PHYSICS, 20-05- 2012
240
Penyusun: Hidjan AG, MSc.Eng Jurusan Teknik Sipil No. Diktat : 14/K7.A/UP2AI/2009 FISIKA TERAPAN
-
Upload
aldi-muhammad -
Category
Documents
-
view
381 -
download
8
Transcript of PHYSICS, 20-05- 2012
Penyusun: Hidjan AG, MSc.Eng
Jurusan Teknik Sipil
No. Diktat : 14/K7.A/UP2AI/2009
POLITEKNIK NEGERI JAKARTAAgustus 2009
FISIKA TERAPAN
Konsultasi : HP. 082124368899
PRAKATA
Ilmu Fisika merupakan komponen penting yang menjadi tulang punggung pengembangan berbagai macam Teknologi dan merupakan mata kuliah yang diajarkan di berbagai fakultas eksakta seperti Fakultas Teknik, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Kedokteran, Pertanian, Farmasi, dan sebagainya. Disamping itu juga dapat dijadikan sebagai dasar teori dalam perancangan maupun pelaksanaan proses proses industri seperti dalam bidang konstruksi bangunan, mesin, energi, dll. Dalam buku ini disajikan materi yang topik topiknya dipilih untuk menunjang beberapa mata kuliah lain terkait yang ada di jurusan Teknik Sipil. Materi yang disusun terdiri dari Kinematika, Dinamika, Statika, Panas serta Teori Atom dan Molekul. Kinematika merupakan bagian dari mekanika mengenai gerak benda tanpa pembahasan terhadap massa maupun gaya dari benda yang bergerak, sedang dalam Dinamika maka juga dibahas massa maupun gaya dari benda yang bergerak. Adapun Statika merupakan bagian dari mekanika yang membahas benda yang berada dalam keseimbangan. Adapun Panas sebagai topik yang diperlukan untuk menjelaskan kondisi yang mempengaruhi suatu bangunan serta Teori Atom dan Molekul sebagai basis Ilmu Bahan, merupakan materi yang juga perlu disajikan karena banyak terkait dengan bidang Teknik Sipil.
Penulis berharap buku ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan semua pihak yang memerlukan, terutama para mahasiswa jurusan Teknik Sipil.. Kami menyadari penulisan buku ini tak lepas dari kekurangan. Karena itu berbagai masukan, saran, maupun kritik konstruktif dari para pembaca sangat diharapkan agar kwalitas buku ini dapat disempurnakan. Wassalam, Depok, 26 Mei 2009
Hidjan AG
i
DAFTAR ISI
Prakata...............................................................................................................i
Daftar Isi.......................................................................................................................ii
01. Pendahuluan.................................................................................................1
02. Sistim Satuan dan Analisis Vektor................................................................3
03. Kinematika.................................................................................................19
04. Gravitasi dan Gaya.....................................................................................30
05. Gesekan......................................................................................................36
06. Energi .........................................................................................................41
07. Mesin-mesin Angkat...................................................................................45
08. Momentum dan Tumbukan........................................................................56
09. Elastisitas..............................................................................................................67
10. Getaran Mekanis........................................................................................70
11. Gelombang Mekanis...................................................................................86
12. Momen Inersia...........................................................................................93
13. Fluida........................................................................................................99
14. Keseimbangan……………………………………………....………………….115
15. Panas dan Perpindahan Panas..................................................................119
16. Atom dan Molekul...................................................................................130
ii
1. PENDAHULUAN
1.1. Gambaran umum mata kuliah Fisika Terapan
Fisika merupakan ”Basic Science” yang terkait erat dengan banyak disiplin ilmu
yang lain terutama bidang teknik dan rekayasa. Hampir seluruh kemajuan teknologi
yang ada di dunia ini tak terlepas dari kontribusi Ilmu Fisika. Adanya pesawat
terbang, kapal laut, komputer, gedung pencakar langit, jembatan, dan sebagainya
pada dasarnya semua dibuat berasaskan teori teori dan konsep konsep ilmu fisika.
Mengingat materi ilmu fisika begitu luas maka topik topik tertentu dipilih agar sesuai
dengan bidang ilmu lain yang ditunjangnya. Untuk jurusan teknik sipil, dipilih topik
topik fisika yang terkait erat dengan disiplin ilmu teknik sipil, dan dalam buku ini
pembahasan ditekankan kepada mekanika, serta sedikit teori panas dan pengetahuan
atom-molekul. Mekanika ditujukan untuk mendasari matakuliah Mekanika Teknik,
Mekanika Fluida, dan Teori Gempa, sedang teori panas dan pengetahuan atom-
molekul ditujukan untuk mendasari Ilmu Bahan.
1.2. Tujuan Pembelajaran Umum
Buku ini disusun dengan tujuan agar para mahasiswa jurusan Teknik Sipil mampu
memahami prinsip-prinsip dan konsep konsep dasar Ilmu Fisika sebagai pengetahuan
fundamental untuk menunjang beberapa matakuliah lain yang terkait kemudian dapat
menerapkannya di lapangan sesuai dengan keperluan.
1
1.3. Gambaran Umum Isi Diktat
Diktat ini berisi topik topik yang terdiri dari Kinematika, Dinamika, Statika, Teori
Panas, serta Atom dan Molekul. Kinematika, merupakan ilmu mengenai gerak tanpa
pembahasan terhadap massa dari benda yang bergerak maupun gaya penyebab
geraknya. Sub topiknya mengenai : Gerak lurus, Gerak lurus dengan kecepatan
konstan, Gerak lurus dengan kecepatan berubah, Gerak Parabola, Gerak melingkar,
Gerak berputar, dan Gerak berputar dengan kecepatan berubah.
Kemudian Dinamika, ilmu mengenai gerak dengan pembahasan terhadap massa dari
benda yang bergerak dan gaya penyebabnya. Sub topiknya adalah : Gesekan, Kerja
dan Energi, Momentum dan Tumbukan, Mesin mesin Angkat, Momen Inersia,
Getaran Mekanis, dan Gelombang Mekanis. Adapun Statika, merupakan ilmu yang
membahas benda yang berada dalam keseimbangan mekanis. Kemudian juga dibahas
topik topik mengenai Panas dan Perpindahan Panas serta Atom-Molekul yang terkait
dengan disiplin ilmu Teknik Sipil.
1.4. Proses Pembelajaran
Pembelajaran dilakukan dengan kombinasi dari metode konvensional dan SCL
(Student Centered Learning). Metode SCL dimaksudkan agar para mahasiswa lebih
aktif dan terlatih mandiri didalam proses pembelajaran, pengembangan ilmu dan
penerapannya di lapangan sesuai dengan bidang mereka.
2
2. SISTIM SATUAN DAN ANALISIS VEKTOR
2.1. Sistim Satuan
Sistim satuan yang digunakan dalam buku-buku Fisika sering berbeda satu
sama lain. Oleh karena itu, mengenali bermacam-macam sistim satuan yang telah
disepakati secara internasional dan dapat melakukan konversi antar sistim satuan,
menjadi hal yang penting. Ada tiga sistim satuan yang telah dipakai secara
universal dan diakui penggunaannya diseluruh dunia yakni :
1. CGS (centimeter gram second) : sistim satuan ini berdasarkan pengukuran
terhadap besaran panjang, massa, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim
ini adalah centimeter, satuan massa adalah gram, dan satuan waktu adalah
sekon.
2. MKS (meter, kilogram, second) : sistim satuan ini berdasarkan pengukuran
terhadap besaran panjang, massa, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim
ini adalah meter, satuan massa adalah kilogram, dan satuan waktu adalah
sekon. Sistim satuan MKS ini kemudian dikembangkan, disempurnakan, dan
disepakati secara internasional menjadi Sistim Internasional SI (Le Systeme
International d’Unites). Untuk selanjutnya, seluruh pembahasan dalam buku
ini menggunakan sistim SI.
1
3. FPS (foot, pound, second): sistim ini berdasarkan pengukuran terhadap
besaran panjang, gaya, dan waktu. Satuan panjang dalam sistim ini adalah
foot, satuan gaya adalah pound, dan satuan waktu adalah sekon. Dalam
sistim satuan FPS terdapat dua macam satuan pound yakni pound massa
(untuk satuan massa), dan pound gaya (untuk satuan gaya). Sistim satuan
FPS ini juga dinamakan sistim Inggeris ( English System/British System) dan
banyak digunakan di Eropa..
3
Setiap satuan dalam suatu Sistim Satuan dapat dikonversikan menjadi satuan
dalam Sistim Satuan lain. Maka, 1kilogram (SI) = 1000gram (CGS) = 2,205
pound massa (FPS). Demikian pula, 1meter (SI) = 100centimeter (CGS) =
3,281feet (FPS) = 39,37 inches (FPS). Dengan mengenali dan memahami
satuan-satuan yang ada dalam tiap sistim maka akan mempermudah proses
pengkonversian pada saat diperlukan.
Contoh Satuan dalam Sistim Satuan CGS:
BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN
Panjang centimeter cm
Massa gram gr
Gaya dyne dyne
Energi erg erg
Waktu sekon s
Suhu celcius oC
Contoh Satuan dalam Sistim Satuan FPS (British System):
BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN
Panjang foot ft
Panjang inch in
Massa pound mass lbm
Massa slug slug
Gaya pound force lbf
Energi British Thermal Unit Btu
Waktu sekon s
Suhu Fahrenheit oF
4
Sistim Satuan Internasional SI
Besaran-besaran fisika dalam SI dibagi menjadi dua macam yakni :
Besaran Pokok( BesaranDasar) dan Besaran Turunan.
1. Besaran Pokok (Dasar) :
BESARAN NAMA SATUAN SIMBOL SATUAN
1.Panjang meter m
2.Massa kilogram kg
3.Temperatur (Suhu) kelvin K
4.Waktu sekon s
5.Kuat arus listrik ampere A
6.Jumlah zat mole mol
7.Intensitas cahaya candela cd
Satuan Pelengkap (Supplementary Unit) Satuan Pokok :
a. Sudut Bidang radian rad
b.Sudut Ruang steradian sr
KETERANGAN :
a. Pengertian Sudut Bidang
Ditinjau sebuah lingkaran dimana panjang dari keliling lingkaran berjari jari R
adalah 2R. Apabila diambil busur lingkaran S yang panjangnya sama dengan
R, kemudian dari kedua ujungnya ditarik garis ke pusat lingkaran, maka akan
terbentuk sudut bidang yang besarnya 1 radian. Dengan demikian maka dalam
sebuah lingkaran penuh, besar sudut totalnya = 2radian. Karena dalam
sebuah lingkaran besar sudutnya adalah 360o, berarti 360o = 2 radian, sehingga
1 rad = 360/2360/2.3,141592654 = 57,3o
Busur tebal S = R
Sudut 1rad
Gambar 2.1. Lingkaran
b.Pengertian Sudut Ruang :
Ditinjau sebuah benda berbentuk bola. Luas permukaan bola berjari-jari R
adalah 4R2. Apabila diambil sembarang luasan pada permukaan bola seluas
R2 (apapun bentuknya), kemudian dari seluruh pinggir luasan tersebut ditarik
garis ke pusat bola, maka akan terbentuk sudut ruang yang besarnya 1
steradian. Dengan demikian maka dalam suatu bola, besar sudut ruangnya
adalah 4steradian.
Luas permukaan = R2
Besar sudut ruang =1sr
Gambar 2.2. benda berbentuk bola
Perlu diperhatikan bahwa sesuai dengan peraturan internasional, suatu nama
orang yang digunakan untuk satuan dari suatu besaran, maka huruf
awalnya harus ditulis dengan huruf kecil, misalnya satuan untuk kuat arus
listrik maka harus ditulis “ampere” dan bukan “Ampere”, satuan untuk daya
adalah “watt” dan bukan “Watt”, demikian pula satuan untuk temperatur harus
ditulis “kelvin” dan bukan “Kelvin”.
6
2. Besaran Turunan :
Karena merupakan turunan, maka satuan dari besaran turunan dapat dinyatakan
dengan satuan dari besaran dasar. Terdapat banyak sekali besaran-besaran
turunan, berikut adalah beberapa contoh :
Besaran Nama Satuan Simbol Satuan Pernyataan dalam
Satuan Dasar
Gaya (F) newton N Kg.m.s-2
Tekanan(P) pascal Pa Kg.m-1.s-2
Energi(E) joule J Kg.m2.s-2
Daya(P) watt W Kg.m2.s-3
Daftar konversi beberapa satuan dari Sistim lain ke SI
SATUAN LAIN SATUAN (SI)
1 foot (ft) 0,3048 m
1 inch (in) 0,0254 m
1 mile (mil) 1609,3 m
1 mile laut (nautical mile) 1852,0 m
1 yard (yd) 0,9144 m
1 pound gaya (lbf) = 0,4536 kgf 4,4482 N
1 pound massa (lb.m) 0,4536 kg
1 slug 14,594 kg
1British Thermal Unit (Btu) 1055 J
1 Psi (lbf.in-2 ) 6894,8 N.m-2
1 knot 0,5144 m.s-1
1 mach (velocity of sound in air) 350 m.s-1
7
Proses Konversi dari suatu Sistim Satuan ke Sistim Satuan yang lain
Apabila perlu dilakukan konversi satuan dari suatu sistim ke sistim yang lain,
misalnya akan dilakukan konversi dari SI ke FPS atau dari FPS ke SI, maka dapat
dilakukan dari pengkonversian satuan panjang, satuan gaya, dan satuan massa.
Satuan waktu untuk seluruh sistim satuan adalah sama yakni sekon, maka tidak
perlu dikonversi.
Dari FPS ke SI Dari SI ke FPS
Satuan Panjang : 1 ft = 0,3048 m Satuan Panjang : 1 m = 3,281 ft
: 1 inch = 0,0254 m : 1 m = 39,37 inch
Satuan Massa : 1 slug = 14,59 kg Satuan Massa : 1 kg = 0,06854 slug
: 1 pound (lbm) = 0,4536 kg : 1 kg = 2,2046 lbm
Satuan Gaya : 1 pound (lbf) = 4,448 N Satuan Gaya : 1 N = 0,22482 lbf
Contoh Pengkonversian dari FPS ke SI :
Contoh 1:
Torka = Momen Gaya = Gaya F x d (dari gaya ke titik acuan):
Torka dalam FPS misal dinyatakan sebagai : 1 lbf.in
1 lbf.in = 1(4,448N) x (0,0254m) = 0,11298 N.m
Contoh 2:
Daya = Usaha per Waktu = U/t
Daya dalam FPS misal besarnya dinyatakan sebagai : 1 pound force
foot per minutes = 1(lb.f)(ft)/(min), dimana : 1lb.f = 4,4482 N ; 1ft =
0,3048m ; 1min= 60 s ; maka daya dalam SI = (4,4482)(0,3048)/(60) =
0,022597 watt.
8
Contoh Pengkonversian dari SI ke FPS :
Contoh 1: Torka = 1 N.m = 1(0,22482 lbf)(39,37 in) = 8,8512 lbf.in
Contoh 2 : Tekanan = Gaya per Luas = F/A
Tekanan dalam SI misal besarnya: 1N/m2 dimana 1N = 0,2248 pound force
(lbf), sedang 1m = 3,281 ft, yang berarti 1m2 = 10,765 ft2 maka tekanan dalam
FPS = (0,2248)/(10,765) = 0,021 lbf/ft2 .
2.2. Skalar dan Vektor
Skalar adalah suatu kwantitas yang hanya mempunyai besar saja dan tidak
mempunyai arah. Misalnya : panjang, massa, waktu, suhu, jarak, energi, usaha
(kerja), bilangan riil, dan lain-lainnya. Skalar ditunjukkan dengan huruf biasa, dan
operasi perhitungan skalar menggunakan aljabar biasa.
Vektor adalah suatu kwantitas yang mempunyai besar dan arah. Misalnya :
kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, lintasan, posisi, momentum, torka,
berat , dan lain-lain.
Vektor dapat dinyatakan secara grafis maupun secara trigonometris.
2
Secara grafis, vektor digambarkan sebagai anak panah dengan arah tertentu. Ujung
ekor O dinamakan titik asal vektor, sedang ujung kepala P dinamakan titik terminal.
O P
F (dengan tanda anak panah diatasnya) atau F
Gambar 2.3. Vector
Panjang anak panah menyatakan besar vektor, sedang arah anak panah, menyatakan
arah vektor. Apabila vektor masuk bidang, digambarkan dengan tanda silang (x),
sedang apabila vektor keluar bidang, digambarkan dengan tanda titik (.)
9
Secara trigonometris, vektor digambarkan dengan huruf yang diberi gambar anak
panah diatasnya, atau huruf tebal tanpa anak panah diatasnya, sebagai contoh : F
(gaya), v (kecepatan), a (percepatan), r (posisi), P (momentum linier), dan
sebagainya.
Vektor Satuan : adalah vektor yang mempunyai besar satuan. Jika F adalah vektor
yang besarnya F (huruf tidak tebal) dan bukan nol, maka F / F adalah vektor satuan
yang mempunyai arah seperti arah F. suatu vektor F dapat dinyatakan dengan vektor
satuan a dalam arah F dikalikan besar F tersebut, jadi F = Fa. Vektor satuan pada
sumbu x, y, dan z, masing-masing dilambangkan dengan i, j, dan k. dengan demikian
maka Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k
2.2.1. Aljabar Vektor
Operasi perhitungan vektor yang banyak digunakan dalam aplikasi adalah
penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
F
F1 F2
-F
Gambar 2.4. Vektor F1 dan F2 Gambar 2.5. Sebuah vector samabesar
Sama besar dan searah, maka dan sejajar dengan A tetapi berlawanan
F1 = F2 arah, maka A = -A
2.2.1.a. Penguraian Vektor
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi beberapa vektor lain. Misal, jika vektor F
dalam bidang (2dimensi) diuraikan ke sumbu x dan y, masing-masing menjadi Fx
dan Fy maka Fx dan Fy adalah komponen-komponen dari vektor F (Gambar 2.6).
10
Demikian pula jika sebuah vektor F dalam ruang (3dimensi) diuraikan ke sumbu x,
y, dan z maka komponen-komponen dari vektor F adalah Fx, Fy, dan Fz Gambar 2.7)
Keterangan : Fx = Fx i ; Fy = Fy j ; Fz = Fz k , dimana : i, j, dan k disebut vektor
satuan dan masing-masing mempunyai harga = 1.
F F
Fy j
Fz k
Fy j
Fx i
Fx i
Gambar 2.6. Gambar 2.7.
2.2.1.b. Penjumlahan Vektor
Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis ataupun analitis. Penjumlahan
antara dua buah vektor secara grafis adalah dengan meletakkan ekor dari salah satu
vektor di kepala vektor yang lain, dimana besar dan arah vektor harus tetap.
Kemudian tarik anak panah dari titik asal O ke ujung akhir seperti pada gambar 2.8.
F2
F1 FR
F1 + F2 = FR = F1
O O F2
Gambar 2.8. Penjumlahan vektor
11
2.2.1.c. Pengurangan Vektor
Mengurangkan suatu vektor F1 dengan vektor lain F2 sama dengan menjumlahkan
vektor F1 dengan negatif dari vektor F2 , jadi F1 - F2 = F1 + (-F2 ) , sehingga dengan
membalikkan arah panah dari F2 hasilnya seperti pada gambar 2.9
F1
F1 - =
F2 F1 - F2 F2
Gambar 2.9. Pengurangan vektor
Apabila Fx dan Fy pada gambar 2.8 dijumlahkan secara trigonometris, maka
diperoleh resultan F yang besar dari nilai resultan tersebut adalah :
F = F = √ Fx 2+ Fy2 + 2 Fx.Fy cos sudut antara Fx dan
Fy
Karena sudut antara Fx dan Fy adalah 90o dimana cos 90o = 1, maka persamaan
tersebut dapat ditulis :
F = F = √ Fx2 + Fy2
Demikian pula apabila Fx, Fy, dan Fz pada gambar 2.7 dijumlahkan secara vektor
maka diperoleh resultan F yang besar harganya :
F = F = √Fx2 + Fy2 + Fz2
Contoh Soal 1 :
Z+ Y- Jika b x a = c , tentukan besar dan arah a vektor c , dan gambarkan vektornya ! X- b X+ ( Besar b = 3 sedang a = 2 )
Y+ Z-12
Contoh Soal 2: Gaya-gaya berikut bekerja pada sebuah titik, dimana besar dan arah
masing-masing gaya adalah: F1= 40N, F2 =70N, F3 = 40N, F4 = 30N, F5 = 80N, F6 =
60N (gambar 2.10).Tentukan besar dan arah gaya resultan FR baik secara grafis
maupun trigonometris !
y F2
F5 F4 F3
F3 F2
60 30 30 F4 y FR
30 F1 x
F6 F5 F1
x
F6
Gambar 2.10 Gambar 2.11
Jawab :
a). Secara Grafis dilakukan dengan meletakkan ekor dari vektor tiap gaya yang
dijumlahkan ke kepala vektor yang lain secara simultan (tidak harus berurutan, yang
penting besar dan arahnya tetap), kemudian tarik anak panah dari titik asal ke kepala
vektor terakhir, dan hasilnya seperti pada gambar 2.11.
b). Secara trigonometris, dapat dilakukan dengan menguraikan tiap gaya menjadi
komponen komponen gaya pada sumbu x dan sumbu y, kemudian dijumlahkan secara
vektor.
Pada arah sumbu x, maka :
Fx = F1 cos 0o + F2 cos 30o + F3 cos 60o + F4 cos 90o + F5 cos 120o + F6 cos 210o
= 40 cos 0o + 70 cos 30o + 40 cos 60o + 30 cos 90o + 80 cos 120o + 60 cos 210o
= 40.1+70.0,866+40.0,5+30.0+80.-0,5+60.-0,866 = 40+60,62+20+0-40-51,96
= 28,66N
13
Pada arah sumbu y,
Fy = F1 sin 0o + F2 sin 30o + F3 sin 60o + F4 sin 90o + F5 sin 120o + F6 sin 210o
= 40 sin 0o + 70 sin 30o + 40 sin 60o + 30 sin 90o + 80 sin 120o + 60 sin 210o
= 40.0+70.0,5+40.0,866+30.1+80.0,866+60.-0,5 = 0+35+34,64+30+69,28-30
= 138,92N
Jadi besar gaya resultan FR = √ Fx 2 + Fy 2 = 28,662+138,922 = 141,85N
Arah gaya resultan : tg = Fy/Fx = 138,92/28,66 = 4,8472
Maka besar sudut = 78,34o (terhadap sumbu x)
2.2.1.d. Perkalian Skalar dan Vektor
Suatu vektor apabila dikalikan dengan skalar, atau sebaliknya, maka hasilnya adalah
vektor. Jadi apabila m adalah skalar, sedang F adalah vektor maka mF = Fm =
vektor.
Perkalian Skalar (Perkalian Titik) dari dua buah vektor A dan B dituliskan A.B dan
dibaca A dot B, didefinisikan sebagai perkalian antara besar harga A dan besar harga
B dan cosinus sudut () yang diapit oleh kedua vektor tersebut.
A.B = AB cos = sudut yang diapit oleh A
dan B
dan besarnya : 0 <
Disebut perkalian skalar karena hasil dari perkalian dua buah vektor A dan B tersebut
adalah skalar.
Contoh Soal 3 : Gaya F = 100N, bekerja terhadap suatu benda sehingga bergerak
dengan lintasan d = 5 m dalam arah gaya, maka F.d = W = Fd cos 0o = 100.5.1 = 500
N.m (W = 500 N.m tidak mempunyai arah karena skalar)
14
Hukum-hukum pada perkalian skalar :
1. A.B = B.A
2. A. ( B+C ) = A.B + A.C
3. m ( A.B ) = ( mA ).B = A.( mB ) = ( A.B ) m
4. i.i = j.j = k.k = 1 ; i.j = j.k = k.i = 0
5. Jika : A = Ax i + Ay j + Az k dan B = Bx i + By j + Bz k
maka : A.B = AxBx + AyBy + AzBz
A.A = A2 = Ax2 + Ay2 + Az2
B.B = B2 = Bx2 + By2 + Bz2
6. Jika A dan B masing-masing bukan vektor nol, sedang
A.B = 0, maka berarti A dan B saling tegak lurus
Perkalian vektor ( Perkalian silang) dari vektor A dan vektor B dituliskan A x B
(dibaca A cross B) = C , didefiniskan sebagai hasil perkalian antara besar harga
vektor A dan besar harga vector B dan sinus sudut ( ) yang diapit oleh kedua
vektor tersebut.
A x B = AB sin u = C 0 < <
u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari hasil perkalian tersebut,
yakni arah dari vektor C.
Menentukan ”arah” hasil perkalian vektor
Untuk menentukan arah dari vektor C, maka dapat digunakan aturan putaran sekrup.
Apabila A dan B berada pada suatu bidang maka arah C selalu tegak lurus terhadap
bidang tersebut. Jika A diputar ke B (melalui sudut yang lebih kecil) dan
menghasilkan putaran yang searah jarum jam maka arah C adalah masuk bidang,
sedang apabila putaran berlawanan dengan arah putaran jarum jam berarti arah C
keluar bidang.
15
Contoh Soal 4: Suatu gaya F =1000 N, bekerja terhadap sebuah roda pada posisi r =
0,4m terhadap acuan O (pusat roda) dalam arah membentuk sudut 30o terhadap garis
posisi, maka F x r = =1000.0,4 sin 30o = 200 N.m, dimana arah adalah tegak
lurus terhadap bidang dimana F dan r berada. Apabila F yang diputar ke r searah
putaran jarum jam maka arah masuk bidang, sedang apabila berlawanan dengan
arah putaran jarum jam maka arah keluar bidang.
z z
D
-y -y
A
-x B x -x A x
B
y C y -z
-z
(a) (b)
Gambar 2.12.
Pada gambar 2.12 (a) Dinyatakan A x B = C =AB sin 90o. Jika besar A = 2, dan besar
B = 2 maka besar C = 2.2.1 = 4 (arah C kebawah) ; Pada gambar 2.12 (b)
Dinyatakan B x A = D = BA sin 90o. Jika besar B = 3, dan besar A = 2 maka besar D
= 3.2.1 = 6 (arah D keatas).
16
Contoh Soal 5 :
4m/s
30o
A 400 m B
3m/s
Lebar suatu sungai 400m. Sebuah kapal menyeberang dari sisi A ke sisi B dengan
kecepatan tetap 5m/s. Karena arah arus air yang kecepatannya 3m/s membentuk
sudut 90o terhadap arah dari A ke B dan mempengaruhi gerak kapal, maka nakhoda
mengarahkan kapalnya dengan membentuk sudut 30o terhadap arah A ke B dengan
harapan kapal akan merapat di suatu tempat yang tidak terlalu jauh dari B (Lihat
gambar). Hitung ditempat mana kapal merapat, diukur dari tempat B!
Jawab : 5m/s
5sin30o 30o 400 m
A 5cos30o B
3m/s
Vektor kecepatan kapal dapat diuraikan menjadi komponen kecepatan dalam arah
sumbu x (5cos30o) dan komponen kecepatan dalam arah sumbu y (5cos30o).
5sin30o = 5.0,5= 2,5m/s
5cos30o Ini menjadi : 5cos30o =4,33 m/s
0,5m/s
3m/s tg = 0,5/4,33 = 0,1154734 ; jadi = 6,587o
tg = tg 6,587o =0,1154734 = BC/400, maka jarak BC = 0,1154734 x 400 = 46,2 m
17
Jadi kapal akan sampai dan merapat di tempat C yang berjarak 46,2m dari tempat B
4,33m/s 400m
A 6,587 o B
0,5m/s C
Hukum-hukum pada perkalian vektor :
1. A x B = - B x A
2. A x (B + C) = A x B + A x C
3. m(A x B) = (mA) x B = A x (mB) = ( A x B )m
4. i x i = j x j = k x k = 0 ; i x j = k, j x k = i, k x i = j
5. jika : A = Ax i + Ay j + Az k dan B = Bx i + By j + Bz k
maka :
i j k
A x B = Ax Ay Az = (AyBz – AzBy) i
Bx By Bz + (AzBx – AxBz) j
+ (AxBy – AyBx) k
6. Jika A dan B bukan vektor nol, sedang A x B = 0,
maka A sejajar B.
18
3. KINEMATIKA3.1. Gerak Lurus
Sebuah benda dikatakan bergerak apabila ada perubahan posisi pada waktu
tertentu terhadap acuan tertentu, dan dikatakan diam bila tidak ada perubahan posisi
pada setiap waktu. Benda yang bergerak dikatakan mempunyai kecepatan v (velocity)
yakni harga perubahan perpindahan sebagai fungsi waktu, terhadap sekitarnya.
Apabila besar kecepatan benda berubah dalam waktu tertentu dikatakan mempunyai
percepatan a (acceleration). Pada bab ini pembahasan hanya untuk percepatan
seragam (uniform acceleration) dimana besar percepatan disetiap waktu adalah tetap.
Percepatan adalah harga perubahan kecepatan per interval waktu t.
Gerak Lurus : adalah gerak yang lintasannya lurus. Dapat dibagi menjadi 2 :
1. Gerak Lurus dengan kecepatan konstan (tetap) : Apabila benda bergerak
dengan kecepatan v dalam waktu t, maka Lintasan benda adalah : s = v.t
v v
s
Gambar 3.1
Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) : ada 2 macam :
3.1.1.a. GLBB Horizontal
3
Apabila benda bergerak pada arah horizontal dengan kecepatan awal vo ,
kemudian dalam waktu t kecepatannya berubah menjadi vt , berarti ada
percepatan a yang besarnya :
a = vt - vo t = vt - vo …….(1)
t a
Persamaan tersebut dapat ditulis : vt - vo= a.t vt = vo + a.t
Besar kecepatan rata-rata v = vt + vo s = v.t = (vt + vo )t ,
2 2
19
s = perpindahan (displacement)
s = ( vo + vo + a.t ) t sehingga s = vo . t + ½ a.t 2 .…………….(2)
2
Apabila persamaan (1) di substitusikan ke persamaan (2) maka diperoleh :
s = vo.t = vo (vt - vo ) + ½ a. (vt - vo ) 2 vt 2 = vo
2 + 2 a.s
a a2
vo vt
s
Gambar 3.2
Keterangan :
Percepatan a diberi tanda positif jika kecepatan benda bertambah, dan diberi tanda
negatif bila kecepatan berkurang.
3.1.1.b. GLBB Vertikal
Sebuah benda yang bergerak pada arah vertikal, misal suatu benda yang
dilemparkan dari permukaan bumi ke atas atau sebaliknya, maka akan
dipengaruhi oleh percepatan gravitasi bumi g yang besar rata-ratanya di
permukaan bumi = 9,8 m/s2.
Benda yang dilemparkan dari permukaan bumi ke atas dengan kecepatan awal vo
mempunyai persamaan sebagai berikut :
Kecepatan pada saat ke t : vt = vo – gt
Besar lintasannya : s = vo.t – 1/2 gt 2
20
vt
s = h
vo
g
Gambar 3.3
(Tanda g negatif karena arah gerak benda berlawanan dengan arah g)
2. Benda yang dilemparkan dari ketinggian tertentu dengan kecepatan awal vo
kearah permukaan bumi mempunyai persamaan :
Kecepatan pada saat ke t : vt = vo + gt
Besar lintasannya : s = vo.t + 1/2 gt 2
vo
s = h
vt
g
Gambar 3.4
(Tanda g positif karena arah gerak benda sama dengan arah g)
Benda dilepas dari ketinggian tertentu kearah permukaan bumi (tidak diberi
kecepatan awal), disebut gerak jatuh bebas, mempunyai persamaan :
Kecepatan pada saat ke t : vt = gt
Besar lintasannya : s = 1/2 gt 2
21
vo = 0
s = h
vt g
Gambar 3.5
Contoh Soal 1 : Seorang pengendara motor melaju dengan kecepatan konstan 10 m/s
melewati sebuah pos polisi. Karena kecepatan pengendara motor itu melebihi batas
kecepatan maksimum yang diperbolehkan, maka tepat ketika ia melewati pos
tersebut, seorang polisi mengejarnya dengan mobil patroli dengan percepatan 2 m/s2.
tanpa kecepatan awal. Tentukan dimana pengendara motor berhasil ditangkap polisi !
Jawab : Dimanapun pengendara motor ditangkap, besar lintasan yang ditempuh oleh
keduanya sama. Lintasan oleh pengendara motor yang melaju dengan kecepatan
konstan mempunyai persamaan : s = v.t, sedang lintasan oleh mobil patroli polisi
yang melaju dengan percepatan dan tanpa kecepatan awal, persamaannya : s = ½ a.t2.
Dengan demikian maka : v.t = ½ at2 10.t = ½ .2.t2 10 = ½ .2.t Waktu yang
ditempuh : t = 10 s Maka pengendara motor tersebut ditangkap ditempat yang
berjarak s = ½ a.t2 = ½ .2.102 = 100 m, diukur dari pos polisi.
Contoh Soal 2 : Sebuah lift yang bagian atasnya terbuka, bergerak vertikal keatas
dengan kecepatan tetap 10m/s terhadap acuan bumi. Ketika sudah berada pada
ketinggian 100m, seorang didalam lift melemparkan bola keatas dengan kecepatan
20m/s relatif terhadap lift, sementara lift terus bergerak keatas dengan kecepatan
tetap. Hitung tempat tertinggi dari bola yang dilempar, tentukan pula berapa lama
waktu yang diperlukan oleh bola sejak dilempar sampai jatuh kembali ke tempat
semula di lift tersebut (g = 9,8m/s2).
22
v = g.t 10 m/s
s = ½ g.t2
v = 10m/s 15,32m
s = v.t
45,92m
10 m/s 30,6m
20m/s (thd.lift)
=30m/s(thd.bumi)
v =10 m/s
100m
Jawab : Bola dilempar keatas (Dari tempat berketinggian 100m) dengan kecepatan
relatif 20m/s terhadap lift, sedang lift sendiri mempunyai kecepatan 10m/s terhadap
bumi, berarti kecepatan bola terhadap bumi adalah = 20m/s +10m/s =30m/s.
Karena arah bola melawan arah gravitasi bumi maka persamaan untuk kecepatan bola
: vt = vo – g.t ; Pada titik tertinggi kecepatan bola vt = 0 sehingga : 0 = vo – g.t
0 = 30 – 9,8.t ; Maka waktu yang diperlukan bola untuk mencapai titik tertinggi
adalah t = vo/g = 30/9,8 = 3,06 sekon. Adapun lintasan bola yang ditempuh untuk
mencapai titik tertinggi = s = vo.t – ½ g.t2 ; s = 30.3,06 – ½.9,8.3,062 = 45,92 m, atau
apabila diukur dari permukaan bumi, tempat tertinggi bola = 45,92+100 = 145,92m.
23
Ketika bola sedang bergerak keatas, lift juga tetap bergerak keatas dengan kecepatan
tetap 10m/s sehingga ketika bola mencapai titik tertinggi, lintasan yang ditempuh
oleh lift adalah s = v.t = 10.3,06 = 30,6m, atau apabila diukur dari permukaan bumi =
30,6 + 100 = 130,6m. Ketika selisih jarak antara posisi lift dan bola 15,32m, lift
sedang bergerak keatas dengan persamaan lintasan s = v.t, sedang bola mengalami
gerak jatuh bebas dengan persamaan lintasan s = ½ g.t2 dan keduanya bertemu pada
suatu tempat dimana total jarak keduanya = v.t + ½ g.t2 , ini = 15,32m sehingga : v.t +
½ g.t2 = 15,32 , atau : 10.t + ½ .9,8.t2 – 15,32 = 0 ini adalah bentuk persamaan
kwadrat dalam t: 4,9 t2 + 10.t -15,32 = 0 Gunakan rumus : t 1,2 = (-b+√b2-4.a.c)/2a
Diperoleh harga t =1,07 sekon. Dengan demikian, waktu yang diperlukan bola sejak
dilempar sampai mencapai titik tertinggi kemudian kembali ke lift = 3,06 + 1,07 =
4,13 sekon.
3.2. Gerak Parabola Sebuah benda yang dilemparkan atau ditembakkan dengan kecepatan awal vo dan
sudut kemiringan tertentu misal maka lintasannya berbentuk parabola (lengkung)
akibat pengaruh gravitasi bumi. Apabila komponen kecepatan ini diuraikan ke sumbu
x dan sumbu y maka komponen kecepatan yang dipengaruhi oleh percepatan gravitasi
g adalah komponen kecepatan yang berada pada sumbu y yakni vy.
voy = vosin
y vo
vox = vocosg x
4
Gambar 3.6
24
Kecepatan awal benda vo dapat diuraikan menjadi komponen kecepatan pada
sumbu x dan y dengan persamaan gerak pada masing-masing sumbu sebagai
berikut :
Pada sumbu x : Pada sumbu y :
Kecepatan vx = voxcos Kecepatan vy = voysing.t
Lintasan sx = vxcost Lintasan sy = vysint g.t2
Contoh Soal : Seorang pengendara mobil berpetualang di lereng sebuah bukit.
Sesampai diujung jalan yang terjal, ia sengaja menginjak pedal gas untuk me
lompatkan mobilnya ke tempat yang lebih rendah dengan kecepatan 9m/s.
Tentukan posisi mobil, jarak dari tempat ia menginjak pedal gas, dan kecepatan
nya, setelah 1 sekon.
y
vo
O
y
vx=vo
x
vy=-g.t v
Jawab : Ketika mobil akan dilompatkan, posisi mobil adalah xo=0, dan yo=0.
Kecepatan awal hanya kearah horizontal saja yakni vox = 9m/s2, sedang voy = 0
Setelah bergerak selama 1 sekon, posisi pada sumbu x = vox.t = 9.1 = 9 m, sedang
posisi pada sumbu y (gerakan mobil ini pada sumbu y merupakan gerak jatuh bebas)
adalah : y = -1/2g.t 2 = -1/2.9,8.12 = - 4,9 m. Tanda negatif menunjukkan bahwa
posisi mobil sekarang berada dibawah posisi mula-mula.
25
Jarak mobil setelah dilompatkan 1 sekon diukur dari posisi mula-mula adalah :
s = √ x2+y2 = √ (9)2+(-4,9)2 = 10,25 m. Kecepatan mobil setelah 1 sekon adalah
merupakan jumlah vektor dari komponen kecepatan pada arah sumbu x dan
komponen kecepatan pada arah sumbu y, dimana vx = vox = 9 m, sedang vy = -g.t = -
9,8.1 = -9,8 m/s. Maka besar kecepatan mobil setelah 1 sekon adalah : v = √vx2+vy
2 =
√(9)2+(-9,8)2 = √177,04 = 13,3 m/s.
3.3. Gerak Melingkar
Suatu benda yang bergerak melingkar dengan jari-jari r, meskipun kecepatannya
tetap, arahnya setiap saat berubah. Dikatakan bahwa ada percepatan “a” yang
berperan merubah arah kecepatan tersebut dan disebut percepatan centripetal ac
karena arahnya selalu menuju ke pusat lingkaran. Besar lintasan S yang ditempuh
oleh benda per waktu disebut kecepatan linier v, sedang besar sudut yang ditempuh
oleh benda per waktu disebut kecepatan sudut Apabila suatu saat besar kecepatan
benda berubah maka dikatakan bahwa benda mengalami percepatan tangensial atau
juga disebut percepatan normal at . Waktu yang diperlukan oleh benda untuk ber
gerak melingkar 1 kali disebut periode = T.
v
Apabila benda bergerak melingkar 1 kali,
v maka kecepatan linier v = panjang keliling
lingkaran per T, jadi v = 2r/T (m/s).
Besar sudut yang ditempuh oleh benda
pada saat bergerak melingkar 1kali adalah
2rad. sehingga kecepatan sudut = 2/T (rad/s).
Gambar 3.7 Maka diperoleh hubungan bahwa : v = r.
Percepatan centripetal ac = v2/r = 2r rad/s2
26
Adapun besar percepatan tangensial at = r ; (Percepatan centripetal () arahnya
menuju ke pusat lingkaran yang berfungsi merubah arah kecepatan v, sedang
percepatan tangensial (at) searah dengan arah kecepatan linier v)
Gerak Rotasi dengan Percepatan/Perlambatan:
Jika sebuah roda berjari-jari r berputar dengan kecepatan sudut o, kemudian dalam
waktu t kecepatan sudutnya berubah menjadi t , berarti ada percepatan sudut yang
besarnya : ( Perhatikan : kondisi disini identik sekali dengan persamaan pada GLBB!)
= t - o t = t - o …….(1)
t
Persamaan tersebut dapat ditulis :t - o = a.t t = o + .t
Besar kecepatan rata-rata = t + o = .t = (t + o )t , maka
2 2
= perpindahan sudut (angular displacement)
= (o +o + .t ) t sehingga = o. t + ½ .t 2 .……….(2)
2
Apabila persamaan (1) di substitusikan ke persamaan (2) maka diperoleh :
= o.t = o (t - o ) + ½. (t - o ) 2 t
2 = o2 + 2 .
2
Energi Kinetik Rotasi : Suatu benda yang berputar merupakan massa yang bergerak,
maka mempunyai energi kinetik rotasi.
27
Misal benda tersebut berputar dengan kecepatan sudut . Apabila tiap elemen benda
bermassa mi bergerak dengan kecepatan linier vi maka energi kinetik totalnya
adalah Ek = 1/2mi.vi2 Karena v = r , maka besar Energi Kinetiknya adalah :
Ek = ½ m.2.r 2 Harga m.r2 disebut momen inercia I, maka I = m.r2, sehingga Ek
= ½ I.2
Contoh hubungan antar roda :
RPM = Rotation Per Minutes, dimana : 1RPM = 2/60 rad/s
Disini : vA = vB
A B (Kecepatan linier A = kecepatan linier B)
A B vA = vB
(Kecepatan linier A = kecepatan linier B)
A A =B
B (Kecepatan sudut A = kecepatan sudut B)
Contoh Soal 1:
Apabila Jari-jari RA = 0,8m, RB = 0,2m, sedang RC = 0,5m, sedang roda C berputar
dengan kecepatan sudut sebesar 1000RPM, tentukan kecepatan linier roda C!
A C
B
28
Contoh Soal 2.
Sebuah roda berputar dengan kecepatan sebesar 1800 RPM. Jika direm selama 1
menit, kecepatannya berubah menjadi 1200 RPM. Apabila roda tersebut terus di rem
sampai berhenti.
a) Tentukan besar perlambatan sudutnya
t b). Jika terus direm dengan perlambatan tersebut
sampai berhenti, hitung lama (t) pengereman
1menit c). Hitung jumlah putaran roda sejak direm
o sampai berhenti !
(Ingat, setiap berputar 1 kali, besar sudutnya = 2rad, berarti untuk menghitung
jumlah putaran, sama dengan besar sudut dibagi 2, jadi: Jumlah putaran = /2
Contoh Soal 3 :
Rancanglah sebuah tikungan jalan miring yang jari-jari kelengkungannya 100m.
Apabila mobil yang melewati tikungan tersebut berkecepatan 25 m/s, berapa sudut
kemiringan jalan agar mobil tersebut dapat berlalu dengan aman?
Contoh Soal 4 :
Jari-jari roda A = 0,5m sedang roda B = 0,2m
B Apabila roda B berputar dengan kecepatan sudut
A 1000 RPM, tentukan besar kecepatan linier dari
Roda A !
29
4. GRAVITASI DAN GAYA4.1. Gravitasi
Gravitasi merupakan efek universal sebagai akibat adanya gaya tarik menarik
antara suatu benda dengan benda lainnya, yang secara kwantitatif dinyatakan dalam
hukum gravitasi universal yang dikemukakan oleh Newton. Setiap gaya yang beraksi
terhadap benda menentukan geraknya. Dibedakan dua macam gaya yakni : Gaya
fundamental (Fundamental force) dan gaya turunan (Derived force). Gaya
fundamental adalah gaya yang sudah ada dialam, ada 4 macam yakni : gaya gravitasi,
gaya elektromagnetik, gaya nuklir kuat, dan gaya nuklir lemah. Adapun gaya turunan
merupakan hasil dari operasi gaya fundamental. Sebagai contoh, gaya gesek dan gaya
pegas, keduanya adalah gaya turunan. Dalam analisis terahir, kedua gaya ini adalah
merupakan hasil dari gaya-gaya diantara molekul-molekul, dan gaya-gaya ini
merupakan keluaran dari gaya elektromagnetik yang adalah merupakan gaya
fundamental. Adapun gaya tarik menarik yang terjadi antara suatu benda bermassa m
dengan bumi yang bermassa M merupakan gaya gravitasi yang bukan gaya turunan.
Hukum Gravitasi Universal
Newton menyatakan bahwa : Gaya gravitasi yang bekerja pada suatu titik bermassa m
terhadap titik massa lain yang bermassa M adalah merupakan gaya tarik menarik
yang besarnya berbanding terbalik dengan kwadrat jarak ”r” antar kedua benda
tersebut.
F = - (G.m.M)/r2
F = gaya tarik menarik
G = Konstanta gravitasi universal = 6,67.10 -11 Nm2/kg2
5
m = massa benda bermassa m (kg)
M = massa benda bermassa M (kg)
r = jarak antara dua benda (meter)
30
Tanda negatif (-) menunjukkan bahwa gayanya adalah bersifat tarik menarik.
Karena besar gaya gravitasi yang dialami oleh benda bermassa m akibat adanya
percepatan gravitasi g adalah F = m.g, sedang harga ini = Gm.M/r2 , maka : m.g =
Gm.M/r2 , dengan demikian besar g = G.M/r2
G = konstanta gravitasi yang harganya diperoleh berdasarkan data eksperimen.
Konstanta ini mencirikan kekuatan gaya gravitasi dan hanya bisa diketahui harganya
jika kedua massa yang tarik menarik diketahui..
Energi potensial terkait dengan gaya gravitasi : Gaya gravitasi tergantung kepada
jarak dari benda yang dipengaruhinya dari pusat gaya. Oleh karena itu merupakan
gaya konservativ dan dapat diturunkan dari fungsi energi potensialnya. Besar energi
potensial gravitasi Ep = - F.dr = - ∫ -Gm.M.dr/r2 = - G.m.M/r Ep = - G.m.M/r.
Apabila persamaan F =G.m.M/r2 didiferensialkan ke r diperoleh: dF=-2G.m.M.dr/r3
sehingga dF/F = - (2G.m.M.dr/r3 ) / G.m.M/r 2 , atau : dF/F = -2dr/r ..................(1)
Apabila persamaan F = m.g juga didiferensialkan maka diperoleh dF = m.dg, atau
dF/F = dg/g ........(2) maka diperoleh : dg/g = -2 dr/r
KETERANGAN : dg = perubahan besar percepatan gravitas
dr = perubahan besar jarak (ketinggian) r
4.2. Gaya
Hukum Newton :
1. Suatu benda yang diam akan terus diam, sedang suatu benda yang bergerak
lurus dengan kecepatan konstan akan terus bergerak dengan kecepatan
konstan, jika tidak ada gaya yang mempengaruhinya.
31
2. Jika sebuah benda dikenai gaya “F” maka akan mengalami percepatan “a”
yang besarnya berbanding lurus dengan gaya tersebut dan arahnya sama. F =
m x a
3. Sebuah benda yang dikenai gaya aksi akan melakukan perlawanan dengan
gaya reaksi yang sama besar,sedang arahnya berlawanan dengan gaya aksi
tersebut.
Gaya Aksi = - Gaya Reaksi, jadi FAksi = - F Reaksi
Cara Menentukan Besar Gaya :
1. CARA STATIK :Jika benda berada dalam keadaan diam, maka gaya
resultant (gaya netto) yang bekerja pada benda = 0 ; jadi F = 0Fx
=0Fy =0Fz =0)
Benda diam
Gambar 4.1
2. CARA DINAMIK :
a). Jika benda bergerak dengan kecepatan konstan, berarti pada benda
tidak ada percepatan linier “a”, berarti juga gaya resultant yang bekerja pada
benda = 0
Jadi F = 0Fx =0Fy =0Fz =0)
v v
Benda bergerak dengan v konstan
Gambar 4.2 b). Jika benda bergerak dengan kecepatan berubah, berarti ada percepatan “a”,
maka : F = m x a
32
a
vo vt
Benda bergerak dengan percepatan “a”
Gambar 4.3
Contoh Soal 1(Cara Statik ): Sebuah benda berat 1000 newton digantung dengan dua
tali seperti pada gambar. Tentukan besar gaya tegangan tali TA dan TB !
30 60
TA TB
1000N
Contoh Soal 2(Cara Dinamik dengan percepatan “a” ): Tentukan besar gaya
percepatan “a” dan gaya tegangan tali T sistim sebagai berikut, dimana g = 9,8m/s2 :
(TA = TB = T)!
Contoh Soal 3 : Berapa gaya yang diperlukan oleh mesin
TA TB untuk mengangkat beban bermassa 1000kg
dengan percepatan 2m/s2 ( g = 9,8m/s2 )
F = ?
a
A B
100kg 500kg
800kg g = 9,8m/s2 1000kg
33
Contoh Soal 4 : (Cara Dinamik dengan percepatan “a” ): Hitung percepatan sistim
dan gaya tegangan tali T!
100kg
T
Licin Sempurna T
a
10 kg
Contoh Soal 5 :
Sebuah lift sewaktu masih kosong , bermassa F=6000N sama dengan beban penyeimbangnya =1000kg Kemudian beberapa orang masuk lift, setelah a=2m/s2
itu mesin lift bekerja dan mengangkat lift ke atas dengan gaya 6000N sehingga lift bergerak dengan percepatan 2m/s2. Tentukan massa total para penumpang lift tersebut ! ( g = 9,8m/s2) 1000 kg
Contoh Soal 6 :. F=100N Sebuah benda ditarik dengan gaya 100N
45o membentuk sudut 45o terhadap horizontal
Tentukan besar gaya normalnya !
g = 9,8m/s2
100kg
34
Dinamika Gerak Melingkar :
Contoh Soal 1 : Sebuah peti bermassa 100 kg bergerak melingkar beraturan diatas
papan licin sempurna (tanpa gesekan) karena diikat dengan tali yang panjangnya 5 m.
Jika peti menjalani 2 putaran per sekon, hitung besar gaya yang dialami oleh tali!
Jawab : Frekwensi f = 2 maka periode T = 1/f = ½ =0,5 s. Percepatan centripetal ac =
v2/r = R/T2 = 4.(3,14) 2.5 / 0,52 =789,57m/s2 .Gaya pada tali merupakan gaya
centripetal Fc = m.v2/R = m.ac = 100.789,57 = 78957 N.
Contoh Soal 2 : Sebuah bola bermassa m digantung dengan tali yang panjangnya L
kemudian bola diputar sehingga bergerak melingkar dengan jari-jari R seperti pada
gambar. Hitung besar gaya tegangan pada tali dan sudut nya !
Jawab :
F
F L Fcos F
A Fsin
W = m.g
Disini tidak ada gaya vertikal, Fy = 0 ; Gaya horizontal mengarah ke pusat
lingkaran, ini pasti harus sebanding dengan m.v2/R sehingga Fx = F sin = m.v2/R
F sin - m.v2/R = 0, sedang pada arah vertikal, Fy = F cos - m.g = 0
F = m.g/cos Masukkan harga F ke persamaan Fx
(m.g/cos)sin=m.v2/R
m.g.tg =m.v2/R tg= v2/g.R R = L sin sehingga : v = R/T =
Lsin
tg= v2/g.R = (Lsing.R sin /cos = 4Lsing.R
1 /cos = 4RL g.R = 4L g. cos = g./ 4L T = 2 √ L cos
/g
35
5. GESEKAN
N Gesekan (Gaya Gesek) f, merupakan gaya yang melawan
gerak relative dari dua permukaan yang bersinggungan
Benda yang belum dikenai gaya kesamping, belum meng
W alami gaya gesek apapun, baik statik maupun kinetik.
Gambar 5.1
Ada dua macam gaya gesek :
1. Gaya gesek statik fs: adalah gesekan antara dua permukaan yang diam
2. Gaya gesek kinetik fk : adalah gesekan antara dua permukaan yang bergerak
N=W N=W N=W
F F F
fs fs max fk
W W W
Gambar 5.2
1. Benda yang diberi gaya 2. Benda diberi gaya F yang 3. Benda sedang dalam
F relativ kecil dan benda cukup besar sehingga benda keadaan bergerak,maka
masih diam, sudah timbul tepat akan bergerak, maka berlaku persamaan :
gaya gesek statis dimana : berlaku persamaan : fk = k.N
f s <s.N f s = s.N Disini ada hal penting
6
untuk diperhatikan :
Jika F=fk mk benda sedang
bergerak dg v konstan.
Jika F>fk mk benda sedang
bergerak dg percepatan“a”
36
Koefisien gesek adalah angka perbandingan antara gaya gesek dengan gaya
normal
Koefisien gesek s adalah angka perbandingan antara gaya gesek statik maximum
dengan gaya normal
Koefisien gesek k adalah angka perbandingan antara gaya gesek kinetik dengan
gaya normal
Contoh Soal 1:
1.a). Apabila benda R yang tidak diketahui massanya menarik benda P dan Q
sehingga semua bergerak bersama-sama dengan kecepatan konstan, tentukan massa R
b). Jika massa benda R diganti dengan benda lain yang besar massanya 300kg,
hitung besar percepatan bersama “a”
NQ T
Np
P Q
R
WQ
Npsin30 Npcos30
WP WR = mR.g
100kg Q 100kg
P 0,5
0,5
30o g = 9,8 m/s2 v konstan
R
37
Contoh Soal 2:
Jika benda A,B, dan C bergerak bersama-sama dengan percepatan a = 2m/s2,
tentukan besar massa benda A yang belum diketahui!
100kg
C
B
A =0,2
30o 200kg
=0,4
Contoh Soal 3:
. Benda P,Q, dan R bergerak bersama-sama dengan kecepatan v konstan, tentukan
massa benda Q seperti pada gambar berikut :
200kg Q
P v konstan
R
60o 200kg
30o
38
Tikungan Datar
Mobil bergerak melingkar pada suatu tikungan datar berjari-jari R. Jika koefisien
gesekan statik antara roda dan jalan adalah s , berapa kecepatan maksimum (v max
m) mobil agar tetap pada jalur tikungan tersebut dengan tidak tergelincir ?
Jawab : Anggap gambar kotak kecil adalah mobil yang sedang berbelok di tikungan
W = Berat mobil ; N = Gaya Normal ; f = Gaya Gesek mobil pada jalan, dimana arah
gaya gesek menuju ke pusat kelengkungan tikungan berjari-jari R.
N Percepatan ac = v2/R kearah pusat kelengkungan
harus disebabkan oleh gaya gesek f = s.N, maka
f Fx = f = s.N m.v2/R , sedang Fy=N-m.g
=0
Disini f diperlukan untuk menjaga agar mobil tetap
W = m.g bergerak dalam lintasan lingkaran.
Besar gaya gesek f akan bertambah dengan bertambahnya kecepatan, tetapi gaya
gesek maksimum yang tersedia adalah f max = s.m.g yang mana merupakan harga
konstan, dan ini menentukan kecepatan maksimum mobil agar tidak tergelincir. Maka
jika f max disubstitusikan ke persamaan f dan v maximum ke persamaan v diperoleh :
s.m.g = m.v2max / R Diperoleh : v max = √s.g.R
Tikungan Miring
. Apabila sebuah mobil bergerak melingkar pada suatu tikungan miring, meskipun
jalan licin (tanpa gesekan), mobil dengan kecepatan tertentu bisa berbelok tanpa
tergelincir. Jadi terdapat korelasi antara kecepatan mobil v dengan sudut kemiringan
suatu tikungan. Jelaskan korelasi v dan sudut !
39
Ncos N
Nsin
W=m.g
Kotak kecil ditengah tikungan jalan miring adalah mobil yang sedang melaju dengan
kecepatan v, sedang N adalah gaya normal pada mobil yang arahnya tegak lurus
terhadap permukaan jalan miring. Secara trigonometris dapat dibuktikan bahwa besar
sudut pada mobil sama dengan sudut kemiringan jalan. Pada keadaan disini,
penyebab gaya m.v2/R adalah : N sin jadi : Fx = N sin = m.v2/R ......(1)
Fy Ncos
m.g N = m.g/ cos
Harga N ini dimasukkan ke persamaan (1) diperoleh : (m.g / cos sin = m.v2/R ,
maka diperoleh : tg v 2/ g.R
Dalam merancang jalan mobil ataupun kereta api, tikungan sering dimiringkan untuk
kendaraan dengan kecepatan rata-rata. Jadi jika jari-jari kelengkungan tikungan R =
230 m dan kecepatan v = 25m/s maka sudut kemiringannya adalah :
tg v 2/ g.R = arc tg {(25)2/ 9,8.230} =
15o
40
6. ENERGI DAN KERJA
6.1. Energi (E)
Energi didefinisikan sebagai kemampuan untuk melakukan kerja (usaha).
Berbagai macam bentuk energi antara lain: energi mekanik, kimia, elektromagnetik,
panas, nuklir, cahaya, dan sebagainya. Disini hanya akan dibahas energi mekanik.
Energi suatu benda diukur berdasarkan kemampuan kerja yang dapat dilakukan, oleh
karenanya satuan energi sama dengan satuan kerja yakni joule (J)
Energi Mekanik banyak macamnya, ada dua yang penting yakni :
6.1.1. Energi Potensial
Energi Potensial merupakan energi yang dimiliki oleh benda karena posisinya,
contoh: 1. Benda yang berada pada ketinggian tertentu diatas permukaan bumi :
Ep = m.g.h
Ek = 0
Ep = m.g.h’
Ek = ½ m.v2
h h’ v
Ek = ½ m.v2max
7
Ep = 0
Gambar 6.1 vmax
2. Pegas yang ditarik atau ditekan dengan gaya F tertentu sejauh x :
x
F Ep = ½ k.x2
Gambar 6.2
k = konstanta pegas ; x = simpangan dari posisi mula-mula
41
6.1.2. Energi Kinetik
Energi Kinetik merupakan energi yang dimiliki oleh benda akibat geraknya. Semua
benda bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v, mempunyai energi kinetik
yang besarnya ½ mv2
Gambar 6.3 v Ek = ½ mv2
6.2. Kerja (W)
Kerja didefinisikan sebagai hasil perkalian antara gaya F yang beraksi terhadap
Suatu benda dengan lintasan s dari benda tersebut dalam arah yang sama.
Bila sebuah benda ditarik dengan gaya F sejauh s, maka besar kerjanya adalah :
F W = F coss
Fcos
s
Gambar 6.4
Hubungan antara Kerja dan Energi
Jika sebuah benda bermassa m ditarik dengan gaya F dalam arah horizontal sejauh x
dengan kecepatan awal vo, kemudian mendapat percepatan a sehingga dalam waktu t
kecepatannya berubah menjadi vt, maka Kerja W = F.x = m.a.x
m
x = v.t = (vo+vt) t ; a = vt-vo ; maka W = m(vt-vo)(vo+vt) t sehingga :
2 t t 2
Kerja W = ½ m.vt2 - ½ m.vo
2
(Kerja = Energi Kinetik akhir – Energi Kinetik awal)
Untuk sebuah benda jatuh, besar energi kinetik maupun energi potensialnya akan
berubah-ubah pada setiap tempat sebagai fungsi dari ketinggian. Ketika energi
kinetiknya membesar maka energi potensialnya mengecil, demikian pula sebaliknya
sehingga besar rata-rata Energi Kinetik = rata-rata Energi Potensial. Dengan
demikian maka besar kerja yang dilakukan oleh benda juga dapat dinyatakan :
42
Kerja : W = m.g.h2 – m.g.h1
(Kerja = Energi Potensial ditempat 2 – Energi Potensial ditempat 1)
Demikian pula pada gerak pegas maka : Kerja W = ½ k.x22 - ½ k.x1
2
(½ kx22 = Energi Potensial ditempat 2, sedang ½ kx1
2 = Energi Potensial ditempat
1)
Contoh Soal 1 :
Sebuah mobil menarik beban bermassa 2000kg dengan gaya F sejauh 4000m dan
melaju dengan kecepatan konstan. Jika koefisien gesek kinetik sepanjang jalan 0,4
dan g =9,8m/s2, tentukan besar kerja yang dilakukan oleh mobil ; hitung pula besar
kerja oleh gaya gesek!
F
30o
Contoh Soal 2 :
2000kg
Seorang dari helikopter berketinggian 200m menarik beban bermassa 100kg dari
permukaan bumi kearah atas sehingga beban bergerak dengan percepatan 4m/s2.
Tentukan : a. Kerja yang dilakukan oleh penarik
b. Kerja yang dilakukan oleh bumi
c. Kerja yang dijalani oleh beban tsb
d. Kecepatan akhir beban tersebut.
43
.
a = 4m/s2
200m
g=9,8m/s2
Contoh Soal 3 : F Sebuah benda bermassa 200kg ditarik dengan v konstan gaya F sejauh 500m dengan membentuk sudut 60o terhadap bidang horizontal. Jika besar 60o koefisien gesek kinetik k = 0,2 hitung besar kerja yang dilakukan oleh penarik! k=0,2 ( g = 9,8m/s2 )
100kg
200kg
Contoh Soal 4 : B Jarak dari A ke B adalah 200m F Seseorang menarik peti dengan gaya F dengan kecepatan konstan dari A ke B 100kg Tentukan besar kerja (usaha) yang di k=0,5 lakukan oleh orang tersebut ! 30o ( g = 9,8m/s2 ) A
44
7. MESIN-MESIN ANGKAT 7.1. Pengantar
Mesin didefinisikan sebagai alat untuk transformasi gaya, yakni merubah besar
maupun arah gaya. Pada masa sekarang, penggunaan mesin sangat mendominasi
berbagai kegiatan manusia di berbagai bidang, seperti : Industri, Transportasi,
Pertanian, bahkan Kedokteran dan Pendidikan, serta banyak bidang yang lain. Di
dunia Teknik Sipil, mesin pada umumnya digunakan sebagai alat penunjang untuk
melaksanakan kegiatan pembangunan suatu obyek, misalnya gedung, jembatan, jalan
raya, terminal, dan sebagainya. Sesuai dengan kebutuhan di lapangan, mesin mesin
yang banyak diperlukan adalah berupa mesin yang berfungsi mengangkat dan
memindahkan benda-benda bermassa besar seperti beton, baja, balok kayu, batu,
lempengan besi, dan bahan-bahan bangunan lainnya. Oleh karena itu, digunakan
mesin angkat yang berfungsi untuk kelancaran dan kemudahan pelaksanaan suatu
8
bangunan. Terdapat banyak jenis mesin angkat, semakin besar nilai efisiensi suatu
mesin yang digunakan, tentu semakin baik.
Ada beberapa besaran yang digunakan untuk menunjukkan ukuran kemampuan
mesin, yakni :
7.2. M.A.(Mechanical Advantage): merupakan harga perbandingan antara besar
gaya beban yang diangkat dengan gaya yang digunakan untuk mengangkat .
Fo = Gaya beban yang diangkat
(Gaya output = berat beban)
Fi = Gaya yang digunakan untuk
mengangkat (Gaya inp
7.3. D.R.(Distance Ratio): merupakan harga perbandingan antara panjang yang
digunakan untuk mengangkat, dengan panjang yang ditempuh oleh beban
45
Si = Panjang yang digunakan
untuk mengangkat
(Panjang input)
So = Panjang yang ditempuh
oleh beban (Panjang output)
Menurut hukum kekekalan energi, apabila suatu kerja diberikan kepada sebuah sistim
(kerja input) maka kerja yang dihasilkan oleh sistim tersebut (kerja output) besarnya
haruslah sama, tentu dengan catatan tidak ada energi yang hilang dalam proses
tersebut (Sebenarnya tidak ada energi yang hilang, hanya berubah menjadi bentuk
energi lain yang dalam kondisi tertentu merugikan fungsi mesin, misalnya: berubah
menjadi panas akibat gesekan). Sehingga apabila dalam proses tersebut dianggap
tidak ada energi yang hilang (mesin dianggap ideal), maka berlaku persamaan :
M.A = Fo/Fi
D.R. = Si/So
Fo.So = Fi .Si
FoSo = Kerja output
Fi.Si = Kerja input
Persamaan ini bentuknya dapat dirubah menjadi :
Sehingga :
Efisiensi didefinisikan sebagai harga perbandingan antara besar kerja output dengan
besar kerja input (dinyatakan dalam persen), sehingga :
0 <
46
Suatu kenyataan bahwa pada sebuah mesin, senantiasa terdapat faktor-faktor yang
merugikan kerja mesin, misalnya gesekan, panas, kelembaban, korosi, dan lain
sebagainya yang tidak diinginkan, sehingga menyebabkan efisiensi mesin tidak
pernah dapat mencapai 100 %, sebagaimana yang dinyatakan dalam hukum
thermodinamika. Hal-hal yang merugikan kerja mesin akan merubah besarnya harga
M.A., tetapi tidak berpengaruh terhadap harga D.R. (Penjelasan dari pernyataan ini
dapat dibaca pada pembahasan terhadap katrol tunggal di halaman selanjutnya).
7.4. Macam macam mesin angkat
Beberapa jenis mesin angkat yang akan dibahas dan banyak digunakan untuk
menunjang kegiatan dalam bidang teknik sipil adalah : Katrol tunggal ; Katrol Ganda,
meliputi : Katrol Sistim Pertama, Katrol Sistim Kedua, dan Katrol Sistim Ketiga ;
Fo/Fi = Si /So M.A. = D.R.
Efisiensix 100 % D.R.
Katrol diferensial Weston ; Roda Poros ; Roda Poros Diferensial ; Dongkrak Sekrup
Sederhana ; Bidang Miring ; Kerekan Ketam Tunggal ; Kerekan Ketam Ganda ; Roda
Cacing.
a. Katrol Tunggal
Mesin sederhana ini dalam keadaan ideal mempunyai
harga M.A = 1, yang diperoleh dari Fo / Fi , dimana :
besar gaya Fi yang digunakan untuk mengangkat beban
W (sebagai gaya output Fo) besarnya sama dengan besar
So Si Fo . Demikian pula harga D.R. juga = 1 yang diperoleh
dari Si/So, karena untuk menaikkan W setinggi So= x m
Fo harus menarik Si sepanjang x m juga. Dalam keadaan
Fi seperti ini maka M.A. = D.R. (Perhatikan: Fo = W)
47
Tetapi keadaan menjadi lain apabila kondisi mesin tidak ideal, misalnya katrol
tersebut sudah karatan yang menyebabkan roda sukar berputar akibat gesekan.
Dalam keadaan demikian maka bisa terjadi bahwa untuk mengangkat beban W
yang beratnya misal 1000N ( sebagai Fo ), diperlukan gaya Fi yang lebih besar
dari 1000N karena sebagian gaya Fi digunakan untuk melawan gaya gesek pada
roda. Namun meski kondisi katrol demikian, tidak mempengaruhi harga D.R.
karena, jika tali Si bisa ditarik sepanjang x m, maka beban W tetap naik setinggi
x m. Dikatakan bahwa, gaya luar hanya berpengaruh terhadap harga M.A. saja.
b. Katrol Ganda
Sistim Pertama :
DR = Jarak yang digerakkan oleh kerja
W
Jarak yang dijalani oleh beban
4
T3
DR = 2n ; dimana n = jumlah roda katrol
T2 3 3 Fi bebas, disini n ada 3 buah
( Katrol tetap yakni no.4, tidak dihitung)
T1 2 Dalam keadaan ideal, MA = DR, maka
MA = Fo/Fi = W/Fi = Si/So = 2n
1
Jika massa katrol bebas (nomor 1,2,dan 3)
cukup besar, maka perlu dihitung juga!
Katrol tetap ( nomor 4) tidak berpengaruh
48
Perhatikan, jika mesin ideal maka MA=DR, tetapi jika mesin tidak ideal, maka :
hubungan antara MA dan DR adalah :
fisiensiM.A. x 100% ( 0<<1)
DR
Sistim Kedua :
Untuk menentukan MA disini, caranya
dengan menghitung jumlah tali yang me
nahan beban, disini ada 4 tali, maka :
jika mesin ideal, MA = Fo/Fi = Si/So = 4
1 2 3 4 5 Fi ( tali nomor 5 tidak dihitung karena
sebenarnya hanya merupakan kelanjutan
dari tali 1 yang sudah dihitung)
W
Disini jumlah tali yang menahan
beban ada 5 tali, maka :
Fi MA = Fo/Fi = Si/So = 5
1 2 3 4 5 (tali nomor 5 harus dihitung karena
ikut menahan beban)
49
MA = 3 Fi MA = 4
Fi
Sistim Ketiga :
W
W
W W
W = T1+T2+T3+T4
4 T1 = Fi
T4 T2 = 2T1 = 2Fi
3 T3 = 2T2 = 2(2Fi) = 22Fi
T4 = 2T3 = 2(22Fi) = 23Fi
T3 W = Fi+2Fi+22Fi+23Fi
2 W/Fi = (1+2+22+23+…2n)
T2 maka untuk n buah katrol :
1 MA =Fo/Fi =W/Fi = 2n-1
T4 T3 T2 T1 T1 (disini n = seluruh katrol)
Fi
50
Katrol Diferensial Weston :
R Jari-jari roda besar adalah R, sedang
jari-jari roda kecilnya r. Jika tali di
Fi tarik dengan gaya Fi sehingga roda
1 2 terputar satu kali maka berarti :
panjang tali Si yang ditarik = 2R.
Fo Maka tali 1 naik sejauh 2R juga,
sedang tali 2 turun sejauh 2r. Ini
membuat beban W naik setinggi :
W
W
9
2 R-2 r = R-r = So . Dengan
2
Demikian,MA = Si/So = 2R/( R-r) , atau : MA = 2R/(R-r)
Roda Poros :
R
r Jika tali pada silinder besar ditarik
dengan gaya Fi sehingga silinder ter
Fi putar 1 kali, berarti panjang tali yang
ditarik = 2R (sebagai Si), dan beban
W pada silinder kecil naik setinggi
r R 2r (sebagai So). Dengan demikian,
M.A.=Fo/Fi =Si/So=2R/2r = R/r
51
Roda Poros Diferensial :
r R Pada saat tali ditarik dengan gaya Fi
t sehingga semua silinder terputar 1 kali,
maka Si = 2R. Adapun tali 2 pada
1 2 silinder tengah naik sepanjang 2r,
Fi sedang tali 1 pada silinder kecil turun
sepanjang 2t, ini membuat beban W
naik setinggi (2r-2t)/2 = r-t = So
MA = Fo/Fi = Si/So= 2R/r-t)
atau : MA = 2R/r-t)
W
W
R r t
Dongkrak Sekrup :
W = berat beban yang diangkat
L = panjang lengan untuk kerja
d L (Keliling putarannya=L=Si)
d = jarak antara gigi sekrup=So
Maka :
MA=Fo/Fi = Si/So = L/d
52
Bidang Miring :
L = panjang bidang miring AB
h = tinggi dari C ke B
Fi B Gaya Fi yang bergerak dengan
L kecepatan konstan besarnya :
Wsin h sama dengan Wsin, sedang
W Wcos beban yang dibawa = W =
Fo
A C AMA = Fo/Fi = W/Wsin
Ww
Jadi: AMA=1/sinL/h
Kerekan Ketam Tunggal :
n1 = jumlah gigi di roda 1
n2 = jumlah gigi di roda 2
L n1 L = panjang gagang pemutar
r = jari2 silinder tempat beban
W=beban yang diangkat=Fo
r Fi=gaya input pada gagang
Dalam 1 putaran, Si = 2L
n 2 Jumlah putaran roda 1 =1 kali
Jumlah putaran roda 2= n1/n2
=jumlah putaran silinder beban
maka beban W naik setinggi :
2r x n1/n2 = So, dengan
demikian MA=Fo/Fi=Si/So =
2L /( 2r x n1/n2)= L.n2/r.n1
MA=Fo/Fi=Si/So=L.n2/(r.n1)
53
Kerekan Ketam Ganda :
n4
Dalam 1 putaran gagang,maka Si=L
L Jumlah putaran oleh roda 4 = 1 kali
Jumlah putaran roda 3 = n4/n3 kali
n3 n2 Jumlah putaran roda 2 = n4/n3 kali
Jumlah putaran roda 1 = n2/n1 x n4/n3
Jarak yang ditempuh beban W =
W
r
r x (n2/n1) x (n4/n3) = So
n1 MA=Fo/Fi=Si/So=
L/
(r x n2/n1 x n4/n3)
Jadi MA = L.n1.n3/(n2.n4)
Keterangan : n4,n3, n2, dan n1 masing-masing adalah jumlah gigi yang ada di
roda 4,3,2, dan 1, sedang r = jari-jari silinder tempat beban
Roda Cacing :
C K R = jari-jari roda kerja K
C = cacing berulir
R r = jari-jari silinder beban W
r n = jumlah gigi roda cacing
n Dalam satu kali putaran roda-
Fi kerja K, jarak yang ditempuh
adalah R = Si
54
Jika satu putaran roda K menyebabkan roda cacing bergeser 1 gigi, maka : silinder
beban akan terputar 1/n kali, dan jarak yang ditempuh oleh beban = So = r/n ; maka
:MA=Fo/Fi=Si/So=R/(r/n) , Jadi: MA = R.n/r
Contoh Soal 1 :
Tentukan besar gaya Fi yang diperlukan untuk mengangkat beban 45000N, tentukan pula besar gaya tegangan tali T3! T4
W
w
T3
T2
T4 T3 T2 T1 T1 Fi
Contoh Soal 2 : Pada sebuah Kerekan Ketam Ganda, panjang L=1 m n1=300 gigi; n2=100 gigi ; n3=400 gigi ; n4= 200 gigi ; n4 adapun jari-jari tabung tempat beban = r = 0,2m Hitung besar gaya Fi yang diperlukan untuk meng- angkat beban seberat 30000N! L n3 n2
n1
r
55
8. MOMENTUM DAN TUMBUKAN Sebelum penjelasan terkait dengan momentum, terlebih dahulu akan dibahas
pengertian tentang pusat massa dan pusat berat.
Pusat massa : adalah suatu titik pada benda dimana seluruh massa benda dapat
dianggap terpusat pada titik tersebut.
4500
30000N 10
Pusat berat : adalah suatu titik pada benda dimana seluruh berat benda dapat
dianggap terpusat dititik tersebut. Pusat berat merupakan fungís gravitasi.
Misal ada dua partikel (benda titik) yang massa masing-masing adalah m1 dan m2
berada pada koordinat (x1,y1) dan (x2,y2) dari suatu titik acuan 0, maka pusat
massanya adalah (x pm, y pm) dimana harganya diperoleh dari persamaan :
y m1(.x1, y1)
x pm = (m1.x1+ m2.x2) / (m1 + m2)
y pm = (m1.y1 + m2.y2) / (m1 +m2)
m2(.x2 ,y2)
x
Gambar 8.1
Untuk sejumlah partikel berlaku persamaan :
x pm = mi xi /mi =(m1.x1 + m2.x2 + m3.x3 +.mn.xn) /m1 + m2 + m3 +.mn
y pm = mi yi /mi =(m1.y1 + m2.y2 + m3.y3 +.mn.yn) /m1 + m2 + m3 +.mn
Contoh Soal 1:
Tentukan letal pusat massa dari tiga partikel dengan massa m1 = 1kg, m2 = 2kg, dan
m3=3kg yang terletak pada titik-titik sudut segitiga sama sisi yang panjang sisinya 1m
56
y Jawab : x pm = mi xi /mi
m3 y pm = mi yi /mi
x pm =(1.0 + 2.1 +3.1/2) /1+2 +3 = 0,8533 m
1m 1m y pm =(1.0 + 2.0 +3.0,866) /1+2 +3 = 0,433 m
Jadi Pusat Massa terletak di titik :
30o P ( 0,8533 ; 0,433 )
m1 1/2m 1/2m m2 x
Gambar 8.2
Contoh Soal 2: Pada tiga buah partikel dengan massa : m1 (-2,2) = 4 kg
m2 (4,1) = 8 kg
m3 (1,-3) = 4 kg
bekerja gaya luar yang besarnya pada masing masing adalah :
F1 = 6N ; F2 = 16N ; F3 = 14N
Tentukan percepatan dari pusat massa sistim dan tentukan pula arahnya!
F2
m1 (-2,2) = 4 kg
F1 a pm
m2 (4,1) = 8 kg
P 63o
m3 (1,-3) = 4 kg
F3
Gambar 8.3
57
Jawab : Letak pusat massa sistim diperoleh sebagai berikut :
x pm =(-2.4 + 4.8 +1.4) /4+8 +4 = 1,75m
y pm =(2.4 + 1.8 + -3.4) /4+8 +4 = 0,25m
Pusat masanya ada pada titik P (1,75;0,25) ; Adapun besar gaya resultan pada sumbu
x = Fx = 14-6 = 8 N ; Besar gaya resultan pada sumbu y = Fy = 16 N
Gaya Fx dan Fy saling tegak lupus (membentuk sudut 90º, maka besar gaya resultan
yang bekerja pada pusat massa sistim adalah FR = Fx2 + Fy2 = √82 + 162 = 17,89 N
Dengan demikian besar percepatan pusat massa = a pm = FR/m = 17,89/16 = 1,12m/s2
Gaya resultan FR ini membentuk sudut dengan sumbu x yang besarnya dapat dicari,
Tg = Fy/Fx = 16/8 = 2, maka besar sudut = 63o
Menentukan Pusat Massa Benda dengan Distribusi Massa Kontinyu :
Apabila benda yang akan ditentukan pusat massanya berukuran relatif besar
(bukan bentuk partikel) maka digunakan persamaan : r pm = ∫ r dm / ∫ dm
r pm = posisi pusat massa terhadap titik acuan 0 ; dm = elemen massa
Komponen-komponen dari r pm dapat ditentukan dari :
z dm x pm = ∫ x dm/ ∫dm y pm = ∫ ydm / ∫dm
z pm = ∫ z dm/ ∫ dm r
0 x y Gambar 8.4
Contoh menentukan pusat massa sebuah batang kecil tipis dengan rapat massa
dan panjang batang L :
58
dx 0 L
x Gambar 8.6 Diambil elemen massa dm yang terletak pada jarak x. Jika tinjauan hanya 1 dimensi
kearah memanjang saja maka rapat massa batang adalah = massa per panjang = ,
sedang elemen panjangnya dx, maka elemen massa dm = dx . dengan demikian
pusat massa batang ini x pm = ∫ x dm / ∫ dm = ∫ xdx / ∫dx = ∫ x dx / ∫ dx
x pm = [1/2 x2] 0 L / [ x ] 0
L = ½ L2/L = ½ L
8.1. Momentum Linier (P)
Momentum Linier didefinisikan sebagai hasil perkalian antara massa (m) dari suatu
benda yang bergerak dengan kecepatan (v) nya. Untuk menyederhanakan
pembahasan, benda obyek diasumsikan sebagai partikel (benda berukuran relatif
kecil)
m v
Gambar 8.7 P = m x v (kg.m/s)
Hukum Newton menyatakan bahwa F = m (dv/dt) F.dt = m.dv. Jika benda
bermassa m mula-mula bergerak dengan kecepatan v dan kemudian dalam waktu t
kecepatannya menjadi v’, maka :
F ∫ot dt = m ∫v
v’dv
untuk benda yang bergerak dari waktu t =0 sampai ke t, dan benda bergerak dengan
kecepatan mula-mula v dan kecepatan akhir v’ maka hasil integralnya adalah :
F.t = m.v’ – m.v ; ini dinamakan impuls I, jadi : I = F.t = m.v’ – m.v
(m.v’ = momentum akhir ; m.v = momentum mula-mula)
m m
v v’
Gambar 8.8
59
8.2. Tumbukan
Dua benda dapat bertumbukan apabila keduanya bergerak berlawanan arah, keduanya
bergerak searah dengan kecepatan berbeda, atau salah satu benda bergerak sedang
benda yang lain diam.
11
Dua buah partikel masing-masing bermassa m1 dan m2 yang bergerak dan akan
bertumbukan, masing-masing sudah mempunyai kecepatan, momentum, dan energi
kinetik sebagai berikut :
m1 m2
Ek1=1/2m1v12 v1 v2 Ek2=1/2m2v2
2
P1=m1v1 P2=m2v2
m2
F2 m1 F1
Ek1’=1/2m1v1’2 m1 m2 Ek2’=1/2m2v2’2
v1’ v2 ’
Gambar 8.9
Pada saat terjadi tumbukan, benda 1 memberi gaya F1 kepada benda 2, demikian pula
benda2 memberikan gaya F2 kepada benda 1, ini adalah gaya : aksi = -reaksi,
sehingga :
F1 = - F2 . Waktu tumbukan pada benda 1 = waktu tumbukan pada benda 2 sehingga :
F1.t = - F2.t I1 = - I2 . Atau : m1v1’- m1v1= - (m2v2’- m2v2)
m1v1’+ m2v2’ = m1v1+ m2v2
Jadi, apabila gaya yang terjadi pada peristiwa ini hanya gaya yang diakibatkan oleh
peristiwa tumbukan saja (gaya luar seperti gesekan udara, gravitasi, dan sebagainya
diabaikan) maka total momentum kedua benda setelah tumbukan = total momentum
kedua benda sebelum tumbukan.
60
Adapun, apakah total energi kinetik sebelum tumbukan sama dengan total energi
kinetik setelah tumbukan, sangat tergantung kepada jenis tumbukan yang terjadi
sebagai berikut :
1. Tumbukan Elastis Sempurna
a). m1v1’+ m2v2’ = m1v1+ m2v2
b).1/2m1v1’2 +1/2m2v2’2 = 1/2m1v12 +1/2m2v2
2
(Kedua persamaan “a” dan “b” berlaku semua)
2. Tumbukan Elastis Sebagian
a). m1v1’+ m2v2’ = m1v1+ m2v2
b).1/2m1v1’2 +1/2m2v2’2 = 1/2m1v12 +1/2m2v2
2
(Hanya berlaku persamaan “a” saja )
3. Tumbukan Non Elastis Samasekali
a). m1v1’+ m2v2’ = m1v1+ m2v2
b).1/2m1v1’2 +1/2m2v2’2 = 1/2m1v12 +1/2m2v2
2
(Hanya berlaku persamaan “a” saja)
Beda nomor 2 dengan nomor 3 adalah : Pada tumbukan non elastis sama sekali (no.3)
besar kecepatan kedua benda setelah tumbukan adalah sama, jadi pada nomor 3 ber-
laku persamaan : v1’2 = v2’2 (Persamaan ini tidak berlaku untuk no.2)
Hukum Kekekalan Momentum
Misalkan dalam suatu sistim terdapat sejumlah n partikel yang masing masing
mempunyai massa m dan kecepatan v, dan antar partikel dapat saling berinteraksi
satu sama lain. Masing masing partikel memiliki kecepatan dan momentum. Apabila
partikel1bermassa m1 dan kecepatan v1 maka momentumnya m1.v1, partikel 2
bermassa m2 dan kecepatan v2 dengan momentum m2.v2, demikian juga untuk
partikel-partikel yang lain.
61
Dengan demikian sistim secara keseluruhan mempunyai momentum total PTot. Besar
PTot merupakan jumlah vektor semua momentum partikel dalam sistim tersebut, jadi :
PTot = P1+P2+P3…Pn = m1.v1+m2.v2+m3.v3+…. m.n.vn
sehingga : PTot = M.vpm , dmana M = massa total sistim ; vpm = kecepatan pusat massa.
Jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada sistim (misal gesekan udara, gravitasi
bumi,dll) maka jumlah momentum dalam sistim tersebut constan. Gaya dalam (gaya
antar partikel dalam sistim) tidak akan merubah besar momentum total PTot karena
saling meniadakan. Jika ada gaya luar yang bekerja pada sistim maka :
F luar = M.apm
Fluar = jumlah vektor semua gaya luar ; .apm = percepatan pusat massa.
Sistim dengan massa yang berubah
v (terhadap bumi)
Ditinjau suatu gerakan yang terjadi pada sebuah roket
Mula-mula roket memancarkan gas pada ekornya, ini
Ini adalah gaya aksi oleh roket terhadap gas. Pancaran
gas melakukan gaya reaksi terhadap roket sehingga
menggerakkannya. Kedua gaya ini adalah gaya dalam
untuk sistim yang terdiri dari roket dan gas. Gas mem
M peroleh momentum kearah belakang sedang roket mem
peroleh momentum dalam harga yang sama ke depan.
Jika massa total roket mula-mula M dan kecepatannya
terhadap bumi adalah v sedang kecepatan pancaran
gas terhadap roket adalah u, maka kecepatan pancaran
dM/dt gas terhadap bumi adalah v+u .
Gb.8.10 Karena massa bahan bakar gas M akan terus berkurang
u ( terhadap roket) berarti M adalah variable, demikian pula v juga variabel
dengan demikian laju perubahan momentum roket :
dP/dt = d(Mv)/dt = Mdv/dt + vdM/dt
62
Adapun laju perubahan momentum gas terpancar : dP/dt = - (v+u) dM/dt
Tanda minus digunakan untuk menunjukkan perubahan massa dari gas terpancar
Adalah negatif terhadap perubahan massa roket. v+u adalah kecepatan dari massa
gas terpancar, oleh karena itu –(v+u)dM/dt adalah laja tertbentuknya momentum
pancaran gas. Laja total dari perubahan momentum sistim adalah jumlah dari kedua
faktor ini dan sama dengan gaya luar yang bekerja pada sistim, dengan demikian :
F = Mdv/dt + vdM/dt – vdM/dt – udM/dt = Mdv/dt –udM/dt
Gaya udM/dt disebut gaya dorong pada roket. karena dM/dt bertanda negatif maka
gaya dorong mempunyai arah berlawanan dengan arah kecepatan mancar u.Gaya luar
F dapat berupa gaya gravitasi, gesekan udara pada roket, dan sebagainya. Ketika
roket sudah lepas dari Medan gravitasi dan bebas dari gesekan dengan udara maka
gaya luar F = 0, sehingga persamaan menjadi : F + udM/dt =Mdv/dt, karena F=0
maka:udM/dt = Mdv/dt dM = elemen massa ; dt = eleven waktu.
Contoh Soal 1. Sebuah senapan mesin dipasang diatas panser diam yang dapat
menggelinding bebas tanpa gesekan diatas jalan rata. Massa total sistim 10000kg.
Kemudian senapan memuntahkan peluru-peluru bermassa 100 gr dengan kecepatan
500m/s relatif terhadap passer, sedang banyaknya peluru yang ditembakkan per
sekonnya 10 butir. Tentukan besar percepatan yang dialami panser akibat
menembakkan peluru-peluru tersebut ¡
dM/dt
M
Gambar 8.11
63
Jawab : Karena gesekan dengan gaya luar bisa diabaikan (F = 0) maka :
u.dM/dt = M.dv/dt disini u = kecepatan peluru terhadap panser yang diam,
berarti sama dengan kecepatan peluru terhadap acuan bumi. Maka u=500m/s,
M = 10000kg ; massa peluru = 100 g = 0,1 kg Dalam satu sekon ada 10
butir peluru, berarti dM/dt = (0,1)(10)/1 = 1 kg/s ; 500.1 = 10000.dv/dt
500 = 10000.a Jadi besar percepatan yang dialami passer = a = 0,05m/s.
Contoh Soal 2: sebuah truk bermassa 10.000kg yang bergerak dengan kecepatan
8m/s menumbuk peti diam bermassa 2000kg. Tentukan besar energi kinetik yang
hilang setelah tumbukan jika tumbukan yang terjadi Non Elastis Samasekali !
Kunci : m1.v1+m2.v2 = (m1+m2)v’
8m/s 10.000(8)+2000(0)=(10.000+2000)v’
Ek hilang = Ek sebelum – Ek sesudah
10000kg 2000kg
Contoh Soal 3: Truk bermassa 10.000kg yang bergerak dengan kecepatan 3m/s
bertabrakan dengan mobil bermassa 4000kg yang bergerak dengan kecepatan 5m/s
pada arah yang berlawanan. Apabila tumbukan yang terjadi adalah Non Elastis
Samasekali, tentukan kecepatan akhir keduanya setelah tumbukan!
Kunci : m1.v1+m2.(-v2) = (m1+m2)v’
10000kg 10.000(3)+4000(-5) =(10.000+4000)v’
3m/s 5m/s 4000kg
Pada tumbukan elastis sempurna, berlaku hukum kekekalan momentum dan
kekekalan energi kinetik yakni :
a). m1v1’+ m2v2’ = m1v1+ m2v2 m1v1’ - m1v1 = m2v2 - m2v2’
m1 ( v1’ - v1) = m2 ( v2 - v2’ ) ….….(1)
b).1/2m1v1’2 +1/2m2v2’2 = 1/2m1v12 +1/2m2v2
2
64
Apabila angka ½ pada tiap suku dicoret maka : m1v1’2 +m2v2’2 = m1v12 +m2v2
2
sehingga :
m1 ( v1’2 - v12) = m2 ( v2
2 - v2’2 ) m1 ( v1’2 - v12) = m2 ( v2
2 - v2’2 )
atau : m1 ( v1’ - v1) ( v1’ + v1) = m2 ( v2 - v2’ ) ( v2 + v2’ ) …..(2)
Apabila persamaan (2) dibagi dengan persamaan (1) maka diperoleh :
(v1’ + v1) = (v2 + v2’) , maka : v1’ = v2 + v2’- v1 …….……(3)
v2’ = v1’ + v1 - v2 …………(4)
Apabila persamaan (3) dimasukkan ke persamaan (1) maka diperoleh besar
kecepatan akhir benda 2 yakni v2’, sedang apabila persamaan (4)
dimasukkan ke persamaan (1) maka diperoleh besar kecepatan akhir
benda 1 yakni v1’ , jadi :
v2’ = [2m1v1’ + v2’(m2-m1)] / (m1+m2)
v1’ = [2m2v2’ + v1’ (m1-m2)] / (m1+m2)
Contoh Soal 4 Bola bermassa 1kg menumbuk bola lain bermassa sama yang diam
dengan kecepatan 10m/s. Apabila tumbukan yang terjadi adalah Elastis Sempurna,
tentukan kecepatan akhir dari masing-masing bola!
1kg 10m/s 1kg
Diam
Contoh Soal 5: Sebuah bola bermassa 1kg menumbuk benda bermassa sangat besar
dengan kecepatan 8m/s. Jika tumbukan yang terjadi adalah Elastis Sempurna,
tentukan kecepatan akhir bola tersebut!
65
1.000.000 kg
Kunci : Anggap massa benda diam = besar tak terhingga,
1kg 8m/s maka massa bola dapat diabaikan (dianggap nol)!
Diam
Contoh Soal 6 :
Sebuah peti bermassa 20 kg dilemparkan ke dalam kereta bermassa 50 kg yang
sedang dalam keadaan diam sehinga kereta bermuatan peti tersebut bergerak
horizontal. Hitung besar Energi Kinetik yang hilang pada peristiwa tumbukan tersebut!
(Tidak ada pengaruh gaya luar)!
20 kg V= 40m/s ----------- 30o---- v ’ 50kg
66
9. ELASTISITAS
12
Suatu benda yang dapat kembali ke bentuk dan ukuran semula setelah dikenai
gaya disebut bersifat elastis, sedang yang tak dapat kembali seperti bentuk dan ukuran
semula disebut bersifat plastis. Elastisitas pada benda tergantung kepada jenis
bahannya yang besar harganya dinyatakan dengan suatu konstanta. Untuk membahas
elastisitas, didefinisikan beberapa besaran terkait, antara lain : Stress(Tegangan) dan
Strain(Regangan)
9.1. Stress : didefinisikan sebagai harga perbandingan antara besarnya gaya F yang
beraksi terhadap benda dengan luas penampang lintang A dari benda tersebut.
Jadi : F/A (N/m2) (A = luas penampang lintang benda)
9.2. Strain didefinisikan sebagai harga perbandingan antara besarnya perubahan
ukuran dengan besar ukuran mula-mula.
Untuk kearah memanjang : = L/Lo (L= perubahan panjang ;Lo= panjang
semula)
Untuk kearah ruang : = V/Vo (V=perubahan volume ;Vo = volume mula-mula )
1. Pada benda yang dikenai gaya kearah memanjang (ditarik) atau kearah memendek
(ditekan) maka berlaku persamaan :
F/A = Y.L/Lo
Y: disebut Modulus Young, suatu konstanta yang harganya tergantung jenis bahan
Lo L
F A F
Gambar 9.1
2. Benda yang mengalami gaya dari berbagai arah (seperti kubus dibawah) maka
berlaku persamaan :
F/A = - B.V/Vo (Tanda negatif menunjukkan ukuran benda berkurang)
B: disebut Modulus Bulk, suatu konstanta yang harganya tergantung jenis bahan.
67
F
F F
F
F F
Gambar 9.2
3. Benda mengalami gaya geser seperti pada gambar dibawah, maka berlaku
persamaan :
F/A = S.
x A F S : Modulus Geser
y besar sudut yang terbentuk(dalam radian)
F Untuk sangat kecil maka : sin
tg
Gambar 9.3 (Sudut dalam radian!)
Maka persamaan dapat ditulis : F/A =S.tg S.x/y
Rumus-rumus untuk elastisitas diatas ini berlaku pada daerah dimana stress masih
berada dibawah batas elastis (titik b)seperti yang terlihat pada grafik hubungan antara
strain( sebagai fungsi dari stress ( pada suatu logam sebagai berikut :
F/A b a : batas proportional
(Stress ) a c b : batas elastis
c : titik dimana benda mulai
berubah secara permanen
d : batas patah
Gambar 9.4 L/Lo (Strain)
68
Contoh Soal : Silinder Logam Baja yang mempunyai Modulus Young 2.1011N/m2
dan luas penampang 0,2m2 disambungkan ke Silinder Logam Tembaga yang
mempunyai modulus Young 1.1011 N/m2 yang luas penampangnya 0,5m2 dan
panjangnya 4m. Apabila ditarik dengan gaya 1000N pada kedua ujungnya maka akan
menyebabkan pertambahan ukuran panjang kedua benda tersebut sama ( L1=L2 ).
Tentukan berapa panjang Silinder Logam Baja tersebut!
4m
1000N 1000N
X = ?
Kunci :
Dari rumus : F/A = (Y.L/Lo) diperoleh : L=F.Lo/(A.Y) karena L baja = L tembaga , maka :
F.Lo/(A.Y) baja = F.Lo/(A.Y) tembaga ¡
69
13
10. GETARAN MEKANIS Setiap gerak berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak Harmonik
(Periodik). Apabila didalam bergerak periodik suatu benda bergerak bolak balik
melalui lintasan yang sama maka gerakannya disebut sebagai GETARAN.
Bentuk getaran yang paling sederhana dikenal dengan Gerak Harmonik Sederhana.
10.1. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) :
GHS adalah gerak periodik yang terjadi apabila gaya balik dari benda yang
disimpangkan dari posisi seimbangnya adalah berbanding lurus dengan
simpangannya, sedang arah gaya balik tersebut berlawanan dengan arah simpangan.
Grafik GHS sebagai fungsi waktu sangat identik dengan grafik Gerak Melingkar
Beraturan sebagai berikut :
Persamaan umum GHS dapat dituliskan dalam fungsi sinus/cosinus
Misal : x = A cos (t + ) x = simpangan getaran (m)
A= simpangan maksimum
= Amplitudo (m)
2/T = 2f
T = periode, waktu untuk 1x
A bergetar (s)
f = frekwensi getaran (Hz)
A frekwensi sudut
alami
Gambar 0 10.1
-A
(t + ) = Fase Getaran = tempat kedudukan titik yang dicapai pada saat t .
70
m
Sudut disebut : Konstanta Fase
Dari persamaan simpangan (x) ini dapat diperoleh harga kecepatan (v) dengan cara
mendiferensialkan persamaan x ke waktu t, jadi :
Kecepatan pada saat t : v = dx/dt = d[A cos (t + )]/dt = - A sin (t +
Demikian pula dari persamaan kecepatan (v) ini dapat diperoleh harga percepatan (a)
dengan cara mendiferensialkan persamaan v ke waktu t :
Percepatan pada saat t : a = dv/dt
= d2x/dt2 = d[- A sin (t +dt = - A cos (t + )
Dari persamaan yang ada dapat dijabarkan bahwa besar periode Tnya (waktu yang
diperlukan untuk bergetar satu kali) adalah : T = 2√m/k (sekon) ; sedang
frekwensi getarannya adalah : f = 1/2√k/m (Hz) ( Ingat, f = 1/T )
Besar Energi Total yang ada pada GHS terdiri dari Energi Potensial dan Energi
Kinetik, Maka : ET = EP + Ek dimana EP = ½ k.x2 , sedang EK = ½ m.v2
Jika harga x disubstitusikan ke persamaan EP maka EP = ½ k.x2= ½ k[A cos (t + )]2
EP = ½ kA2 cos2 (t + ) ; Harga maximum dari fungsi cosinus adalah 1 maka :
EP maximum = ½ kA2
Demikian pula jika harga v dimasukkan ke persamaan EK maka :
EK = ½ m.v2 = ½ m[- A sin (t +2 = ½ m2A2sin2 (t +½ kA2sin2 (t +
Harga maximum dari fungsi sinus juga adalah 1, maka : EK maksimum = ½ kA2
Jumlah Energi Potensial + Energi Kinetik disetiap tempat besarnya sama. Ketika EP
membesar maka EP mengecil, demikian pula sebaliknya sehingga harga rata-rata
keduanya adalah sama. Ketika EP maksimum maka harga Ek adalah nol, dan ketika Ek
maksimum, harga EP adalah nol, dengan demikian maka :
Besar energi total ET = ½ kA2
71
Disini getaran diasumsikan sebagai konstan, tidak ada gaya redaman dari luar yang
menghambat gerak benda, dan tidak ada gaya paksa dari luar yang menambah besar
kekuatan gerak benda sehingga energi total getaran juga konstan .
F = Gaya Aksi = m.d2x/dt2
Fb =Gaya Balik = - k.x
(Gaya Reaksi)
Fb = - k.x ( k = konstanta pegas)
( x = simpangan pegas)
Gambar 10.2 F = m.a = m.dv/dt = m.d2x/dt2
Pada GHS ini terdapat persamaan : m.a = - k.x m.d2x/dt2 = - k.x
d2x/dt2 = - k.x/m …….(1) ( k/m = konstan ) ; dalam persamaan (1) ini,
x merupakan fungsi t dimana diferensial (turunan) dua kali dari x terhadap t
menghasilkan negative dari x tersebut. Kondisi seperti ini dipenuhi oleh
fungsi sinus maupun fungsi cosinus. Oleh karena itu maka x bisa dinyatakan
dengan persamaan yang mengandung fungsi sinus maupun cosinus, misalnya :
x =sin ; x =sint ; x =Asin(t+ ; x =cos ; x =Acos t ; x =Acost+
x =A sin(t-dan sebagainya. Oleh karena itu persamaan (1) dapat ditulis :
- A cos (t + ) = - k. Acost+m = k/m √ k/m
Karena maka √ k/m , Jadi Periode T = 2√m/k
72
m
Contoh Soal 1:
Sebuah benda bermassa 200kg bergetar mengikuti persamaan : x = 4 cos (t/3 - )
Hitung : a). Kecepatan pada saat 3 s. B). Percepatan pada saat 6s. C) Total Energinya
Contoh Soal 2:
Empat penumpang dengan berat seluruhnya 490N yang teramati menyebabkan pegas
mobil tertekan sejauh 0,1 m ketika mereka masuk ke mobil. Jika beban total yang
sekarang disangga oleh pegas mobil akibat adanya tambahan beban adalah 980N,
hitung periode getaran dari pegas mobil tersebut! ( g=9,8m/s2 )
Contoh Soal 3 :
Energi potensial benda jika bergetar sejauh 0,2m dari titik seimbangnya adalah 100J. Tentukan harga konstanta pegasnya !
Contoh Soal 4 :
4. Sebuah benda bermassa 900 kg bergetar g pegas mengikuti persamaan :
x = 5 sin ( 2t/3 - /6)
a). Hitung kecepatannya ketika benda bergetar selama 3 s?
b). Tentukan besar harga konstanta pegas k !
73
100 kg
10.2. Getaran Bebas Terredam
Getaran disini mengalami hambatan karena adanya gaya redaman dari luar
sistim,misalnya karena benda mengalami gesekan dengan zat cair. Redaman juga
berasal dari sifat inersia benda itu sendiri yang menentang terhadap perubahan
keadaan.
Fb F = Gaya Aksi = m.a = m.d2x/dt2
Fb =Gaya Balik (Reaksi) = - k.x
Fr Fr = Gaya Redaman = - b.dx/dt b = konstanta,
F dimana jika dikalikan dengan kecepatan (=dx/dt)
merupakan Gaya Redaman ; m = massa (konstan)
Gambar 10.3 Persamaan Getaran Terredam dapat dituliskan :
F = - Fb - Fr m.d2x/dt2 = - k.x - b.dx/dt
atau : d2x/dt2 = - k.x/m – (b.dx/dt)/m
d2x/dt2 + (b.dx/dt)/m + k.x/m = 0
baik b maupun m merupakan konstanta, bisa diambil harga : b/m = 2r ; k/m = 2
dimana : r = Konstanta Redaman !
maka : d2x/dt2 + 2r(dx/dt) + 2x = 0 ……(1) Ini adalah Persamaan Diferensial
Homogen Orde Dua dimana penyelesaiannya adalah : x = C.et ……...(2)
e = bilangan alam = 2,718281828… ; C dan = Konstanta Bebas
Jika persamaan (2) didiferensialkan sekali ke t diperoleh : dx/dt = C.et
Jika persamaan (2) didiferensialkan duakali ke t diperoleh : d2x/dt2 = 2C.et
74
m
14
Substitusikan harga-harga ini ke persamaan (1) maka :
2C.et + 2rC.et + 2C.et = 0 C.et ( 2 + 2r+ 2) = 0
C.et mempunyai harga, maka : 2 + 2r+ 2 = 0, ini adalah bentuk persamaan
kwadrat dari dimana r dan merupakankonstanta, yang menghasilkan harga
1r + √ (r2 – 2) dan 2r √ (r2 – 2) Maka jika harga-harga ini di
masukkan ke persamaan (2) diperoleh :
x = C1.e (r + √ (r2 – 2) t + C2.e (r √ r2 – 2) t …....…..(3)
Pers. ini bisa ditulis : x = C1.exp(r + √ (r2 – 2))t + C2.exp (r + √ (r2 – 2))t
dimana C1 dan C2 adalah konstanta. Bentuk nyata persamaan (3) ini tergantung
apakah : r2 > 2 , atau : r2 = 2 , atau : r2 < 2
Jika r 2 > 2 : maka √ (r2 – 2) adalah real dan lebih kecil dari r, menyebabkan
pangkat r + √ (r2 – 2) dan r √ (r2 – 2) persamaan (3) adalah negatif, ini
berarti perpindahan simpangan x secara kontinyu berkurang dengan waktu.
Simpangan partikel akan kembali ke posisi seimbangnya tanpa terjadi getaran.
Gerak seperti ini dinamakan OVER DAMPED
Jika r 2 = 2 : maka √ (r2 – 2) = 0, harga ini tidak memenuhi persamaan (3), oleh
karena itu kita asumsikan bahwa √ (r2 – 2) mempunyai harga, meskipun sangat
kecil, ini menyebabkan pangkat r + √(r2–2) dan r√(r2 – 2) persamaan (3)
juga berharga negatif, dan lebih negatif dari jika r 2 > 2 Maka simpangan dari
partikel akan kembali ke posisi seimbangnya lebih cepat dari jika r 2 > 2 dan
tanpa terjadi getaran. Gerak seperti ini disebut CRITICAL DAMPED.
Jika r 2 < 2 : maka harga √ (r2 – 2) adalah imajiner, disini terjadi getaran bolak
balik yang makin lama makin lemah. Maka disini terjadi GETARAN TERREDAM.
√ (r2 – 2) adalah imajiner, jadi √ (r2 – 2) = i√ (2 – r2) i = bilangan imajiner
75
i = √-1 ; √ (2 – r2) = ’ ’ ini dinamakan : frekwensi sudut getaran teredam
’=2/T’=2f’ T’=periode getaran teredam ; f’=frekwensi getaran teredam
Sehingga periode getaran teredam : T’ = 2/’ = 2 √ (2 – r2)
Maka √ (r2 – 2) = i’ ’ = √ (2 – r2) ; Harga ini dimasukkan ke persamaan (3)
maka : x = C1.e (r + i.’) t + C2.e (r i.’) t = e r.t (C1.e + i.’. t + C2.e ( i.’) t)
Jadi : x = e r.t (C1.e + i.’. t + C2.e ( i.’) t)…..(4)
Berdasarkan teori matematik, e +i. cos i sin , dan e -i. cos i
sin
Maka pers. (4) menjadi : x = e r.t (C1(cos’t + i.sin’t) + C2(cos’t - i.sin’t))
Dapat ditulis : x = e r.t (C1+C2)cos’t i(C1-C2) sin’t)
Ambil C1+C2 = a sindan i(C1-C2) = a cosdimana a dan adalah konstanta
Maka : x = e r.t (a.sincos’t a.cossin’t) sehingga dari persamaan ini
Diperoleh persamaan Simpangan Getaran Terredam x pada waktu t :
x = a. e r.t sin (’t ) ….(5)
a. e r.t = amplitudo getaran terredam ; e r.t = faktor redaman ; e = 2,71828…
(’t ) = fase getaran terredam ; r = konstanta redaman
Apabila persamaan ini didiferensialkan ke t menghasilkan persamaan Kecepatan
Getaran Teredam pada saat t , jadi :
v = dx/dt = ra. e r.t sin (’t +a. e r.t ’cos (’t + untuk r<<
maka : ra. e r.t sin (’t +dapat diabaikan, sehingga besar kecepatan v :
v = a. e r.t ’cos (’t + .....(6)
76
Grafik Simpangan Getaran Terredam sebagai fungsi waktu t :
r2 = 2 x = a. e r.t sin (’t )
r2 > 2 ( Dimana : r2 < 2 )
a +a. e r.t
t
a. e r.t
-a
Gambar 10.4
Dissipasi (hamburan) Daya P dalam Getaran Terredam :
Ketika sebuah benda mengalami getaran teredam maka energi total (ET) nya lambat
laun akan terus berkurang, yang berarti mengalami dissipasi daya, yakni ada daya
yang terhambur keluar sistim. Daya P merupakan diferensial dari energi terhadap
waktu, jadi P = dET/dt ET = Energi potensial (Ep) + Energi kinetic Ek)
ET = Ep + Ek
Ep = ½ k.x 2 , sedang Ek = ½ m.v2 ; Dari sini masing-masing energi dapat ditulis :
Ep = ½ k.x 2 = ½ k(a. e r.t sin (’t ))2 = ½ k.a2. e r.t sin 2(’t )
Ek = ½ m.v2= ½ m.(a. e r.t ’cos (’t + 2 = ½ m.a2. e r.t (’)2cos 2(’t +
Untuk r<< maka berdasarkan hubungan √ (2 – r2) = ’ , besar ’ = sehingga
Ek = ½ m.a2. e r.t 2cos 2(’t + dimana m.2 = k , sehingga persamaan ditulis :
Ek = ½ k.a2. e r.tcos 2(’t +
Diperoleh : ET =Ep+Ek = ½ k.a2. e r.t sin2(’t ) + ½ k.a2. e r.tcos2(’t +
ET = ½ k.a2. e r.t ((sin2(’t ) + cos2(’t + ET = ½ k.a2. e r.t
Jadi Besar Energi Total pada saat “ t “ adalah : ET = ½ k.a2. e r.t (joule)..(7)
Maka Daya Terdissipasi = Daya yang hilang keluar sistim
adalah P = - dET/dt = - d(½ k.a2. e r.t )/dt dengan demikian :
P = r. K.a2. e r.t (watt)…......................(8)
10.3.Getaran Paksa (Tak Terredam)
Pada peristiwa disini, getaran tidak mengalami hambatan dari gaya redaman
tetapi ada gaya paksa dari luar yang menambah kekuatan gerak benda, misal
ada benda yang bergerak-gerak diatasnya dengan gaya paksa Fp
Fp
F = Gaya Aksi = m.a = m.d2x/dt2
Fb = Gaya Balik (Reaksi) = - k.x
Fb Fp = Gaya Paksa : gaya ini merupakan fungsi
sinus/cosinus, sehingga dapat dituliskan :
Fp = Fmax sin ’’t Fmax = gaya paksa maksimum
F ’’= frekwensi sudut paksa = 2/T ”= f ”
Gambar 10.5 frekwensi sudut alami f
’’=2/T’’=2 f’’ T’’ =periode getaran paksa ; f’’ =frekwensi getaran
paksa
78
Fmax sin ’’t – k.x = m.d2x/dt2 d2x/dt2 +k.x/m = Fmax sin’’t/m….(1)
m
15
Penyelesaian dari persamaan ini adalah x = xc + xp dimana :
xc = x complementary (pelengkap) ; xp = x particular (khas)
Besar harga xc = A sin (t + ) , sedang harga xp = C sin ’’t……...(2)
(C : adalah konstanta yang merupakan Amplitudo dari simpangan getaran!)
Diferensial dari xp ke t menghasilkan : dx/dt = ’’ C cos ’’t, dan
apabila didiferensialkan sekali lagi maka : d2x/dt2 = -’’2 C sin ’’t........(3)
masukkan persamaan (2) dan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh :
-’’2 C sin ’’t + k. C sin’’t/m = Fmax sin’’t/m ; dari persamaan ini
diperoleh harga C = (Fmax/m) / ((k/m)-’’2), atau C = (Fmax/k) / ( 1-(’’)2
( Ingat, √k/m ) Dengan demikian maka penyelesaian persamaannya :
xp = (Fmax/k) sin ’’t / (1-(’’))2 sehingga solusi totalnya :
x = xc + xp = A sin (t + ) + (Fmax/k) sin ’’t / (1-(’’))2
xc = Simpangan ini bersifat transient, terjadi hanya sesaat
xp = Simpangan setelah gaya paksa beraksi terhadap benda yang bergetar
Dengan demikian maka besar kecepatan getarannya pada saat tertentu adalah :
v = dx/dt = d [(Fmax/k) sin ’’t / (1-(’’))2] / dt
Jadi besar kecepatanv = ’’ Fmax cos ’’t / k(1-
(’’))2
Jadi besar Energi total Et = Ep + Ek, dimana :
Ep = ½ kx2 = ½ k{(Fmax/k) sin ’’t / (1-(’’))2 }2
Ek = ½ mv2 = ½ m {’’ Fmax cos ’’t / k(1-(’’))2}2
79 16
10.4. Getaran Paksa Terredam Getaran disini mengalami gaya redaman yang menghambat gerakan, dan gaya
paksa dari luar yang memaksa benda untuk terus bergetar.
Fp
Fp = Gaya Paksa = Fmax sin ’’t
Fr = Gaya Redaman = - b.dx/dt
Fb F = Gaya Aksi = m.a = m.d2x/dt2
Fb = Gaya Balik (Reaksi) = - k.x
Persamaan Gaya pada Getaran Paksa Terredam
Fr F dapat dituliskan sebagai :
m.d2x/dt2 = - k.x - b.dx/dt + Fmax sin ’’t
Gambar 10.6 d2x/dt2 = - k.x/m – b(dx/dt)/m + Fmax sin ’’t/m
d2x/dt2 + b(dx/dt)/m + k.x/m = Fmax sin ’’t/m
Ambil : k/m = 2 ; b/m = 2r ; Fmax /m = fmax
( Ingat , fmax disini adalah gaya per massa, bukan frekwensi! )
Maka persamaan menjadi : d2x/dt2 + 2r(dx/dt) + 2x = fmax sin ’’t ……..(1)
Bentuk penyelesaian dari persamaan diferensial ini adalah :
x = A sin (’’.t - ) ….…(2) A dan ’’konstan
Apabila persamaan (2) ini didiferensialkan ke t diperoleh :
dx/dt = ’’Acos (’’.t - ) …(3) ; d2x/dt2 = -’’2A sin (’’.t - ) …(4)
80
m
Masukkan persamaan (3) dan (4) ke persamaan (1), maka diperoleh :
-’’2A sin (’’.t - ) + 2r’’Acos (’’.t - ) +2A sin (’’.t - ) = fmax sin ’’t
fmax sin ’’t = fmax sin {(’’t -
-’’2A sin (’’.t - ) + 2r’’Acos (’’.t - ) +2A sin (’’.t - ) =
fmax sin (’’t -cosfmax cos(’’t -sin
2-’’2)sin (’’.t - )+ 2r’’Acos (’’.t - ) =
fmax sin (’’t -cosfmax cos(’’t -sin
Untuk semua nilai t yang memenuhi persamaan ini maka : harga koefisien dari tiap
suku dikedua sisi haruslah sama, sehingga : koefisien fungsi sinus disisi kiri = disisi
kanan , demikian pula koefisien fungsi cosinus disisi kiri = koefisien fungsi cosinus
disisi kanan, 2-’’2) = fmax cosdan 2r’’A = fmax sin
Jika persamaan (5) dan (6) masing-masing dikwadratkan kemudian dijumlahkan,
maka diperoleh :
{2-’’2)}2 + (2r’’A)2= fmax2 cos2 fmax
2 sin2= fmax2 (cos2 sin2
22-’’2)2 + (2r’’2} = fmax2 Jadi besar :
A = fmax /√2-’’2)2 + (2r’’2(7)
Dengan memasukkan harga A pada persamaan (7) ke persamaan (2) maka diperoleh :
Persamaan Simpangan Getaran Paksa Terredam :
x = fmax sin(’’t -/√2-’’2)2 + (2r’’2(8)
(Ingat, fmax adalah = Fmax /m = Gaya Paksa Maksimum per massa benda yang
bergetar!) Amplitudo getarannya adalah A = fmax /√2-’’2)2 + (2r’’2 , dan
merupakan besaran yang konstan.
81
Besar kecepatan benda yang bergetar dapat ditentukan dengan menurunkan
(mendiferensialkan) simpangan x ke waktu t, diperoleh :
v =dx/dt=d{fmax sin(’’t-/√2-’’2)2 +(2r’’2 }/dt =
’’fmax cos(’’t -/√2-’’2)2 + (2r’’2
Jadi kecepatan getaran pada saat t :
v = ’’fmax cos(’’t -/√2-’’2)2 + (2r’’2(8)
Untuk menentukan besar sudut dapat dilakukan dengan cara membagi persamaan
(6) dengan persamaan (5) (2r’’A = fmax sin2-’’2) = fmax
cosdiperoleh sincos2r’’A2-’’2)
Maka : tg 2r’’ 2-’’2)……….......
(9)
Resonansi Amplitudo :
Persamaan amplitudo A menunjukkan bahwa getaran paksa tergantung kepada
harga : 2-’’2), yakni tergantung kepada besar harga frekwensi sudut alami dan
frekwensi sudut paksa ’’dari getaran. Jika beda harga antara keduanya semakin
kecil maka harga amplitudo semakin besar (Keterangan : = f , dimana f =
frekwensi getaran alami, sedang ’’f’’,dimana f’’= frekwensi getaran
paksa!).Ada frekwensi getaran paksa tertentu yang membuat besar amplitudo getaran
menjadi maksimum, yang dinamakan Frekwensi Resonansi, dan fenomena dimana
amplitudo menjadi maksimum ini diberi nama : Resonansi Amplitudo. Amplitudo
getaran akan menjadi maksimum jika harga denominator dari √2-’’2)2 + (2r’’2
adalah minimum. Hal ini terjadi jika koefisien dari diferensial (turunan) pertamanya =
0, jadi : d{2-’’2)2 + (2r’’2 }/d’’ 0
22-’’2)(-2’’ + 4r2(2’’ 0 2-’’2 =2r2
Dengan demikian : ’’√ 2-2r2
82
Karena frekwensi getaran paksa adalah : f ’’’’2(Ingat, ’’2 f '')
maka :
Besar Frekwensi Resonansi (yang membuat amplitudo getaran menjadi maksimum) :
f ’’ √ 2-2r22….……………
(10)
Jika redamannya kecil ( r kecil), maka frekwensi resonansi f’’ sangat mendekati
frekwensi alami f = /2 , sehingga jika r=0 maka ’’=
fek redaman pada respons terhadap resonansi : Ketika kondisi amplitudo adalah
maksimum, ’’√ 2-2r2, maka Amaks = fmaks / 2r√(r2+’’2) fmaks = Fmax/m !
Ini menunjukkan bahwa amplitudo maksimum tergantung kepada redaman ”r”,
semakin kecil redaman, semakin besar harga amplitudo maksimumnya.
Efek Redaman pada Ketajaman Resonansi : Amplitudo getaran paksa adalah
maksimum untuk suatu nilai tertentu dari frekwensi paksa. Untuk redaman kecil, nilai
frekwensi paksa nyaris sama dengan frekwensi alami. Dibawah kondisi ini maka
terjadi resonansi. Telah diketahui bahwa amplitudo dari getaran paksa adalah :
A = fmax /√2-’’2)2 + (2r’’2 dimana adalah frekwensi sudut alami, frekwensi
sudut paksa dan r adalah konstanta redaman. Ini menunjukkan bahwa amplitudo
getaran paksa tergantung kepada besar relatif dari frekwensi paksa ’’ dan frekwensi
alami serta konstanta redaman ”r”.
Dibawah ini digambarkan hubungan antara amplitudo getaran paksa A versus
perbandingan ’’ untuk sejumlah redaman yang bervariasi :
83
A
(a) r = 0
(b) r = kecil
(c)
(d) r = medium
r = besar
0 0,5 1 1,5 2
’’<’’
=’’>’’
Keterangan : Untuk frekwensi sudut paksa ’’sangat kecil, amplitudo adalah nyaris
sama untuk semua harga redaman. Ketika ’’ bertambah maka amplitudo juga
bertambah dan menjadi maksimum pada harga ’’ tertentu yang mana tergantung
pada redaman. Kurva (a) menunjukkan amplitudo ketika r = 0, yakni ketika nggak
ada redaman. Dalam keadaan ini amplitudo menjadi tak terhingga pada saat ’’ =
. Kurva (b), (c), dan (d) menunjukkan bahwa pada saat r bertambah maka puncak
kurva bergerak kearah kiri yakni harga ’’ untuk mana amplitudo maksimumnya
berkurang. Lebih lanjut, ketika redaman ”r” bertambah, puncak bergerak kearah
bawah, yakni amplitudo maksimum dari getaran paksa semakin menurun. Pada saat
’’ bertambah, amplitudo cenderung kearah nol. Dapat dilihat bahwa kurva untuk
harga ”r” yang kecil akan jatuh dengan cepat dibanding ”r” yang lebih besar.
84
Ini berarti bahwa untuk permulaan yang sama dari kondisi resonansi, amplitudo
getaran akan jatuh dengan cepat ketika redaman adalah kecil, dan jatuh pelan-pelan
ketika redamannya besar. Dapat disimpulkan bahwa : semakin kecil redaman, maka
resonansi semakin tajam.
Contoh Soal 1 :
Sebuah benda bermassa 100 kg bergetar terredam mengikuti persamaan simpangan :
x = 4e -0,05t cos (2t3 - /5)
Hitung besar Energi total getaran pada saat benda bergetar selama 10 sekon!
Contoh Soal 2 :
2. Benda yang mengalami getaran paksa terredam mempunyai simpangan getaran :
x = fm sin (2t6 - /3) / √ (2”2r2”2
Apabila gaya paksa maksimumnya 2000N ; massa benda yang bergetar 100kg ;
frekwensi sudut paksa 0,04 ; frekwensi sudut alami 0,06 ; dan konstanta redaman
adalah 0,02 , tentukan besar amplitudo dari getaran tersebut! g = 9,8m/s2
85
11. GELOMBANG MEKANIS Gelombang adalah gangguan/usikan yang merambat. Gelombang yang
memerlukan medium (zat penghantar) didalam perambatannya adalah Gelombang
Mekanis, sedang gelombang yang tidak membutuhkan medium didalam
perambatannya adalah Gelombang Elektromagnetis. Berdasarkan dimensinya maka
gelombang ada yang 1 dimensi, 2 dimensi, dan 3 dimensi. Gelombang juga dapat
dibagi menjadi gelombang pulsa dan gelombang periodik. Dapat dikatakan bahwa
gelombang periodik merupakan rangkaian dari gelombang pulsa. Disini akan dibahas
Gelombang Mekanis :
Pada 3 grafik gelombang pulsa 1 dimensi ini, fungsi matematiknya dapat ditulis
sebagai :
y y y
x a x v.t x
(1) y = f(x) (2) y = f(x-a) (3) y = f(x-v.t)
Gambar : (1),(2),dan(3) adalah gelombang pulsa 1 dimensi
Adapun pada grafik gelombang periodik 1 dimensi berikut, fungsi matematiknya
dapat dinyatakan dengan : y = ymsin k (x-v.t)
A ym = Amplitudo gelombang
k = angka gelombang
t (berharga k = 2/
-A = panjang gelombang
Gambar : Gelombang periodik 1 dimensi Dapat ditulis : y = ym sin (kx-kv.t)
17
86 Atau : y = ym sin (kx-.t)
(Perhatian: pada pembahasan gelombang disini maka simbol untuk Amplitudo tidak
menggunakan huruf A tetapi dengan ym karena huruf A disini untuk simbol luas! )
Sebelum menghitung energi gelombang, perlu didefinisikan dulu beberapa pengertian
sebagai berikut : Intensitas I adalah besar energi E yang mengenai bidang seluas A
per satuan waktu t. Jadi I = E/(t.A) (J/s.m2) ; karena Daya P = Energi per waktu = E/t
(J/s =watt) maka I = P/A watt/m2). Dalam perhitungan teoritis, sering dihitung secara
elementer, sehingga Intensitas dapat ditulis I =dE/(dt.dA) (J/s.m2), demikian pula
Daya P : P = dE/dt (watt) ,dimana : E = elemen energi ; dt = elemen waktu ; dA =
elemen luas)
A
E I = E/(t.A)=dE/(dt.dA) J/s.m2(=W/m2)
Rapat massa untuk benda 3 dimensi dikenal sebagai rapat massa volum yang
harganya :m/V atau dm/dV ; sedang benda yang hanya 2 dimensi adalah rapat
massa luasan m/A atau dm/dA, adapun untuk benda 1 dimensi adalah rapat
massa linier = m/x atau dm/dx (dm = elemen massa, dV=elemen volum, dA=
elemen luasan, sedang dx = elemen panjang)
Pada persamaan simpangan gelombang diatas yakni: y = ym sin (kx-.t) , maka
persamaan kecepatannya dapat diperoleh dengan mendiferensialkan y ke waktu t ,
jadi :Kecepatan v = dy/dt = d[ym sin (kx-.t)]/dt = - ymcos(kx-.t).
Harga Energi total gelombang = Energi Potensial + Energi Kinetik, atau :
ET = EP + Ek Harga rata-rata: ET (rata-rata) = EP (rata-rata) + Ek (rata-rata) ;
Adapun EP (rata-rata) =Ek (rata-rata) , ini dapat dituliskan dalam bentuk elemen :
dET(rata-rata)=dEP(rata-rata)+dEk(rata-rata),Sedang: dEP(rata-rata)=dEk (rata-rata)
87
Karena harga rata-rata energi porensial = harga rata-rata energi kinetik, maka dengan
menghitung salah satu saja, dapat diperoleh besar energi total rata-rata. Disini akan
dihitung besar elemen energi kinetik rata-rata dEk (rata-rata) yang dihitung dari dEk
pada gelombang periodik 1 dimensi seperti pada gambar diatas.
Besar energi kinetik EK = ½ m.v2 maka dEK = ½ dm.v2 = ½ dm[- ymcos(kx-.t)] 2
dEK = ½ dx[- ymcos(kx-.t)] 2 = ½ dx 2 ym2cos2 (kx-.t)]
= ½ dx 2 ym21/2 (1+ cos2 (kx-.t))]
= ¼ dx 2 y m21/4 dx 2 y m
2 cos2 (kx- .t))
Suku yang pertama tidak mengandung waktu t, berarti setiap saat harganya tetap
sama, sedang suku yang kedua mengandung waktu t dan merupakan fungsi cosinus,
yang harga rata-ratanya = 0 ( Maksimum fungsi cos = 1, sedang minimumnya = -1,
rata-ratanya=0), sehingga harga rata-rata elemen energi kinetik dEk (rata-rata) =
¼ dx 2 ym2 yang berarti besar dEP (rata-rata) = ¼ dx 2 ym
2
Dengan demikian besar Energi Total rata-rata : dET (rata-rata) =
¼ dx 2 ym2 + ¼ dx 2 ym
2 = 1/2 dx 2 ym2
Apabila ruas kiri dan ruas kanan didiferensialkan ke t maka :
dET /dt(rata-rata) =1/2 dx/dt 2 ym2 , ini sama dengan P = 1/2 v.2 ym
2
Apabila ke dua ruas persamaan ini kita bagi dengan luas A maka diperoleh :
P/A = 1/2 (v.2ym2 dimana (yang berarti Intensitas :
I = 1/2 v.2ym2
Ini adalah rumus Intensitas Gelombang Mekanis 3 dimensi,yang dipakai untuk
menghitung besar Intensitas seluruh jenis Gelombang Mekanis 3 dimensi, termasuk
Gelombang Bunyi.
88
11.1. BUNYI : Adalah gelombang mekanis longitudinal 3 dimensi yang dapat
dideteksi oleh sistim pendengaran manusia. Jangkau frekwensi pendengaran manusia
adalah antara : 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz, disebut frekwensi Audio ; dibawah
20 Hz = infrasonik ; diatas 20.000 Hz = ultrasonik. Kecepatan bunyi di udara = 350
m/s. Kecepatan dibawah kecepatan bunyi di udara disebut : subsonik, sedang
kecepatan diatas kecepatan bunyi diudara disebut supersonik. Ternyata kemampuan
dengar telinga manusia tidak berbanding lurus dengan intensitas bunyi (I) yang
datang, oleh karena itu digunakan besaran lain yang lebih mewakili kesebandingan
tersebut. Ada 2 macam yang biasa digunakan yakni :
1). Disebut Taraf Intensitas Bunyi () berdasarkan perbandingan logaritmik
Intensitas datang dengan Intensitas ambang, yang persamaannya adalah :
= 10
log (I/Io) dB ; Io= 10-12 W/m2
I = Intensitas bunyi yang datang
Io= Intensitas ambang = Intensitas terlemah
yang mulai dapat terdengar
2) Taraf Tekanan Bunyi (P) berdasarkan tekanan datang, berdasarkan perbandingan
logaritmik Tekanan datang dengan Tekanan ambang, yang persamaannya adalah :
P=1
0log(P/Po)2dB
P =20 log (P/Po)dB ; Po=
2.10-5 N/m2
P = Tekanan bunyi yang datang
Po= Tekanan ambang = Tekanan terlemah
yang mulai dapat terdengar
18
89
Contoh Soal 1: Dalam sebuah auditorium, besar taraf intensitas bunyi ditempat C
adalah 80dB. Apabila jarak dari sumber bunyi : S ke A = 10m, S ke B = 20m, dan S
ke C = 30m, tentukan : a). Besar Daya dari sumber S b). Intensitas di A dan di B c).
Energi yang diterima oleh bidang seluas 4m2 di C!
C
B
A
Kunci : Daya P diwilayah bola hayal A = P diwilayah
bola hayal B = P diwilayah bola hayal C !
Contoh Soal 2 :
Taraf intensitas bunyi di ruangan kuliah sebuah kampus yang berdekatan dengan
lokasi industri adalah 70 dB. Agar situasi belajar lebih tenang maka ruangan
kuliah tersebut dipindah ke tempat lain yang jaraknya 4 kali jauhnya dari tempat
semula. Hitung besar taraf intensitas bunyi di tempat yang baru tersebut!
Contoh Soal 2 :
Tentukan taraf intensitas bunyi dari suatu sumber bunyi yang intensitasnya
sama dengan: a) 100 kali intensitas ambang b).10000 kali intensitas ambang
Efek Doppler
Gelombang mekanis berupa bunyi, merambat dengan kecepatan terbatas. Oleh
karena itu dimungkinkan untuk seorang pengamat yang mengukur gelombang untuk
bergerak relatif terhadap gelombang tersebut, atau sumber gelombang yang bergerak
relatif terhadap pengamat.
90
Pergerakan pengamat ataupun sumber bunyi tentu mempengaruhi besar frekwensi
yang diukur. Efek Doppler adalah peristiwa pergeseran frekwensi dan panjang
gelombang sebagai akibat dari gerak sumber bunyi pada suatu medium, gerak
penerima bunyi pada suatu medium, atau bahkan gerak dari medfium itu sendiri.
1. Sumber bunyi yang bergerak : Ditinjau sirene yang berbunyi dengan frekwensi
fo. ( Berarti periode To = 1/fo ). Gelombang ini merambat dengan kecepatan v yang
sama (simetri) kesegala arah, dan panjang gelombangnya = v/fo. Tetapi jika sirene
ini bergerak dengan kecepatan vs terhadap medium, maka panjang gelombangnya
lebih pendek terhadap arah +vs, dan lebih panjang terhadap arah –vs. Untuk jelasnya
perhatikan penjelasan berikut :
Diujung sebelah kiri terdapat pengamat A, dan diujung sebelah kanan terdapat
pengamat B, sedang sumber bunyi berada ditengah-tengah antara A dan B. Apabila
sumber bunyi bergerak ke kanan mendekati B maka selama satu periode To bergerak
pada jarak sebesar vs.To = vs/fo. Dengan demikian panjang gelombang berkurang
sebesar ’= - vs/fo = (v – vs)/fo Frekwensi dimana pengamat B menerima
gelombang yang mendekat menjadi : f ’ = v/’ = fo [v/(v-vs)] = fo/[1 – (vs/v)] ;
Karena sumber bunyi menjauhi A maka panjang gelombang bertambah sehingga bagi
pengamat A : ’ = + vs/fo = (v + vs)/fo Frekwensi dimana pengamat A
menerima gelombang yang menjauh : f ’ = fo/[ 1 + (vs/v) ]
2. Pengamat yang bergerak : Misal seorang pengamat bergerak ke arah sumber
bunyi dengan kecepatan v dimana terdapat sumber bunyi diam dengan frekwensi fo.
Karena gelombang dari sumber bunyi juga mempunyai kecepatan yang menuju
kepada pengamat maka kecepatan pengamat perlu dimodifikasi menjadi :
v ’ = v + | vr | vr = kecepatan relatif dari orang terhadap gelombang . dengan
demikian frekwensi gelombang juga perlu dimodifikasi menjadi:f ’= v’/ = (v+|vr|)/
= fo+|vr|/= fo(1+|vr|/v). Jadi : f’ = fo(1+|vr|/v).
91
Ketika pengamat bergerak kearah sumber gelombang berjalan, panjang gelombang
nya tak berubah, kecepatan gelombang bertambah dan frekwensi bertambah. Ketika
pengamat bergerak menjauh dari sumber gelombang, panjang gelombangnya juga tak
berubah, sedang kecepatan gelombang berkurang dan frekwensi gelombang
berkurang. Maka apabila seorang bergerak menjauhi sumber bunyi, kecepatannya
sekarang: v ’ = v - |vr| ; f ’ = (v - |vr|)/ = fo - |vr|/ Jadi : f ’ = fo(1-|vr|/v)
3. Sumber bunyi bergerak dan Pengamat bergerak : jika semua gerakan berada
pada satu garis, misal pada sumbu x, maka kita dapat menggabungkan keduanya.
Setiap kecepatan termasuk gelombang, diberi tanda positif bila bergerak kekanan dan
negatif bila bergerak kekiri. Efek dari sumber yang bergerak adalah merubah panjang
gelombang tetapi tidak merubah kecepatan gelombang. Dan efek dari pengamat yang
bergerak adalah merubah kecepatan gelombang tetapi tidak merubah panjang
gelombang. Ini bisa dinyatakan dengan : ’ = (v – vs)/fo ; v’ = v – vr ; dengan
demikian frekwensi termodifikasi f’ = v’/ ’ = (v – vr)fo/(v – vs) Sumber dan
pengamat saling mendekat satu sama lain ketika vs dan v mempunyai tanda yang
sama, dan vr mempunyai tanda yang berlawanan. Dalam hal ini f’ bertambah atas fo.
Bila sumber dan pengamatb saling menjauhi satu sama lain, vr dan v mempunyai
tanda yang sama, sedang vs mempunyai tanda yang berbeda, frekwensi yang
dirasakan berkurang. Catat bahwa persamaan diatas ini adalah tidak simetris diantara
sumber dan pengamat. Jika kita tahu kecepatan relatif, kita dapat tahu siapa yang
bergerak, sumber atau pengamat. Apabila kecepatan pengamat dan sumber adalah
kecil dibanding v maka dapat ditunjukkan bahwa : f’ = fo{1+(vs-vr)/v}
92
12. MOMEN INERSIA Inersia merupakan sifat pada benda yang menolak terhadap perubahan keadaan,
jadi benda yang diam senantiasa ingin diam, demikian pula benda yang sedang
bergerak dengan kecepatan konstan akan senantiasa berusaha mempertahankan
keadaan geraknya jika tidak ada gaya yang mempengaruhinya. Bisa dikatakan bahwa
inersia adalah ukuran seberapa sukar benda untuk dirubah dari keadaannya. Ada 2
inersia : Inersia translasi adalah ukuran seberapa sukar benda untuk bergerak
translasi, dan Inersia Rotasi adalah ukuran seberapa sukar suatu benda untuk bergerak
translasi. Dari pengertian ini dapat diketahui bahwa Inersia Translasi tak lain adalah
adalah sama dengan massa (m) , sedang Inersia Rotasi adalah sama dengan Momen
Inersia (I). Momen Inersia dibedakan menjadi 2 :
Momen Inersia untuk benda partikel dan Momen Inersia untuk benda kontinyu
12.1. Momen Inersia benda partikel : apabila sebuah sistim terdiri dari sejumlah
benda yang dapat dianggap partikel (benda titik) maka besar :
I = ∑mi.ri2 = m1.r1
2 + m2.r22 + m3.r3
2 + mn.rn2
r1 = jarak benda bermassa m1 ke sumbu putar
Contoh 1. Partikel A, B, dan C diputar mengelilingi sumbu putar seperti pada
gambar . Tentukan besar momen inersia sistim!
93
19
Jawab : I = mA.rA2+mB.rB
2+mC.rC2 = 2.02+5.02+1.32 = 9 kgm2
2kg B 5kg
Sumbu putar
A 4m B
3m
C
1kg
12.2. Momen Inersia Benda Kontinue : apabila benda yang akan diputar berukuran
besar maka besar momen inersianya : I = ∫R2dm , dimana : dm = elemen massa =
dV ; = rapat massa benda = dm/dV = massa per volume ; dV = elemen volume ;
R = jarak dari elemen benda 3 dimensi bermassa dm ke sumbu putar
Rumus diatas juga berlaku untuk benda 1 dimensi (hanya mempunyai panjang saja)
dan benda 2 dimensi (hanya mempunyai luas saja)
Untuk benda 1 dimensi : I = ∫ x2dm, dimana dm = dx = massa per panjang
Disini x = jarak dari elemen benda 1 dimensi (dx) bermassa dm ke sumbu putar
Untuk benda 2 dimensi : I = ∫ r2dm, dimana dm = dA = massa per luas
Disini r = jarak dari elemen benda 2 dimensi (dA) bermassa dm ke sumbu putar.
Jadi : dV = elemen volume ; dA = elemen luas ; dx = elemen panjang!
Contoh 2 : Tentukan besar momen inersia dari tongkat sangat kecil (anggap hanya
1 dimensi) yang panjangnya L bermassa M dan diputar pada sumbu putar yang :
x a). Tegak lurus pada ujung tongkat
x b). Tegak lurus pada pusat tongkat
dx
(a) L (b)
94
Jawab : Rapat massa tongkat kecil adalah = M/L Jadi massa M = .L
L L L L
(a) I = ∫ x 2 dm = ∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx = x 3/3 ] = L3/3= ML2/3 0 0 0 0
L/2 L/2 L/2
(b) I = ∫ x 2 dm = ∫ x 2 dx = ∫ x 2 dx = x 3/3 ] = L3/12= ML2/12 -L/2 -L/2 -L/2 Teorema Sumbu Parallel : momen inersia suatu benda yang mengelilingi suatu
sumbu adalah diberikan oleh jumlah momen inersia yang mengelilingi sumbu yang
melewati pusat massa dan parallel terhadap sumbu yang diberikan dan hasil perkalian
total massa M dari benda dan kwadrat jarak d yang tegak lurus diantara dua sumbu.
Secara matematis dinyatakan sebagai :
I = I pm + M.d2
Ipm = momen inersia pada pusat massa benda
r = L r = L/2 pm r = L/2
Tinjau dua buah bola baja yang bermassa sama masing-masing sebesar m dan ambil
dua sumbu putar yang parallel, satu melalui pusat massanya sistim dan satunya lagi
melalui salah satu massa bola baja. Untuk sumbu yang melalui pusat massa (pm),
maka momen inersianya adalah Ipm = m(L/2)2 + m(L/2)2 = mL2/2, sedang untuk
sumbu yang melalui salah satu sisi bola momen inersianya adalah I = mL2
95
Harga ini juga bisa diperoleh dari rumus I = I pm + M.d2 disini d = L/2, sedang
M = 2m, maka : I = mL2/2 + (2m)(L/2)2 = mL2
Contoh 3 : Suatu lembaran logam segi empat tipis bermassa M dengan lebar a dan
panjang b. Hitung momen inersia dari lembaran logam tersebut yang diputar pada
sumbu putar yang : a).Tegak lurus lembaran logam dan melalui salah satu sudutnya
b). Tegak lurus lembaran logam dan melalui pusat massanya.
z
O b y
dy
a y dx
x
(a) (b)
Jawab : Rapat massa lembaran logam tipis yang lebarnya a dan panjangnya b
adalah : M/A = M/a.b Massa M = a.b
(a) Momen inersia dengan sumbu putar pada salah satu sudutnya (misal sumbu z) :
a b a b
I = ∫ dx ∫ dy( x2 + y2) = M/ab ∫dx ∫ dy(x 2 + y 2 ) = 0 0 0 0 a b a b
M/ab(∫ x2 dx ∫ dy∫ dx ∫ y2 dy ) = M/ab [ (a3/3)b + (b3/3)a ] = M(a2 + b2)/3 0 0 0 0(b) Pusat massa terletak ditengah-tengah segi empat, berarti pada x = a/2 dan y = b/2
dan jarak terhadap tiap sudut adalah d2 = (a/2)2 + (b/2)2
Berdasarkan teorema sumbu parallel, I = Ipm + Md2
96
Ipm = I – Md2 =M(a2 + b2 )/3 – M [(a/2)2 + (b/2)2] = M(a2 + b2 )(1/3 – 1/4)
Jadi Momen inersianya I = M(a2 + b2 )/12.
Contoh 4. Menghitung momen inersia silinder pejal yang diputar pada sumbu putar
yang tegak lurus terhadap sumbu silinder : disini I = ∫ x2dm = ∫ x2dV = ∫ x2dx
= ∫ x2L/Ldx (x = jarak dari dm ke sumbu putar!)
(L = m = massa silinder pejal ; L = panjang silinder)
L
A x Batas integralnyadari sumbu
putar adalah :
h L-h -h sampai L-h sehingga : I = m/L∫-hL-h x2dx
Diperoleh : I = m/3[L2-3Lh+3h2] kgm2
m = L A (Elemen massa dm)
dm=dx
dx
Contoh 5. Menghitung momen inersia silinder pejal yang diputar pada sumbu putar
yang sama dengan sumbu silinder : I = ∫ r2dm = ∫ r2dV = ∫ r2rdrL = L∫ r3dr
L ( r = jarak dari elemen dm ke sumbu putar! )
R Batas integralnya adalah dari 0 sampai R,
sehingga :
L∫oR r3dr = L.1/4[r4]o
R = ½ m.R2
m =R2L
LJadi : I = ½ m.R2 kgm2
r dr (Elemen massa dm)
dm = rdrL
(Ini adl bentuk elemen dm di dalam silinder jika dibuka!)
97
Contoh 6 : Tentukan harga momen inersia sebuah bola pejal berjari-jari R yang rapat
massanya dan diputar dengan sumbu putar pada sumbu x seperti pada gambar!
R Jawab : I = ∫ r2dm, dimana dm = dV r dm = r2dx ; r2 = R2 – x2 sehingga : dm = R2 – x2)dx
x I = ∫ (R2 – x2 ) R2 – x2)dx
= ∫ R2 – x2)2 dx
x Batas integral dari 0 sampai R, maka R dx I = ∫ ( R4-2R2x2+x 4)dx oI = [ R4x - 2/3R2x3 + 1/5 x 5 ] R = ( R4R - 2/3R2R3 + 1/5 R5 ) =
0 = ( R5 - 2/3R5 + 1/5 R5 ) = ( 8/15 R5 ) Karena m = V, sedang m = 4/3R3 = 20/15R3, maka besar momen inersia : I = 2/5 mR2 . Soal Latihan :
Tentukan besar momen inersia dari silinder pejal berjari-jari 0,5m panjang 10m dan
rapat massanya 12000 kg/m3 jika diputar dengan sumbu putar yang tegak lurus
terhadap sumbu silinder dan posisi sumbu putar tepat ditengah-tengah silinder !
98
13. FLUIDA (ZAT ALIR)
13.1. Fluida Statis
Ikatan antar molekul pada fluida jauh lebih lemah dibanding ikatan molekul pada
zat padat sehingga apabila ada suatu gaya yang bekerja pada fluida maka akan me-
ngalami respons yang berbeda dengan jika gaya tersebut mengenai zat padat. Oleh
karena itu dalam membahas fluida banyak digunakan besaran tekanan (pressure = P),
dimana : Tekanan P = F/A ( F = gaya yang bekerja ; A = luas permukaan yang
mengalami gaya dalam arah tegak lurus arah gaya) Satuan tekanan adalah N/m2
atau pascal (Pa) ; Satuan lain untuk tekanan adalah atmosfir (atm) dimana :
1 atm = 101325 Pa ; Juga digunakan satuan toricelli (tor) dimana : 1 tor = 133,3 Pa
dF=dP.A Fluida adalah zat alir, yakni zat yang dapat
mengalir, terdiri dari zat cair dan zat gas.
Ditinjau elemen zat cair bermassa dm yang
F=P.A berbentuk mirip koin yang luasnya A dan
dy A tebalnya dy. Karena massa zat cairnya
y dW=dm.g maka berat elemen zat zair tersebut :
F=P.A dW = dm.g = dV.g = dy.g
rapat massa ( g = konstanta percepatan gravitasi )
Elemen zat cair ini dalam keadaan statis,
berarti resultant gaya yang bekerja = 0
Jadi F = 0 Fx = 0 ;Fy = 0 Ditinjau gaya-gaya yang bekerja pada sumbu y :
Fy = 0 Gaya-gaya yang arahnya kebawah adalah gaya akibat berat elemen zat
cair (dW), gaya aksi yang disebabkan oleh berat zat cair diatas koin (F), dan gaya
akibat udara diatas permukaan zat cair (dF).
20
99
Gaya yang arahnya keatas adalah gaya reaksi (F) akibat adanya gaya aksi. Maka :
F+dF+dW = F
P.A + dP.A + dy.g = P.A dP = - gdy Jika persamaan ini diintegralkan
Po dengan memasukkan batas-batas integral,
Dimana : P = tekanan pada kedalaman h
y2-y1 = h Po= tekanan pada permukaan luar
y2 P y1= tempat bertekanan P diukur dari dasar
y1 y2= tempat bertekanan Po diukur dari dasar
Po y2
=rapat massa ∫dP = - g∫dy Po – P = - gy2 y1 P y1
Maka : P = Po + g.h
Gaya apung dan Hukum Archimides
Suatu benda apabila dicelupkan kedalam zat cair akan mengalami beberapa
kemungkinan, tergantung kepada rapat massa dari benda tersebut dan rapat massa
dari zat cair itu sendiri. Tinjau sebuah balok yang rapat massanya dengan luas A
dan tinggi h, dengan demikian volume balok adalah V = A.h. balok tersebut sebagian
tercelup kedalam air yang rapat massanya a. Gaya keatas yang dialami oleh balok
adalah terkait dengan tekanan dari air. Berdasarkan rumus : P = Po + .g.h, sedang
P=F/A, maka : Fkeatas = P.A = Po.A +a.g.y.A ; y = jarak vertikal bagian balok yang
tercelup air!Gaya kebawah ada dua komponen : Tekanan atmosfir diatas balok dan
berat balok itu sendiri. Gaya oleh atmosfir = Fatm = Po.A, dan gaya akibat berat balok
F = m.g = h.g Dengan demikian besar gaya kebawah total F kebawah = Po.A +
g.h.A Maka resultante gayanya (Gaya netto) pada balok F = F kebawah – F keatas =
Po.A + g.h.A – Po.A - a.g.y.A = .g.h.A- a.g.y.A
100
Keadaan seimbang – mengapung – menuntut keseimbangan gaya yakni F netto = 0.
Apabila harga gaya netto ini dibagi dengan g.A maka diperoleh : .h = a.y atau
/a = y/h Jika <a maka y/h < 1, ini berarti hanya sebagian saja dari balok
yang tenggelam. Jika a, balok secara keseluruhan tenggelam dalam air dimana y
= h. Disini balok akan mengapung tepat dibawah permukaan air karena gaya keatas
dan gaya kebawah saling meniadakan. Jika > a maka balok pasti tenggelam
secara penuh. Untuk keadaan tenggelam maka : F netto = g.h.A - a.g.h.A > 0
Beda harga dari berat balok g.h.Adikurangi F netto dikenal sebagai Gaya Apung
(Buoyant force). Jaqi Gaya Apung Fapung = F berat benda – F netto. Untuk kasus balok
yang tenggelam sebagian maka Fapung = g.h.A – 0 = .g.h.A = a.g.y.A. Adapun
jika balok tenggelam secara kesdeluruhan, dimana y >=h maka gaya apungnya :
F apung = .g.h.A – ( .g.h.A - a.g.h.A) = a.g.h.A Apabila V adalah volume
benda dibawah permukaan air ( V = y.A atau h.A tergantung apakah benda tenggelam
sebagian atau secara keseluruhannya ke dalam air) maka kita bisa mengkombinasikan
hasil kita ke satu pernyataan tunggal yakni : F apung = a.g.V ; Gaya apung melawan
gaya gravitasi pada benda ( .g.h.A) ; Archimides mengemukakan prinsip yang
berbunyi : Besar gaya apung pada benda yang tercelup sama dengan besar berat
zat cair yang dipindahkan oleh benda tersebut.
(a) F netto = 0 ; V’<V ; Fapung = a.g.V’ = F = .g.V ; a.V’ = .V
F keatas
h y F kebawah
101
(b) F netto = 0 ; V’=V ; = a
F keatas
y = h F kebawah
© F netto = g.h.A - a.g.h.A ; V’=V ; > a
F keatas
F kebawah
y
+y
Keterangan :
V = Volume total benda : V’ = Volume bagian benda yang tercelup dalam air
= Volume air yang dipindahkan oleh benda
Contoh Soal 1 : Suatu bak mandi segi empat yang terbuat dari plastik mempunyai
panjang L= 1m, lebar W = 0,8m, tinggi t = 0,6m, dan massa M =200kg. Bak tersebut
terapung di danau. Berapa banyak orang yang bermassa masing masing m = 50 kg
dapat naik ke bak tersebut sebelum tenggelam?
102
?
t
y W
L
Jawab : Misalkan jumlah orang yang naik sebanyak x sedang rapat massa air a =
1000 kg/m3. Jika bak tersebut tenggelam sedalam y, maka volume air yang
dipindahkan = gaya apung Fapung = air.L.W.y.g . Adapun gaya kebawah dengan
sejumlah x orang = Fkebawah = (M+x.m)g . Bak terapung dengan kedalaman y dimana :
F apung = F kebawah . Bak akan tenggelam pada saat y = t. Sebelum tenggelam, persamaan
keseimbangannya adalah : air.L.W.t.g = (M+x.m)g. air.L.W.t.g = M.g+x.m.g
Harga g dikiri dan kanan persamaan dapat dicoret sehingga banyaknya orang = x
=(air.L.W.t.- M)/m = (1000.1.0,8.0,6 – 200) / 50 = 280/50 = 5,6. Ini berarti jika bak
dinaiki oleh 5 orang (berarti massanya cuma 250 kg) bak masih terapung, tetapi jika
dinaiki oleh 6 orang (berarti massanya 300 kg) maka bak akan tenggelam.
Contoh Soal 2 : Suatu balon timah dengan rapat massa = 11300kg/m3 yang berisi
udara berjari-jari R = 0,1m secara total tercelup dalam tangki air seperti pada gambar
dibawah. Berapa ketebalan t dari kulit timah balon jika balon tersebut tidak terapung
juga tidak tenggelam? (Anggap t sangat tipis dibanding jari-jari R!) t << R
103
Jawab : Kita harus menghitung berat air yang dipindahkan oleh balon. Untuk itu kita
perlu menghitung volume timah dan volume udara didalamnya.Dalam hal balon tidak
tenggelam, secara pendekatan dapat diasumsikan bahwa tebal balon t jauh lebih kecil
dibanding jari-jari balon R t <<R = 0,1m. Maka volume timah Vt dapat di anggap
volume bola luar dikurangi volume bola dalam
sehingga jari-jarinya adalah R – t , dimana t=0
R karena sangat kecil, maka Vt = R x t
T Vt = R t ; Berat timah Wt = R t..g
T Berat air yang dipindahkan = Wa = a.Vt.g
Wa = 4/3 R3 .a.g Wa = Wt, maka :
t 4/3 R3 .a.g = R t..g
Jadi tebal kulit timah balon t = R.a / 3
t = 1000.0,1 / 3(11300) = 0,0029m = 3 mm
( Bukti bahwa t<< R, atau 0,0029m<<0,1m)
13.2. Fluida dinamis
Suatu zat cair yang mengalir dapat menghasilkan kondisi yang kompleks,
misalnya terjadi pusaran aliran, timbulnya gesekan internal, dan sebagainya. Disini
yang akan dibahas adalah zat cair yang ideal, yang memenuhi sejumlah kriteria
tertentu, antara lain : zat cair yang mengalir tidak kental, tidak dalam keadaan
terkompresi, tidak ada gesekan internal, alirannya tidak turbulen ( berpusar), dan
sebagainya.
Persamaan Kontinuitas : Ditinjau suatu elemen zat cair bermassa dm1 yang
mengalir di pipa 1 yang luasnya A1 dalam waktu dt ( dt = elemen waktu) dan dengan
kecepatan v1. Massa dm1= dV1 (dV1=elemen volum). Elemen massa dm1 tersebut
berbentuk koin yang luasnya A1, maka besar dm1= dV1 = A1.v1.dt
104
Gerakan dm1menyebabkan elemen massa di pipa 2 bermassa dm2 yang luas pipanya
A2 bergerak dengan kecepatan v2 dalam waktu dt juga .
v2 Jadi :
21
A2 dm2 dm1 = dV1 = A1.v1.dt dm2 = dV2 = A1.v1.dt dm1 = dm2 Maka : A1 v1 A1.v1 A2.v2 , atau : A1.v1 A2.v2 = R (m3/s) dm1 ( R disebut Debit )
Persamaan Bernoulli : A2
A1 h2
h1
(a) v2
v1 F2=A2P2
F1=P1.A1 h2 h1
L1(b)gL2
105
KETERANGAN :
Sebuah pipa mempunyai ukuran penampang yang berbeda pada bagian bawah dan
bagian atasnya. Luas penampang pipa bawah = A1, sedang luas penampang pipa atas
= A2 . Pipa pada gambar (a) berisi zat cair yang rapat massanya yang masih diam
Kemudian pada gambar (2), tutup pipa bawah yang luasnya A1 didorong dengan gaya
F1 sampai sejauh L1 menyebabkan tutup pipa atas yang luasnya A2 bergeser sejauh
L2 ( Timbul gaya reaksi F2 akibat adanya gaya aksi F1). Pada peristiwa ini, gaya F1
melakukan kerja sebesar = F1L1 , sedang gaya F2 melakukan kerja sebesar = F2.L2
Karena zat cair yang bermassa m dipindahkan dari tempat berketinggian h1 ke tempat
lain berketinggian h2 , sedang gaya gravitasi bumi berarah kebawah (berlawanan
dengan arah gerak zat cair ) maka kerja oleh gaya gravitasi besarnya = m.g.h1- m.g.h2
Dengan demikian besar kerja yang dilakukan oleh seluruh gaya (gaya resultan) =
F1L1+ F2.L2 + (m.g.h1- m.g.h2)
Menurut Teorema Kerja Energi : Besar kerja yang dilakukan oleh gaya
resultan yang beraksi terhadap sistim = Besar perubahan Energi Kinetik dalam
sistim itu.
Besar energi kinetik dipipa bawah = ½ m.v12, sedang besar energi kinetik dipipa atas
= ½ m.v22. Maka besar perubahan Energi Kinetik dalam sistim = ½ m.v2
2 ½ m.v12
Berdasarkan Teorema Kerja Energi maka diperoleh persamaan :
F1L1+ F2.L2 + (m.g.h1- m.g.h2) = ½ m.v22 ½ m.v1
2
P1A1L1+ P2A2.L2 + (m.g.h1- m.g.h2) = ½ m.v22 ½ m.v1
2
A1L1 = A2.L2 = volume zat cair yang ditinjau = m/sehingga :
P1.m/ + P2.m/ + m.g.h1- m.g.h2 = ½ m.v22 ½ m.v1
2
(P1+ P2) / = - g.h1 + g.h2 + ½ .v22 ½ .v1
2 ini dapat ditulis :
P1+ ½ . v12 + g.h1=P2 + ½ . v2
2 + g.h2
( Dinamakan Persamaan Bernoulli )106
Keseimbangan Benda Terapung (TOPIK INI TIDAK TERMASUK YANG DIPRESENTASIKAN)
Apabila suatu benda dimasukkan ke dalam zat cair maka terdapat dua
kemungkinan yakni tenggelam atau terapung. Hal ini terkait dengan adanya dua
macam gaya yang bekerja terhadap benda tersebut dan saling berlawanan arah yakni
gaya gravitasu dan gaya dorong keatas oleh zat cair. Jika gaya gravitasi lebih besar
dari gaya dorong keatas maka benda akan tenggelam, sebaliknya jika gaya gravitasi
lebih kecil dari gaya dorong keatas, benda akan terapung. Archimides menyatakan :
“Ketika suatu benda dicelupkan sebagian atau keseluruhannya kedalam zat cair, ia
akan mengalami gaya dorong keatas oleh suatu gaya yang besarnya sama dengan
berat zat cair yang dipindahkan oleh benda itu “, dengan kata lain, gaya resultant
yang beraksi pada benda itu adalah sama dengan perbedaan antara gaya keatas oleh
zat cair dan gaya kebawah oleh gravitasi. Kecenderungan dari zat cair untuk
mendorong keatas dari benda yang dicelupkan dikenal sebagai gaya apung, ini selalu
sama dengan berat zat cair yang dipindahkan oleh benda. Jika gaya apung lebih besar
dari berat benda maka benda akan didorong keatas sampai terapung, tdetapi jika gaya
apung lebih kecil dari berat benda maka benda akan tenggelam. Pusat gaya apung
adalah tempat suatu titik dimana gaya apung ditetapkan beraksi. Ini selalu merupakan
pusat berat dari volume zat cair yang dipindahkan. Dengan kata lain, pusat gaya
apung adalah pusat dari wilayah bagian yang dicelupkan.
Metacentre Ketika suatu benda terapung pada suatu cairan, ada pergeseran sudut kecil,
kemudian mulai bergetar disekitar titik tertentu. Titik disekitar mana benda mulai
bergetar pada saat terapung disebut metacentre.
Jadi, metacentre (M) adalah interseksi dari suatu garis yang melewati pusat gaya
apung (B) dan pusat berat dari benda (G), dengan garis vertikal yang melalui pusat
gaya apung yang baru B’).
107
M
1 A B 2
G B’ B 3 C 4 D
Tinggi metacentre
Jarak diantara pusat gravitasi G suatu benda yang terapung dan metacentre M
yakni jarak GM disebut tinggi metacentre. Suatu kenyataan bahwa tinggi metacentre
suatu benda yang terapung merupakan ukuran kestabilannya, semakin tinggi
metacentre dari suatu benda yang terapung, maka ia akan semakin stabil. Dalam
rancangan modern, tinggi metacentre suatu kapal senantiasa dihitung dengan teliti
untuk mengecek kestabilannya.
Cara mengukur tinggi metacentre :
Asumsikan ada sebuah kapal terapung dengan bebas di air. Kapal ini mengalami
rotasi searah dengan putaran jarum jam seperti pada gambar berikut :
2b 3 b b m 2 M a o c Gn e1 B’ B e d
108 d1
Anggap ada kapal terapung di air yang mengalami rotasi membentuk sudut kecil
disekitar titik O. Sebagai akibat rotasi, kedudukan kapal sekarang adalah mengikuti
gambar dengan garis tipis. Maka bagian yang tenggelam sekarang berubah dari acde
ke acd1e1. pusat gaya apung mula-mula B sekarang berubah ke posisi B1. Maka
segitiga aom telah keluar dari air, sedang segitiga ocn berada dibawah air. Karena
volume air yang dipindahkan adalah sama maka berarti kedua segitiga tadi
mempunyai luas wilayah yang sama. Ketika segitiga aom keluar air (berarti
berkurangnya gaya apung disebelah kiri) maka ini cenderung memutar kapal kearah
anti putaran jarum jam. Demikian pula segitiga ocn karena tenggelam kedalam air
(berarti bertambahnya gaya apung disebelah kanan) maka ini cenderung memutar
kapal kearah putaran jarum jam. Efek gabungan dari kedua gaya ini membentuk
kopel yang mana cenderung akan memulihkan atau memutar kapal dalam arah anti
putaran jarum jam. Untuk kecil dimana putaran kapal juga kecil, maka kapal bisa
diasumsikan berputar disekitar titik metacentre M.
Apabila lebar kapal adalah b, sedang panjang kapal L, adapun adalah sudut kecil
dimana kapal berputar sekitar O dan V adalah volume air yang dipindahkan oleh
kapal, maka : am = cn = b2 Jika kecil maka sin = , sehingga am = b. /2
Sedang volume air pada segitiga aom sepanjang L adalah : ½ (a.m)(b/2)L =
½ (b/2)(b/2)L = b2L/8. Jadi massa air pada volume ini = b2L/8 (= massa jenis)
Dengan demikian massa air pada segitiga con sepanjang L juga = b2L/8. Disini
lengan kopelnya adalah sepanjang 2b/3. (Ingat, pada segitiga siku-siku pusatnya
berada pada 1/3 jarak dari tingginya!). Maka momen gaya dari kopel pemulih
(restoring couple) adalah b2L/8 x 2b/3 = b3 L/12, sedang momen dari gaya
pengganggu (disturbing force) adalah : b2L/8 x B1B. Kedua momen ini adalah
sama besar, maka : b3 L/12 = b2L/8 x B1B
109
Masukkan harga Lb2/12 = I (Momen inersia dari bidang kapal yang lebarnya b dan
panjangnya L) dan harga BB1 = BM x (Lihat gambar untuk kecil!), maka :
I. = x V (BM x ) Jadi BM = I/V = Momen inersia bidang per volume
air yang dipindahkan) Maka Tinggi Metacentre GM =BM +/- BG
KETERANGAN : Tanda + digunakan jika G lebih rendah dari B , sedang tanda – digunakan jika G lebih tinggi dari B
Macam-macam Keseimbangan terkait dengan benda yang terapung
Keseimbangan Stabil : Jika benda terapung yang diberi pergeseran sudut kecil dapat
kembali ke posisi semula
Keseimbangan Tak Stabil : Jika benda terapung yang diberi pergeseran sudut kecil
tak dapat kembali ke posisi semula dan terlempar ke tempat yang lebih jauh.
Keseimbangan Netral : Jika benda terapung yang diberi pergeseran sudut kecil
kedudukannya pindah ke tempat yang baru tetapi dalam keadaan tetap diam.
Contoh Soal 1 :
Rapat massa air laut 1,4 gr/cm3. Tentukan besar gaya yang dialami oleh bidang
seluas 4 m2 didasar laut yang dalamnya 5000m jika tekanan udara diatas permukaan
air adalah 1 atm. (g = 9,8 m/s2)
Contoh Soal 2 :
Pipa horizontal dibawah tanah yang luas penampangnya 0,5 m2 mengalirkan zat
cair bermassa 0,9 gr/cm3 . Pipa tersebut berbelok keatas setinggi 10 m dan
ukuran luas penampangnya mengecil sehingga menjadi 0,2 m2. Apabila tekanan
di pipa bawah adalah 4.105 N/m2, sedang besar debit dalam pipa adalah 1m3/s ,
hitung besar tekanan zat cair di ujung pipa yang berada diatas! (g = 9,8m/s2).
110
Contoh Soal 3 :
Sebuah tangki raksasa yang tingginya 40m berisi zat cair dengan rapat massa 0,9
gr/cm2.Permukaan tangki sangat luas dibanding pipa berkelok yang mengalirkan zat
cair tersebut. ( g = 9,8 m/s2)
A1 = luas permukaan tangki ; A2 = luas pipa 2 ; A3 = luas pipa 3
A1 = ∞ Tentukan :
a). Kecepatan aliran di pipa 2
b). Tekanan di pipa 2 apabila
40m tekanan di luar 1 atm !
0,9 gr/cm2
A2 = 0,4m2 A3 = 0,2m2
Contoh Soal 4 :
Suatu silinder pejal berdiameter 3m mempunyai tinggi 3m. Silinder ini dibuat dari
bahan yang specific gravitynya 0,8 dan ia terapung di air dengan sumbunya vertical.
Hitung tinggi metacentrenya dan nyatakan apakah keseimbangannya stabil atau tidak!
Gambar :
G
3m B
O
3m
111
Jawab : Specific gravity adalah harga perbandingan antara rapat massa suatu benda
(dengan rapat massa air (air), jadi specific gravity = airmaka dalamnya
bagian yang tercelup adalah = 0,8 x 3 = 2,4 m, dan jarak pusat gaya apungnya dari
bagian bawah silinder, OB = 2,4/2 = 1,2m. Jarak pusat beratnya dari bagian bawah
silinder = OG = 3/2 = 1,5m. Jadi BG = OG-OB = 1,5-1,2 = 0,3m
Momen Inersia dari seksi lingkaran I = (3)4/64 = 1,27 m4, dan volume air yang
dipindahkan = V = (3)2/4 x 2,4 = 5,4 m3 ; BM = I/V = 1,27 /5,4 = 0,235m,
maka tinggi metacentrenya GM = BM-BG = 0,235 – 0,3 = - 0,065m.
Tanda minus berarti bahwa metacentre M dibawah pusat berat G. Dengan demikian,
silinder dalam keadaan keseimbangan tak stabil.
Contoh Soal 5 : Balok kayu dengan specific gravity 0,8 dan berukuran 1,2x0,4x0,3
terapung dalam air. Tentukan tinggi metacentre disekitar sumbu longitudinalnya!
0,4m
Jawab : Dalamnya bagian balok yang tercelup
adalah = 0,8 x 0,3 = 0,24m. Jarak pusat gaya
apung B dari bagian bawah balok=OB=0,24/2
= 0,12m. Jarak pusat berat dari bagian bawah
balok =OG=0,3/2 = 0,15m. Maka jarak dari
1,2m B ke G = BG = OG-OB = 0,15-0,12 = 0,03m.
Momen inersia benda persegi empat panjang
disekitar sumbu pusat dan parallel terhadap
sisi yang panjang adalah L.b3/12=1,2(0,4)3/12
=0,0064m4.Adapun volume air yang dipindah
V = 1,2 x 0,4 x 0,24 = 0,1152m3. Jadi,
G Jarak B ke metacentre M = BM = I/V =
0,3m B 0,0064/0,1152 = 0,056m. Maka tinggi metacentre
GM = BM – BG = 0,056 – 0,03 = 0,026 m
112
Contoh Soal 6 : Suatu benda terapung berbentuk silinder berdiameter 2m dan
dalamnya 1,2m. Bagian bawahnya yang berbentuk kurva (lengkung), memindahkan
volume air 400 liter sedang pusat gaya apungnya berada pada 1,3m dibawah puncak
silinder. Pusat berat seluruh benda terapung ini adalah 0,8m dibawah puncak silinder
dan total air yang dipindahkan adalah 2,6m3. Tentukan tinggi metacentre dari benda
terapung tersebut !
Gambar :
2m
h O
0,8m
1,2m 1,3m G
B
Jawab : ”h” adalah jarak antara antara permukaan air dengan bagian puncak benda
terapung. Diameter benda yang terapung = 2m ; Kedalaman silinder 1,2m ; Volume
bagian yang berbentuk lengkung 400 liter = 0,4m3 ; OB = 1,3m ; OG = 0,8m ; Total
volume air yang dipindahkan = 2,6m3. Volume air yang dipindahkan oleh bagian
yang silindris adalah 2,6-0,4 = 2,2m3. Jadi 2,2 = /4 (2)2 x (1,2-h) = (1,2-h)
(1,2-h) = 2,2/ = 0,7
113
Maka h = 1,2 – 0,7 = 0,5m. Jarak pusat gaya apung benda terapung yang silindris dari
puncak benda terapung adalah OB = 0,5+(1,2-0,5)/2 = 0,85m. (B adalah pusat gaya
apung untuk semua benda yang terapung !). Maka :
OB = {(0,4x1,3)+(2,2x0,85)}/(0,4+2,2) = 0,92mBG = OB-OG = 0,92-0,8 = 0,12m
Momen inersia I dari bagian silinder atas disekitar pusat beratnya adalah :
I = /64 x (2)4 = 0,7854m2. BM = I/V = 0,7854/2,0 = 0,302m. Maka tinggi
metacentrenya adalah GM = BM – BG = 0,302 – 0,12 = 0,182 m.
Benda terapung yang berbentuk kerucut :
D
Ditinjau benda terapung berbentuk kerucut.
D =Diameter ; d = Diameter pada permukaan
d Zat Cair ; 2= Sudut puncak kerucut ;
G L = Panjang Kerucut ; l = Panjang Kerucut
B yang tercelup zat cair.
Jarak pusat gaya apung B dari O = OB = 3l/4
l ;Jarak pusat
berat dari O=OG=3L/4
OG = 0,75L
Volume zat cair yang dipindahkan :
O V = 1/3 l3 tg2 ; Momen inersia bagian lingkaran
sekitar permukaan zat cair I = /64 x d4
I = /64 x (2l tg )4 = /4 ( l4 tg4)
Harga BM dan tinggi metacentre dapat dicari seperti pada teori diatas.
BM = I/V = {/4 ( l4 tg4)}/ {1/3 l3 tg2 = 0,75 l tg2 GM = BM – BG !
114
14. KESEIMBANGAN Pusat Massa(Titik Massa) merupakan suatu titik pada benda dimana seluruh massa
benda dapat dianggap terpusat dititik tersebut, sedang Pusat Berat (Titik Berat) adalah
suatu titik pada benda dimana seluruh berat benda dapat dianggap terpusat dititik
tersebut. Gaya F adalah besaran penyebab gerak translasi, sedang Momen gaya
(Torka) adalah besaran penyebab gerak rotasi. Sebuah benda berada dalam keadaan
keseimbangan (equilibrium) jika :
1. Resultant gaya-gaya yang beraksi terhadap benda adalah nol, jadi :
F=0 (Fx=0 ; Fy=0 ;Fz=0)
2. Resultant momen gaya pada sumbu adalah nol, jadi :
=0 (x=0 ;y=0 ;z =0)
Torka didefinisikan sebagai hasil perkalian antara posisi r dan gaya F,
jadi r x F , dimana besar harganya adalah r F sin (sudut antara r
dan FArah torka senantiasa tegak lurus terhadap bidang dimana r dan F berada.
(Untuk menentukan arah gunakan aturan putaran sekrup seperti pada teori
perkalian vector) ; O = titik acuan.
r x F = r F sin (= sudut yang diapit oleh r dan F)
Perjanjian Tanda untuk Torka :
O r - F
o r F + F O r
Jika searah putaran jarum jam, diberi tanda +
Jika berlawanan arah putaran, diberi tanda –
22
115Contoh Soal 1. Papan yang panjangnya 8 m dan berat 400N menahan beban yang
beratnya 200N dengan posisi seperti pada gambar. Hitung besar gaya normal N1 dan
N2 !
N2 Jawab : karena seimbang maka
N1 F=0 dan =0
4m 2m 2m Ambil acuan O di ujung kiri papan
(Titik acuan O tentukan sendiri!)
O
W1 W2
1) F=0, maka +W1+W2-N1-N2=0 , jadi 400+200 =N1+N2 atau : N1+N2 = 600
2) =0, maka : +4.W1+6W2-8N2=0 ; 4.400+6.200-8.N2=0 -> Diperoleh :
N2= 350newton, maka N1= 600-350=250newton.
Contoh Soal 2.
Pusat berat dari jembatan miring ada pada 1/3 panjangnya. Jika berat jembatan 800
N, sedang berat mahluk yang akan menyeberang 400N. Hitung pada posisi
ketinggian berapa mahluk tersebut menginjakkan kaki yang menyebabkan
jembatan tersebut tepat ambruk? (s bidang vertikal = 0)
12m Uhuk,uhuk..
9m s=0,4
116
Jawab : Buat acuan O, misal di ujung bagian bawah papan miring, kemudian
gambar seluruh vektor gaya yang ada dalam sistim setelah mahluk tersebut naik.
Menurut teori trigonometri, pada segitiga siku-siku berlaku h:12m=x:9m=t :L
N1 12m L (panjang sisi miring) 400N N2 12m h t 800N Fs O x O 9m 9m
Anggap pada saat jembatan tepat ambruk ketika diinjak, posisi mahluk berada pada
ketinggian h, dan proyeksinya ke bidang datar sejauh x dari acuan O. Sekarang mulai
dilakukan perhitungan sesuai dengan teori keseimbangan :
1) F=0 ; karena gaya-gaya yang bekerja ada pada sumbu x dan y maka : Fx=0 dan
Fy=0 Pada arah sumbu y : Fy=0 N2-400-800=0 N2 =1200 newton
Pada arah sumbu x : Fx=0 N1-Fs = 0 N1 - sN2 = 0 N1=0,4.1200 = 480 ;
maka : N1= 480 newton.
2) =0 ; Torka-torka yang ada dengan acuan O adalah: yang ditimbulkan oleh
gaya-gaya 400N, 800N, dan N1 (Tak ada torka oleh N2). Posisi gaya 400N terhadap
O adalah berjarak = x meter Posisi gaya 800N terhadap O adalah berjarak = 3 meter.
Posisi gaya N1 terhadap O adalah berjarak = 12 meter. Maka :
+12.N1 – 400.x – 800.3 = 0 N1= 480 newton, sehingga:12.480 – 400.x – 800.3 = 0
5760 – 400.x – 2400 = 0 ; x = 3360/400 = 8,4m. Menurut perbandingan
trigonometri, h : 12m = x : 9m = t : L , jadi , h : 12m = 8,4m : 9m
Maka pada posisi mahluk h = (8,4)(12)/(9) = 11,2m jembatan ambruk!
117
Contoh Soal 3 :
Mobil derek digunakan untuk mengangkat beban bermassa 2000 kg dengan
menggunakan alat seperti pada gambar berikut :
BPanjang batang AB=10m T CMassa batang 100 kg (Pusat berat tepat ditengah) 30o
A 60o
Jarak CB= 0,5m g = 9,8 m/s2
Tentukan besar gaya tegangan tali T yang berfungsi menarik beban!
Contoh Soal 4 :
Berat mobil adalah 10.000N. Apabila gaya normal
di roda A adalah 46 % sedang gaya normal di roda
A 2,4m B B adalah 54%, tentukan pusat berat dari mobil tsb
diukur dari roda A !
118
2000kg
15. PANAS DAN PERPINDAHAN PANAS
15.1. Panas
Panas merupakan bentuk energi yang ditransfer diantara dua benda sebagai akibat
adanya beda temperatur (suhu), diberi simbol Q. Satuan panas dalam SI adalah joule
sedang dilapangan sering digunakan satuan kalori (kal) 1 kal = 4,1868 J
Temperatur suatu benda yang menentukan arah aliran panas ketika suatu obyek
mengalami kontak panas dengan obyek lain. Panas mengalir dari tempat yang
bertemperatur lebih tinggi ke tempat lain yang bertemperatur lebih rendah.
Temperatur adalah ukuran dari energi kinetik molekul-molekul, atom-atom, atau ion-
ion pada mana suatu benda atau zat tersusun. Pengukuran terhadap temperatur rendah
dan menengah ( sampai 500 C) biasanya digunakan thermometer, sedang pengukuran
terhadap temperatur tinggi digunakan pyrometer.
15.1.1. Kapasitas panas (C) : dahulu disebut kapasitas termal, adalah jumlah panas
yang diperlukan untuk menaikkan temperatur suatu benda sebesar 1oC. Persamaan
ditulis : C = Q/T, dimana T = perubahan temperatur, dalam satuan kelvin (K) .
Satuan kapasitas panas C adalah joule/kelvin (J/K)
15.1.2. Panas Jenis (c) : adalah banyaknya panas persatuan massa per derajat
perubahan temperatur. c = Q/m.c T , m = massa benda, sehingga dengan demikian
persamaan untuk panas dapat dituliskan : Q = m.c. T joule. Satuan untuk panas jenis
c adalah joule / kg K. Berdasarkan Asas Black, apabila suatu benda memberikan
panas kepada benda yang lain maka pada saat tertentu temperatur kedua benda sama,
dikatakan temperatur kedua benda dalam keadaan seimbang. Dinyatakan bahwa
panas yang diberikan oleh benda 1 ke benda 2 = panas yang diterima oleh benda dari
benda 1 Q1 = Q2 m1.c1. = m2.c2.
23
119
Keterangan : = beda suhu benda 1(T1)dengan suhu akhir Ta = (T1-Ta)
=beda suhu akhir Ta dengan suhu benda 2(T2) = (Ta-T2)
m1 = massa benda 1 ; m2 = massa benda 2
c1 = panas jenis benda 1 ; c2 = panas jenis benda 2
15.1.3. Ekspansi dan Kontraksi
Pada umumnya benda akan mengalami perubahan ukuran apabila suhu benda
berubah. Ekspansi adalah bertambahnya ukuran benda jika suhunya dinaikkan,
sedang kontraksi adalah berkurangnya ukuran benda jika suhunya diturunkan. Efek
ini berkaitan dengan perubahan energi atom-atom/molekul-molekul akibat perubahan
suhu.
a. Ekspansi Linier (untuk benda padat dengan peninjauan hanya kearah 1 dimensi,
misal kawat logam)
Jika suatu benda padat (rigid body = benda tegar) panjang mula-mula Lo diberi
perubahan suhu t, akan mengalami perubahan panjang sebesar L yang berbanding
lurus dengan t. L
Lo
Lt
Besar kecilnya perubahan juga tergantung kepada jenis benda, oleh karena itu harus
dimasukkan suatu faktor berupa konstanta yang dinamakan koefisien ekspansi linier
alpha ( ) sehingga diperoleh persamaan : L= Lo.t atau : = L/Lo t Jika
panjang benda pada suhu mula-mula to adalah Lo, sedang pada suhu akhir t
panjangnya adalah Lt maka L = Lt – Lo, sedang t = t – to, dengan demikian
persamaan menjadi : Lt = Lo ( 1 + t )
120
b. Ekspansi Bidang (peninjauan kearah 2 dimensi)
Jika benda homogen berekspansi maka jarak antara 2 titik dalam zat itu bertambah
sebanding koefisien ekspansinya tiap derajat kenaikan suhu.
Perhatikan benda 2 dimensi pada gambar berikut ini :
xo.y x.y
y
yo.x
yo Ao = xo.yo
xo x
Luas mula-mula Ao dan suhu mula-mula to, setelah dipanasi sampai suhu t maka
sisi xo bertambah panjang sebesar x, sisi yo bertambah panjang sebesar y. Jika
A = At – Ao maka : = xo.y +x.y + yo.x = xo.yo.t + xo.t.yo.t +
yo.xo.t = xo.yot (2 + t) , dimana xo.yo = Ao Karena koefisien
ekspansi umumnya kecil sekali relatif terhadap bilangan 2 yang ada dalam tanda
kurung diatas, ini berarti t kecil sekali relatif terhadap bilangan 2 maka dapat
diabaikan sehingga : A =2t, atau At = Ao (1 + 2t)
Besaran 2biasa disebut koefisien ekspansi luasan sehingga persamaan dapat
ditulis : At = Ao (1 + t)
c. Ekspansi Volum (peninjauan kearah 3 dimensi)
Dengan cara identik pada teori ekspansi bidang maka dapat diperoleh persamaan
ekspansi volum (tiga dimensi) Vt =Vo(1 + 3t) besaran 3 dinamakan
koefisien ekspansi volum , maka persamaan dapat ditulis : Vt = Vo (1 + t)
Termometer : adalah alat yang digunakan untuk mengukur temperatur (suhu) benda,
pada umumnya hanya digunakan untuk pengukuran temperatur rendah dan
menengah.
121
Macam-macam Thermometer :
Celcius : Skala suhu air beku 0oC, suhu air mendidih 100oC
Reamur : Skala suhu air beku 0or, suhu air mendidih 80or
Fahrenheit : Skala suhu air beku 32oF, suhu air mendidih 212oF
Rankine : Skala suhu air beku 492oR, suhu air mendidih 672oR
Kelvin : Skala suhu air beku 273K, suhu air mendidih 373K
t oC t or t oF t oR t K
Suhu air mendidih 100 80 212 672 373
Suhu air membeku 0 0 32 492 672
Suhu Nol Mutlak -273 -218 -460 0 0
Keterangan : t oC = 4/5 t or = (9/5 t + 32) oF = (273 + t)K
t oR = t oF + 460
15.2. Perpindahan Panas (Heat Transfer)
Mekanisme perpindahan panas dari suatu tempat ke tempat lain ada 3 cara :
1. Konduksi : Proses perpindahan panas pada medium zat padat dimana energi
panas dipindahkan oleh gerakan elektron elektron bebas pada medium
tersebut, misal : besi, tembaga, beton, dan sebagainya.
2. Konveksi : Perpindahan panas oleh perpindahan massa dari benda yang
menjadi mediumnya, misal air, udara, dan fluida lainnya.
3. Radiasi : Perpindahan panas tidak memerlukan medium untuk perambatannya
karena disini panas dibawa oleh gelombang elektromagnetik, misal radiasi
matahari yang datang ke bumi melewati daerah vakum di angkasa luar.
122
15.2.1. Konduksi
24
Jika suatu bahan misal besi dengan luas permukaan A dan tebal x salah satu sisinya
dipanasi maka panas akan mengalir dari sisi yang bersuhu lebih tinggi ke sisi lain
yang bersuhu lebih rendah. Apabila lama waktu mengalir adalah t maka besar jumlah
energi panas yang mengalir :
Q = - k.A.t. T/x , dimana : Q = jumlah panas yang mengalir (J)
k = koefisien konduksi, harganya
tergantung jenis bahan (J/smK)
T2 T1 A = luas permukaan (m2)
A T = (T2 – T1), suhu T2>T1
Q k x = tebal bahan (m)
x
Dengan demikian maka jumlah panas yang mengalir per satuan waktu dinyatakan
sebagai : Q/t = - k.A.T/x , dinamakan arus panas H, satuannya J/s
Secara umum persamaan dituliskan : H = dQ/dt = - k.A.dT/dx ; dimana :
dQ = elemen panas yang mengalir
dt = elemen waktu
- = tanda negatif, menunjukkan adanya
penurunan suhu
dT = elemen perubahan suhu
dx = elemen tebal bahan
123
Arus Panas melalui beberapa jenis bahan
Apabila arus panas mengalir melalui dua buah lapisan yang jenisnya berbeda dimana
suhu T2 dan T1 besarnya konstan (T2>T1), maka kondisi demikian disebut dalam
keadaan tunak (steady state). Dengan demikian besar arus panas pada lapisan bahan
yang satu H1 sama dengan besar arus panas panas pada lapisan bahan dua H2.
Keterangan :
T2 T1 k1 = koefisien konduksi bahan 1
Tx A k2 = koefisien konduksi bahan 2
Q k1 k2 x1 = tebal bahan 1
x2 = tebal bahan 2
Tx = suhu sambungan
x1 x2
Pada lapisan bahan 1 : H1 = - k1.A (T2-Tx)/x1 ……….……..(1)
Pada lapisan bahan 2 : H2 = - k2.A (Tx-T1)/x2…….…………(2)
Karena H1 = H2 maka : - k1.A (T2-Tx)/x1 = - k2.A (Tx-T1)/x2
Dari persamaan diatas diperoleh besar suhu pada sambungan Tx ,
Tx = k1.T2.x2 + k2.T1.x1 / (k2.x1+k1.x2) Dengan memasukkan harga Tx ini kedalam
persamaan (1) atau (2), akan diperoleh besar arus panas yang mengalir pada benda
yang tersusun dari 2 jenis bahan yang berbeda ini :
H = A (T2 – T1) / (x1/k1+x2/k2)
Untuk sejumlah n lapisan bahan, secara umum persamaan arus panas dapat
dituliskan : H = A (T2 – T1) / x/k , dimana x/k = x1/k1 + x2/k2 + x3/k3 +.......xn/kn
124
Arus Panas pada benda Bentuk Pipa
Pada bab terdahulu aliran panas bergerak searah karena luas permukaan bagian
belakang sama dengan luas bagian depan, namun tidak demikian untuk panas yang
mengalir dari bagian dalam suatu benda berbentuk pipa (silindris) kearah bagian luar,
karena mengalami pengembangan luas, oleh karena itu perlu dihitung menggunakan
teori integral. Jika suhu dibagian dalam pipa T2 sedang suhu dibagian luar pipa T1
dimana T2>T1, dalam keadaan ”steady state” dimana harga T2 dan T1 besarnya
konstan maka digunakan persamaan : H = - k.A.dT/dx
T1
T2
L
Berjari-jari : Ra r Rb
Ditinjau elemen silinder berjari-jari ”r”(garis tebal), luas permukaan elemen silinder :
A = 2 .r.L, maka H = - k. 2 .r.L.dT/dr, atau : H.dr/r = - 2 L.k.dT.
Untuk r = Ra, maka besar suhu T = T2, sedang untuk r = Rb, besar suhu T = T1.
Harga-harga ini merupakan batas integral, sehingga apabila dimasukkan ke
persamaan diperoleh : H ∫ba dr/r =-2L.k∫T1
T2 dT ; H (ln a-ln b)= -2 L.k.(T2-T1) ;
H.ln a/b = - 2 L.k.(T2-T1) ; H.ln b/a = + 2 L.k(T2-T1) Maka besar arus panas
yang mengalir melalui dinding dari bagian dalam pipa ke bagian luar :
H = 2L.k (T2-T1)/ln(b/a) J/s
125
Aliran Panas pada pipa dengan Dinding Berlapis Banyak
Sebagaimana pada papan datar, apabila arus panas mengalir melalui dinding pipa
berlapis banyak yang masing-masing lapisan terbuat dari jenis bahan yang berbeda
maka dalam keadaan steady state, besar arus panas H adalah sama pada tiap-tiap
lapisan. Ditinjau sebuah pipa tang dindingnya terdiri dari dua jenis bahan yang
berbeda, misal bahan 1 dibagian dinding dalam pipa mempunyai koefisien konduksi
k1, sedang bahan 2 dibagian dinding luar pipa mempunyai koefisien konduksi k2
seperti pada gambar dibawah. Jari-jari bagian dalam pipa adalah a, jari-jari bagian
luar pipa b, sedang jari-jari sambungan adalah s. Suhu di bagian dalam pipa T2, suhu
di sambungan Tx, dan suhu di bagian luar pipa T1 . Berikut adalah gambar penampang
pipa berlapis dua :
b Pada dinding dalam : H1 = 2L.k1(T2-Tx)/ln (c/a)
T1 Pada dinding luar : H2 = 2L.k2 (Tx-T1)/ln (b/c)
Dalam keadaan steady state, H1 = H2 maka :
2L.k1(T2-Tx)/ln(c/a)=2L.k2(Tx-T1)/ln(b/c)
Dari persamaan ini diperoleh besar suhu pada
sambungan (daerah lingkaran tebal) yakni Tx :
Tx = k1.T2.ln(b/c) + k2.T1.ln(c/a) / k2.ln(c/a)+k1.ln(b/c)
Dengan memasukkan harga Tx ini ke persamaan (1) atau (2) diperoleh harga
arus panas H pada pipa dengan dinding berlapis dua :
H = 2L(T2-T1) / [ ln(c/a)/k1+ln(b/c)/k2 ]
Apabila sebuah pipa dindingnya terdiri dari 4 lapisan dari bahan bahan yang jenisnya
berbeda-beda dengan koefisien konduksi masing masing bahan adalah k1, k2, k3, dan
k4, dan jari-jari dari arah bagian dalam pipa menuju bagian
luar adalah ro, r1, r2, r3, dan r4 (perhatikan gambar penampang pipa
berlapis banyak pada gambar dibawah), maka besar arus panas H yang mengalir
melalui dinding pipa tersebut adalah :
126
T1
H = 2L(T2-T1) / [ ln(r1/ro)/k1+ln(r2/r1)/k2+ln(r3/r2)/k3+ln(r4/r3)/k4]
Arus Panas pada benda Bentuk Bola
Apabila sumber panas mengalir dari dalam sebuah benda homogen berbentuk bola
dengan jari-jari bagian dalam Ra dan bersuhu T2, sedang jari-jari bagian luarnya Rb
dan bersuhu T1 maka besar arus panasnya dapat dicari sebagai berikut :
H = - k.A.dT/dr
A = luas elemen bola berjari-jari r
Rb T1 ( gambar lingkaran tebal)
A = 4 r2 .
H = - k. 4 r2 dT/dr
Persamaan ini dapat ditulis :
H.dr /r 2 = -4 k.dT
Batas integralnya adalah :
T2 >T1 Untuk r = a, besar suhu = T2
Untuk r = b, besar suhu = T1
127
H ∫ ba dr/r2 = - 4 k ∫ T1
T2 dT ; H [ -1/r ] ba = - 4 k (T2-T1)
-H (1/a-1/b) = -4 k(T2-T1)
Jadi besar arus panasnya adalah : H = 4 k (T2-T1)/ [(b-a)/ab]
Untuk dinding bola yang terdiri dari beberapa lapisan bahan dari jenis yang berbeda-
beda, dengan cara seperti pada bab-bab terdahulu (yakni dengan persamaan H1=H2)
maka besar arus panas yang mengalir dapat dihitung.
Contoh Soal : Suatu pipa dinding berlapis 2 dengan jari-jari dinding terluarnya 20cm
terbuat dari 2 bahan yang berbeda jenisnya mengalirkan cairan panas bersuhu 60oC.
Tebal kedua bahan sama yakni 4cm. Koefisien konduksi bahan 1 = 0,48 J/s.m.K,
sedang koefisien konduksi bahan 2 = 0,04 J/s.m.K. Apabila suhu di permukaan luar
pipa 20oC, bahan yang mana yang harus ditempatkan dibagian dalam pipa agar daya
isolasi dinding terhadap panas lebih besar ? (daya isolasi = kebalikan daya konduksi)
20oC b
a
Jawab : Besar arus panas untuk pipa yang dindingnya tersusun dari 2 jenis bahan
yang berbeda adalah :
H = 2L(T2-T1) / [ ln(c/a)/k1+ln(b/c)/k2 ]
Dimana : a = jari-jari dinding dalam
b= jari-jari dinding luar
c = jari-jari sambungan (gambar lingkaran tebal)
128
Jika bahan 1 yang ditempatkan di bagian dalam pipa :
H = 2L(60-20) / [ ln(16/12)/0,48+ln(20/16)/0,04 ] =
2L(40)/[0,599+5,58] = 80L/6,178 J/s = 251,33L/6,178 = 40,68L
Jika bahan 2 yang ditempatkan di bagian dalam pipa :
H = 2L(60-20) / [ ln(16/12)/0,04+ln(20/16)/0,48 ] =
2L(40)/[7,192+0,465 = 80L/7,66 J/s = 251,33L/7,66 = 32,81L
Dari hasil perhitungan diperoleh harga arus panas H untuk bahan 1 yang ditempatkan
di bagian dalam pipa (bahan 2 diluar) lebih besar jika dibandingkan dengan harga H
untuk bahan 2 yang ditempatkan di bagian dalam (bahan 1 diluar), berarti daya
konduksi panas lebih besar. Adapun jika bahan 2 yang ditempatkan dibagian dalam
pipa daya konduksi panasnya lebih kecil. Karena daya isolasi kebalikan dari daya
konduksi maka berarti agar daya isolasi dinding pipa lebih besar maka yang harus
ditempatkan dibagian dalam pipa adalah bahan 2.
129
16. STRUKTUR ATOM DAN MOLEKUL
Inti atom, berisi proton (p)
dan netron (n)
Kulit atom, berisi elektron (e)
16.1. Atom
Atom merupakan elemen dasar dari suatu benda yang tersusun dari inti atom dan
kulit atom. Inti atom terdiri dari proton (p) yang bermuatan listrik positif dan netron
(n) yang tidak bermuatan listrik (netral), sedang kulit atom berisikan elektron (e) yang
bermuatan listrik negatif. Massa proton = 1.67.10-27 kg, massa netron kurang lebih
sama dengan massa proton, sedang massa elektron = 9,1.10-31 kg. Muatan listrik
proton = +1,6.10 -19 coulomb (C), sedang muatan listrik elektron = -1,6.10 -19C.
Nomor atom Z menunjukkan banyaknya proton yang ada dalam suatu atom =
banyaknya elektron yang ada dalam atom tersebut. Massa atom M dihitung dari
banyaknya massa proton dan massa netron dalam inti, sedang massa elektron karena
relatif kecil tidak dimasukkan dalam perhitungan, jadi dapat diabaikan. Benda-benda
yang berada disekitar kita termasuk yang digunakan dalam dunia industri terdiri atas
banyak sekali atom-atom dan molekul-molekul. Molekul adalah suatu bentuk atom
tunggal atau kelompok atom yang berikatan secara kimia. Bila massa dua zat yang
berbeda mempunyai massa molekuler yang sepadan, zat-zat tersebut terdiri atas
molekul yang sama jumlahnya. Berdasarkan kenyataan ini didefinisikan istilah mole.
1 mole suatu zat adalah jumlah/banyaknya zat tersebut yang massanya sama dengan
massa atom / molekuler zat itu. Jadi jumlah zat itu, mungkin atom, molekul, ion,
elektron, proton, dan lain sebagainya.
130
25
Satu mole setiap zat apa saja mengandung sebanyak 6,022.10 23 butir. Satuan massa
untuk atom dan molekul adalah a.m.u. (atomic mass unit) dengan simbol u yang
besarnya 1,67.10 -27 kg. Dari penjelasan ini dapat disimpulkan bahwa : 1 mole carbon-
12 mempunyai massa 12 gram karena massa atom carbon-12 besarnya 12u, atau
kalau dibalik, untuk 12 gram 12C terdapat 1 mole atom-atom carbon. Demikian juga
untuk 235gram 235U terdapat 1 mole atom-atom uranium.
16.1.1. Elektron
Elecktron merupakan partikel dasar untuk listrik, dan semua muatan listrik
merupakan kelipatan muatan elektron. Elektron terdapat pada kulit atom, suatu
tempat dimana elektron mengorbit menempuh lintasan lingkaran mengelilingi inti
atom. Keberadaan setiap elektron pada kulit atom mengikuti aturan tertentu. Pauli
(1925) mengemukakan prinsip yang dikenal dengan prinsip Exclusi Pauli yang
menyatakan bahwa : Dalam setiap atom tidak boleh ada suatu elektron yang
mempunyai ke empat bilangan kuantumnya tepat sama dengan yang lain.
Empat bilangan kuantum electron adalah :
a. Bilangan Kuantum Utama-n : berharga 1,2,3,4,..... Pada orbit n = 1
mempunyai energi terrendah. Tempat kedudukan elektron pada n = 1,2,3,4, dan
seterusnya dinamakan kulit K,L,M,N, dan seterusnya. Banyaknya elektron
disetiap kulit maksimum adalah 2n2. Apabila kulit tidak sepenuhnya terisi maka
jumlah elektron pada kulit tersebut kurang dari 2n22 .
b. Bilangan Kuantum Azimuth (orbital)-l : berharga l = 0,1,2,3,.......( n-1 ).
Jadi apabila n = 1 maka l = 0, apabila n = 2 maka l = 0 dan l = 1. Orbital l =
1,2,3,4, dan seterusnya merupakan sub kulit yang dinamakan s,p,d,f, dan
seterusnya. Banyaknya elektron di setiap sub kulit maksimum 2(2l+1). Apabila
sub kulit tidak sepenuhnya terisi maka jumlah elektron pada sub kulit tersebut
kurang dari 2(2l+1).
131
c. Bilangan Kuantum Magnetik-m : untuk setiap harga l yang ada, akan mem
punyai harga m yang banyaknya 2l+1. Harga m nya mengikuti rumus :
-l, -(l-1),.....,0,…..+(l-1),+l.
Jadi apabila l = 1, maka m = -1, 0, +1
Untuk l = 2, maka m = -2, -1, 0, +1, +2
d. Bilangan Kuantum Spin-s : untuk setiap harga m yang ada, terdapat 2 s yang
harganya : +1/2 dan -1/2. Maka apabila m = -1, 0, +1, bilangan kuantum spin
“s”nya : +1/2, -1/2, +1/2, -1/2, +1/2, -1/2.
16.1.2. Konfigurasi Elektron
Susunan electron pada kulit atom dapat dituliskan sebagai berikut :
Misal atom natrium Na dengan jumlah elektron 11 buah, dituliskan :
11 Na 1s2 2s2 2p6 3s1 , artinya : sub kulit 1s ( n = 1 , l = 0 ) dan 2s ( n = 2, l = 0 )
masing-masing berisi dua elektron, sub kulit 2p ( n = 2, l = 1 ) berisi enam elektron,
dan sub kulit 3s ( n = 3, l = 0 ) berisi satu elektron.
Tabel Bilangan Kuantum
Apabila kita akan membuat tabel bilangan kuantum-n,l,m, dan s dari kulit M yang
terisi penuh elektron maka dapat dilakukan cara sebagai berikut :
Kulit M berarti n = 3 ; l = 0,1,2 ; Jadi untuk l = 0 maka m = 0, dengan s = 1/2 dan
-1/2 ; untuk l = 1 maka m = -1,0,+1 dengan s = 1/2,-1/2,1/2,-1/2,1/2,-1/2 ; untuk
l =2 maka m = -2, -1, 0, +1, +2, dengan s = 1/2, -1/2,1/2,-1/2,1/2,-1/2,1/2,-1/2,
1/2,-1/2. ( Ingat, banyaknya m = 2l+1 )!
Perhatian : Untuk kulit M (n=3), apabila terisi penuh berarti jumlah elektronnya ada
2n2 = 2.32 = 18 buah.
132
Tabel bilangan kuantum untuk 18 buah electron yang berada di kulit M :
n l m s
3 0 0 1/2
3 0 0 -1/2
3 1 -1 1/2
3 1 -1 -1/2
3 1 0 1/2
3 1 0 -1/2
3 1 +1 1/2
3 1 +1 -1/2
3 2 -2 1/2
3 2 -2 -1/2
3 2 -1 1/2
3 2 -1 -1/2
3 2 0 1/2
3 2 0 -1/2
3 2 +1 1/2
3 2 +1 -1/2
3 2 +2 1/2
3 2 +2 -1/2
Tabel untuk kulit M yang terisi penuh elektron diatas berasal dari penjabaran berikut :
n = 3 berarti jumlah l ada 3 yakni : l = 0,1, dan 2
l = 0 ; 1 ; 2 untuk l = 0 maka m ada 1 buah yaitu 0
untuk l = 1 maka m ada 3 buah yaitu -1,0,+1
untuk l = 2 maka m ada 5 buah yaitu -2,-1,0,+1,+2
133
Jadi semua m ada : 0 ; -1, 0, +1 ; -2, -1, 0, +1, +2
Tiap 1 buah harga m ada 2 buah s yakni +1/2 dan -1/2, sehingga total bilangan
kuantum spin s nya :
1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1/2,-1/2, 1/2 -1/2, 1/2,-1/2,1/2,-1/2
16.2. Ikatan Molekul
Suatu atom berada dalam keadaaan paling stabil jika kulit-kulit elektronnya tertutup
(jumlah elektronnya maksimum sesuai dengan aturan Pauli). Maka atom cenderung
untuk mendapatkan atau melepaskan elektron untuk memperoleh kulit tertutup
dengan cara bergabung dengan atom lain. Ada beberapa sistim ikatan molekul :
16.2.1. Ikatan Ionik : merupakan ikatan elektrostatik antara ion-ion. (Ion = atom atau
gugusan atom yang bermuatan listrik). Misal atom natrium (Na) dengan
jumlah elektron total 11 buah, yakni 2 buah di kulit K, 8 buah di kulit L, serta
1 buah di kulitnya yang terluar M. Karena di kulit ini hanya terisi 1 buah
elektron maka atom Na ini tidak stabil dan cenderung melepas elektron
terluarnya untuk menjadi ion positif. Atom chlorida Cl mempunyai jumlah
elektron 17, dengan perincian : 2 buah di kulit K, 8 buah di kulit L, dan 7
buah di kulit terluarnya M. Di kulit ini baru terisi penuh jika jumlah
elektronnya 8 buah. Oleh karena itu disini masih banyak tempat kosong
sehingga atom Cl ini tidak stabil dan cenderung untuk menarik elektron dari
luar untuk menjadi ion negatif. Apabila satu-satunya elektron yang ada di
kulit terluar atom Na ini pendah ke kulit terluar atom Cl yang banyak kosong
maka akan menghasilkan 2 buah ion, yang satu bermuatan positif karena
kehilangan elektron, dan yang lain negatif karena mendapat tambahan
elektron. Akhirnya, kedua ion ini tarik menarik membentuk ikatan molekul
”Ionik”. Contoh ikatan antara Natrium dengan Chlorin membentuk NaCl :
134
e
Na Cl
Na+ Cl-
16.2.2. Ikatan Covalen : adalah ikatan antar atom dengan cara pemakaian bersama
sepasang elektron atau beberapa pasang Contoh :
H H H C C H
b). Ikatan molekul H2 b). Ikatan molekul C2 H2
Atom Hidrogen hanya memiliki 1 buah elektron sedang Atom Carbon
memiliki 6 buah elektron yakni 2 elektron di kulit dalam (tidak digambar) dan
4 elektron di kulit luar. Disini tampak di kulit terluar Atom Carbon terdapat 6
elektron karena yang 2 elektron berasal ”pinjam” dari elektron ”tetangga”
yakni dari Atom H dan Atom C yang dipakai bersama.
16.2.3.Ikatan Logam : Setiap atom logam pada umumnya hanya mempunyai sedikit
elektron di kulit terluarnya. Elektron elektron ini sangat mudah lepas dan
bergerak bebas keseluruh bagian logam dengan meninggalkan ion logam yang
bermuatan positif. Karena dalam suatu benda logam terdiri dari banyak sekali
atom-atomnya maka elektron elektron yang bergerak bebas jumlahnya juga
sangat banyak bagai kabut elektron, demikian juga jumlah ion ion positif
sangat banyak. Karena kabut elektron berada dimana mana disela sela antar
ion ion positif tersebut maka terjadilah gaya tarik menarik antara ion ion
positif dengan kabut elektron dan terjadilah ikatan logam membentuk molekul
135
DAFTAR PUSTAKA
Bansal, R., A Text Book of Engineering Mechanics, Laxmi Publications Ltd., New Delhi, 2004Beer, F., Johnston,R., Mechanics for Engineers, 4th ed., Mc Graw Hill Book Company, NY, 1987Burton,T.D., Introduction to Dynamic System Analysis, Mc Graw Hill International Edition, NY, 1994Counihan, M., A Dictionary of Energy, Routledge & Kegan Paul Ltd., 1981Enge,H., Introduction to Nuclear Physics, Addison Wesley Publishing Co., London,1974.Fishbane, P., Gasiorowicz, Physics for Scientists and Engineers, Prentice Hall Inc., New Jersey, 1996Hibbeler, Engineering Mechanics: Dynamics, Prentice Hall Pearson Education Asia Pte, Ltd., Singapore, 2002Kelvey, J., Grotch, H., Physics for Science & Engineering, Harper & Row Publishers, NY., 1978Khumar,L., Engineering Fluids Mechanics, Eurasia Publishing House Ltd., New Delhi, 2006Khurmi, R., A Text Book of Engineering Mechanics, S.Chand & Company Ltd., New Delhi, 2004Marmet, P., Einstein’s Theory of Relativity versus Classical Mechanics, Newton Physics Books, Glaucester, 1993Meriam, J.L., Kraige,L.G., Engineering Mechanics : Dynamics, John Wiley & Sons Ltd., Virginia, 2003Merken, Physical Science with Modern Applications, 5th ed., Sounders College Publishing, NY, 1992Miller, F., Dillon, T., Concepts in Physics, Harcourt Brace Jovanovich Inc, 1974Mittal, P., Anand J., A Text Book of Sound, Har Anand Publications, New Delhi, 1994Spiegel, M., Theory and Problems of Vector Analysis, Mc Graw Hill Book Company, NY, 1974Thumann, A., Metha, P., Hand Book of Energy Engineering, 4th ed., The Fairmont Press Inc., 1997Young, Freedman, University Physics, 9th ed., Addison Wesley, Massachusets, 1998
136
![2013.W03.[LE] Multimedia Physics](https://static.fdokumen.com/doc/165x107/55cf98a6550346d03398dfb9/2013w03le-multimedia-physics.jpg)
