p.i. Segitiga Bola

8/12/2019 p.i. Segitiga Bola

1/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

MARKAS BESAR ANGKATAN LAUTA K A D E M I

PAKET INSTRUKSI

ILMU SEGITIGA BOLA

BUMIMORO, TH. 2011

i


2/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

LEMBAR PERUBAHAN

No BABHALAMAN PERIHAL TANGGAL CATATANINSTRUKTUR PARAF

ii


3/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

KATA PENGANTAR

Puji syukur ke hadirat Allah SWT yang atas limpahan karunia Nya penyusun diberikesempatan untuk menyelesaikan buku Paket Instruksi ini. Buku ini disusun agar dapat

dipergunakan sebagai bahan bacaan utama dan latihan Kadet tentang mata kuliah Segi

Tiga Bola.

Materi disusun sesuai urutan mulai dari pengertian dasar ilmu ukur segitiga bola,

rumus-rumus penting segitiga bola, penggunaan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi,

proyeksi orthografik dan penggunaan dalam perbintangan.

Penyusun mengucapkan terima kasih atas dorongan dan dukungan semua pihak

sehingga buku ini dapat diselesaikan. Kritik dan saran untuk perbaikan akan diterima

dengan senang hati.

Akhirnya semoga buku ini bermanfaat bagi Kadet untuk mencapai

profesionalitasnya dalam pembelajaran untuk menjadi seorang Perwira. Amiin.

Bumimoro, 2011

Penyusun

iii


4/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

DAFTAR ISI

LEMBAR PERUBAHAN... . . i

KATA PENGANTAR .... .. ii

DAFTAR ISI............. . ... iii

RENCANA PENGAJARAN..... ... .. iv

BAB I PENGERTIAN DASAR ILMU UKUR SEGITIGA BOLA .. 1

1. Definisi Dasar ............... . 12. Segidua Bola . .... .. 43. Segitiga Bola . . 64. Luas Segitiga Bola . ....... . 115. Sifat sudut segitiga bola 126. Sifat sisi segitiga bola .... ... 137. Kesamaan dan Kesebangunan ....... ... .... 158. Latihan ..... .... 20

BAB II RUMUS- RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA . ... 22

9. Aturan Cosinus .... ... ..... . 2210. Segitiga Kutub Aturan Cosinus Untuk Sudut ... ..... 23

11. Aturan Sinus ............ . 2412. Rumus yang BerhubungannDengan Segitiga Bola ...... .. 2813. Dua Aturan Penting . . 3114. Latihan . .. 31

BAB III PENGGUNAAN ILMU UKUR SEGITIGA BOLA PADA BOLA BUMI... 34

15. Definisi dan Notasi ...... .. 3416. Contoh . .. 3617. Latihan .. 44

BAB IV PROYEKSI ORTHOGRAFIK . ... . 47

18. Melukis ellips .. ... . 4719. Melukis Proyeksi Orthografik .. 4820. Latihan ... 55

iv


5/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

BAB V PENGGUNAAN DALAM PERBINTANGAN .. .... 56

21. Definisi .. 5622. Segitiga Astronomi ... 5723. Waktu setempat . .. .. 6124. Latihan ... 63

DAFTAR PUSTAKA . ................... 65

v


6/70

KONFIDENSIAL

KONFIDENSIAL

RENCANA PENGAJARAN

1. Materi Ajaran : Ilmu Segitiga Bola2. Tujuan Mata Pelajaran : Mengingat dan mengetahui teori-teoridan rumus-rumus serta aturan ilmu ukur segitiga bola dalam kaitan bernavigasi.

3. Sasaran Mata Pelajaran : Selesai mendapatkan pelajaran inidiharapkan Kadet mampu untuk:

a. Mengingat dan mengetahui pengertian dasar segitiga bola.b. Mengingat dan mengetahui rumus-rumus dasar segitiga bola.c. Mengingat dan mengetahui rumus Sinus, Cosinus dan aturan Napier.

d. Menggunakan rumus dan aturan segitiga bola untuk ilmu pelayaran danastonomi.

4. Waktu Pelajaran :

a. Teori : 2 SKS atau 32 JP tatap muka di kelas.b. Praktek : -

5. Kepustakaan :

a. PL de Pries, Ulake en Boldrichookmeting, Gorinchem JN., NY 1951.

b. RM, Sphericalo Trigonometical, Anna Polis Maryland, USNA, 1951.c. BR-45 Vol I-VIId. Buku panduan pengetahuan kepelautan bagi perwira korps pelaut.

6. Metode Instruksi : Kuliah, diskusi, dan pemberian tugas.

7. Alat Instruksi : Transparan, LCD dan alat peraga.

8. Evaluasi : Obyektif dan subyektif.

9. Kualifikasi Gadik : Perwira korps Pelaut, AA/Susgadik / Sustekdik , Dikspespa.


7/70

KONFIDENSIAL1

KONFIDENSIAL

1. Definisi Dasar

Sebelum dibahas lebih lanjut tentang ilmu ukur segitiga bola, terlebih

dahulu akan disajikan definisi dasar segitiga bola.

Selanjutnya, ilustrasi berikut akan memperkuat pemahaman tentang

pengertian dasar yang berhubungan segi tiga bola.

BAB - IPENGERTIAN DASAR

ILMU UKUR SEGITIGA BOLA

Kompetensi :

Setelah menyelesaikan bab 1 :

Kadet memahami pengertian dasar formula ilmu ukur segitiga bola

Kadet mampu menghitung panjang dan hukum positif yang ada.

Kadet menghayati kecermatan, ketelitian dan disiplin dalam

menggunakan aturan serta menunjukkan kerja keras dalam

penyelesaian persoalan ilmu ukur segitiga bola

Definisi 1

Perpotongan antara sebuah bidang datar dengan permukaan

bola berupa lingkaran.

Apabila bidang datar tersebut melalui pusat bola, maka

lingkarannya disebut lingkaran besar

Apabila bidang datarnya tidak melalui posat bola maka

lingkarannya disebut lingkaran kecil.

Panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada pusat

bola yang menghadap busur tersebut.


8/70

KONFIDENSIAL2

KONFIDENSIAL

Gambar 1. Bagian bola

Sedangkan panjang busur lingkaran besar sama dengan sudut pada

pusat bola yang menghadap busur itu. Pada Gambar 1 lingkaran

NWS dan PABP adalah lingkaran besar, dengan panjang busur AB= .

Garis tengah bola yang berdiri tegak lurus pada bidang dari sebuah

lingkaran besar disebut poros atau sumbu dari lingkaran.

Titik-titik potong antara poros dengan permukaan bola disebut pola

atau kutub.

Ujung garis tengah bola disebut titik lawan dari ujung yang lain. Pada

gambar 1, garis PP poros dari lingkaran NWS. Sedangkan titik P dan P

adalah kutub. P merupakan titik lawan dari titik P.

Sudut antara dua garis lengkung yang berpotongan sudut : antara

garis-garis singgung pada titik potong dari kedua garis lengkung itu.

P POLE

P

O

B

A

Q R

T

E

W


9/70

KONFIDENSIAL3

KONFIDENSIAL

Bukti :

Dari definisi tentang lingkaran besar, maka setiap dua lingkaran besar

selalu berpotongan menurut garis lurus yang melalui pusat bola.

Garis lurus ini merupakan garis tengah dari kedua lingkaran besar

tersebut.

Jadi kedua lingkaran membagi dua sama besar.

Teorema 1

Dua lingkaran besar pada bola saling membagi dua sama besar

Teorema 2

Sudut antara lingkaran besar sama dengan panjang busur

lingkaran besar yang kutubnya adalah titik sudut tersebut


10/70

KONFIDENSIAL4

KONFIDENSIAL

Bukti :

Lihat gambar berikut.

Andaikan P adalah kutub dari lingkaran ABAB.

PC garis singgung pada busur PA.PD garis singgung pada busur PB maka PDOB PC OA //,//

Jadi AOBCPD

2. Segidua Bola

Pada gambar di bawah ini, segidua bola adalah daerah ABACA

atau daerah yang diwarnai kuning.

Definisi :

Segidua bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasioleh dua lingkaran besar yang ujung-ujungnya berimpit.

PD

C

A

OBB

A

P


11/70

KONFIDENSIAL5

KONFIDENSIAL

Bukti :

Jika AC busur lingkaran besar yang melalui tengah-tengah dari segi

dua bola ABACA.

Lingkaran BCBB terdiri dari 0360 dibagi menjadi 36 bagian yang sama

besar, dan terbentuklah segi dua bola yang titik sudutnya A dan A.

Maka tiap segi dua bola luasnya adalah bolaluas x36010 .

Dengan demikian, apabila sudut segi dua bola adalah A maka luas

permukaan segidua bola adalah bolaluas x A

0

0

360.

Teorema 3 :

Jika A sudut segidua bola, maka luas segidua bola = bolaluas A 00

360

A

A

B B

C


12/70

KONFIDENSIAL6

KONFIDENSIAL

3. Segitiga Bola

Pada gambar di atas, segitiga bola adalah bagian permukaan bolayang dibatasi oleh tiga busur lingkaran besar dengan titik-titik sudut A,

B dan C.

Sisi-sisi di hadapan sudut A, B dan C disebut dengan sisi-sisi a, b dan c.

a. Segitiga Samping

Definisi :Segitiga bola adalah bagian dari permukaan bola yang dibatasi oleh

tiga busur lingkaran besar, yang masing-masing lebih kecil dari 0180 .

Definisi :

Segitiga samping adalah segitiga bola yang terjadi dengan

memperpanjang dua sisi dari sebuah segi tiga bola sampai

berpotongan.

A

A

B

C

c

a

b


13/70

KONFIDENSIAL7

KONFIDENSIAL

Jika ABC adalah suatu segi tiga bola, maka A BC adalah segi tiga

sampingnya.

b. Segitiga Kutub

A

A

B

C

c

a

b

Definisi :

Segitiga kutub adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnya

merupakan titik-titik kutub dari sisi-sisi segi tiga bola semula.

B C

A

A

BC

cb

a

c b

a


14/70

KONFIDENSIAL8

KONFIDENSIAL

Bukti:

Andaikan ABC segitiga kutub dari segitiga bola ABC.

C kutub dari AB

B kutub dari AC

A kutub dari BC Maka:

C kutub dari AB sehingga AC= 090 .

B kutub dari AC sehingga AB= 090 .

Jadi A kutub dari BC .

Secara sama dapat dibuktikan bahwa:

B kutub dari AC.

C kutub dari AB.

ABC segitiga kutub dari ABC.

Teorema:

Sebuah segitiga merupakan segitiga kutub dari setiga kutubnya.

B C

A

A

BC

cb

a

c b

a


15/70

KONFIDENSIAL9

KONFIDENSIAL

Bukti:

Andaikan ABC merupakan segi tiga kutub dari segi tiga bola ABC.

A merupakan kutub dari CB

B merupakan kutub dari AC

C me rupakan kutub AB

Maka harus dibuktikan:

A + busur CB=

B + busur CB=

C + busur AB= 0180

Ketika A = busur PQ (A kutub PQ)

A + busur CB = busur PQ + busur CP + busur PB = 000 1809090 .

Secara sama dapat dibuktikan:

B + busur AC = 0180

C + busur AB = 0180

Sebaliknya ABC merupakan segi tiga kutub dari ABC.

Maka secara sama dapat dibuktikan A + busur BC = B + AB = 0180 .

Sehingga:

A+a = B+b = C+c= 0180

A+a = B+b = C+c = 0180

Teorema:

Sebuah sudut dari sebuah segitiga bola merupakan pelurus

(sumplement) dari sebuah sisi segi tiga kutubnya dan sebuah sudut dari

segi tiga kutub merupakan pelurus dari sisi segi tiga mula-mula.


16/70

KONFIDENSIAL10

KONFIDENSIAL

c. Segitiga Lawan

Jika diketahui ABC adalah segitiga bola, maka ABC adalah segitiga

lawan.

Bukti:

Karena perpotongan dua buah lingkaran besar saling membagi sama

panjang, maka:

AC sama dengan AC

AB sama dengan AB

Definisi :

Segitiga lawan adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnyamerupakan titik-titik lawan dari titik-titik sudut segi tiga bola semula.

A

A

B

C

c

a

b

B

C

Teorema:

Panjang sisi-sisi segitiga bola sama dengan panjang sisi-sisi segitiga

lawannya.


17/70

KONFIDENSIAL11

KONFIDENSIAL

BC sama dengan BC.

Sehingga panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-

sisi AB dan C.

4. LUAS SEGI TIGA BOLA

Bukti:

Karena panjang sisi-sisi segitiga bola ABC sama dengan panjang sisi-sisi

ABC maka luas ABC sama dengan luas ABC.

Teorema:

Luas daerah dalam segitiga bola sama dengan luas daerah dalam

segitiga lawannya.

Definisi:

Andaikan A,B,C adalah sudut-sudut suatu segitiga bola.

Luas daerah segitiga bola adalah:

bola permukaanluasC B A

0

0

720180

A

A

B

C

c

a

b


18/70

KONFIDENSIAL12

KONFIDENSIAL

5. SIFAT SUDUT SEGITIGA BOLA

Bukti:

Luas segitiga bola = bola permukaanluasC B A

0

0

720180

Luas ini adalah positif, maka 0180 0 C B A .

Sehingga 0180 C B A

Bukti:

Pandang segi tiga samping ABC.

Menurut teorema di atas,0180''' A BC ACB A .

000 180180180 A BC )180( 0 A BC

0180 C B A

Teorema:Jumlah tiga buah sudut sebuah segitiga bola lebih besar dari 0180

Teorema:

Dalam sebuah segitiga bola, jumlah dua sudut dikurangi sudut yang lain

kurang dari 0180 .


19/70

KONFIDENSIAL13

KONFIDENSIAL

Bukti:

Menurut teorema di atas,0180 C B A

0180 BC A

0180 AC B

0540 C B A

Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut kurang dari 0540 .

6. SIFAT SISI SEGITIGA BOLA

A

B

C

A

Teorema:

Jumlah ketiga sudut sebuah segitiga bola lebih kecil dari 0540 .

Teorema:

Jumlah sisi sebuah segitiga bola kurang dari 0360


20/70

KONFIDENSIAL14

KONFIDENSIAL

Bukti :

Pandang segitiga kutub berikut.

ABC adalah segitiga kutub dari s egitiga bola ABC.

Menurut teorema 8 :

0180''' C B A

cC

b B

a A

0

0

0

180'

180'

180'

Sehingga

0000 180180180180 cba Dapat disederhanakan menjadi

0

00

360

180540

cba

cba

Jadi terbukti bahwa jumlah sisi-sisi suatu segitiga bola kurang dari 0360 .

B C

A

A

BC

cb

a

c b

a


21/70

KONFIDENSIAL15

KONFIDENSIAL

Bukti:

Pandang segitiga kutub di atas.

Menurut teorema 9,0180''' C B A

cC

b B

a A

0

0

0

180'

180'

180'

Sehingga0000 180180180180 cba

Dapat disederhanakan menjadi

acb

cba

cbacba

0180180 00

7. KESAMAAN DAN KESEBANGUNAN

Kemungkinan:

a. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang

sama letaknya, maka kedua segitiga bola disebut kongruent.

Teorema:

Dalam sebuah segitiga bola satu sisi lebih kecil dari jumlah kedua sisi

yang lain dan lebih besar dari selisih kedua sisi tersebut.

Definisi:

Apabila dua segitiga bola semua unsurnya sama berpasang-

pasangan, maka kedua segitiga bola tersebut dikatakan sama dan

sebangun.


22/70

KONFIDENSIAL16

KONFIDENSIAL

b. Apabila unsur-unsur tersebut berada pada susunan yang

berlawanan letaknya, maka kedua segi tiga bola tersebut

disebut simetris.

ABC dan DEF kongruen

ABC dan PQR simetris

Bukti:

B

A

C

E

D

F

B

A

C

P

Q

R

Teorema:

Dua buah segi tiga bola sama dan sebangun apabila dua buah sisi

dan sudut apitnya sama.

B

A

C

E

D

F


23/70

KONFIDENSIAL17

KONFIDENSIAL

C = F,

BC = EF,

AC = DF.

Pertama,

Andaikan unsur-unsur yang sama terletak pada urutan yang sama,

maka untuk segi tiga bola ABC yang diletakkan pada segi tiga bola

DEF sedemikian hingga titik C berimpit pada titik F.

Sedangkan BC berimpit dengan EF maka titik B berimpit dengan titik E.

Demikian pula A berimpit dengan D (AC = DF).

Akibatnya, busur AB berimpit dengan AB.

Jadi kedua segi tiga bola sama dan sebangun.

Kedua,

Andaikan unsur-unsur yang sama terletak dalam urutan yang

berlawanan, maka segi tiga bola ABC dapat saling menutup setiga

lawan DEF yaitu DEF.

Karena unsur- unsur segi tiga bola ABC dan segi tiga bola DEF terletak

pada urutan yang sama.Jadi segitiga bola ABC dan DEF symetris.

Teorema:

Dua buah segitiga bola sama dan sebangun apabila sebuah sisi

dan dua buah sudut pada sisi tersebut sama.

B

A

C

D

F

E


24/70

KONFIDENSIAL18

KONFIDENSIAL

Bukti:

Apabila kedua segitiga bola tersebut sama, sebuah sisi serta dua buah

sudut pada sisi tersebut, maka segi tiga kutubnya sama sebuah sudut

dan dua buah sisi yang mengapit sudut tersebut.

Menurut teorema 13 kedua segi tiga kutub sama dan sebangun.

Jadi kedua segi tiga yang semula sama dan sebangun.

Bukti:

Pandang segitiga bola ABC sama kaki (AB=AC).

Bagilah sudut A dengan sebuah lingkaran besar melalui tengah-

tengahnya, maka menurut teorema 13 segi tiga bola ABD sama dan

sebangun dengan segi tiga bola CAD.

Jadi B=C.

Sebaliknya bila B=C maka pada segi tiga kutubnya, sisi b = c.

Menurut bukti di atas, maka B = C.

Jadi b = c.

Teorema:

Dalam sebuah segi tiga bola sama kaki maka sudut alasnya sama

dan sebangun bila sudut alas segi tiga bola sama, maka

merupakan segi tiga bola sama kaki.

CB

A

D


25/70

KONFIDENSIAL19

KONFIDENSIAL

Bukti:

Andaikan a > b.

Tentukan CD = CA.

Maka D1 = A1.

Menurut teorema 9, 022 180 A B D

20

2 180 D A B

1120180 A D D

A B

A A B A A B

21

12

Teorema:

Dalam setiap segitiga bola dihadapan sisi yang lebih besar terdapat

sudut yang lebih besar pula.

A

B

D

C

1

2

12


26/70

KONFIDENSIAL20

KONFIDENSIAL

Bukti:

Andaikan dalam segitiga bola ABC dengan A > B.

Maka pada segi tiga kutubnya, sisi b > a.

Menurut teorema 16, B > A dan a > b.

8. LATIHAN

Buat kelompok kelas menjadi 5 kelompok Kadet sesuai dengan urutan

nomor presensi (nomor Akademik Kadet).

Diskusikan dan jawab persoalan berikut, kemudian persiapkan

paparan hasil pekerjaan untuk dipresentasikan di depan kelas dandibahas bersama hasilnya.

Tim yang memaparkan di depan kelas berdasarkan hasil undian.

Persoalan:

1. Apakah hubungan segitiga bola dan segitiga lawannya ?

2. Kapan definisi kedua segitiga bola digunakan ?3. Jika A, B dan C sudut-sudut segitiga bola dan a, b dan c sisi-sisi

segitiga bola tersebut. Buktikan:

a. 0360 cba

b. 0180 AC B

4. Apakah mungkin segitiga bola dengan unsur-unsur berikut.

a. 000 60,60,60 C B A

Teorema:

Dalam setiap segitiga bola dihadapan sudut yang lebih besar

terletak sisi yang lebih besar pula.


27/70

KONFIDENSIAL21

KONFIDENSIAL

b. 000 130,125,120 cba

c. 000 90,150,135 C B A

5. Sudut-sudut suatu segitiga bola ialah

0

0

0

90

57

52

C

B

A

Sedangkan sisi-sisinya adalah000 60,43,47 dan .

Manakah a, b dan c serta alasan yang mendasari pemilihan a,

b dan c tersebut.


28/70

KONFIDENSIAL22

KONFIDENSIAL

9. ATURAN COSINUS

Bukti :

Pandang sebuah bola dengan radius satu satuan panjang beserta

segi tiga bola ABC pada permukaan, sudut-sudut BOC, AOC dan AOB

masing-masing besarnya a, b dan c karena berhadapan dengan sisi-

sisi a,b dan c.

Ambil b dan c sudut lancip.

Dari A dibuat garis-garis singgung pada busur AC dan AB, yang

masing- masing memotong OC di C dan OB di B, menurut rumus

cosinus dari segi tiga bidang datar didapat:

Andaikan a,b,c adalah sisi-sisi sebuah segitiga bola dan A, B dan C

merupakan sudut-sudutnya, maka :

C babac Bcacab

Acbcba

cos.sin.sincos.coscoscos.sin.sincos.coscos

cos.sin.sincos.coscos

O

BB

C C

A

BAB IIRUMUS-RUMUS PENTING SEGITIGA BOLA


29/70

KONFIDENSIAL23

KONFIDENSIAL

aOBOC OBOC C BC OB

cos''2''''

:''222 .................... 1)

A AB AC AC C B

C AB

cos'''''

:''22 ................... 2)

Dari segi tiga siku- siku OAC dan OAB did apat :

ctg AB

btg AC

cOB

bOC

'

'

sec'

sec'

................... 3)

Dengan melakukan substitusi 3) ke 2) diperoleh:

Acbcba

cb Actg btg

cba

Actg btg acb

A socctg btg acb

Actg btg acbctg cbtg b Actg btg ctg btg acbcb


sec.seccos..

sec.sec1

cos

cos..1cos.sec.sec

..2cos.sec.sec22

cos..2cossecsec2secseccos..2cos.sec.sec2secsec

2222

2222

10. SEGITIGA KUTUB ATURAN COSINUS UNTUK SUDUT

Di depan telah dibuktikan bahwa untuk segitiga kutub, berlaku:

a. Andaikan A BC segitiga kutub dari segitiga bola ABC,

maka segitiga bola ABC adalah segitiga kutub dari ABC.

b. Sebuah sudut dalam sebuah segi tiga bola merupkan

suplemen dari sisi segitiga kutubnya.


30/70

KONFIDENSIAL24

KONFIDENSIAL

Lihat gambar di atas, dari sifat 2 diperoleh:

'180'180

'180'180

'180'180

00

00

00

cC C c

b B Bb

a A Aa

Sesuai dengan perumusan (1) diperoleh:

Acbcba cos'.sin'.sin'cos.'cos'cos

Dengan mengingat

sin)180(sin.cos)180(cos 00

Substitusi (7) ke (8), sehingga diperoleh:

Ke tiga persamaan tersebut di atas disebut Aturan Cosinus untuk sudut.

11. ATURAN SINUS

Andaikan a, b, dan c adalah sisi-sisi segitiga bola dan A, B dan C adalah

sudut-sudutnya, maka :

cC

b B

a A

sinsin

sinsin

sinsin

B C

A

A

BC

cb

a

c b

a

B C

A

A

BC

cb

ac

b

a

c B A B AC

bC AC A B

aC BC B A





31/70

KONFIDENSIAL25

KONFIDENSIAL

Bukti :

Gambar 19 berikut menunjukkan sebuah bola piramida yang dasarnya

adalah segitiga bola.

ABC dengan pusat O dan panjang radius satu satuan panjang.

Dari C dibuat garis tegak lurus bidang OAB dan memotong bidang di

titik D.

Buat DQ + OB dan DP + OA.

Terjadilah segi tiga siku-siku:

OPC, CDQ dan CDP

Ba DC

a DC

OC DC

B

QC QC

a

sinsin

sinsin

1sin

.............. 13

Secara sama diperoleh:

Ab DC sinsin ................... 14

Dari 13) dan 14) diperoleh:

b B

a A

Ba Ab

sinsin

sinsin

sinsinsinsin

.............15


32/70

KONFIDENSIAL26

KONFIDENSIAL

Andaikan titik D berada di luar sektor OAB, maka rumus tersebut masih

tetap berlaku, karena 0180sinsin .Dengan cara yang sama dapat dibuktikan:

cC

b B

sinsin

sinsin

Contoh:

Dengan menggunakan aturan pada segitiga bola dan jika diketahui

besar sudut Pn =0

30 , jarak PnC =0

65 serta jarak PnB =0

85 , hitunglah

jarak dua kota B dan C sebagaimana disajikan pada gambar berikut.

Penyelesaian

Dari persoalan di atas, diketahui

besar sudut Pn = 030

jarak PnC = 065

jarak PnB = 085

Ditanyakan jarak kota B dan kota C

Untuk menjawab persoalan di atas, harus diingat aturan cosinus pada

segitiga bola, yaitu :

Pn

B

C

030

065

085


33/70

KONFIDENSIAL27

KONFIDENSIAL

Andaikan a,b dan c adalah sisi-sisi sebuah segitiga bola dan A,B dan C

berturut-turut adalah sudut-sudut segitiga bola di hadapan sisi-sisi

tersebut sebagaimana disajikan pada gambar berikut :

Sehingga :

C babac

Bcacab

Acbcba




Dari perumusan di atas dan berdasarkan persoalan yang disajikan,

maka aturan cosinus dapat dipergunakan yaitu :

Pncbcb pn cos.sin.sincos.coscos

Dengan

pn adalah jarak kota B dan kota C yang ditanyakan.

b adalah jarak PnC = 065

c adalah jarak PnB = 085

Pn = 030

Dengan demikian :

Pncbcb pn cos.sin.sincos.coscos

A

B

C

c

a

b


34/70

KONFIDENSIAL28

KONFIDENSIAL

0

00000

04189252,35

818732447,0cos

818732447,0cos

781898839,0036833608,0cos

866025403,0.996194698,0.906307787,0087155742,0.422618261,0cos

30cos.85sin.65sin85cos.65coscos

pn

arc pn

pn

pn

pn

pn

Dengan demikian jarak kota B dan kota C adalah 0235,0418925 .

Sedangkan diketahui bahwa 01 adalah 60 mil laut.

Jadi jarak kota B dan kota C adalah 0235,0418925 x 60 mil laut =

2.102,513551 mil laut.

12. RUMUS YANG BERHUBUNGAN DENGAN SEGITIGA BOLA

a. Salah Satu Sudut Siku-siku

Untuk mendapatkan rumus pada segitiga bola siku-siku, ambil salah

satu sudut siku-siku, misalnya C = 090 .

Selanjutnya, rumus 9) sampai 12) menghasilkan rumus baru, yaitu:

b

C Ba

Bctg Actg c

b A B

a B A

sin

sin.sinsin

.cos

cos.sincos

cos.sincos

Dari rumus-rumus di atas, dapat diturunkan menjadi:

cctg atg B

cctg btg A

Actg atg b

Bctg btg a

.cos

.cos

.sin

.sin

Secara sama, rumus di atas berlaku pula untuk 090 A atau 090 B .


35/70

KONFIDENSIAL29

KONFIDENSIAL

b. Aturan Napier

Untuk memudahkan, aturan-aturan di atas, disajikan dalam suatu

aturan yang disusun oleh John Napier. Aturan tersebut disusun

dengan bantuan gambar berikut.

Segitiga bola pada gambar pertama merupakan segitiga bola ABC

dan siku-siku pada C.

Sedangkan pada gambar kedua, merupakan lingkaran yang disusun

sesuai dengan urutan pada segi tiga bola siku-siku di sampingnya.

Tanda strip di atas huruf ( ) menunjukkan komplemen dari.

Jadi:

B berarti B090 ,

c berarti c090 ,

A berarti A090 .

Pengertian dasar:

Bagian-bagian yang diberi tanda strip di atasnya merupakan sisi

miring dan dua sudut yang satu kakinya menurut sisi miring.

A

c

B

a

b

B

A

C

c

b

a


36/70

KONFIDENSIAL30

KONFIDENSIAL

B Acba ,,,, disebut circular parts .

Bagian dari circular parts yang sedang menjadi perhatian disebut

middle part .

Dua bagian yang sebelah menyebelah middle part dinamakan

adjacent part .

Dua bagian lainnya yang tidak berdekatan dinamakan opposite

part .

B dab b merupakan adjacent part dari middle part a.

c dan A merupakan opposite part dari middle part a.

Aturan Napier dinyatakan sebagai berikut

Penjelasan:

a)

bac

bac

bac

coscossin

coscos)90(sin

coscossin0

b)c Aa

c Aa

c Aa

sinsinsin

)90(cos)90(cossin

coscossin00

c) Bcb

Bcb

Bcb

sinsinsin

)90(cos)90(cossin

coscossin00

Aturan Napier:

I. Sinus dari sebarang middle part sama dengan hasil kali

cosinus opposite part.

II. Sinus sebarang middle part sama dengan hasil kali tangen

adjacent part.


37/70

KONFIDENSIAL31

KONFIDENSIAL

d)

a B A

a B A

a B A

cossinsin

cos)90(cossin

coscossin0

13. DUA ATURAN PENTING

Aturan penting pertama:

Cos A dan cos a harus bertanda sama, karena sin B selalu positif.

Hal ini berarti bahwa a dan A keduanya lancip atau keduanya tumpul

atau dengan kata lain terletak pada kuadran yang sama.

Aturan penting kedua:

Aturan tersebut juga menunjukkan bahwa B dan b harus terletak

dalam kuadran yang sama.

Contoh:

Sebuah pelayaran dari sebelah barat pulau Sumatera di equatormenuju ke arah barat sepanjang equator.

14. LATIHAN

a. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sisi, hitunglah

bagian segi tiga bola yang tidak diketahui.

1) 000 453060 Acb

a B A cos.sincos

b A B cos.sincos


38/70

KONFIDENSIAL32

KONFIDENSIAL

2) 000 1203045 Bca

b. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sudut,

hitunglah bagian-bagian segi tiga bola yang tidak

diketahui.

1) 000 135150120 aC B

2) 000 135120135 bC A

c. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sisi, hitunglah

sudut segi tiga bola di bawah.1) ?.....606060 000 Acba

2) ?.....60120120 000 C cba

d. Dengan menggunakan rumus cosinus untuk sudut

hitunglah sisi segi tiga bola di bawah.

1) ?.....1206060 000 aC B A

2) ?.....6015060 000 cC B A

e. Dengan menggunakan rumus cosinus hitunglah bagian

segi tiga bola yang tidak diketahui.

000 15012060 C ba

f. Dengan menggunakan rumus sinus hitunglah bagian yang

belum diketahui.

0000 9513560120 Acba


39/70

KONFIDENSIAL33

KONFIDENSIAL

g. Dengan menggunakan aturan cosinus hitunglah c.

Selanjutnya dengan aturan sinus hitunglah bagian lain jika

diketahui

000 6015060 C ba

h. Diketahui segitiga bola siku-siku dengan C = 090 dengan073 B dan 0127a .

Hitunglah A, b dan c.


40/70

KONFIDENSIAL34

KONFIDENSIAL

15. Definisi dan Notasi

Definisi dan notasi yang akan dibahas di sini adalah definisi dan notasi

terkait dengan penerapan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi.

Definisi dan notasi diturunkan dari gambar bola bumi, berikut.

n P

EWO

A B

Q

FC

T1 A

2 A

s P

BAB IIIPENGGUNAAN ILMU UKUR SEGITIGA BOLAPADA BOLA BUMI

Kompetensi :

Setelah selesai mempelajari bab III, Kadet dapat :

Menggunakan ilmu ukur segitiga bola pada bola bumi

Menghayati nilai-nilai disiplin, teliti, dan kerja keras dalam menyelesaikan

persoalan segitiga bola


41/70

KONFIDENSIAL35

KONFIDENSIAL

Definisi:

Sumbu adalah garis lurus yang melalui pusat bola (O) yangmenembus bola di Pn dan Ps (garis PnPs)

Ps disebut kutub selatan

Pn disebut kutub utara

Equator (katulistiwa) adalah lingkaran besar yang terjadi akibat

perpotongan bidang datar yang tegak lurus sumbu PnPs

dengan bola. Pada gambar tampak bahwa lingkaran WABEW

adalah equator. Parallel of lattitude (lingkaran kecil) yang sejajar dengan

lingkaran equator. Pada gambar CTQFC adalah parallel of

lattitude .

Meridian adalah setengah lingkaran besar yang ujung-ujungnya

adalah kutub utara dan kutub selatan. Pada gambar, PnWPs,

PnEPs, PnAPs dan PnBPs adalah meridian.

Lattitude (lintang) suatu tempat di bumi adalah besar sudut yang

diukur dari equator sepanjang meridian melalui tempat tersebut.

Sehingga busur EF adalah lintang dari titik F beserta seluruh titik

yang berada di parallel of lattitude yang sama dengan titik F.

Untuk utara katulistiwa ditulis dengan tanda positif, sedangkan

untuk selatan katulistiwa ditulis dengan tanda negatif. Dapat

juga ditentukan dengan memberikan tanda N untuk di utara

katulistiwa dan S di selatan katulistiwa, misalnya: A1 = L 20 N.

Prime meridian (meridian utama) ialah meridian yang melalui

Royal Observatory di kota Greenwich England.

Longitude (bujur) suatu tempat di bumi adalah sudut di kutub

diantara meridian yang lewat titik tersebut dengan meridian

utama (prime meridian). Garis besar ini diukur ke timur atau ke

barat arah Greenwich sehingga jaraknya antara0

1800 .


42/70

KONFIDENSIAL36

KONFIDENSIAL

16. Contoh:

Kota A dan B di permukaan bumi

2. Segitiga Bola Bumi PnAB

n P

EWO

A B

Q

Greenwich

s P

P r i m e

m e r

i d i a n

n P

EWO

A B

Q

Greenwich

s P

P r i m e

m e r

i d i a n


43/70

KONFIDENSIAL37

KONFIDENSIAL

Contoh:

Hitunglah jarak pelayaran dari Kota Kupang 010 LS dan 0124 BT menuju

ke pelabuhan Port Lewis di Mauritius 020 LS dan 059 BT. Jika kapal

berlayar dengan kecepatan 13 knot berapa waktu yang dibutuhkan

untuk kegiatan pelayaran tersebut ?

Berapa haluan yang digunakan pada pelayaran tersebut ?

Penyelesaian :

Diketahui

a. Kota Kupang 010 LS dan 0124 BT

b. Port Lewis di Mauritius 020 LS dan 059 BT

c. Kecepatan berlayar = 13 knot

Ditanyakan :

a. Waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran dari Kupang sampai

Port Lewis

b. Haluan yang digunakan pada pelayaran tersebut

Untuk mempermudah penyelesaian persoalan tersebut perlu

diperhatikan ilustrasi berikut.

Pn

P

K

p

pn

k


44/70

KONFIDENSIAL38

KONFIDENSIAL

Pn = sudut yang dibentuk jika dibuat segitiga bola pada kedua kota

tersebut pada kutub utara =0

124 -0

59 =0

65

K= kota Kupang

P = Port Lewis

k = jarak kutub utara dengan Port Lewis = 000 1102090

p = jarak kutub utara dengan Kupang = 000 1001090

Masalah pertama yang diajukan adalah mencari jarak KP atau pn.

Selanjutnya untuk menghitung pn digunakan aturan cosinus

sebagaimana disajikan pada penyelesaian di persoalan pertama.

0

00000

22493037,63

450489118,0cos

450489118,0cos

391097944,0059391174,0cos

422618261,0.984807753,0.93969262,0)173648177,0).(342020143,0(cos



pn

arc pn

pn

pn

pn

pn

Pn pk pk pn

Jadi jarak pelayaran dari Kupang ke Port Lewis adalah 022493037,63 x

60 mil laut = 3.793,495822 mil laut.

Karena diketahui kecepatan berlayar adalah 13 knot atau 13 mil per

jam, maka waktu yang dibutuhkan untuk pelayaran tersebut adalah :

jam8073709,29113495822,793.3

atau sekitar 291 jam 48 menit atau 12 hari 3 jam 48 menit.


45/70

KONFIDENSIAL39

KONFIDENSIAL

Sedangkan untuk menjawab persoalan kedua perlu diperhatikan

aturan haluan yaitu :

Pertama, haluan (course) adalah sudut pelayaran yang diukur dari

arah utara searah jarum jam. Sehingga haluan pelayaran dari Kupang

ke Port Lewis adalah K sudut besar 0360 . Dengan demikian yang perlu

dihitung adalah besar sudut K terlebih dahulu.

0

00

000

4595133,107

)300031803,0(cos

300031803,0cos879218554,0263793528,0

cos

984807753,0.892781918,0)173648177,0.(450489118,0)342020143,0(cos

100sin.22493037,63sin

100cos.22493037,63cos110coscos

sin.sincos.coscos

cos

sin.sincos.coscos

cos


K

arc K

K

K

K

K

p pn p pnk

K

p pn p pnk

K

K p pn p pnk

Sehingga haluan dari kota Kupang ke Port Lewis adalah

000 5404867,2524595133,107360 .

Contoh

Suatu muhibah ke berbagai wilayah dilakukan untuk kepentingan

diplomasi TNI AL menggunakan KRI Dewaruci. Pelayaran dimulai dari

Pantai Nunukan menuju ke Hawai dan singgah di sana selama


46/70

KONFIDENSIAL40

KONFIDENSIAL

maksimal 3 hari. Kemudian dilanjutkan menuju ke Terusan Panama

untuk menghadiri festival kapal layar tiang tinggi ( tallship festival ) yang

diadakan pada tanggal 10 Desember 2009. Jika kecepatan KRI

Dewaruci rata-rata 15 knot kapan waktu berangkat yang terbaik ?

Penyelesaian :

Untuk menjawab pertanyaan di atas, perlu dicari terlebih dahulu

koordinat ke tiga kota tersebut, yaitu :

Nunukan : LU dan BT 00 4117

Hawai : LU dan BB 00 22156

Terusan Panama : LU dan BB 00 979

agar lebih mudah dibuat sketsa berikut ini.

Selanjutnya, hal yang diketahui adalah :

Kecepatan KRI adalah 15 knot = 15 mil laut / jam

Berlayar dari Nunukan (N) menuju ke Hawai (H) dan beristirahat 3 hari

dan dilanjutkan ke Terusan Panama (TP).

Harus mengikuti lomba layar tiang tinggi di Terusan Panama tanggal

19 Desember 2009.

Pn

N

H

TP


47/70

KONFIDENSIAL41

KONFIDENSIAL

Ditanyakan waktu terbaik untuk berangkat dari N.

Sehingga harus dicari terlebih dahulu jarak dari N ke H dan dari H ke TP.

Pertama, harus dicari jarak N ke H atau pn.

dengan

Nunukan : LU dan BT 00 4117

Hawai : LU dan BB 00 22156 .

Sehingga besar sudut Pn adalah 0000 87)156117(360 .

Jarak dari N ke Pn atau h adalah 000 86490 .

Jarak dari H ke Pn atau n adalah 000 682290 .

Pertanyaannya adalah jarak dari N ke H atau pn.

Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan aturan cosinus yaitu :

0

00000

72531789,85

074538082,0cos

074538082,0cos

048406848,0026131234,0cos

052335956,0.99756405,0.927183854,0069756473,0.374606593,0cos



pn

arc pn

pn

pn

pn

pn

Pnhnhn pn

Kemudian dihitung jarak dalam mil laut yaitu

laut mil laut mil 519073,143.5/6072531789,85 00

.

Pn

N

H

n

h

pn


48/70

KONFIDENSIAL42

KONFIDENSIAL

Selanjutnya akan dicari waktu yang digunakan untuk pelayaran dari

Nunukan ke Hawai yaitu :

jam9012716,34215519073,143.5

Atau 14 hari 6, 9012716 jam.

Selanjutnya, akan dicari jarak H ke TP atau pn.

dengan

Hawai : LU dan BB 00 22156 .

Terusan Panama : LU dan BB 00 979

Sehingga besar sudut Pn adalah 000 7779156 .

Jarak dari H ke Pn atau n adalah 000 682290 .

Jarak dari TP ke Pn atau h adalah 000 81990

Pertanyaannya adalah jarak dari H ke TP atau pn.

Pertanyaan ini dapat diselesaikan dengan aturan cosinus yaitu :

Pn

HTP

h

tp

pn


49/70

KONFIDENSIAL43

KONFIDENSIAL

Kemudian dihitung jarak dalam mil laut yaitu

laut mil laut mil 392753,479.4/6065654588,74 00 .

Selanjutnya akan dicari waktu pelayaran dari Hawai ke Terusan

Panama yaitu :

jam6261835,29815392753,478.4

atau 12 hari 10,6261835 jam.

Kemudian untuk menentukan waktu terbaik keberangkatan dari

Nunukan, dilakukan perhitungan mundur.

Karena waktu perlombaan adalah 19 Desember 2009 waktu Terusan

Panama maka waktu sampai terbaik adalah tanggal 16 Desember

2009.

Kemudian waktu keberangkatan dari Hawai adalah 13 hari sebelum

tanggal 16 Desember 2009 yaitu tanggal 3 Desember 2009.

Apabila di Hawai selama 3 hari maka waktu terbaik untuk sampai di

Hawai adalah 30 Nopember 2009. Maka keberangkatan dari

Nunukan adalah 15 hari sebelumnya yaitu 15 Nopember 2009.

0

00000

65654588,74

264604511,0cos

264604511,0cos20600313,0058601381,0cos

224951054,0.98768834,0.927183854,0156434465,0.374606593,0cos



pn

arc pn

pn pn

pn

pn

Pnhnhn pn


50/70

KONFIDENSIAL44

KONFIDENSIAL

Jadi waktu terbaik keberangkatan dari Nunukan adalah tanggal 15

Nopember 2009 agar dapat mengikuti lomba layar tiang tinggi di

terusan Panama tanggal 19 Desember 2009.

17. Latihan

Kadet dibagi dalam lima kelompok. Setiap kelompok mendiskusikan

penyelesaian dari tiga persoalan di bawah ini. Selanjutnya, setiap

kelompok dapat memaparkan hasil diskusinya di depan kelas untuk

didiskusikan.

1. Dengan bantuan gambar pada peta di bawah ini,

a. Carilah jarak dan haluan pelayaran dari Dubai ke Selat

Sunda.

b. Jika pelayaran dimulai tanggal 27 Desember 2009 waktu

setempat, kapan pelayaran akan diakhiri ?

2. KRI Nusantara melakukan perjalanan muhibah dari Pantai

selatan Argentina menuju ke Tanjung Harapan di Afrika Selatan dan


51/70

KONFIDENSIAL45

KONFIDENSIAL

beristirahat selama 48 jam dan kemudian melanjutkan perjalanan ke

Perth Australia masing-masing dengan kecepatan rata-rata 15 knot.

a. Hitung jarak dan haluan dari pelayaran tersebut.

b. Jika Kapal berangkat tanggal 27 Februari 2010 pukul 09.00 Waktu

setempat, kapan kapal sampai di Perth ?

3. Pada tahun berikutnya, KRI Nusantara melakukan perjalanan

muhibah dari Selat Sunda menuju ke Eropa melalui dua termpat di

Afrika Selatan dan Amerika Serikat serta beristirahat selama 36 jam di

masing-masing pelabuhan tersebut dengan kecepatan rata-rata 15

knot (lihat gambar).

a. Hitung jarak dan haluan dari pelayaran tersebut.

b. Jika Kapal berangkat tanggal 27 Februari 2011 pukul 09.00 WIB,

kapan kapal sampai di Eropa ?


52/70

KONFIDENSIAL46

KONFIDENSIAL


53/70

KONFIDENSIAL47

KONFIDENSIAL

18. Melukis Ellips

Dengan persamaan ini, sebuah ellips dapat dilukis titik demi titiksebagai berikut.

Definisi:

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap

dua titik tetap adalah sama dan dinyatakan dengan:

122

2

2

b y

a x

Atau dapat dinyatakan dengan persamaan parameter:

20

sin

cos

q

qb y

qa x

Hq

y

F A

D

B

O

C

G E

x

BAB IVPROYEKSI ORTHOGRAFIK


54/70

KONFIDENSIAL48

KONFIDENSIAL

Langkah-langkah melukis ellips datar ( a > b ):

a. Buat dua lingkaran yang konsentris dengan radius a dan b

dengan b < a.

b. Buat garis OA yang membentuk sudut q dengan sumbu x ( arah

berlawanan dengan arah jarum jam). Garis OA memotong

kedua lingkaran di titik A dan titik B.

c. Buat garis sejajar dengan sumbu y dari A dan buat garis sejajar

sumbu x dari B. Kedua garis berpotongan di titik D. Titik D

adalah salah satu titik ellips.

d. Secara sama (a sampai c) untuk membuat titik-titik ellips yang

lain, dari 0 sampai dengan 2 .

e. Setelah dicapai banyaknya titik yang cukup, setiap titik ellips

dihubungkan dengan kurva mulus dan diperoleh ellips.

Langkah melukis ellips seperti tersebut di atas, dapat dilakukan jika

ellips akan berbentuk mendatar. Jika ellips yang akan dilukis adalahtegak, maka langkah c diubah dengan menarik garis dari A sejajar

dengan sumbu x dan dari B sejajar dengan sumbu y.

19. Melukis Proyeksi Orthografik

Dalam proyeksi orthografik, proyeksi pendekatan dilakukan

dalam melukis segitiga bola dan bagian-bagiannya. Penyelesaian

persoalan segitiga bola dengan pendekatan proyeksi orthografik akanmemberikan hasil yang kasar.

Gambar di bawah ini adalah gambar setengah bola, dimana P

terletak pada bola dan diproyeksikan pada bidang ABAB dengan

proyeksinya adalah titik P.


55/70

KONFIDENSIAL49

KONFIDENSIAL

Selanjutnya, gambar di bawah ini sebagai representasi dari proyeksi

setengah bola ke bidang ABAB.

Busur PQ adalah proyeksi dari pq.

Lingkaran BpqB direbahkan dengan diameter BB sebagai sumbu

putar p menjadi P dan q menjadi Q.

PQ panjang busur sesungguhnya.

Bila P dan Q adalah proyeksi dari setengah lingkaran pada bidang

primitif dengan siameter BB.

Beberapa definisi pendukung proyeksi orthografik:

1. Bidang ABAB disebut bidang primitif (primitive plane).

2. Lingkaran ABAB disebut lingkaran pr imitif (primitive circle).

3. Ellips APA merupakan proyeksi dari setengah lingkaran APA.

4. Proyeksi orthografik dari setengah lingkaran adalah ellips

dengan panjang adalah diameter dari lingkaran primitif.

p

P

d

D

A A

CB

B C

O


56/70

KONFIDENSIAL50

KONFIDENSIAL

Untuk mencari panjang busur IQ yang sesungguhnya, dibuat garis

melalui P tegak lurus BB dan melalui Q yang memotong di P dan Q.

PQ adalah panjang busur yang sesungguhnya.

Pada gambar berikut, AMNA menunjukkan proyeksi setengah

lingkaran.

Panjang sesu ngguhnya dari MN adalah MN = 030 .

Panjang sesungguhnya dari OD adalah AR = 030 .

Panjang sesungguhnya dari DS adalah RS =0

57 . Busur- busur OS, OA, OA dan AD = 090 .

Besar sudut A sesuai dengan panjang busur SR = 057 .

Untuk menggambar proyeksi suatu lingkaran pada bidang primitif V

yang membentuk sudut dengan bidang tersebut, gambar diameter

DD tegak lurus VV dengan DK= .

KK tegak lurus DD gambar ellips melalui V, K, V dengan metode

yang telah diberikan.


57/70

KONFIDENSIAL51

KONFIDENSIAL

1

Contoh 1:

Carilah dengan menggunakan proyeksi orthografik pendekatan

penyelesaian segitiga bola bila diketahui:

0

0

0

60

120

60

C

b

a


58/70

KONFIDENSIAL52

KONFIDENSIAL

Langkah-langkah penyelesaian:

a. Lukis sebuah lingkaran primitif dengan dua diameter yang saling

tegak lurus CC dan DD.

b. DK = 060

OG = 060

GB tegak lurus CC.

c. Buat garis luru s melalui titik B yang tegak lurus AA,

d. AR = 083 sesuai dengan panjang sisi c = 083 .

e. Dengan membuat panjang FS sejajar dengan AA kita dapat

mengetahui panjang busur SF = 049 yang langsung dapat

diketahui pula besar sudut A.

G


59/70

KONFIDENSIAL53

KONFIDENSIAL

f. Untuk mengetahui besar sudut B pada hasil proyeksi ini,

dilakukan dengan cara sama dengan mengetahui besar sudut

A yaitu dengan meletakkan titik B pada lingkaran primitif seperti

besar sudut A.

Contoh 2.

Tentukan dengan proyeksi orthografik, jarak dan haluan pada

penerbangan yang dilakukan oleh Pesawat Tempur Angkatan Laut

Amerika Serikat dalam muhibah antar negara dari dari Gibraltar

(L= 036 N dan 05 W) ke New York (L= 041 N dan 064 W).

Penyelesaian:

Dua sisi dari segitiga bola ialah:

n = 010 5490 L


60/70

KONFIDENSIAL54

KONFIDENSIAL

g = 020 4990 L

dan sudut pada kutub 00 59 DL P n .

Jadi diperoleh segi tiga bola N GP n dengan unsur-unsur yang diketahui

00 49,54 g n .

Sedangkan yang harus dicari adalah n P .

Lukisan:

a. Ukur EK= 059 .

b. Tarik garis KK WE.

c. Ellips sn P K P ' dapat dilukis.

d. Ukur 054G P n .

e. Titik N dapat ditentukan. Ellips GnCdapat dilukis.

f. GN = 048 (atau 2880 mile).

g. Initial course (haluan) adalah .29961360 000

G

N

n P

n p

054

049

059


61/70

KONFIDENSIAL55

KONFIDENSIAL

20. Latihan Aplikasi Proyeksi Orthografik pada Pelayaran

Kadet dibagi dalam kelompok dua-dua untuk mendiskusikan

persoalan berikut ( think pair share ).

Dalam suatu pelayaran dari muhibah dari Aceh menuju pantai timur

Madagaskar dilakukan dengan KRI Dewaruci sebagaimana tampak

pada gambar.

a. Cari posisi koordinat Aceh dan pantai timur Madagaskar.

b. Carilah jarak Aceh sampai dengan pantai timur Madagaskar

dengan proyeksi orthografik.

c. Apabila kecepatan KRI Dewaruci rata-rata 10 knot, berapa

waktu yang dibutuhkan pada pelayaran tersebut ?

d. Apabila diharapkan pada tanggal 12 Desember 2009 KRI

Dewaruci mengikuti acara parade kapal tiang tinggi di

Madagaskar, kapan sebaiknya KRI Dewaruci berangkat dari

Aceh ?


62/70

KONFIDENSIAL56

KONFIDENSIAL

21. Definisi

Beberapa definisi penting tentang segitiga bola terkait dengan

perbintangan.

Celestial sphere adalah permukaan bola jagat raya dengan bumi

sebagai pusat bola dan panjang radiusnya tak hingga.

Kutub utara celestial sphere ( n P ) ( celestial sphere north pole )

adalah titik potong pada celestial sphere dengan garis lurus dari

pusat bumi yang melalui kutub utara bumi.

Kutub selatan celestial sphere ( s P ) adalah titik lawan dari kutub

utara selestial sphere.

Celestial equator atau equinoctial adalah perpotongan antara

celestial sphere dengan bidang datar yang melalui equator bumi.

Zenith (Z) adalah titik potong celestial sphere dengan garis yang

dibuat dari bumi lurus ke atas.

Nadir (Na) adalah titik lawan dari Zenith.

Horizon circle adalah lingkaran besar pada celestial sphere yang

kutubnya adalah zenith dan nadir.

Kompetensi:

Setelah mempelajari penggunaan segitiga bola dalam

perbintangan, Kadet mampu:

a. Mengetahui pengertian-pengertian pada celestial sphere.

b. Mengaplikasikan ilmu ukur segitiga bola dalam perbintangan

untuk membantu pelayaran.

BAB VPENGGUNAAN DALAM PERBINTANGAN


63/70

KONFIDENSIAL57

KONFIDENSIAL

Titik-titik W, N, E dan S adalah titik-titik pada horizon circle yang

menunjukkan barat, utara, timur dan selatan yang masing-masing

berjarak 090 .

Lingkaran vertikal adalah lingkaran besar yang melalui zenith dan

nadir.

Prime vertikal adalah lingkaran vertikal yang melalui timur dan

barat.

Lingkaran waktu adalah lingkaran besar yang melalui kutub utara

n P dan kutub selatan s P .

Celestial meridian adalah lingkaran waktu yang melalui titik-titik

utara dan selatan.

22. Segitiga Astronomi

Definisi:

Segitiga astronomi adalah segitiga bola yang titik-titik sudutnya

celestial pole, zenith dan sebuah titik pada celestial sphere.

Declinasi d dari sebuah benda angkasa/ titik pada celestial sphere

adalah jarak angular dari celestial equator sampai dengan benda

angkasa tersebut.

Deklinasi diukur menurut lingkaran waktu (tanda positif atau negatif,

sama artinya dengan utara atau selatan).

Earth

W

S N

E

Z

Horizon

Primevertical

NorthCelestialPole

n P

Verticalcircle


64/70

KONFIDENSIAL58

KONFIDENSIAL

Deklinasi sama artinya dengan latitude di bumi.

Altitude h dari sebuah benda angkasa/ titik pada celestial sphere

adalah jarak angular dari horizon circle sampai dengan benda

angkasa tersebut.

Altitude diukur menurut lingkaran vertikal, besarnya antara 00

sampai dengan 090 .

Sudut azimuth (azimuth angle) dari benda angkasa/ titik di celestial

sphere adalah sudut pada zenith antara celestial meridian dan

lingkaran vertikal yang melalui benda angkasa tersebut.

Sudut ini diukur dari celestial meridian ke arah timur atau ke arah

barat.

Besarnya antara 00 sampai dengan 0180 dan dinyatakan dengan

(misalnya) W N 090 atau E S 060 . Dengan N dan S menyatakan

kutub dari pengamat, sedangkan W dan E menyatakan benda

angkasa tersebut terletan di langit sebelah barat atau timur.

Earth


65/70

KONFIDENSIAL59

KONFIDENSIAL

Azimuth Zn dari sebuah benda di angkasa/ titik di celestial sphere

adalah sudut pada zenith antara celestial meridian dan lingkaran

vertikal yang melalui benda angkasa tersebut diukur dari utara ke

timur.

Azimuth Zn diukur pada horizon mulai dari N (utara) ke arah timur

sampai memotong lingkaran vertikal yang melalui benda angkasa

tersebut, besarnya antara 00 sampai dengan 0360 .

Meridian angle t sebuah benda angkasa adalah sudut antara

celestial meridian dan lingkaran waktu yang melalui benda

angkasa tersebut.

Meridian angle diukur dari celestial ke arah timur atau arah barat.

Besar meridian angle antara 00 sampai dengan 0180 atau h0

sampai dengan h12 .

Meridian angle selalu memakai tanda E atau W, merupakan arah

terdekat ke timur atau ke barat.

Sudut Waktu (hour angle) sebuah benda angkasa adalah sudut

antara celestial meridian dan lingkaran waktu yang melalui bendaangkasa tersebut.

Sudut waktu diukur dari celestial meridian ke arah barat.

Besar sudut waktu antara 00 sampai dengan 0360 atau h0 sampai

dengan h24 .

Latitude (pada celestial sphere) adalah jarak antara equinoctial

sampai dengan zenith diukur melalui celestial meridian.

Pada gambar ZQ = L dan ZPn = Co L.


66/70

KONFIDENSIAL60

KONFIDENSIAL

Contoh:

Gambar proyeksi orthografik dari sebuah segi tiga astronomi bila

diketahui :

W Angle Meridian

S D

N L

0

0

0

50

15

40

Carilah :

a. altitude h

b. sudut azimuth z

c. Azimuth Zn.

Jawab:

Deklinasi diambil positif atau negatif tergantung letaknya di utara atauselatan.

NS menyatakan horizon.

QQ equinoctial.

PnZM segi tiga astronomi.

Dari gambar diperoleh:

n P

Z

O

LC o

d C o

hC o

M


67/70

KONFIDENSIAL61

KONFIDENSIAL

000

0

0

232128360

128

18

Zn

Z

h

23. Waktu Setempat

Dalam pelajaran ilmu falak, planet-planet termasuk bumi kita berputar

mengelilingi matahari yang lintasannya berbentuk ellips (sesuaidengan hukum kepler).

Tetapi, pada kehidupan sehari-hari seolah-olah matahari yang

bergerak mengelilingi bumi dari timur ke barat dalam waktu 24 jam

dalam satu putaran.

Sehingga secara matematis terdapat hubungan bahwa 24 jam = 0360 .


68/70

KONFIDENSIAL62

KONFIDENSIAL

Contoh:

'3517

'5'30215

'4

204

10151

20101

0

00

00

smh

Karena matahari pada jam 12 siang terletak pada meridian, maka

meridian angle matahari dapat ditentukan pada waktu pagi (sebelum

jam 12) dan pada waktu sore (sesudah jam dua belas). Kemudian

meridian angle ini dinyatakan dalam jam, menit dan detik.

Contoh:

Seorang pengamat pada N L 040 , dengan menggunakan sextant

mendapatkan deklinasi matahari hd 023 dan altitude 050h .

Bila matahari ada di langit sebelah timur, tentukan waktu dan azimuth

matahari pada waktu itu.

Penyelesaian:

Gambar berikut menunjukkan proyeksi orthografik dari segitiga

astronomi.

Dari 050h dan N d 023 , maka titik M dapat ditentukan sehingga

ellips sn KP P dan ZLN dapat digambarkan.

Maka didapat meridian angle mht 52243 0 .

Jadi waktu setempat = mhmh 8952212 (jam 9 lebih 8 menit).

Azimuth 0102n Z .

1 jam = 0151 h menit h

4151

10

1 menit = '151 m

ik

m

det415

1

'1

1 detik = ''151 s 151

''1 s

h = hour m = menit s = second


69/70

KONFIDENSIAL63

KONFIDENSIAL

24. Latihan

a. Dengan menggunakan proyeksi orthografik hitunglah h dan Zn

jika diketahui :

1). E t N d N L 000 616046

2). E t N d N L 000 35839

3). W t N d S L 000 401035

b. Dengan menggunakan proyeksi orthografik dari segitiga bola

astronomi, hitunglah sudut jam dan azimuth dari soal berikut.

1). E h N d N L 000 201540

2). E hS d N L 000 301020

3) W h N d N L 000 302045


70/70

KONFIDENSIAL64

DAFTAR PUSTAKA

Dillon, Vik, 2005, The Celestial Sphere, diakses dari www.shef.ac.uk /

/physics/people/vdhillon/teaching.html

Soewito, 1987, Ilmu Ukur Segi Tiga Bola , Surabaya : AAL

Todhunter, I., 2006, Spherical Trigonometry , diakses dari www.pgdp.net

Wolfe, H.E., 1945, Introduction to Non-Euclidean Geometry , NewYork:Holt, Rinehart and Winston, Inc.
http://www.shef.ac.uk/http://www.shef.ac.uk/

p.i. Segitiga Bola

Documents

Transcript of p.i. Segitiga Bola