Persamaan Garis Lurus

Anwar MutaqinUniversitas Sultan Ageng Tirtayasa

1 Pengertian Garis Lurus

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena meru-pakan objek elementer, garis biasanya tidak dide�nisikan. Pada bagian ini akan dibahas garislurus. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat.Perhatikan gambar, garis 1 jelas bukan garis lurus sedangkan garis 2 adalah garis lurus.

Garis 1 Garis 2

Salah satu komponen yang penting dalam pembahasan garis lurus adalah kemiringan garisatau disebut juga gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal denganjarak horisontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan lebihmudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat kartesius. Koordinat kartesius dalam halini adalah kerangka acuan dari setiap objek geometri dimensi 2.

x

y

A(x1,y1)

B(x2,y2)

l

Gra�k 1

Perhatikan Gra�k 1, garis l melalui dua titik yaitu titik A (x1; y1) dan B (x2; y2). Gradien(dinotasikan dengan m) garis l dihitung dengan rumus

m =4y4x =

y2 � y1x2 � x1

(1)

Sebagai latihan, perhatikan gra�k berikut

1

2

­10 ­8 ­6 ­4 ­2 2 4 6 8 10

­10

­8

­6

­4

­2

2

4

6

8

10

x

ya

bc

d

Di gambar terdapat empat buah garis, gradien masing-masing garis adalah sebagai berikut:

1. Garis a, melalui titik (0; 2) dan (�2; 8), maka gradien garis a,

ma =y2 � y1x2 � x1

=8� 2�2� 0 = �3

2. Garis b, melalui titik (0;�1) dan (4; 7), maka gradien garis b,

mb =y2 � y1x2 � x1

=7� (�1)4� 0 =

8

4= 2

3. Garis c; melalui titik (�6;�2) dan (6; 6), maka gradien garis c,

mc =y2 � y1x2 � x1

=6� (�2)6� (�6) =

8

12=2

3

4. Garis c, melalui titik (�6; 4) dan (0; 2), maka gradien garis d,

md =y2 � y1x2 � x1

=2� 4

0� (�6) =�26= �1

3:

Tentu saja titik-titik yang dilalui oleh masing-masing garis sebanyak tak hingga buah, tetapiuntuk mempermudah perhitungan diambil titik yang jelas koordinatnya.

2 Menentukan Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Persamaangaris lurus ditulis dalam bentuk

y = mx+ c (2)

3

dengan m adalah gradien dan c adalah suatu konstanta. Persamaan garis lurus dapat ditulisjuga sebagai

ax+ by + c = 0: (3)

Dalam hal ini a atau b tidak boleh nol. Jika kita nyatakan bentuk (3) seperti (2), maka didapat

y = �abx� c

b:

Jadi, gradiennya adalahm = �a

b:

Contoh 2.1 Tentukan gradien garis yang dinyatakan dalam persamaan berikut!

1. y = 2x� 4

2. y = 3� x

3. y = 25x+ 3

4. 2x+ 3y � 6 = 0

5. 4x� y + 3 = 0

Jawab.

1. m = 2

2. m = �1

3. m = 25

4. m = � 23

5. m = � 4�1 = 4

Selanjutnya, kita dapat menentukan persamaan garis lurus dari informasi yang ada. Jika dike-tahui dua titik yang dilalui garis lurus tersebut, maka langkah-langkah menentukan persamaangaris lurus adalah sebagai berikut. Misalkan titik yang dilalui adalah A (x1; y2) dan B (x2; y2).

x

y

A(x1,y1)

P(x,y)

B(x2,y2)

l

Titik P (x; y) adalah sebarang titik yang terletak pada garis l (lihat gambar). Persamaan garislurus kita dapatkan dengan menghitung gradien garis l. Perhatikan bahwa

mAP = mAB

y � y1x� x1

=y2 � y1x2 � x1

4

atau dapat ditulis menjadiy � y1y2 � y1

=x� x1x2 � x1

(4)

Persamaan terakhir adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik, yaitu A (x1; y2) danB (x2; y2).

Contoh 2.2 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui:

1. A (2; 3) dan B (4; 9)

2. P (�1; 2) dan B (3;�5)

Jawab.

1. Perhatikan bahwa x1 = 2, y1 = 3, x2 = 4, dan y2 = 9. Maka persamaan garis lurusnyaadalah

y � 39� 3 =

x� 24� 2

y � 36

=x� 22

y � 3 = 6

�x� 22

�y � 3 = 3x� 6

y = 3x� 3

2. Perhatikan bahwa x1 = �1, y1 = 2, x2 = 3, dan y2 = �5. Maka persamaan garis lurusnyaadalah

y � 2�5� 2 =

x� (�1)3� (�1)

y � 2�7 =

x+ 1

4

y � 2 = �7�x� 24

�y � 2 = �7

4x+

7

2

y = �74x+

11

2

atau dapat ditulis menjadi7x+ 4y � 22 = 0:

Perhatikan kembali rumus (4), rumus tersebut dapat diubah menjadi

y � y1 = (y2 � y1)x� x1x2 � x1

=y2 � y1x2 � x1

(x� x1)

Ingat bahwa y2�y1x2�x1 = m. Jadi,

y � y1 = m (x� x1)

Rumus tersebut adalah untuk menentukan persamaan garis lurus yang gradiennya m danmelaluisebuah titik (x1; y1).

Contoh 2.3 Tentukan persamaan garis lurus jika diketahui:

5

1. gradiennya 2 dan melalui titik (3;�1)

2. Gradiennya �3 dan melalui titik (2; 4)

3. Gradiennya 34 dan melalui titik (�1; 2)

Jawab.

1. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 = �1. Persamaan garis lurusnya adalah

y � y1 = m (x� x1)y � (�1) = 2 (x� 3)

y + 1 = 2x� 6y = 2x� 7

atau dapat ditulis2x� y � 7 = 0

2. Perhatikan bahwa m = �3, x1 = 2, dan y1 = 4. Persamaan garis lurusnya adalah

y � y1 = m (x� x1)y � 4 = �3 (x� 2)y � 4 = �3x+ 6

y = �3x+ 10

atau dapat ditulis3x+ y � 10 = 0

3. Perhatikan bahwa m = 2, x1 = 3, dan y1 = �1. Persamaan garis lurusnya adalah

y � y1 = m (x� x1)

y � 2 =3

4(x� (�1))

4 (y � 2) = 3 (x+ 1)

4y � 8 = 3x+ 3

3x� 4y + 11 = 0:

3 Gra�k Persamaan Garis Lurus

Jika diketahui sebuah persamaan garis lurus, maka kita harus dapat membuat gra�knya. Se-cara umum, untuk membuat gra�k dari persamaan garis lurus tinggal pilih dua titik sebarangkemudian tarik garis lurus yang menghubungkan kedua garis tersebut.

Contoh 3.1 Buat gra�k y = 2x� 1!

Jawab. Pilih dua nilai x yang berbeda, misalnya x = 1 dan x = 3. Selanjutnya, tentukan nilaiy dengan tabel berikut:x 1 3y 1 5Selanjutnya buat titik (1; 1) dan (3; 5) di bidang kartesius dan tarik garis lurus yang melaluikedua titik tersebut!2x� 1

6

­6 ­4 ­2 2 4 6

­6

­4

­2

2

4

6

x

y

(1,1)

(3,5)

Cara lain yang lebih mudah adalah dengan mencari titik potong terhadap sumbu x dan sumbuy