Pigeon Hole

7/22/2019 Pigeon Hole

1/34


2/34

10/21/10

Pigeon Hole

Prinsip sarang merpati menyatakan bahwa

jika ada n ekor merpati terbang ke m buah

kandang dan n>m, maka pasti ada paling

sedikit satu buah kandang yang ditempati

dua merpati atau lebih.


3/34

10/21/10

Pigeon Hole

M1

M2

M3

M4

M5

M6

K1

K2

K3

K4

Merpati n=6 Kandang m=4


4/34

10/21/10

Pigeon Hole

Dalam konteks fungsi yang domain dan

kodomain berhingga, prinsip kandang

merpati dapat dinyatakan sebagai berikut:

Misalkan :

X adalah himpunan dengan n anggota

(|X|=n)

Y adalah himpunan dengan m anggota

(|Y|=m), dengan n>m


5/34

10/21/10

Pigeon Hole

Maka fungsi f:XY tidak mungkin injektif

karena pasti ada paling sedikit 2 elemen

dalam X yang mempunyai kawan sama di

Y.

Karena kesederhanaanya, pigeonhole

digunakan dalam banyak aplikasi


6/34

10/21/10

Contoh:

Contoh 1:Jika terdapat 11 pemain dalam

sebuah tim sepakbola yang menang dengan

angka 12-0, maka haruslah terdapat paling

sedikit satu pemain dalam tim yang membuatgol paling sedikit dua kali.

Contoh 2: Jika anda menghadiri 6 kuliah dalam

selang waktu Senin sampai Jumat, makaharuslah terdapat paling sedikit satu hari ketika

anda menghadiri paling sedikit dua kelas.


7/34

10/21/10

Contoh:

Contoh 3:Dalam kelompok yang terdiri dari 6orang, apakah pasti ada 2 orang atau lebihdiantaranya yang lahir pada bulan yang sama?pigeon: 6 orang

Hole: 12 bulanp


8/34

10/21/10

Jawab:

13 orang anggota kelompok diibaratkan

sebagai merpati dan 12 bulan kelahiran

sebagai sarangnya, seperti terlihat pada

gambar berikut.

x1x2x

3x4:

x12

Jan

Feb

Maret

April:

Des

Merpati n=13 Kandang m=12


9/34

10/21/10

Fungsi f:XY didefinisikan sebagai bulan

kelahiran xi . Karena |X|>|Y|, maka f tidak

mungkin injektif. Jadi ada paling sedikit 2

elemen dalam dalam x yang mempunyaikawan yang sama di Y. ini berarti minimal

ada 2 kelompok yang lahir pada bulan

yang sama.


10/34

10/21/10

Contoh:

Contoh 4: Diantara penduduk x yang

jumlahnya 2 juta orang, apakah pasti ada

paling sedikit 2 orang yang mempunyai

jumlah rambut kepala sama?

catatan : Jumlah rambut manusia tidak

lebih dari 300.000 helai


11/34

10/21/10

Contoh:

Contoh 5: Di dalam kelas dengan 60

mahasiswa, terdapat paling sedikit 12

mahasiswa akan mendapat nilai yang

sama (A, B, C, D, atau E).

Contoh 6: Di dalam kelas dengan 61

mahasiswa, paling sedikit 13 mahasiswaakan memperoleh nilai yang sama.


12/34

10/21/10

Latihan:

Jika penduduk kota Cimahi berjumlah 1,5

juta, buktikan paling sedikit terdapat 7

orang yang mempunyai inisial nama

depan dan nama belakang yang samaserta memiliki tanggal lahir yang sama.


13/34

10/21/10

Jawab:

Banyaknya kemungkin inisial nama depan dan

nama belakang serta tanggal lahir adalah

26.26.365

Dengan menggunakan prinsip sarang merpati,banyaknya orang yang mempunyai inisial nama

depan dan nama belakang yang sama serta

memiliki tanggal lahir yang sama di kota Cimahi

adalah

1500000

26 26 365= 7


14/34

10/21/10

Latihan:

Berapa banyak bilangan yang harus dipilih

dari himpunan {1,3,5,7,9,11,13,15} untuk

menjamin bahwa paling sedikit satu

pasang bilangan memiliki jumlah 16?

Gunakan prinsip sarang merpati untuk

menjelaskan jawaban Anda.


15/34

10/21/10

Jawab

Pandang empat subhimpunan yang mempartisi{1,3,5,7,9,11,13,15} berikut:

{1,15}, {3,13}, {5,11}, {7,9}

Anggota-anggota dari keempat subhimpunantersebut, bila dijumlahkan, akan tepat samadengan 16.

Jadi, jika kita memilih 5 bilangan dari{1,3,5,7,9,11,13,15}, menurut prinsip sarang

merpati, paling tidak terdapat sepasang bilanganyang merupakan anggota dari subhimpunanyang sama. Akibatnya, pasangan bilangantersebut jumlahnya sama dengan 16.


16/34

10/21/10

{1,3,5,7,9,11,13,15}

11,9,13,7,15=9+7

11,9,13,5,15=11+51,9,13,7,15=15+1


17/34

10/21/10

Jawab

memilih 5 bilangan dari {1,3,5,7,9,11,13,15}

- 1,3,5,7,9= 9+7=16

- 1,11,13,15,5=15+1,11+5=16

Kesimpulan kalau saya inginmendapatkan angka 16 maka minimalsaya harus mengabil 5 bilangan.

Jika kurang dari 5 bilangan maka jumlahdari salah satu bilangan tdk 16

Ex: 1,3,5,7


18/34

10/21/10

Misalkan ada laci yang berisi selusin kauskaki coklat dan selusin kaus kaki hitam

yang didistribusikan secara acak. Pada

saat listrik padam, berapa kaus kakiyang harus anda ambil untuk

memastikan bahwa di antaranya

terdapat sepasang kaus yang sewarna?

Latihan


19/34

10/21/10

Jawab

Terdapat dua tipe kaus kaki, jadi jika anda

memilih paling sedikit 3 kaus kaki,

haruslah terdapat paling sedikit dua kaus

kaki coklat atau paling sedikit dua kauskaki hitam .

Generalisasi Prinsip Sarang Merpati :3/2 = 2.


20/34

10/21/10

Teori Ramsey

Asumsikan bahwa di dalam suatu kelompok

yang terdiri dari 6 orang, setiap pasang

terdiri dari dua sahabat atau dua musuh.

Tunjukkan bahwa terdapat tiga orang yang

saling bersahabat atau tiga orang yang

saling bermusuhan dalam kelompok

tersebut.


21/34

10/21/10

Bilangan Ramsey R(m,n), dengan m dan n

bilangan bulat positif 2, adalah jumlahminimum orang dalam suatu pesta

sehingga terdapat m orang yang salingbersahabat atau n orang yang saling

bermusuhan, dengan mengasumsikan

setiap pasang orang di pesta tersebutadalah sahabat atau musuh.

Teori Ramsey (2)


22/34

10/21/10

Latihan

Suatu universitas memiliki 35000mahasiswa. Setiap mahasiswamengambil 4 matakuliah. Informasimenunjukkan bahwa ada 1000matakuliah yang ditawarkan dengankelas terbesar matakuliah bisa diambilmaksimal oleh 135 mahasiswa.

Mahasiswa yang mengambilmatakuliah pasti tahu ada suatumasalah. Apa itu?


23/34

10/21/10

Jawab

35000 mahasiswa mengambil 4

matakuliah

1000 matakuliah maksimal 135

mahasiswa

Pigeon = 35000x4 =140000

Hole = 1000x135 =135000


24/34

10/21/10

Latihan

Suatu pertandingan bola basket diikuti n

tim, setiap tim memperoleh minimal 1

kemenangan. Tunjukkan minimal ada 2

tim dengan jumlah kemenangan yangsama.


25/34

10/21/10

Jawab

Minimal menang 1 kali

Maksimal menang n-1 kali

Kemungkinan nilai kemenangan = n-1 (hole)

Jumlah tim= n pigeon


26/34

10/21/10

Latihan

Tunjukkan bahwa diantara n+1 bilangan,

ada 2 bilangan yang selisihnya habis

dibagi n


27/34

10/21/10

Jawab

n=6

1 25 37 45 15 11 166.1+1 6.4+1 6.6+1 6.7+3 6.2+3 6.1+4 6.2+4

Selisihnya habis dibagi n

25-7=18/6habis dibagi n

15-11=6/6 habis dibagi n


28/34

10/21/10

Jawab

Solusi

Asumsi terdapat n+1 bilangan

a1 b1.n+s1

a2

b2.n+s2a3 b3.n+s3

a4 b4.n+s4

an bn.n+sn

an+1 bn+1.n+sn+1n+1 banyaknya sisa


29/34

10/21/10

Jawab

Kemungkinan nilai sisa =n, pasti ada 2

bilangan dengan nilai sisa yang sama.

ai bi.n+si

aj bj.n+sj

ai-aj = (bi-bj)n

habis dibagi n


30/34

10/21/10

Latihan

Seorang pemain catur akan menyiapkan

diri dalam kejuaraan catur dunia, dengan

berlatih selama 77 hari. Ia memainkan

sedikitnya satu latihan sehari. Total latihanselama periode tersebut tidak lebih dari

132 latihan. Buktikan bahwa

bagaimanapun jadwal latihannya, pastiada beberapa hari berturutan ia

memainkan tepat 21 latihan.


31/34

10/21/10

Hari 77

132 latihan selama 77 hari

1


32/34

10/21/10

Latihan1. Berapa jumlah minimum mahasiswa di

dalam kelas Matematika Diskrit agarsedikitnya 6 orang memperoleh nilaiyang sama?

2. Berapa jumlah minimum kode area yangdibutuhkan agar 25 juta nomor teleponmempunyai 10-digit nomor telepon yangberbeda?

3. Tunjukkan bahwa di antara n+1 bilanganbulat positif yang tidak melebihi 2n,haruslah terdapat suatu bilangan bulatyang membagi salah satu integerlainn a.


33/34

10/21/10

PR

1. Tunjukkan bahwa di antara n+1 bilanganbulat positif yang tidak melebihi 2n,

haruslah terdapat suatu bilangan bulat

yang membagi salah satu integer lainnya.

1. Tunjukkan bahwa setiap barisan dari n2+1

bilangan real yang berbeda selalu memuat

suatu subbarisan dengan panjang n+1yang monoton naik/monoton turun.


34/34

10/21/10

PR

Tunjukkan bahwa untuk setiap bilanganbulat n terdapat kelipatan dari n yang

hanya terdiri dari digit 0 atau 1 saja.

Pigeon Hole

Documents

Transcript of Pigeon Hole