading yang tak retak dan tak ada langit yang tak berawan. Demikian juga

penelitian dan penulisan Tugas Akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh

karena itu, penulis siap menerima dengan mata, tangan dan hati yang terbuka akan

segala macam kritik dan saran demi peningkatan kualitas penelitian di kemudian

hari.

Yogyakarta, 28 Maret 2007

Penulis, Anastasia Vrysca Jayanti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL……………………………………………………….

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………….............................

HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………

HALAMAN PERSEMBAHAN……………………………………………

HALAMAN KEASLIAN KARYA………………………………………

ABSTRAK…………………………………………………………………

ABSTRACT…………………………………………………………………

KATA PENGANTAR……………………………………………………….

DAFTAR ISI…………………………………………………………..........

DAFTAR TABEL………………………………………………………….

DAFTAR GAMBAR………………………………………………..............

BAB I PENDAHULUAN……………………………………………….1

A. Latar Belakang Masalah………………………………..…………

B. Rumusan Masalah………………………………………………..

C. Tujuan Penulisan……………………………………………………

D. Manfaat Penulisan…………………………………………………

E. Metode Penelitian …………………………………………………

F. Pembatasan Penulisan ………………………………………………

G. Sistematika Penulisan …………………………………………..…

i

ii

iii

iv

v

vi

vii

viii

xi

xiv

xv

1

1

2

2

3

3

3

4

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB II LANDASAN TEORI

A. Interpolasi……………………………………………..…………

B. Galat……………………………………………… …………………

C. Metode Spline ……………………………………………………

1. Spline linear…………………………………………..…

2. Spline Kuadrat………………………….…………………

3. Spline Kubik …………………………………………….

BAB III PERANCANGAN DAN IMPLEMENTASI………………………

A. Perancangan Umum…………………………………………………

B. Perancangan Antarmuka.................................................................

1. Layar Sampul…………………………………………………

2. Layar Masukan Spline…………………………………..….…

C. Rancangan Proses……………………………………………….…

D. Implementasi……………………………………………..………

1. Spline Linear ………………………………………….……

2. Spline Kuadrat……………………………………………

3. Spline Kubik………………………………………………

BAB IV ANALISIS………………………..................................………

A. Hasil Implementasi.....................................................................

1. Layar Sampul......................................................................

2. .Layar Spline........................................................................

B. Pengujian Program Spline..............................................................

6

6

6

7

7

9

12

25

25

26

26

26

27

28

28

30

33

38

38

38

39

41

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

C. Percobaan Dan Analisis................................................................

1. Galat...................................................................................

a. Percobaan 1..........................................................

b. Percobaan 2……………..........................................

c. Percobaan 3............................................................

2. Waktu Komputasi..............................................................

a. Percobaan 1….......................................................

b. Percobaan 2...........................................................

BAB V PENUTUTUP…………………………………………............….

A. Kesimpulan…………………………………………............…….

B. Saran………………………………………………….....……….

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................

LAMPIRAN....................................................................................................

41

42

42

44

46

48

48

50

54

54

55

56

57

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1........................................................................................................

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Spline Linear....................................................

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Spline Kuadrat…………………………………..

Tabel 2.4 Hasil Perhitungan Spline Kubik……………………………………..

Tabel 4.1 Data Percobaan 1…………………………………………………

Tabel 4.2 Hasil Galat Percobaan 1…………………………………………….

Tabel 4.3 Data Percobaan 2…………………………………………………..

Tabel 4.4 Hasil Galat Percobaan 2……………………………………………

Tabel 4.5 Data Percobaan 3………………………………………………..

Tabel 4.6 Hasil Galat Percobaan 3…………………………………………

Tabel 4.7 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 1………………………………

Tabel 4.8 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 2……………………………….

Tabel 4.9 Rata-rata Waktu Komputasi…………………………………………

8

9

12

24

42

42

44

44

46

46

48

50

51

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 3.1 Rancangan Layar Sampul………………………………………….

Gambar 3.2 Rancangan Layar Spline…………………………………………

Gambar 3.3 Flowchart Spline Linear................................................................

Gambar 3.4 Flowchart Spline Kuadrat.............................................................

Gambar 3.5 Flowchart Spline Kubik…………………………………………

Gambar 4.1 Hasil Implementasi Layar Sampul………………………………..

Gambar 4.2 Hasil Implementasi Spline…………………………………………

Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Spline………………………………………..

Grafik 4.1 Galat Percobaan 1………………………………………………….

Grafik 4.2 Galat Percobaan 2…………………………………………………….

Grafik 4.3 Galat Percobaan 3……………………………………………….

Grafik 4.3 Waktu Komputasi Percobaan 1…………………………………

Grafik 4.4 Waktu Komputasi Percobaan 2…………………………………

Grafik 4.5 Rata-rata Waktu Komputasi………………………………………

Grafik 4.6 Rata-rata Waktu Komputasi dalam Persen………………………..

26

27

29

31

35

38

39

41

43

45

47

48

50

51

52

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Seringkali harus mencari nilai antara titik-titik data yang telah

diketahui dan itu menjadi masalah yang cukup rumit. Metode numerik merupakan

cabang atau bidang ilmu matematika yang masalah penaksiran nilai antara titik-

titik data yang telah diketahui diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat

diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi dalam pencocokan

kurva mampu memecahkan berbagai persoalan mengenai penaksiran nilai antara

titik-titik data yang telah diketahui. Taksiran nilai antara titik-titik data yang telah

tepat dinamakan Interpolasi.

Interpolasi Spline merupakan interpolasi sepotong-sepotong. Ini

berarti bahwa suatu fungsi f(x) tertentu pada selang a ≤ x ≤ b, jika ingin

menghampiri f(x) pada selang ini dengan sebuah fungsi lain g(x). Fungsi g(x) yang

diperoleh ini dinamakan Spline. Nama Spline sendiri diambil dari batang tipis

yang telah digunakan sejak lama oleh para insinyur untuk mengepaskan kurva me-

lalui titik tertentu.

Banyak metode-metode yang dapat dipakai untuk interpolasi yaitu

Metode Newton, Metode Lagrange, Metode eksponensial dan Metode Spline.

Dalam penulisan ini hanya akan dibahas interpolasi dengan Metode Spline yaitu

Spline Linear yang menurunkan polinom orde pertama, Spline Kuadrat yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

menurunkan polinom orde kedua dan Spline Kubik yang menurunkan polinom

orde ketiga. Prediksi yang digunakan yaitu nilai x natural logaritma

Dari Fungsi-fungsi Spline yang ada maka akan diketahui Spline

mana yang dapat mencapai hasil yang optimal, yaitu errornya kecil dan waktu

perhitungan yang singkat.

B. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat ditu-

lis dengan beberapa pertanyaan berikut :

1 Bagaimana mencari nilai antara titik-titik data yang telah diketahui dengan

Spline Linear, Spline Kuadrat, dan Spline Kubik?

2 Bagaimana menganalisis Fungsi-fungsi Spline sehingga menghasilkan Fungsi

Spline yang baik untuk mencari nilai antara titik-titik data yang telah diketa-

hui?

3 Fungsi Spline mana yang lebih baik di antara Spline Linear, Spline Kuarat dan

Spline Kubik dalam hal akurasi dan waktu untuk memprediksi nilai x natural

logaritma dengan menggunakan bahasa pemprograman Delphi 7.0?

C. Tujuan Penulisan

Penulisan ini bertujuan untuk membandingkan Spline Linear, Spline

Kuadrat dan Spline Kubik dalam mencari nilai antara titik-titik data yang telah

diketahui.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

D. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah penulis dapat me-

nentukan Fungsi Spline mana yang paling baik untuk memprediksi nilai x natural

logaritma sehingga errornya kecil dan waktu perhitungan yang singkat.

E. Metode Penelitian

Metode Penelitian :

1. Masukan data natural logaritma.

2. Terapkan persamaan Fungsi Spline Linear untuk memprediksi nilai x

yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

3. Terapkan persamaan Fungsi Spline Kuadrat untuk memprediksi nilai x

yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

4. Terapkan persamaan Fungsi Spline Kubik untuk memprediksi nilai x

yang tidak terdapat dalam tabel dan catat kesalahannya.

5. Bandingkan kesalahan yang terjadi pada masing-masing Fungsi Spline.

F. Pembatasan Penulisan

Dalam skripsi ini dilakukan beberapa batasan sebagai berikut :

1. Interpolasi dengan Metode Spline yaitu Spline Linear, Spline Kuadrat ,

Spline Kubik .

2. Faktor untuk membandingkan yaitu galat dan running time.

3. Data yang dipakai adalah tabel natural logaritma.

4. Bahasa pemprograman yang digunakan adalah Delphi 7.0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

G. Sistematika Penulisan

Sistem penulisan laporan skripsi ini terdiri dari 6 bab dengan urutan

sebagai berikut :

BAB I PENDAHULUAN

Menjelaskan uraian mengenai hal-hal yang menjadi dasar dalam

pembahasan skripsi ini. Uraian tersebut mengenai latar belakang

masalah, rumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,

metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini, penulis membahas dasar-dasar teori yang mendukung

penyusunan skripsi ini secara terperinci, sehingga mudah dimengerti.

BAB III PERANCANGAN DAN IMPLEMENTASI

Menjelaskan perencanaan dalam rancangan program untuk

implementasi. Serta melakukan implementasi dari rancangan program

yang telah dibuat.

BAB IV ANALISIS

Melakukan percobaan dan menganalisa hasil percobaan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB V PENUTUTUP

Pada bab ini terdapat kesimpulan dan saran dari hasil analisa serta

pembahasan masalah berdasarkan pada hasil yang didapat secara

keseluruhan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Interpolasi

Terdapat n + 1 data pasangan bilangan ( ) ( ) ( )nn fxfxfx ,.,..,,,, 1100

dengan ,x, . . ., xx n10 nilainya berbeda, jika ingin memperoleh sebuah

polinom ( )xPn yang bernilai fj di xj, dengan kata lain

dan berderajat n atau kurang. Polinom Pn sering dinamakan polinom

penginterpolasi. Nilai xj sering dinamakan simpul. Besaran fj mungkin saja

merupakan nilai fungsi matematis f(x) tertentu sehingga f(xj) = fj dan dengan

demikian ( )xPn merupakan suatu hampiran bagi f(x) dengan sifat bahwa Pn

bernilai sama dengan f di semua simpul. Polinom ( )xPn ini digunakan untuk

memperoleh nilai bagi semua x yang merupakan nilai hampiran bagi f(x). Jika x

yang ingin dicari terletak di antara simpul-simpul tersebut maka dinamakan

Interpolasi.

B. Galat

Perhitungan numerik tidak terlepas dari kesalahan atau galat. Terdapat dua

bentuk galat yang utama di dalam metode numerik yaitu galat pembulatan yang

dapat terjadi akibat keterbatasan mesin hitung dan galat pemotongan yang dapat

terjadi karena keterbatasan proses komputasi. Kedua galat tersebut mempengaruhi

Galat Mutlak dan Galat Relatif Persen.

1100 )()()( nnnnn f x, P, . . . f x, P f xP ===

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Definisi 2.1 :

Andaikan p~ adalah nilai hampiran dari p maka Galat Mutlak didefinisikan

sebagai ppEm ~−= dan Galat Relatif Persen .0%,100~

≠∗−

= pp

ppEr

C. Metode Spline

Metode Spline adalah salah satu metode numerik yang dapat digunakan

untuk pencarian interpolasi. Interpolasi Spline merupakan polinom sepotong-

sepotong. Suatu fungsi f(x) yang sudah diketahui pada selang bxa ≤≤ di hampiri

dengan sebuah fungsi lain g(x) dengan cara menyekat selang bxa ≤≤ menjadi

beberapa anak selang bxxxa n =<<<= ...21 . Fungsi g(x) yang didapat

dinamakan spline. Akan dibahas Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik.

Besar kesalahan Metode Spline dapat diketahui dengan cara mereduksi nilai eksak

dari tabel natural logaritma dengan pendekatan yang dihasilkan dari Metode

Spline.

1. Spline Linear

Spline Linear merupakan polinom sepotong-sepotong yang paling

sederhana. Spline linear digunakan untuk pencarian interpolasi dengan cara

menghubungkan titik-titik data yang berdekatan dengan sebuah garis lurus.

Hasil dari Spline ini dapat disebut Spline orde pertama. Spline Linear untuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

sekelompok titik data terurut ))(,( ii xfx , ni .,..,2,1= dinyatakan sebagai

berikut :

Contoh 2.1

Diberikan sebuah tabel yang berisi 5 himpunan data logaritma natural

Tabel 2.1

Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33 1.44

1.49] menggunakan Spline Linear.

i xi f(xi)

1

2

3

4

5

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

0.0953

0.1823

0.2624

0.3365

0.4055

nnnnn

nnnn

iiiii

iiii

xxxxxxx

xfxfxfxf

xxxxxxx

xfxfxfxf

xxxxxxx

xfxfxfxf

xxxxxxx

xfxfxfxf

≤≤−−−

+=

≤≤−−−

+=

≤≤−−−

+=

≤≤−−−

+=

−−−

−−−

++

+

111

111

11

1

32223

2322

21112

1211

)()()(

)()(

.

.

.

(2.1) )()()(

)()(

.

.

.

)()()(

)()(

)()()()()(

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Penyelesaian :

Dari persamaan di atas didapat

2. Spline Kuadrat

Spline Kuadrat menyediakan sebuah persamaan kuadrat yang men-

ghubungkan sedikitnya tiga pasangan data yang berdekatan di dalam him-

x f(x)

1.11

1.22

1.33

1.44

1.49

0.104

0.1983

0.2846

0.3641

0.3986

1.21.1 )1.1(1.12.1

)0953.01823.0(0953.0)(1 ≤≤−−−

+= xxxf

1.31.2 )2.1(2.13.1

)1823.02624.0(1823.0)(2 ≤≤−−−

+= xxxf

1.41.3 )3.1(3.14.1

)2624.03365.0(2624.0)(3 ≤≤−−−

+= xxxf

1.41.3 )3.1(3.14.1

)2624.03365.0(2624.0)(4 ≤≤−−−

+= xxxf

1.51.4 )4.1(4.15.1

)3365.04055.0(3365.0)(5 ≤≤−−−

+= xxxf

Tabel 2.2 Hasil Perhitungan Spline Linear

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

punan data nixfx ii , . . . ,2 ,1 )),(,( = . Bentuk umum dari persamaan kuadrat

diantara titik ( )( )ii xfx , dan ( )( )11 , ++ ii xfx adalah

iiii cxbxaxf ++= 2)( 1 , ...,2 ,1 −= ni (2.2)

oleh karena itu, setiap dua titik-titik data yang berdekatan mempunyai sebuah

persamaan interpolasi yang diberikan oleh (2.2) dengan 3 konstanta

iii cba dan , , .

Untuk n titik data terdapat n-1 selang, maka ada 3(n-1) konstanta yang harus-

dicari dan yang memenuhi 3(n-1) persamaan atau kondisi sebagai berikut :

1. Spline harus melalui titik-titik data. Nilai-nilai fungsi harus sama pada

simpul-simpul dalam untuk i = 1 sampai n dimana 1 , . . . ,2 ,1 −= ni . Kondisi

ini dapat dinyatakan sebagai berikut :

( )iiiiiii xfcbxxaxf =++= 2)( 1,...,3,2,1 −= ni (2.3)

( )112

11)( ++++ =++= iiiiiiii xfcxbxaxf 1,...,3,2,1 −= ni (2.4)

2. Spline harus kontinu pada bagian dalam titik-titik data. Kondisi ini dapat

dinyatakan menggunakan derivatif pertama dari spline kuadrat.

11122 +++ +=+ iiiiii bxabxa 1,...,3,2,1 −= ni (2.5)

3. Kondisi terakhir yang dapat dibentuk bebas sebagai turunan kedua dari

spline diantara dua titik data pertama menjadi nol. Sejak turunan pertama

untuk spline pertama adalah ia2 , kondisi ini dapat dinyatakan

0=ia . (2.6)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Contoh 2.2

Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = [1.11 1.22 1.33

1.44 1.49] menggunakan Spline Kuadrat.

Penyelesaian :

Data tabel terdapat 5 titik data. Dengan menggunakan persamaan (2.3) sampai

dengan persamaan (2.6) dihasilkan 3(5-1) = 12 kondisi yang dibutuhkan untuk

mendapatkan 3(5-1) = 12 konstanta yang dibutuhkan.

Persamaan (2.3) menghasilkan :

. = cb.a. . = cb.a. .= cb.a. . = cb.a.

3365041961262403169118230214410953011211

444

333

222

111

++++++++

Persamaan (2.4) menghasilkan :

. cb.a. . cb.a. . cb.a.

. cb.a.

405505125233650419612624031691

1823021441

444

333

222

111

=++=++=++=++

Persamaan (2.5) menghasilkan :

ba. ba. ba. ba. ba. ba.

4433

3322

2211

828262624242

+=++=++=+

Persamaan (2.6) menyatakan :

a1 = 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Dengan menggunakan pensubtitusian didapatkan

8895143260537104980090855315262690861708700

444

333

222

111

. c . b .a. c . b .a

. c . b.a . c . b a

−==−=−===−==−=−===

Maka persamaan Spline Kuadrat yang dihasilkan adalah

5.14.1 8895.143.26.0)(

4.13.1 5371.0498.009.0)(

3.12.1 8553.1526.269.0)(

2.11.1 8617.087.0)(

24

23

22

1

≤≤−+−=

≤≤−+=

≤≤−+−=

≤≤−=

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxf

Dari persamaan di atas didapat

3. Spline Kubik

Spline kubik adalah menurunkan polinom orde ketiga untuk setiap selang

di antara simpul,seperti dalam :

( ) iiii dxcxbxaxf +++= 23 .

x f(x)

1.11

1.22

1.33

1.44

1.49

0.104

0.1994

0.2844

0.3655

0.3991

Tabel 2.3 Hasil Perhitungan Spline Kuadrat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Jadi untuk n + 1 titik data (i = 0, 1, 2, . . . , n), terdapart n interval maka

diperlukan 4n konstanta yang harus dicari yang persamaan-persamaannya di-

cari dengan mengikuti definisi 2.2.

Definisi 2.2

Diberikan fungsi f pada [ ]ba, dan suatu himpunan angka yang disebut

simpul bxxxa n =<<<= ...10 . Suatu interpolasi spline kubik S,

untuk )(xf adalah suatu fungsi yang memenuhi kondisi :

a. ( )xS adalah polinom kubik, ( )xSk menyatakan polynomial pada segmen

[ ]1, +kk xx untuk k = 0, 1, . . . , n-1 ;

b. ( ) ( )kk xfxS = k = 0, 1, . . . , n-1 ;

c. ( ) ( )111 +++ = kkkk xSxS k = 0, 1, . . . , n-2 ;

d. ( ) ( )1'

11'

+++ = kkkk xSxS k = 0, 1, . . . , n-2 ;

e. ( ) ( )1"

11"

+++ = kkkk xSxS k = 0, 1, . . . , n-2 ;

f. Memenuhi salah satu kondisi

(i) ( ) ( ) 0''0

'' == nxSxS ( Batas Natural )

(ii) ( ) ( )0'

0' xfxS = dan ( ) ( )nn xfxS '' = ( Batas Apitan )

Bentuk Interpolasi Spline Kubik untuk fungsi f , dengan mengikuti kondisi-

kondisi dalam Definisi 2.1

a. ( ) 32 )()()( kkkkkkkk xxdxxcxxbaxS −+−+−+= k = 0, 1, . . . , n-1 ;

(2.7)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

b. )()( kk xfxS =

( ) 32 )()()( kkkkkkkkkkkk xxdxxcxxbaxS −+−+−+=

0*0*0* kkkK dcba +++=

ka=

( )kk xfa =∴ (2.8)

c. ( ) )( 111 +++ = kkkk xSxS

maka

31

2111 )()()()( kkkkkkkkkkkk xxdxxcxxbaxS −+−+−+= ++++

dan

311

2111111 )()()()( ++++++++ −+−+−+= kkkkkkkk xxdxxcxxbaxS

)()()()( 111111111111 ++++++++++++ −+−+−+= kkkkkkkkkkkk xxdxxcxxbaxS

0*0*0* 1111 ++++ ++++= kkkk dcba

1+= ka

( ) )( 111 +++ = kkkk xSxS

maka

31

2111 )()()( kkkkkkkkkkk xxdxxcxxbaa −+−+−+= ++++

jika kk xx −+1 di ganti kh maka

31

211111 )()()()( kkkkkkkkkkkkk xxdxxcxxbaaxS −+−+−+== ++++++

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

32111 )( kkkkkkkkkk hdhchbaaxS +++== +++ (2.9)

d. ( ) )( 1'

11'

+++ = kkkk xSxS

perhatikan ( ) 32 )()()( kkkkkkkk xxdxxcxxbaxS −+−+−+=

( ) 2' )(3)(2 kkkkkk xxdxxcbxS −+−+=

( ) 2' )(3)(2 kkkkkkkkk xxdxxcbxS −+−+=

0*30*2 kkk dcb ++=

kb=

( ) 2111

' )(3)(2 kkkkkkkkk xxdxxcbxS −+−+= +++

dan 311

2111111 )()()()( ++++++++ −+−+−+= kkkkkkkk xxdxxcxxbaxS

( ) 211111

' )(3)(2 +++++ −+−+= kkkkkk xxdxxcbxS

( ) 211111111

' )(3)(2 ++++++++ −+−+= kkkkkkkkk xxdxxcbxS

0*30*2 11 kkk dcb ++= ++

1+= kb

( ) )( 1'

11'

+++ = kkkk xSxS

maka 2111 )(3)(2 kkkkkkkk xxdxxcbb −+−+= +++

jika kk xx −+1 di ganti kh maka

2111

' 32)( kkkkkkkk hdhcbbxS ++== +++ (2.10)

e. ( ) )( 1"

11"

+++ = kkkk xSxS

perhatikan ( ) 2' )(3)(2 kkkkkk xxdxxcbxS −+−+=

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

( ) )(62''kkkk xxdcxS −+=

( ) )(62''kkkkkk xxdcxS −+=

0*62 kk dc +=

kc2=

( ) )(62 11''

kkkkkk xxdcxS −+= ++

dan ( ) 211111

' )(3)(2 +++++ −+−+= kkkkkk xxdxxcbxS

( ) )(62 111111''

++++++ −+= kkkkkk xxdcxS

0*62 11 ++ += kk dc

12 += kc

( ) )( 1"

11"

+++ = kkkk xSxS

maka )(622 11 kkkkk xxdcc −+= ++

jika kk xx −+1 di ganti kh maka

kkkk hdcc 622 1 +=+

kkkk hdcc 31 +=+ (2.11)

dari (2.11) didapat k

kkk h

ccd

31 −= + (2.12)

Dari (2.9) dan (2.12) diperoleh :

211 3

32 kk

kkkkkk h

hcc

hcbb−

++= ++

kkkkkkk hchchcb −++= +12

)( 1+++= kkkk cchb (2.13)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Dari (2.9) dan (2.12) di peroleh :

321 kkkkkkkk hdhchbaa +++=+

3121 3 k

k

kkkkkkkk h

hcc

hchbaa−

+++= ++

212

1

3)(

kk

kk

k

kk

k

k

k

kk h

hcc

hhc

ha

ha

b−

++−= ++

k

kkkkkk

k

kkk h

hchchch

aab

33 22

12

1 +−−

−= ++

( ) ( )11 23

1++ +−−= kk

kkk

kk cc

haa

hb (2.14)

dengan pengurangan indeks

( ) ( )kkk

kkk

k cch

aah

b +−−= −−

−−

− 11

11

1 23

1 (2.15)

Dari (2.13) dan (2.14) di peroleh :

( )kkkkk cchbb +−= −−− 111

( ) ( )11 23

1++ +−−= kk

kkk

kk cc

haa

hb

jadi ( ) ( ) )(23

111111 kkkkk

kkk

kk cchcc

haa

hb +−+−−= −−++− (2.16)

Persamaan (2.15) dan (2.16) menghasilkan

( ) ( )

( ) ( ) )(23

1

23

1

1111

11

11

kkkkkk

kkk

kkk

kkk

cchcch

aah

cch

aah

+−+−−=

+−−

−−++

−−

−−

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

( ) ( )kkk

kkk

aah

aah

−−− +−−

111

11

( )33

22

3111

11111kkkk

kkkkkkkkk chch

chchchcch −−−

−−−−+ ++−−+−=

( ) ( )kkk

kkk

aah

aah

−−− +−−

111

11

( )3

33

232

3111111

1kkkkkkkk

kkk chchchch

cch −−−−−−

+

+−

+−+−=

( ) ( ) kkkkkkkkkk

kkk

chchcchaah

aah 111111

1

2)2(33−−−++−

−−+−=−−−

( ) ( ) kkkkkkkkkk

kkk

chcchchaah

aah 11111

111 2)2(33

−+−−−−

−+ +++=−−−

( ) ( ) 111111

1 )2(33+−−−−

−+ +++=−−− kkkkkkkkk

kkk

k

chcchchaah

aah

(2.17)

untuk k = 1, 2, . . ., n-1

dari persamaan-persamaan yang telah didapat di atas, sudah didapatkan per-

samaan-persamaan untuk mencari koefisien-koefisien a, b, dan d. Untuk men-

cari koefisien c akan digunakan persamaan (2.17) dengan mengikuti teorema

yang memenuhi kondisi dari (i) atau (ii).

Teorema 2.1

Jika f di definisikan pada bxxxa n =<<<= ...10 , maka f adalah

interpolasi spline natural tunggal pada simpul nxxx <<< ...10 , interpo-

lasi spline natural memenuhi keadaan 0)('' =aS dan 0)('' =bS .

Bukti :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

0)('' =aS dan 0)('' =bS menyatakan secara tidak langsung

02)('' == nn xSc dan )(62)(0 00000'' xxdcxS −+==

jadi 00 =c .

Dua pernyataan 00 =c dan 0=nc dalam persamaan

( ) ( ) 111111

1 )2(33+−−−−

−+ +++=−−− kkkkkkkkk

kkk

k

chcchchaah

aah

menghasilkan sistem linear dengan persamaan bx =A , A adalah (n+1) dengan

matriks (n+1).

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+

+

+

=

−−−−

10002

0

20

2

0001

1122

2211

1100

nnnn hhhh

hhhh

hhhh

A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

−−−

=

−−−

−−

0

)(3)(3

)(3)(30

212

11

010

121

nnn

nnn

aah

aah

aah

aah

Mb

Dari persamaan Ax = b akan didapat penyelesaian tunggal dan dapat dicari

dengan Eliminasi Gauss.

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

nc

cc

M1

0

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Teorema 2.2

Jika f didefinisikan pada bxxxa n =<<<= ...10 dan turunan

pada a dan b, maka f adalah Interpolasi Spline Apitan pada simpul

nxxx <<< ...10 , Interpolasi Spline dinyatakan )()( '' afaS = dan

)()( '' bfbS = .

Bukti :

Menggunakan 00'' )()( bxSaS ==

implementasi ( ) ( )11 23

1++ +−−= kk

kkk

kk cc

haa

hb dengan k = 0

( )100

0

01' 23

)( cch

haa

af +−−

=

( ) )(32 '01

01000 afaa

hchch −−=+

)()( 111'

nnnnn cchbbbf ++== −−−

persamaan ( ) ( )11 23

1++ +−−= kk

kkk

kk cc

haa

hb dengan 1−= nk

( ) )(23

)( 1111

1

1'nnnnn

n

n

nn cchcch

haa

bf −++−−

= −−−−

)2(3 1

1

1

1nn

n

n

nn cch

haa

+−−

= −−

dan )(3)(32 11

'111 −

−−−− −−=+ nn

nnnnn aa

hbfchch .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Persamaan ( ) ( ) 111111

1 )2(33+−−−−

−+ +++=−−− kkkkkkkkk

kkk

k

chcchchaah

aah

dengan persamaan ( ) )(32 '01

01000 afaa

hchch −−=+

dan )(3)(32 11

'111 −

−−−− −−=+ nn

nnnnn aa

hbfchch

menghasilkan sistem linear dengan persamaan Ax = b .

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

+

+

+

=

−−

−−−−

11

1122

2211

1100

00

2002

0

20

2

002

nn

nnnn

hhhhhh

hhhh

hhhh

hh

A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

−−−

−−−

−−

=

−−

−−−

−−

)(3)(3

)(3)(3

)(3)(3

)(3)(3

11

'

212

11

010

121

'01

0

nnn

nnn

nnn

aah

bf

aah

aah

aah

aah

afaah

Mb

Dari persamaan Ax = b akan didapat penyelesaian tunggal dan dapat dicari

dengan Eliminasi Gauss.

Contoh 2.3

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

nc

cc

M1

0

x

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Gunakan Tabel 2.1 untuk mencari nilai Interpolasi saat x = 1.11 menggunakan

Spline Kubik.

Penyelesaian :

Persamaan Spline Kubik dari persamaan (2.7)

( ) 32 )()()( kkkkkkkk xxdxxcxxbaxS −+−+−+= k = 1, 2, . . ., n-1

Dari (2.8) didapat koefisien a

S(xk) = f(xk) = ak

S(x1) = f(x1) = 0.0953 = a1

S(x2) = f(x2) = 0.1823 = a2

S(x3) = f(x3) = 0.2624 = a3

S(x4) = f(x4) = 0.3365 = a4

S(x5) = f(x5) = 0.4055 = a5

Untuk kh = kk xx −+1

h1 = x2 – x1 = 1.2 – 1.1 = 0.1

h2 = x3 – x2 = 1.3 – 1.2 = 0.1

h3 = x4 – x3 = 1.4 – 1.3 = 0.1

h4 = x5 – x4 = 1.5 – 1.4 = 0.1

Untuk mencari koefisien c menggunakan Teorema 2.1 yaitu Batas Natural

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

++

+=

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

4433

3322

2211

100001.04.01.000

01.04.01.00001.04.01.000001

10000)(200

0)(2000)(200001

ccccc

ccccc

hhhhhhhh

hhhhA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

−−−

−−−

=

0153.018.0

207.00

0

)(3)(3

)(3)(3

)(3)(30

343

454

232

343

121

232

aah

aah

aah

aah

aah

aah

b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

5

4

3

2

1

100001.04.01.000

01.04.01.00001.04.01.000001

ccccc

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−−

=

0153.018.0

207.00

Dengan Eliminasi Gauss untuk persaman sistem linear Ax = b

Koefisien ck yang di dapat

04468.0

2571.058180

0

5

4

3

2

1

=−=

=−=

=

cc

c. c

c

Dari persamaan (2.14) didapat koefisien untuk bk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 7198.0)0298.0(69.023

1

7388.00022.0741.023

1

8312.0)0302.0(801.023

1

8894.0)0194.0(87.023

1

23

1

544

454

4

433

343

3

322

232

2

211

121

1

11

=−−=+−−=

=−=+−−=

=−−=+−−=

=−−=+−−=

+−−= ++

cchaah

b

cch

aah

b

cch

aah

b

cchaah

b

cch

aah

b kkk

kkk

k

Dari persamaan (2.12) didapat koefisien untuk dk

4893.13

3463.23

7963.23

9393.13

3

4

454

3

343

2

232

1

121

1

=−

=

−=−

=

=−

=

−=−

=

−= +

hcc

d

hcc

d

hcc

d

hcc

d

hcc

dk

kkk

Persamaan Spline Kubik Sk(x)

( )

( )

( )

( )32

344

2444444

32

333

2333333

32

322

2222222

3

311

2111111

)4.1(4893.1)4.1(4468.0)4.1(7198.03365.0

5141 )()()()3.1(3463.2)3.1(2571.0)3.1(7388.02624.0

4131 )()()()2.1(7963.2)2.1(5818.0)2.1(8312.01823.0

3121 )()()()1.1(9393.1)1.1(8894.00953.0

2111 )()()(

−+−−−+=

≤≤−+−+−+=

−−−+−+=

≤≤−+−+−+=

−+−−−+=

≤≤−+−+−+=

−−−+=

≤≤−+−+−+=

xxx

.x. xxdxxcxxbaxSxxx

.x.xxdxxcxxbaxSxxx

.x.xxdxxcxxbaxSxx

.x.xxdxxcxxbaxS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Dari Persamaan Spline Kubik di atas maka didapat

BAB III

PERANCANGAN DAN IMPLEMENTASI

A. Perancangan Umum

Untuk mengetahui seberapa besar galat yang dihasilkan dalam metode

Spline yaitu Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik maka akan dilakukan

percobaan. Percobaan dilakukan menggunakan sebuah program dengan bahasa

pemrograman Delphi versi 7.0. Program yang akan dibuat adalah program dengan

masukan spline. Sebagai dasar perbandingannya adalah galat yang dihasilkan

masing-masing Spline dengan data pada tabel natural logaritma.

Program masukan spline digunakan untuk mencari Interpolasi dalam

metode Spline yaitu Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Dari hasil

percobaan dapat diketahui nilai Interpolasi yang dilakukan oleh Spline Linear,

Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Perbandingan Interpolasi dari data masukan

x f(x)

1.11

1.22

1.33

1.44

1.49

0.1042

0.1989

0.2853

0.3647

0.3987

Tabel 2.4 Hasil Perhitungan Spline Kubik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

dianalisis dengan menggunakan grafik dan hasilnya dianalisis untuk ditarik ke-

simpulan.

B. Perancangan Antarmuka

Program yang dibuat terdiri dari 2 layar, yaitu :

1. Layar Sampul

Gambar 3.1 Rancangan Layar Sampul

LOGO

Perbandingan Interpolasi dalam Metode Spline

Oleh : Anastasia Vrysca Jayanti

013114014

Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan alam

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

Exit Spline

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Dalam layar ini berisi text judul, nama penyusun beserta NIM,

nama fakultas dan nama universitas serta 2 tombol pilihan.

2. Layar Masukan Spline

Dalam layar ini terdapat pilihan spline, edit text untuk jumlah data

masukan, jumlah data yang dicari, kolom baris untuk dihapus dan kolom baris

untuk ditambah, stringgrind untuk masukan nilai-nilai data, 2 tabsheet yang

masing-masing terdapat stringgrid untuk hasil pencarian dan galat, chart untuk

grafik spline yang dipilih dan 11 tombol pilihan.

Gambar 3.2 Rancangan Layar Spline

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

C. Rancangan Proses

Proses yang dilakukan untuk membandingkan Interpolasi dalam

metode Spline yaitu Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spilne Kubik, dilakukan

percobaan dengan memasukan nilai-nilai data. Pertama kali yang dilakukan yaitu

memilih spline yang akan digunakan, kemudian memasukan nilai-nilai data, jum-

lah data, jumlah pencarian dan nilai yang akan dicari. Selanjutnya program mela-

kukan proses perhitungan sebanyak nilai yang dicari. Hasil yang ditampilkan dari

perhitungan berupa nilai interpolasi. Dari hasil perhitungan ketiga spline tersebut

akan ditampilkan galat untuk masing-masing nilai yang didapat. Dari hasil perco-

baan kemudian dianalisis dan dibandingkan galatnya untuk setiap spline.

D. Implementasi

Dalam program masukan spline ini terdapat tiga bagian penting dalam me-

tode Spline yaitu perhitungan Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline Kubik.

1. Spline Linear

Alur Spline Linear digambarkan secara singkat pada gambar 4.1. Titik-

titik data yang diketahui dianggap X dan nilai-nilai data yang diketahui dianggap

fx dan titik-titik data yang akan dicari nilainya dianggap masuk.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

i = 1

i < = data-1

i = i + 1

masuk >= Xi

& masuk <= Xi+1

Selesai

Tidak

Tidak

Ya

Ya

Tulis fx

Perhitungan Spline Linear :

( )iXmasuk

iX1iX

ifx1ifxifxfx −

−+

−++=

Input data, pencarian, X (Titik-titik data),fx (Nilai-Nilai data), masuk(Titik-titik data yang nilainya akan dicari)

Mulai

Gambar 3.3 Flowchart Spline Linear

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Setelah user memasukan banyaknya data yang diketahui, banyaknya data

yang dicari, titik-titik data dan nilai-nilai data yang diketahui, titik-titik data yang

nilainya yang akan dicari, selanjutnya dengan menekan tombol Spline maka pro-

gram menjalankan proses perhitungan dengan Spline Linear.

Potongan programnya sebagai berikut :

for i :=1 to data-1 do begin if(masuk[w]>=strtofloat(cells[1,i]))and (masuk[w]<=strtofloat(cells[1,i+1]))then begin fx:=strtofloat(cells[2,i])+(((strtofloat(cells[2,i+1])-

strtofloat(cells[2,i]))/(strtofloat(cells[1,i+1])-strtofloat(cells[1,i])))*(masuk[w]-strtofloat(cells[1,i])));

with StringGrid1 do begin Cells[2,w]:= FloatToStr(fx); end; end; end;

Nilai Spline Linear digunakan untuk pencarian galat. Saat tombol galat

diklik maka program akan menjalankan nilai galat untuk Spline Linear. Untuk

pembuatan grafik yang pertama dilakukan adalah menghitung selisih titik data

yang diketahui yang terakhir dengan titik data yang diketahui yang pertama dan

dibagi 1000. Hasilnya merupakan penambahan titik data yang diketahui yang

pertama sampai titik data yang diketahui yang terakhir. Kemudian program

melakukan perhitungan nilai data dengan alur perhitungan Spline Linear.

2. Spline Kuadrat

Alur Spline Kuadrat digambarkan secara singkat pada gambar 4.2. Titik-

titik data yang diketahui dianggap X dan nilai-nilai data yang diketahui dianggap

fx dan titik-titik data yang akan dicari nilainya dianggap masuk.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Hitung Koef. b1, c1, a2, b2, c2

Ya

Tidak

Tidak

Ya

k <= data-1

k = 3

k = k + 1

Input data, pencarian, X[ (Titik-titik data), fx (Nilai-Nilai data), masuk(Titik-titik data yang nilainya akan dicari)

Hitung ak, bk, ck

Mulai

masuk >= X1

& masuk <= X2

Tulis fx

Selesai

Ya

fx = b1 * masuk + c1

k = 3

k <= data

masuk >= Xk-1

& masuk <= Xk

fx = a[k-1] * masuk masuk+ b{k-1] * masuk+ c[k-1]

k = k + 1

Tidak

Ya

Tidak

Mencari Koefisien Spline Kuadrat ak,bk,ck

Gambar 3.4 Flowchart Spline Kuadrat

Perhitungan Spline Kuadrat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Spline Kuadrat membutuhkan membutuhkan 3(n-1) buah konstanta yang

dicari dengan mengikuti kondisi yang ada di bab II. Setelah user memasukan ban-

yaknya data yang diketahui, banyaknya data yang dicari, titik-titik data dan nilai-

nilai data yang diketahui, titik-titik data yang nilainya yang akan dicari maka pro-

gram akan mencari 3(n-1) konstanta yang dibutuhkan. Pencarian konstanta

dilakukan pensubtitusian. Potongan program berikut merupakan pencarian

konstanta ak, bk, ck:

for k:=3 to data-1 do begin r[k]:=StrToFloat(Cells[1,k])-StrToFloat(Cells[1,k+1]); t[k]:=StrToFloat(Cells[2,k])-StrToFloat(Cells[2,k+1]); end; b[1]:=(StrToFloat(Cells[2,1])-StrToFloat(Cells[2,2]))/

(StrToFloat(Cells[1,1])-StrToFloat(Cells[1,2])); c[1]:=StrToFloat(Cells[2,1])-b[1]*StrToFloat(Cells[1,1]); a[2]:=(StrToFloat(Cells[2,2])-StrToFloat(Cells[2,3]))-

(b[1]*(StrToFloat(Cells[1,2])-StrToFloat(Cells[1,3])))/ (2*StrToFloat(Cells[1,2])*StrToFloat(Cells[1,3])-StrToFloat(Cells[1,2])*StrToFloat(Cells[1,2])-StrToFloat(Cells[1,3])*StrToFloat(Cells[1,3]));

b[2]:=b[1]-2*a[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); c[2]:=StrToFloat(Cells[2,2])-a[2]*StrToFloat(Cells[1,2])* StrToFloat(Cells[1,2])-b[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); for k:=3 to data-1 do begin j[k]:=2*StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k+1])-

StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k])- StrToFloat(Cells[1,k+1])*StrToFloat(Cells[1,k+1]); end; for k:= 3 to data-1 do begin a[k]:= ((StrToFloat(Cells[2,k])-StrToFloat(Cells[2,k+1]))- (((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+b[k-1])*r[k]))/j[k]; b[k]:= ((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+b[k-1])- (2*a[k]*StrToFloat(Cells[1,k])); c[k]:= StrToFloat(Cells[2,k])-a[k]*StrToFloat(Cells[1,k])* StrToFloat(Cells[1,k])-b[k]*StrToFloat(Cells[1,k]); end;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Potongan program berikut untuk mencari nilai Spline Kuadrat : if(masuk[w]<StrToFloat(Cells[1,2]))and (masuk[w]>=StrToFloat(Cells[1,1]))then begin fx:=b[1]*masuk[w]+c[1]; With StringGrid1 do begin Cells[3,w]:= FloatToStr(fx); end; end; for k:=3 to data do begin if(masuk[w]>=StrToFloat(Cells[1,k-1]))and (masuk[w]<=StrToFloat(Cells[1,k]))then begin fx :=a[k-1]*masuk[w]*masuk[w]+b[k-1]*masuk[w]+c[k-1]; with StringGrid1 do begin Cells[3,w]:= FloatToStr(fx); end; end; end;

Nilai Spline Kuadrat digunakan untuk pencarian galat. Saat tombol galat dik-

lik maka program akan menjalankan nilai galat untuk Spline Kuadrat. Untuk

pembuatan grafik yang pertama dilakukan adalah menghitung selisih titik data

yang diketahui yang terakhir dengan titik data yang diketahui yang pertama dan

dibagi 1000. Hasilnya merupakan penambahan titik data yang diketahui yang per-

tama sampai titik data yang diketahui yang terakhir. Kemudian program

melakukan perhitungan nilai data dengan alur perhitungan Spline Kuadrat.

3. Spline Kubik

Alur Spline Kubik digambarkan secara singkat pada gambar 4.3. Titik-titik

data yang diketahui dianggap X dan nilai-nilai data yang diketahui dianggap fx

dan titik-titik data yang akan dicari nilainya dianggap masuk.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Tidak

Tidak

Ya

k <= data

k = 2

k = k + 1

Input data, pencarian, X[ (Titik-titik data), fx (Nilai-Nilai data), masuk(Titik-titik data yang nilainya akan dicari)

Mulai

Ya

Turunan kedua ujung simpul m1 = 0 & mdata = 0

mk = ( vk-ck * mk+1 ) / bk

k = k - 1

k <= 2

k = data - 1

1

Hitung Selisih titik (h1)& nilai data (d1]

Hitung Selisih titik (hk)& nilai data (dk]

Selisih titik data hk & nilai data dk

Turunan Kedua mk

Turunan kedua ujung simpul m1 = 0 & mdata = 0

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Tidak

Tidak

Tidak

Tidak

1

k = k+ 1

k = 1

Hitung koef. Sk,1, Sk,2, Sk,3, Sk,4

jj = 2

jj = jj + 1

masuk >= Xjj - 1

& masuk <= Xjj

k <= data

X = X0

jj <= data

k = 1 ww = masuk – Xk z = ((Sk,4 * ww + Sk,3) * w + Sk,2) * w + Sk,1

Tulis fx

Selesai

k = jj -1 ww = masuk – Xk z = ((Sk,4 * ww + Sk,3) * w + Sk,2) * w + Sk,1

Ya

Ya

Ya

Iterasi koefisien Spline Kubik Sk,1, Sk,2, Sk,3, Sk,4

Perhitungan Spline Kubik

Ya

Gambar 3.5 Flowchart Spline Kubik

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Spline Kuadrat membutuhkan membutuhkan 4n buah konstanta yang

dicari dengan mengikuti kondisi yang ada di bab II. Setelah user memasukan

banyaknya data yang diketahui, banyaknya data yang dicari, titik-titik data dan

nilai-nilai data yang diketahui, titik-titik data yang nilainya yang akan dicari maka

program akan mencari 4n konstanta yang dibutuhkan. Pencarian konstanta

dilakukan dengan eliminasi Gauss. Potongan program berikut merupakan

pencarian konstanta Sk,1, Sk,2, Sk,3, Sk,4.

cells[1,data+1]:=floattostr(0); cells[2,data+1]:=floattostr(0); h[1] := strtofloat(cells[1,2])-strtofloat(cells[1,1]); d[1] := (strtofloat(cells[2,2])-strtofloat(cells[2,1]))/h[1]; for k :=2 to data do begin h[k] := strtofloat(cells[1,k+1])-strtofloat(cells[1,k]); d[k] := (strtofloat(cells[2,k+1])-strtofloat(cells[2,k]))/h[k]; a[k] := h[k]; b[k] := 2*(h[k-1]+h[k]); c[k]:= h[k]; end; for k := 2 to data do begin v[k] :=6*(d[k]-d[k-1]); end; m[1] := 0; m[data] := 0; for k := 3 to data do begin tt := a[k-1]/b[k-1]; v[k] := v[k]-tt*v[k-1]; b[k] := b[k]-tt*c[k-1]; end; m[data] := v[data]/b[data]; for k:= data-1 downto 2 do begin m[k] := (v[k]-c[k]*m[k+1])/b[k]; end; m[1] := 0; m[data] := 0;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

for k := 1 to data do begin s[k,1] := strtofloat(cells[2,k]); s[k,2] := d[k]-((h[k]*((2*m[k])+m[k+1]))/6); s[k,3] := m[k]/2; s[k,4] := (m[k+1]-m[k])/(6*h[k]); end;

Potongan program berikut untuk mencari nilai Spline Kubik :

for jj := 2 to data do begin if(masuk[w]>=strtofloat(cells[1,jj-1]))and

(masuk[w]<=strtofloat(cells[1,jj]))then begin k := jj-1; ww := masuk[w]-strtofloat(cells[1,k]); z := ((s[k,4]*ww+s[k,3])*ww+s[k,2])*ww+s[k,1]; with stringgrid1 do begin cells[4,w] := FloatToStr(z); end; end; end; if (masuk[w] = strtofloat(cells[1,1])) then begin k := 1; ww := masuk[w]-strtofloat(cells[1,k]); z := ((s[k,4]*ww+s[k,3])*ww+s[k,2])*ww+s[k,1]; with stringgrid1 do begin cells[4,w] := FloatToStr(z); end; end;

Nilai Spline Kubik digunakan untuk pencarian galat. Saat tombol galat diklik

maka program akan menjalankan nilai galat untuk Spline Kubik. Untuk

pembuatan grafik yang pertama dilakukan adalah menghitung selisih titik data

yang diketahui yang terakhir dengan titik data yang diketahui yang pertama dan

dibagi 1000. Hasilnya merupakan penambahan titik data yang diketahui yang

pertama sampai titik data yang diketahui yang terakhir. Kemudian program

melakukan perhitungan nilai data dengan alur perhitungan Spline Kubik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB IV

ANALISIS

A. Hasil Implementasi

1. Layar Sampul

Layar sampul berisi 2 tombol yaitu :

a. Spline : Untuk menuju layar spline

b. Exit : Untuk Keluar dari program.

Gambar 4.1 Hasil Implementasi Layar Sampul

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

2. Layar Spline

Layar Spline terdapat 2 tabsheet yang pertama untuk pencarian dan yang

kedua untuk galat. Layar Spline keseluruhannya terdiri dari :

a. CheckBox

Digunakan untuk memilih Spline yang akan digunakan

b. Edit Text

Tempat masukan untuk jumlah data masukan, jumlah data yang dicari,

kolom baris yang ingin dihapus, dan kolom baris yang ingin ditambah.

c. BitBtn

- No : Digunakan untuk memberi nomor baris.

- Reset : Digunakan untuk membersihkan semua tampilan.

- Delete : Digunakan untuk menghilangkan kolom baris yang di-

inginkan.

Gambar 4.2 Hasil Implementasi Spline

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

- Spline : Digunakan untuk mencari nilai Spline.

- Clear : Digunakan untuk menghapus grafik.

- Grafik : Digunakan untuk menggambar grafik.

- Close : Untuk kembali ke layar sampul.

d. StringGrid

- Data : Digunakan untuk masukan nilai data.

- Pencarian : Digunakan untuk masukan nilai data yang dicari dan

hasil pencarian.

- Galat : Digunakan untuk hasil perhitungan galat.

e. PageControl

- Pencarian : Digunakan untuk StringGrid Pencarian.

- Galat : Digunakan untuk StringGrid Galat.

f. Chart : Digunakan untuk tempat menggambar grafik.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

B. Pengujian Program Spline

Contoh 4.1

Mencari nilai Interpolasi terhadap data pada tabel 2.1 sebagai data yang

diketahui untuk mencari x = [1.11 1.22 1.33 1.44 1.49]

C. Percobaan dan Analisis

Percobaan yang dilakukan untuk menganalisis galat dan waktu

komputasi. Percobaan dilakukan sebanyak dua kali yaitu dengan 5 pasangan

data. Beda jauh data untuk percobaan pertama yaitu 0.1 dan percobaan kedua

0.3. Untuk menganalisis galat dilakukan dengan mencari 20 nilai data yang ti-

tik datanya diketahui. Setelah melakukan percobaan untuk Spline Linear,

Spline Kuadrat dan Spline Kubik, hasil yang diperoleh akan dianalisis dengan

galat dan grafik.. Untuk menganalisis waktu komputasi, percobaan dilakukan

dengan jumlah data pencarian yang berbeda-beda.

Gambar 4.3 Hasil Perhitungan Spline

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Tabel 4.1 Data Percobaan 1

1. Galat

a. Percobaan 1

No x y 1 1.1 0.0953 2 1.2 0.1823 3 1.3 0.2624 4 1.4 0.3365 5 1.5 0.4055

Data Nilai Tabel Galat (%) No x y Spline Linear Spline Kuadrat Spline kubik 1 1.11 0.1044 0.38 0.38 0.19 2 1.12 0.1133 0.52 0.52 0.26 3 1.13 0.1222 0.55 0.55 0.33 4 1.14 0.1310 0.69 0.69 0.31 5 1.15 0.1398 0.72 0.72 0.29 6 1.21 0.1906 0.16 0.16 0 7 1.22 0.1989 0.30 0.25 0 8 1.23 0.2070 0.34 0.39 0.05 9 1.24 0.2151 0.37 0.42 0.05

10 1.25 0.2231 0.31 0.45 0.04 11 1.31 0.2700 0.07 0.11 0.04 12 1.32 0.2776 0.14 0.18 0.04 13 1.33 0.2852 0.21 0.28 0.04 14 1.34 0.2927 0.24 0.31 0.03 15 1.35 0.3001 0.23 0.30 0.07 16 1.41 0.3436 0.06 0.09 0 17 1.42 0.3507 0.11 0.17 0 18 1.43 0.3577 0.14 0.22 0 19 1.44 0.3646 0.14 0.25 0.03 20 1.45 0.3716 0.16 0.24 0.03

Tabel 4.2 Hasil Galat Percobaan 1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Grafik Galat Percobaan 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1.11 1.13 1.15 1.22 1.24 1.31 1.33 1.35 1.42 1.44

Tititk Data Pencarian

Gal

at (

% )

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.1 Galat Percobaan 1

Dari tabel 4.2 dan grafik 4.1 diperoleh keterangan :

a. Galat yang dihasilkan Spline Linear dan Spline Kuadrat bisa sama.

b. Dari grafik 4.1 diketahui bahwa Spline Linear yang merupakan orde yang

lebih kecil dibandingkan Spline Kuadrat, menghasilkan galat yang lebih

kecil. Dengan kata lain orde yang lebih tinggi tidak menjamin akan

menghasilkan galat yang lebih kecil.

c. Galat yang dihasilkan Spline Kubik lebih kecil dari galat yang dihasilkan

Spline Linear dan Spline Kuadrat.

d. Galat yang dihasilkan Spline Kubik mendekati nol persen dan bisa nol.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

b. Percobaan 2

Tabel 4.3 Data Percobaan 2

Nilai Data Tabel Galat (%) No x y Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik 1 1.11 0.1044 1.05 1.05 0.67 2 1.12 0.1133 1.68 1.68 1.06 3 1.13 0.1222 2.30 2.30 1.39 4 1.14 0.1310 2.67 2.67 1.60 5 1.15 0.1398 3.08 3.08 1.86 6 1.21 0.1906 3.62 3.62 1.78 7 1.22 0.1989 3.57 3.57 1.76 8 1.23 0.2070 3.49 3.49 1.64 9 1.24 0.2151 3.35 3.35 1.53

10 1.25 0.2231 3.23 3.23 1.43 11 1.31 0.2700 2.18 2.18 0.74 12 1.32 0.2776 1.95 1.95 0.65 13 1.33 0.2852 1.75 1.75 0.56 14 1.34 0.2927 1.50 1.50 0.44 15 1.35 0.3001 1.27 1.27 0.37 16 1.41 0.3436 0.17 0.26 0.06 17 1.42 0.3507 0.37 0.48 0.09 18 1.43 0.3577 0.50 0.70 0.11 19 1.44 0.3646 0.60 0.88 0.16 20 1.45 0.3716 0.75 1.02 0.16

Tabel 4.4 Hasil Galat Percobaan 2

No x y 1 1.1 0.0953 2 1.4 0.3365 3 1.7 0.5306 4 2.0 0.6931 5 2.3 0.8329

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Grafik Galat Percobaan 2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1.11 1.13 1.15 1.22 1.24 1.31 1.33 1.35 1.42 1.44

Titik Data Pencarian

Gal

at (

% )

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.2 Galat Percobaan 2

Dari tabel 4.4 dan grafik 4.2 diperoleh keterangan :

a. Dari grafik 4.2 diketahui bahwa semakin besar beda jauh data maka galat

yang dihasilkan Spline Linear dan Spline Kuadrat relatif sama.

b. Galat yang dihasilkan Spline Kubik tetap lebih kecil dibandingkan galat

yang dihasilkan Spline Linear dan Spline Kuadrat meskipun beda jauh data

bertambah.

c. Semakin besar beda jauh data maka persen galat yang dihasilkan semakin

besar.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

c. Percobaan 3

Tabel 4.5 Data Percobaan 3

Nilai Data Tabel Galat (%) No x y Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik 1 1.11 0.1044 73.0585 73.0585 68.1992 2 1.12 0.1133 72.9038 72.9038 68.0494 3 1.13 0.1222 72.7496 72.7496 67.9214 4 1.14 0.1310 72.6718 72.6718 67.7863 5 1.15 0.1398 72.5125 72.5125 67.6681 6 10.11 2.3135 0.1426 0.7348 0.2896 7 10.12 2.1451 7.7292 8.7595 8.2374 8 10.13 2.3155 0.1684 0.8637 0.3412 9 10.14 2.3164 0.177 0.9325 0.3669

10 10.15 2.3174 0.1899 1.0011 0.3927 11 20.11 3.0012 0.0333 0.6031 0.03 12 20.12 3.0017 0.0366 0.6563 0.0333 13 20.13 3.0022 0.04 0.7095 0.0366 14 20.14 3.0027 0.0433 0.766 0.04 15 20.15 3.0032 0.0466 0.8191 0.0433 16 30.11 3.4048 0.3348 0.5228 0.1821 17 30.12 3.4051 0.3642 0.5697 0.1968 18 30.13 3.4055 0.3994 0.6166 0.2173 19 30.14 3.4058 0.4287 0.6636 0.232 20 30.15 3.4061 0.458 0.7105 0.2496

Tabel 4.6 Hasil Galat Percobaan 3

No x y 1 1 0 2 10 2.3026 3 20 2.9957 4 30 3.4012 5 40 3.6889

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Grafik Galat Percobaan 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1.11 1.13 1.15 10.1 10.1 20.1 20.1 20.2 30.1 30.1Tititk Data Pencarian

Gal

at (

% )

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.3 Galat Percobaan 3

Dari tabel 4.6 dan grafik 4.3 diperoleh keterangan :

a. Dari grafik 4.3 diketahui bahwa semakin kecil nilai data yang dicari maka

galat yang dihasilkan semakin besar, semakin besar nilai data yang dicari

maka galat yang dihasilkan semakin kecil.

b. Semakin kecil nilai data yang dicari, galat yang dihasilkan mendekati 100%.

Semakin besar nilai data yang dicari, galat yang dihasilkan mendekati 0.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

2. Waktu Komputasi

a. Percobaan 1

Waktu komputasi untuk percobaan 1 menggunakan tabel 4.1.

Tabel 4.7 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 1

Waktu Komputasi Percobaan 1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

5 10 15 20 25 30

Jumlah data

Wak

tu K

ompu

tasi

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.4 Waktu Komputasi Percobaan 1

Dari tabel 4.7 dan grafik 4.4 diperoleh keterangan :

a. Waktu Komputasi yang diperlukan untuk Spline Linear lebih cepat dari

Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Waktu Komputasi yang diperlukan untuk

Spline Kuadrat dan Spline Kubik bisa sama.

b. Dari grafik 4.4 diketahui bahwa ketiga Spline, fungsi waktunya linear

terhadap jumlah data

Waktu Komputasi Banyak Data Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

5 0.005 0.02 0.02 10 0.01 0.04 0.04 15 0.015 0.055 0.06 20 0.02 0.07 0.08 25 0.025 0.085 0.1 30 0.03 0.1 0.12

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

c. Waktu Komputasi untuk masing-masing Spline memiliki gradien yang

berbeda. Spline Linear memiliki gradien 1000

1 , Spline Kuadrat memiliki

gradien 1000

3 dan Spline Kubik memiliki gradien 1000

4 . Dari ketiganya

Spline Kubik terbukti memiliki gradien yang paling besar.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

b. Percobaan 2

Waktu komputasi untuk percobaan 2 menggunakan tabel 4.3.

Waktu Komputasi Banyak Data Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

5 0.005 0.02 0.02 10 0.01 0.04 0.04 15 0.015 0.06 0.06 20 0.02 0.08 0.08 25 0.025 0.1 0.1 30 0.03 0.115 0.12

Tabel 4.8 Hasil Waktu Komputasi Percobaan 2

Waktu Komputasi Percobaan 2

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

5 10 15 20 25 30

Jumlah data

Wak

tu K

ompu

tasi

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.5 Waktu Komputasi Percobaan 2

Dari tabel 4.8 dan grafik 4.5 diperoleh keterangan :

a. Waktu Komputasi yang diperlukan Spline Linear tetap lebih cepat diband-

ingkan waktu komputasi yang diperlukan Spline Kuadrat dan Spline Kubik

meskipun beda jauh data bertambah.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

b. Dari grafik 4.5 diketahui bahwa beda jauh data tidak terlalu berpengaruh

terhadap waktu komputasi.

c. Waktu komputasi yang diperlukan Spline Kuadrat dan Spline Kubik relatif

sama.

Dari hasil percobaan didapat rata-rata waktu komputasi untuk Spline Linear,

Spline Kuadrat, Spline Kubik.

Waktu Komputasi Banyak Data Spline

Linear % Spline Kuadrat % Spline

Kubik %

5 0.005 11.11 0.02 44.44 0.02 44.44 10 0.01 11.11 0.04 44.44 0.04 44.44 15 0.015 11.32 0.0575 43.40 0.06 45.28 20 0.02 11.43 0.075 42.86 0.08 45.71 25 0.025 11.49 0.0925 42.53 0.1 45.98 30 0.03 11.65 0.1075 41.75 0.12 46.60

Rata-rata 11.35 43.24 45.41

Tabel 4.9 Rata-rata Waktu Komputasi

Rata-rata Waktu Komputasi

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

5 10 15 20 25 30

Jumlah data

Wak

tu K

ompu

tasi

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.6 Rata-rata Waktu Komputasi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

Rata-rata Waktu Komputasi (%)

0

10

20

30

40

50

5 10 15 20 25 30

Jumlah data

Wak

tu K

ompu

tasi

(%)

Spline Linear Spline Kuadrat Spline Kubik

Grafik 4.7 Rata-rata Waktu Komputasi dalam Persen

Dari grafik 4.6 dan grafik 4.7 rata-rata waktu komputasi Spline Linear

adalah yang tercepat yaitu 11.35 % lebih cepat dan Spline Kubik adalah yang

terlama yaitu 45.51 %. Rata-rata waktu komputasi dalam persen untuk ketiga

spline terbilang konstan walaupun banyak data yang dicari semakin besar,

kalaupun waktu yang digunakan bertambah, penambahannya hanya sedikit.

Semakin banyak data yang dicari semakin lama waktu yang diperlukan.

Dapat disimpulkan bahwa semakin jauh beda data maka galat yang

dihasilkan akan semakin besar. Semakin besar beda data, galat yang dihasilkan

semakin besar jika nilai data yang dicari semakin kecil dan galat yang

dihasilkan semakin kecil jika nilai data yang dicari semakin besar. Waktu yang

digunakan Spline Linear lebih cepat dibanding waktu yang digunakan Spline

Kuadrat dan Spline Kubik dan beda waktunya cukup banyak yaitu kurang lebih

32.98 %. Untuk waktu komputasi ketiga Spline fungsi waktunya linear terhadap

jumlah data. Gradien yang paling besar adalah Spline Kubik. Beda jauh data

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

tidak terlalu mempengaruhi waktu komputasi, dapat dilihat dari grafik 4.4 dan

grafik 4.5 waktu yang diperlukan Spline Linear, Spline Kuadrat dan Spline

Kubik dengan beda jauh data yang berbeda relatif sama. Waktu yang diperlukan

Spline Kuadrat hampir sama dengan Spline Kubik, perbedaan waktunya hanya

2.17 %.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari hasil percobaan dan analisis maka dapat ditarik kesimpulan sebagai

berikut :

1. Spline Linear membutuhkan paling sedikit 2 pasangan data, Spline

Kuadrat membutuhkan paling sedikit 3 pasangan data, Spline Kuadrat

membutuhkan paling sedikit 4 pasangan data.

2. Spline Kubik menghasilkan Galat yang lebih kecil, mendekati nol di-

bandingkan Spline Linear dan Spline Kuadrat yang menghasilkan galat

lebih besar.

3. Beda jauh data mempengaruhi besar atau kecilnya galat. Semakin

besar beda jauh data semakin besar galat yang dihasilkan. Semakin

besar beda jauh data galat yang dihasilkan Spline Linear dan Spline

Kuadrat relatif sama. Dengan kata lain meskipun Spline Kuadrat

merupakan polinomial orde lebih tinggi dibandingkan dengan Spline

Linear tidak menjamin orde lebih tinggi lebih baik dibandingkan orde

lebih rendah.

4. Semakin besar beda data, galat yang dihasilkan semakin besar jika

nilai data yang dicari semakin kecil dan galat yang dihasilkan semakin

kecil jika nilai data yang dicari semakin besar.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

5. Waktu komputasi yang dibutuhkan Spline Linear lebih cepat dari

Spline Kuadrat dan Spline Kubik. Waktu komputasi yang dibutuhkan

Spline Kuadrat dan Spline Kubik relatif sama.

6. Fungsi waktu ketiga Spline adalah linear dan berbanding lurus dengan

jumlah data. Spline Kubik memiliki gradien yang paling besar.

B. Saran

Dari hasil implementasi, percobaan dan analisa saran yang bisa disampaikan :

1. Jika ingin menghasilkan galat yang kecil, Spline Kubik sangat baik untuk

digunakan.

2. Jika ingin perhitungan dengan logaritma yang mudah dan waktu

komputasi lebih cepat, Spline Linear sangat baik digunakan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

DAFTAR PUSTAKA

Ayyub, Bilal, M & Richard, H.McCuen (1996). Numerical Methods for Engi-

neers. New Jersey : Prentice_Hall,Inc.

Burden, Richard L. & Faires, Douglas J. (1993). Numerical Analysis, fifth edi-

tion, PWS Publishing Company, Boston.

Chapra, S. C. dan Canale, R. P. (1988). Metode Numerik, Jilid 1, edisi kedua.

Jakarta : Erlangga.

Erwin, Kreyszig (1988). Matematika Teknik Lanjutan, edisi keenam. Jakarta :

Gramedia.

Wahana Komputer (2003), Panduan Praktis Pemrograman Borland Delphi

7.0, Yogyakarta : Andi Offset.

Zukhri, Zainudin (2005). Delphi 2005 Pemprograman bagi Pemula,

Yogyakarta : Graha Ilmu.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

LAMPIRAN

1. Program Spline procedure TForm2.BitBtn6Click(Sender: TObject); type ary=array[1..100]of currency; arys = array [1..100,1..100] of real; var s : arys; d,h:ary; m : ary; ww:currency; tt,z : currency; jj: integer; fx: currency; masuk:ary; k,w,i: integer; a : ary; b : ary; c,j,t,v,r: ary; dd,e,mm: currency; jarak:integer; temp,atemp,temp1,btemp1:real; begin data:=strtoint(edit1.Text); pencarian:=strtoint(edit2.Text); if (data <= 100)then begin if (data >=4)then begin with grid do begin for i:=1 to data-1 do begin for jarak:= 1 to data-i do begin if (strtofloat(Cells[1,jarak]) > strto-float(cells[1,jarak+1])) then begin temp:=strtofloat(cells[1,jarak]); atemp:=strtofloat(cells[1,jarak+1]); cells[1,jarak]:=floattostr(atemp); cells[1,jarak+1]:=floattostr(temp); temp1:=strtofloat(cells[2,jarak]); btemp1:=strtofloat(cells[2,jarak+1]); cells[2,jarak]:=floattostr(btemp1); cells[2,jarak+1]:=floattostr(temp1); end; end; end; end; with StringGrid1 do begin for w:= 1 to pencarian do begin masuk[w] := StrToFloat(cells[1,w]);

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

end; for i:=1 to pencarian-1 do begin for jarak:= 1 to pencarian-i do begin if (strtofloat(Cells[1,jarak]) > strto-float(cells[1,jarak+1])) then begin temp:=strtofloat(cells[1,jarak]); atemp:=strtofloat(cells[1,jarak+1]); cells[1,jarak]:=floattostr(atemp); cells[1,jarak+1]:=floattostr(temp); masuk[jarak]:=strtofloat(cells[1,jarak]); masuk[jarak+1]:=strtofloat(cells[1,jarak+1]); end; end; end; end; with stringgrid1 do begin for i:=1 to pencarian do begin a[i]:=strtofloat(cells[1,i]); end; end; with stringgrid2 do begin for i:= 1 to pencarian do begin cells[1,i]:=floattostr(a[i]); end; end; with grid do begin for w:=1 to pencarian do begin if (ma-suk[w]>=strtofloat(cells[1,1]))and(masuk[w]<=strtofloat(cells[1,data]))then begin //Spline Linear if checkbox1.Checked then begin for i :=1 to data-1 do begin if(masuk[w]>=strtofloat(cells[1,i]))and(masuk[w]<=strtofloat(cells[1,i+1]))then begin fx :=strtofloat(cells[2,i])+(((strtofloat(cells[2,i+1])-strtofloat(cells[2,i]))/

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

(strtofloat(cells[1,i+1])-strtofloat(cells[1,i])))*(masuk[w]-strtofloat(cells[1,i]))); with StringGrid1 do begin Cells[2,w]:= FloatToStr(fx); end; inc(timer); break; end; end; end; //Spline Kuadrat if checkbox4.Checked then begin for k:=3 to data-1 do begin r[k]:=StrToFloat(Cells[1,k])-StrToFloat(Cells[1,k+1]); t[k]:=StrToFloat(Cells[2,k])-StrToFloat(Cells[2,k+1]); end; mm:=StrToFloat(Cells[1,1])-StrToFloat(Cells[1,2]); b[1]:=(StrToFloat(Cells[2,1])-StrToFloat(Cells[2,2]))/mm; c[1]:=StrToFloat(Cells[2,1])-b[1]*StrToFloat(Cells[1,1]); dd:=(StrToFloat(Cells[2,2])-StrToFloat(Cells[2,3]))-(b[1]*(StrToFloat(Cells[1,2]) -StrToFloat(Cells[1,3]))); e:=(2*StrToFloat(Cells[1,2])*StrToFloat(Cells[1,3])-StrToFloat(Cells[1,2]) *StrToFloat(Cells[1,2])-StrToFloat(Cells[1,3])*StrToFloat(Cells[1,3])); a[2]:=dd/e; b[2]:=b[1]-2*a[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); c[2]:=StrToFloat(Cells[2,2])-a[2]*StrToFloat(Cells[1,2])* StrToFloat(Cells[1,2])-b[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); for k:=3 to data-1 do begin j[k]:=2*StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k+1])- StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k])- StrToFloat(Cells[1,k+1])*StrToFloat(Cells[1,k+1]); end; v[2]:=(2*a[2]*StrToFloat(Cells[1,3]))+b[2]; for k:= 3 to data-1 do begin a[k]:= ((StrToFloat(Cells[2,k])-StrToFloat(Cells[2,k+1]))- (((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+b[k-1])*r[k]))/j[k]; b[k]:= ((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+b[k-1])- (2*a[k]*StrToFloat(Cells[1,k]));

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

c[k]:= StrToFloat(Cells[2,k])-a[k]*StrToFloat(Cells[1,k])* StrToFloat(Cells[1,k])-b[k]*StrToFloat(Cells[1,k]); end; if (ma-suk[w]<StrToFloat(Cells[1,2]))and(masuk[w]>=StrToFloat(Cells[1,1]))then begin fx:=b[1]*masuk[w]+c[1]; With StringGrid1 do begin Cells[3,w]:= FloatToStr(fx); end; inc(waktu); end; for k:=3 to data do begin if(masuk[w]>=StrToFloat(Cells[1,k-1]))and(masuk[w]<=StrToFloat(Cells[1,k]))then begin fx :=a[k-1]*masuk[w]*masuk[w]+b[k-1]*masuk[w]+c[k-1]; with StringGrid1 do begin Cells[3,w]:= FloatToStr(fx); end; end; inc(waktu); end; end; //Spline Kubik if checkbox3.Checked then begin cells[1,data+1]:=floattostr(0); cells[2,data+1]:=floattostr(0); h[1] := strtofloat(cells[1,2])-strtofloat(cells[1,1]); d[1] := (strtofloat(cells[2,2])-strtofloat(cells[2,1]))/h[1]; for k :=2 to data do begin h[k] := strtofloat(cells[1,k+1])-strtofloat(cells[1,k]); d[k] := (strtofloat(cells[2,k+1])-strtofloat(cells[2,k]))/h[k]; a[k] := h[k]; b[k] := 2*(h[k-1]+h[k]); c[k]:= h[k]; end; for k := 2 to data do

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

begin v[k] :=6*(d[k]-d[k-1]); end; m[1] := 0; m[data] := 0; for k := 3 to data do begin tt := a[k-1]/b[k-1]; v[k] := v[k]-tt*v[k-1]; b[k] := b[k]-tt*c[k-1]; end; m[data] := v[data]/b[data]; for k:= data-1 downto 2 do begin m[k] := (v[k]-c[k]*m[k+1])/b[k]; end; m[1] := 0; m[data] := 0; for k := 1 to data do begin s[k,1] := strtofloat(cells[2,k]); s[k,2] := d[k]-((h[k]*((2*m[k])+m[k+1]))/6); s[k,3] := m[k]/2; s[k,4] := (m[k+1]-m[k])/(6*h[k]); end; for jj := 2 to data do begin if(masuk[w]>=strtofloat(cells[1,jj-1]))and(masuk[w]<=strtofloat(cells[1,jj]))then begin k := jj-1; ww := masuk[w]-strtofloat(cells[1,k]); z := ((s[k,4]*ww+s[k,3])*ww+s[k,2])*ww+s[k,1]; with stringgrid1 do begin cells[4,w] := FloatToStr(z); end; end; inc(before); end; if (masuk[w] = strtofloat(cells[1,1])) then begin k := 1; ww := masuk[w]-strtofloat(cells[1,k]); z := ((s[k,4]*ww+s[k,3])*ww+s[k,2])*ww+s[k,1]; with stringgrid1 do begin

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

cells[4,w] := FloatToStr(z); end; inc(before); end; end; end else begin MessageDlg('Masukan Anda Salah',mtWarning,[mbOk],0) end; end; end; bitbtn6.Visible := false; bitbtn9.Visible := true; end else begin MessageDlg('Jumlah data Tidak Boleh kurang dari 3!!',mtWarning,[mbOk],0) end; end else begin MessageDlg('Jumlah data Tidak Boleh lebih dari 100!!',mtWarning,[mbOk],0) end; end;

2. Program Galat procedure TForm2.BitBtn9Click(Sender: TObject); var i:integer; a,b,c,asli,aa,bb,cc:array[1..100]of currency; begin pencarian := strtoint(edit2.Text); with stringgrid2 do begin for i:=1 to pencarian do begin if (cells[2,i]='') then begin MessageDlg('Nilai Tabel belum Diisi!!',mtWarning,[mbOk],0) end; end; end; with stringgrid1 do begin for i:=1 to pencarian do begin a[i]:=strtofloat(cells[2,i]); b[i]:=strtofloat(cells[3,i]); c[i]:=strtofloat(cells[4,i]); end;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

end; with stringgrid2 do begin for i:= 1 to pencarian do begin asli[i]:=strtofloat(cells[2,i]); aa[i]:=abs((asli[i]-a[i])/asli[i]*100); bb[i]:=abs((asli[i]-b[i])/asli[i]*100); cc[i]:=abs((asli[i]-c[i])/asli[i]*100); cells[3,i]:=floattostr(aa[i]); cells[4,i]:=floattostr(bb[i]); cells[5,i]:=floattostr(cc[i]); end; end; end;

3. Program Grafik procedure TForm2.BitBtn8Click(Sender: TObject); type ary=array[1..100]of currency; arys = array [1..100,1..100] of real; var s,d,h,m,a,b : ary; w,tt,z,fx : currency; jj,jarak,k,i: integer; c,j,t,v,r: ary; dd,e,mm,dt: currency; masuk:real; temp,atemp,temp1,btemp1:currency; begin groupbox3.Visible :=true; data:=strtoint(edit1.Text); with grid do begin for i:=1 to data-1 do begin for jarak:= 1 to data-i do begin if (strtofloat(Cells[1,jarak]) > strto-

float(cells[1,jarak+1])) then begin temp:=strtofloat(cells[1,jarak]); atemp:=strtofloat(cells[1,jarak+1]); cells[1,jarak]:=floattostr(atemp); cells[1,jarak+1]:=floattostr(temp); temp1:=strtofloat(cells[2,jarak]); btemp1:=strtofloat(cells[2,jarak+1]); cells[2,jarak]:=floattostr(btemp1); cells[2,jarak+1]:=floattostr(temp1); end; end; end; end;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

with grid do begin dt:=(strtofloat(cells[1,data])-strtofloat(cells[1,1]))/1000;

masuk:=strtofloat(cells[1,1]); // Grafik Spline Linear if checkbox1.Checked then begin while masuk <= strtofloat(cells[1,data]) do begin for i :=1 to data-1 do begin if(masuk>=strtofloat(cells[1,i]))and (masuk<=strtofloat(cells[1,i+1]))then begin fx :=strtofloat(cells[2,i])+(((strtofloat(cells[2,i+1])-

strtofloat(cells[2,i]))/ (strtofloat(cells[1,i+1])-

strtofloat(cells[1,i])))*(masuk- strto-float(cells[1,i])));

series1.AddXY(masuk,fx); masuk:=masuk+dt; end; end; end; end; // akhir Spline linear //Grafik Spline Kuadrat if checkbox4.Checked then begin for k:=3 to data-1 do begin r[k]:=StrToFloat(Cells[1,k])-StrToFloat(Cells[1,k+1]); t[k]:=StrToFloat(Cells[2,k])-StrToFloat(Cells[2,k+1]); end; mm:=StrToFloat(Cells[1,1])-StrToFloat(Cells[1,2]); b[1]:=(StrToFloat(Cells[2,1])-StrToFloat(Cells[2,2]))/mm; c[1]:=StrToFloat(Cells[2,1])-b[1]*StrToFloat(Cells[1,1]); dd:=(StrToFloat(Cells[2,2])-StrToFloat(Cells[2,3]))-

(b[1]*(StrToFloat(Cells[1,2]) -StrToFloat(Cells[1,3]))); e:=(2*StrToFloat(Cells[1,2])*StrToFloat(Cells[1,3])-

StrToFloat(Cells[1,2])*StrToFloat(Cells[1,2])-StrToFloat(Cells[1,3])*StrToFloat(Cells[1,3]));

a[2]:=dd/e; b[2]:=b[1]-2*a[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); c[2]:=StrToFloat(Cells[2,2])-a[2]*StrToFloat(Cells[1,2])* StrToFloat(Cells[1,2])-b[2]*StrToFloat(Cells[1,2]); for k:=3 to data-1 do begin

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

j[k]:=2*StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k+1])- StrToFloat(Cells[1,k])*StrToFloat(Cells[1,k])- StrToFloat(Cells[1,k+1])*StrToFloat(Cells[1,k+1]); end; v[2]:=(2*a[2]*StrToFloat(Cells[1,3]))+b[2]; for k:= 3 to data-1 do begin a[k]:= ((StrToFloat(Cells[2,k])-

StrToFloat(Cells[2,k+1]))- (((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+

b[k-1])*r[k]))/j[k]; b[k]:= ((2*a[k-1]*StrToFloat(Cells[1,k]))+b[k-1])- (2*a[k]*StrToFloat(Cells[1,k])); c[k]:= StrToFloat(Cells[2,k])-

a[k]*StrToFloat(Cells[1,k])* StrToFloat(Cells[1,k])-b[k]*StrToFloat(Cells[1,k]); end; masuk:=strtofloat(cells[1,1]); while masuk<=strtofloat(cells[1,data]) do begin if (masuk<StrToFloat(Cells[1,2]))and

(masuk>=StrToFloat(Cells[1,1]))then begin fx:=b[1]*masuk+c[1]; series2.AddXY(masuk,fx); masuk:=masuk+dt; end;

if(masuk>=StrToFloat(Cells[1,2]))and (masuk<=StrToFloat(Cells[1,data]))then begin for k:=3 to data do begin

if(masuk>=StrToFloat(Cells[1,k-1]))and (masuk<=StrToFloat(Cells[1,k]))then

begin fx :=a[k-1]*masuk*masuk+b[k-1]*masuk+c[k-1]; series2.AddXY(masuk,fx); masuk:=masuk+dt; end; end; end; end; end; // akhir Spline Kuadrat //Grafik Spline Kubik if checkbox3.Checked then begin with grid do begin cells[1,data+1]:=floattostr(0); cells[2,data+1]:=floattostr(0);

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

h[1] := strtofloat(cells[1,2])-strtofloat(cells[1,1]); d[1] := (strtofloat(cells[2,2])-

strtofloat(cells[2,1]))/h[1]; for k :=2 to data do begin

h[k] := strtofloat(cells[1,k+1])- strto-float(cells[1,k]);

d[k] := (strtofloat(cells[2,k+1])-strtofloat(cells[2,k]))/h[k];

a[k] := h[k]; b[k] := 2*(h[k-1]+h[k]); c[k]:= h[k]; end; for k := 2 to data do begin v[k] :=6*(d[k]-d[k-1]); end; m[1] := 0; m[data] := 0; for k := 3 to data do begin tt := a[k-1]/b[k-1]; v[k] := v[k]-tt*v[k-1]; b[k] := b[k]-tt*c[k-1]; end; m[data] := v[data]/b[data]; for k:= data-1 downto 2 do begin m[k] := (v[k]-c[k]*m[k+1])/b[k]; end; m[1] := 0; m[data] := 0; for k := 1 to data do begin s[k,1] := strtofloat(cells[2,k]); s[k,2] := d[k]-((h[k]*((2*m[k])+m[k+1]))/6); s[k,3] := m[k]/2; s[k,4] := (m[k+1]-m[k])/(6*h[k]); end; masuk:=strtofloat(cells[1,1]); while masuk <= strtofloat(cells[1,data]) do begin for jj := 2 to data do begin if(masuk>=strtofloat(cells[1,jj-1]))and

(masuk<=strtofloat(cells[1,jj]))then begin k := jj-1; w := masuk-strtofloat(cells[1,k]);

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI - core.ac.uk · dan Spline Kubik menghasilkan galat yang paling kecil dan waktu komputasi ... diselesaikan menggunakan pencocokan kurva. Fungsi-fungsi

z := ((s[k,4]*w+s[k,3])*w+s[k,2])*w+s[k,1]; series3.AddXY(masuk,z); masuk:=masuk+dt; end; end; if (masuk = strtofloat(cells[1,1])) then begin k := 1; w := masuk-strtofloat(cells[1,k]); z := ((s[k,4]*w+s[k,3])*w+s[k,2])*w+s[k,1]; series3.AddXY(masuk,z); masuk:=masuk+dt; end; end; end; end; //akhir spline kubik end; end;

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI