TUGAS PORTOFOLIO MATEMATIKA DASAR

Dosen Pengampu : Riza Arifudin ,S.Pd.,M.Cs.

Nama :Emas Agus Prastyo Wibowo NIM :4311413013 Prodi :Kimia

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2013

BAB II

SISTEM BILANGAN REAL

A. Kompetensi dan Indikator

A.1 Standar Kompetensi

Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.

A.2 Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai

mutlak, akar

kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem

persamaan linear

A.3 Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

Kalkulus-1 : Sistem Bilangan Real

A. Sistem Bilangan B. Pertidaksamaan C. Nilai Mutlak

A. Sistem Bilangan

BILANGAN REAL Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan

dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional

Bilangan Rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

di mana p, q Z,

dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0}.

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .

Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5

Sistem Bilangan / Himpunan Bilangan

Himpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, }

Himpunan Bilangan Bulat: Z = { ,2,1, 0, 1, 2, 3, }

Himpunan Bilangan Rasional: Q = { | p, q Z, q_= 0}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnya

adalah 2. Apakah bilangan tersebut merupakan bilangan rasional .

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional

disebut himpunan bilangan

real, disimbolkan R. Jelas N Z Q R.

1) Sifat-sifat Bilangan Real - Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalian

x+y= y + x dan xy =yx

- Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian

(x+y)+z = x +(y +z) dan (xy)z = x(yz)

- Distributif, perkalian terhadap penjumlahan (x+y) = xz+yz

- Unsur identitas Terhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = x Terhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x.1 = x

- Invers Terhadap penjumlahan yaitu x sehingga x +(-x) = 0

Terhadap perkalian yaitu 1

sehingga x .

1

= 1

2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real Trikotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x

< y atau x > y atau x = y

Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila ````z

bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan

garis bilangan(real)

-3 0 1

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang

mengandung paling sedikit 2

bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara

keduanya.

Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:

{ x|a xb,xR} =[a,b ] disebut selang tutup {x|a< <

7. (, b] = { x | x b } b

8. (,) = R

B. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel

karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.

Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai

negatif.

Bentuk umum:

atau

Contoh:

3+1

22+8

3

5+34

Himpunan dari semua titik x R yang memenuhi pertaksamaan tersebut

disebut solusi.

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:

(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari +1

2

+3)

Tentukan daerah definisi dari pertaksamaan tersebut

Tambahkan kedua ruas dengan ()

()sehingga diperoleh bentuk

()

()< 0

Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor linier & kuadrat definit.

Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x).

Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa

tanda dari ()

()

+ - - +

Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.

Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda dari ()

()

sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu titik saja ?

Jelaskan !

Latihan Tentukan solusi dari:

a) 2 x2 x < 6

b) (x 1)2 4 c) 5x 3 7 - 3x

Hati-Hati:

Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanya

ilustrasi: 1

1< 1

Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:(3)3(+1)

3 2

0

C. Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak x dengan notasi |x | didefinisikan sebagai:

Contoh: | 6 | = 6 ,karena 60 | -4| = - ( - 4) = 4,karena 4 < 0 | 0 | =0

Akibat definisi nilai mutlak

< < | < | x> < | | > Sifat-sifat Nilai Mutlak

a. |x.y | = |x | .|y | b.

c. | x+y|

Latihan

a) |x 3| = x 3

b) |x 1| = 2.

c) |x 5 ||2 x 6|

d) |2x 7| < 3

e) |x 2| + |x + 2| > 7

f) |x 2| < 3 |x + 7|

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi Panjang

Pelopor: Pierre de Fermat

(1629) & Rene Descartes

(1637)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam

grafik. Ada

beberapa macam system koordinat yaitu:

Sistem Koordinat Cartesius;

Sistem Koordinat Kutub;

Sistem Koordinat Tabung, dan

Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat Cartesius

Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar

(horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x

sedangkan garisyang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu

tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-

titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif)

sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.

Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O

masing-masing dikaitkan dengan

bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar

(bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I,

kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannya

Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable

berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y

masing masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada

di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0)

maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O dalam hal

ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Jarak dua titik di bidang

Misalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya

adalah d(P,Q) = 2 1 2

+ 2 1 2

Garis Lurus Bentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.

Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.

Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yang

memenuhi persamaan tersebut.

Hal-hal khusus:

Bila A = 0, persamaan berbentuk y =

, grafiknya sejajar sumbu-x.

Bila B = 0, persamaan berbentuk x =

, grafiknya sejajar sumbu-y.

Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 y =

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik

pada garis tersebut. Kemiringan garis

didefinisikan sebagai m = 21

21

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :

1

2 1=

1

2 1

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :

y y1 = m(x x1)

Misalkan garis _1 dan _2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2.

Kedua garis tersebut sejajar m1 = m2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus m1 m2 = 1 (mengapa?)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titik

tertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusat

di (0, 0) dan jari-jari r adalah: 2 + 2 = 2Bila pusat lingkaran berada di titik

(p, q) maka persamaannya menjadi ( )2+ 2= 2

Contoh 1: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah

2 + 2 = 52atau2 + 2 = 25.

Contoh 2. Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 2 + 2= = 27.

Jawab:

Pusat lingkaran 2 + 2= 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3

satuan.

Contoh 3: Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik

(2,4).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah

2 2+( 4)2 = 52 atau 2 2+( 4)2 = 25

Persamaan Lingkaran + + A x + B y + C = 0.

Ini adalah persamaan lingkaran dengan

Pusat : P( 1

2 ,

1

2)

Jari-jari : r =

Contoh:

Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya

2 + 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0.

Jawab:

Pada persamaan 2 + 2 - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12. Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.

Pusat : P( 1

2 ,

1

2)= (3,-2)

Jari-jari : r = 1

4. 36 +

1

4. 16 (12)

r = 25 = 5 satuan

Latihan

a. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung

garis y = 3 dan sumbu X di titik (4,0).

b. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran 2 + 2 -10x

14y -151 = 0.

c. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran ( + 3)2 + ( 4)2 = 16.

Hitung jarak terdekat P kelingkaran.

KOORDINAT KUTUB

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan

menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif

terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal

pada O.

A(r,)

r

Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut

A(r,)

r : jarak titik A terhadap titik asal O (0,0)

: besar sudut antara sb-X (x positif) terhadap garis OA

Cos =

Sin =

Jika diketahui Koordinat Kutub ( r , ) :

Maka :

x = r. cos

y = r. sin

Jika diketahui Koordinat Kartesius ( x , y ) :

Maka :

r =

tan =

Contoh Soal :

Diketahui Koordinat Kutub :

A(10,30)

10

30

0

22 yx

Ubahlah ke Koordinat Kartesius :

A(10,30)

Maka :

x = r. cos

y = r. sin

Penyelesaian :

Titik A(10,30) x = r. cos

=10 .cos 30

=10.1

2 3

=5 3

y= r. sin

=10. sin30

=10. 1

2

= 5

` Jadi .A(10, 30) (5 3 , 5)

Diketahui Koordinat Kartesius :

A(x,y)

Ubahlah ke Koordinat Kutub :

Titik A ( 4, 4 )

Maka :

r =

tan =

Penyelesaian :

Titik A (4, 4 ) r =

22 yx

22 )34(4

4816

=

=

= 8

tan =

=

=

= 60

Jadi A( 4, 4 ) A ( 8,600)

Grafik Persamaan Kutub

Cardioid: r a(1sin) dan r a(1cos)

Contoh : r = sin + 1

Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin

contoh : r = 3 5 sin

Mawar (Rose) Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);

dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,

2n jika n genap

Contoh : r = cos

Lemniscate: Contoh: untuk

r 2 a cos(2) atau r 2 asin(2)

r 2 4sin(2)

Spiral: Persamaan berbentuk r = n

Contoh : r =

Grafik dari butterfly curve

r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3

KOORDINAT POLAR

Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

r: koordinat radial

: koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar

(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil

= ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Persamaan dalam Koordinat Polar

Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a

Untuk lingkaran berjari a

- berpusat di (0,a): r = 2a sin

- berpusat di (a,0): r = 2a cos

r = 2 sin r =cos

r

0 0

2 /2

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat

tegak:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r2 = 2r sin

x2 + y

2 = 2y

x2 + y

2 - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)

2 = 1

0

r

2 0

0 /2

-2

Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and

r2 = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin )2 = 4 sin

1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0

sin2 - 2 sin + 1 = 0

(sin - 1)2 = 0 sin = 1

Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1,

Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan Polar

Cardioid: )cos1()sin1( ardanar

Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin

Limaon: r()= 3 2 cos()

Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah

kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genap

Rose: r() = a b sin (n)

contoh: r() = 5 sin(2)

Grafik persamaan polar

)2cos(2 r

Lemniscate:

Spiral: r =

)2sin(atau )2cos( 22 arar

)2sin(42 r

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar

Definisi:

Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan

= dan kurva r = f( ),

, adalah

=

r = f()

dfA 221 )(

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua

garis dalam satu bidang. Di bidang ekonomi atau model regresi statistik sering

ditemukan sistem persamaan dengan banyaknya persamaan sama dengan

banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban tunggal bagi variabel.

Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan

linear, umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam

teknik listrik sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena

beberapa dari persamaan mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih

mungkin untuk diperoleh.

Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang

mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak.

Untuk membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.

Pengertian Sistem Persamaan Linear

Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variable x1, x2, , xn

dapat dinyatakan dalam bentuk :

a1x1 + a 2x 2 + + a n x n = b, dengan a 1, a 2, , a n dan b adalah konstanta real.

Contoh :

Persamaan berikut merupakan persamaan linear :

a. x + 3y = 7 b. y = 5x + 3z + 1 Persamaan berikut bukan persamaan linear :

c. x2 + 3y = 5 d. y - sin x = 0

Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam

n

variable x1, x2, , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri

dari m persamaan dan n variable x1, x2, , xn dapat ditulis sebagai : a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 :

am1x1 + am2 x2 + + amn xn = bm,

dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta real. Contoh :

a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :

x1 + 2x 2 = 5 2x1 + 3x 2 = 8

b. SPL 2 persamaan 3 variabel :

x1 - x2 + x3 = 2 2x1 - x2 - x3 = 4

c. SPL 3 persamaan 2 variabel :

x1 + x2 = 2 x1 - x2 = 1

x1 = 4

Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks,

sebagai berikut.

Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variable x1,

x2,

, xn dapat dinyatakan sebagai matriks

A X = B

dengan Am x n = (aij ), Xn x 1 = ( ) x j , dan Bm x 1 = ( ) bi .

Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem

persamaan linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non

homogen.

Contoh :

a. SPL non homogen berikut

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 - x2 - x3 = 4

disajikan dalam bentuk matris 1 1 32 1 1

123

=24

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2 + +

anxn =

b adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, , sn sehingga persamaan

tersebut

dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, , xn = sn. Himpunan

semua

penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2,

, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL.

Contoh :

a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

x1 + 2x 2 = 5

2x1 + 3x 2 = 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena

tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.

b. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 - x2 + x3 = 2

2x1 - x2 - x3 = 4

karena 1(2) 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga merupakan

penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian.

Jika adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2,

,)adalah penyelesaian SPL tersebut.

Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini

dapat ditunjukkan pada sistem

x1 + x2 = 2

x1 - x2 = 1

x1 = 4

Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan

pertama

dan kedua, maka x2 harus memenuhi :

4 + x2 = 2

4 - x2 = 1

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL

ini tidak mempunyai penyelesaian.

Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten

(inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian

disebut konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu

:

1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)

2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)

3. SPL tidak mempunyai penyelesaian)

SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X =

0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain,

(yang

tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0

x 1 + 2 x 2 = 0

x 2 + x 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

x 1 = 2 x 3

x 2 = - x 3

Jika x3=t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = -t sehingga himpunan

penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas

mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.

Penyelesaian SPL Menggunakan Matriks

SPL BENTUK MATRIKS

Bentuk Echelon-Baris Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.

3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading

1 baris berikut.

4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk echelon-baris.

CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk Umum Echelon-Baris

Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi

dimana lambing * dapat diisi bilananga real sebarang

Metoda Gauss-Jordan

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-

baris

tereduksi. CONTOH: Diberikan SPL berikut

Bentuk matriks SPL ini adalah:

-2B1+B2 B2

B2 B2

5B2+B3

B3

B4 B4+4B2

1 3 20 0 10 0 0

0 2 0

2 0 3 0 0 0

0

10

0 0 4 8 0 18 6

B3 B4 B3 B3/3

-3B3+B2 B2

2B2+B1 B1

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:

Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak

Penyelesaian

Metode Substitusi Mundur

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi selesai

Eliminasi Gaussian

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian

menggunakan substitusi mundur

CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut

BAB III

FUNGSI DAN LIMIT

MATERI YANG DI BAHAS

A. DEFINISI FUNGSI

B. NOTASI FUNGSI

C. DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

D. GRAFIK FUNGSI

E. FUNGSI GENAP DAN GANJIL

F. OPERASI FUNGSI

G. KOMPOSISI FUNGSI

H. FUNGSI TRIGONOMETRI

A.DEFINISI FUNGSI

Ada dua buah definisi

1.Sebuah fungsi adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap

objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal ,dengan sebuah

nilai unik dari himpunan kedua .Himpunan nilai yang diperoleh

secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut

2.Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut(x,y) dimana tidak

terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya

sama.Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal

(domain)fungsi,dan himpunan semua nilai y yang di hasilkan dinamakan

daerah nilai fungsi

Dari kedua definisi di atas diambil garis besarnya adalah

Suatu himpunan pasangan terurut bilangan (x,y) dimana tidak terdapat dua

pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama .Tiap objek x dalam satu

himpunan pertama,yang disebut daerah asal (domain) dihubungkan dengan

sebuah titik unik() dari himpunan kedua yang dinamakan daerah nilai

(range/jelajah/hasil)

B.NOTASI FUNGSI

Di pakai sebuah huruf tunggal seperti . ()

dibaca dari x atau " pada x menunjukkan nilai yang diperoleh oleh

kepada

Contoh .Jika = 3 4 ,hitunglah 2 , 1 , , ( + )

Penyelesaian :

2 = 2 3 4 = 4

1 = 1 3 4 = 5

= 3 4

+ = + 3 4 = 3 + 32 + 32 + 3 4

Contoh 2 .Jika = 2 2 ,hitunglah 4 , 4 + , 4 + (4)

Penyelesaian :

4 = 4 2 2 4 = 8

4 + = 4 + 2 3 4 + = 8 + 6 + 2

4 + 4 = 8 + 6

4 + (4)

=

6 + 2

= 6 +

Latihan

Selesaikanlah

1. Untuk = 2 1 ,hitunglah 1 , 2 , , 0 , (6)

2. Untuk = 33 + ,hitunglah 6 , 3

2 , ( 3)

C.DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

Definisi Daerah Asal

Daerah asal adalah himpunan himpunan elemen elemen pada mana fungsi

itu mendapat nilai

Definisi Daerah Hasil

Himpunan nilai- nilai yang diperoleh secara demikian

Contoh 1. F adalah fungsi dengan aturan = 2 + 1.Daerah asalnya

{1,0,1,2,3}.Carilah daerah hasilnya.

Penyelesaian :

Daerah hasilnya {1,2,5,10}

Bilamana daerah asalnya tidak dirinci kita selalu menganggap bahwa daerah

asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesar sehingga aturan fungsi ada

maknanyadan memberikan nilai bilangan riil,daerah asal ini disebut daerah asal

mula(domain natural)

Contoh.2 Carilah daerah asal mula(natural) untuk:

1. =1

3

2. = 9 2

Penyelesaian :

1.Daerah hasil untuk =1

3 adalah {x , 3} dibaca

Himpunan x dan R (Bilangan riil) sedemikian rupa sehingga x tidak sama

dengan 3

2.Harus membatasi t sedemikian rupa sehingga 9 2 0 =

9 2 dengan tujuan menghindari bilangan imajiner sehingga { ; t

3}

Latihan

Tentukan daerah asalnya

1. = 4

2. = 2 4

3. = 4 2

4. = + 1

D.GRAFIK FUNGSI

Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan

bilangan riil,kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan

grafiknya pada suatu bidang koordinat.Dan grafik fungsi adalah grafik dari

persamaan =

Contoh .Buatlah sketsa grafik dari :

1. () = 2 2

2. = 3 2

3. =2

1

Penyelesaian:

1. = 2 2

Daerah asal { x }

Daerah hasil {y ; 2}

2.

2. = 3 2

Daerah asal { }

Daerah hasil { }

Grafiknya :

3. = 2

1

Daerah asal { ; 1}

Daerah hasil { ; 0}

Grafiknya :

Tentukan daerah asal ,daerah hasil ,dan buat grafiknya

1. = 3

2. = 2 + 1

3. = 3 2

E.FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Definisi Fungsi Genap

Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika setiap x di daerah

asal, = ()

Definisi Fungsi Ganjil

Suatu fungsi dikatakan fungsi ganjil jika setiap x di daerah

asal, = ()

Dari kedua definisi ini dapat dipahami bilamana terletak

pada daerah asal ,maka juga

Contoh.Tentukan apakah fungsi- fungsi dibawah ini genap,ganjil,atau

bukan keduanya

= 2 2

= 3 2

= 24 + 73 2 + 9

Penyelesaian:

. = 2 2

= 2 2 = 2 2 (Fungsi Genap)

= 3 2

= 3 2 = 3 + 2 = (3 2)

(Fungsi Ganjil)

= 24 + 73 2 + 9

= 2 4 + 7 3 2 + 9

= 24 73 2 + 9(Fungsi bukan keduanya)

F.OPERASI FUNGSI

Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian, dan

pembagian pada fungsi, sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f g)(x) = f(x) g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari

daerah asal f dan

daerah asal g, yakni {x R | x 0 }.

Contoh

jika f(x) = 2

dan g(x) = 1

, maka f + g

adalah fungsi yang memetakan x ke 2+1

, yakni (f + g)(x) = 2+

1

Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari

fungsi f, yakni

f p(x) = [f(x)]p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

G.KOMPOSISI FUNGSI

Aturan fungsi komposisi

Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar

berikut

mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g

memetakan x

ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A

C adalah

komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.

Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan

oleh rumus f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. adalah fungsi komposisi g

dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

Perhatikan bahwa h g g h.

(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).

h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian

h, tetapi g h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.

Contoh :

Misalkan dua fungsi g : R R dan h : RR, keduanya berturut-turut

ditentukan oleh rumus:

g(x) = 2x + 1 dan h(x) = 2

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.

b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g. Jawab:

a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.

(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = 92 = 81. (iii) Misalkan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = 2 + 1 2 untuk semua x R.

Jadi Rf = {x R/ x 1}.

b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100. Berdarkan a(iii);

2 + 1 2= 100 2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10

= 41

2atau = 5

1

2

H.FUNGSI TRIGONOMETRI

Definisi Fungsi Trigonometri

Fungsi ini didefinisikan dalam ukuran radian

Misalkan AOB adalah suatu sudut dalam posisi baku dan OA = 1.Jika s satuan

adalah panjang busur lingkaran yang ditempuh titik A bila sisi awal OA diputar

ke sisi terminal OB maka ukuran radien t dari sudut AOB ditentukan oleh:

a.t=s ,bila putarannnya berlawanan dengan arah putaran jarum jam

b.t=-s ,bila putarannya searah dengan arah putaran jarum jam.

Ukuran panjang keliling suatu lingkaran 2.Beberapa contoh ukuran-ukuran

sudutnya

2.Ukuran derajat dan radian dan hubungannya dengan trigonometri sudut.

Sudut 360 sama dengan 2 radian

Sudut 180 sama dengan radian

1 1

180 radian

1 180

5718

Contoh 1.Rubahlah 162 dalam bentuk radian

Penyelesaian :

162 = 162 1

180 =

9

10

Contoh.2 Rubahlah 5

12 dalam bentuk derajat

Penyelesaian :

5

12 =

5

12

180

= 75

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan oleh suatu

bangsa Babylon kuno ,yang menyenangi kelipatan 60.Pembagian ke dalam 2

bagian lebih mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian ukuran radian

yang umum dalam kalkulus.Panjang busur dari potongan busur sebuah

lingkaran radius

Dengan sudut pusat radian adalah :

2=

2

Sehingga

=

dengan :

=

= ( )

Bila =1 ,ini memberikan = .Dengan kalimat ,panjang busur pada potongan

lingkaran satuan dengan sudut pusat radian adalah

Latihan

Konversikan ke dalam bentuk

1.240

2.135

3.600

Konversikan ke dalam bentuk derajat

4. 7

6

5. 1

3

6 .5

4

FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut

1. Menentukan Rumus untuk cos ( )

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif

membentuk

sudut . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut .

AOC = dan BOC = .

Dengan demikian koordiant titik A (cos , sin ) dan (cos , sin ).

Rumus

= +

Dengan mengubah + ) () diperoleh:

cos + = cos + sin()

=

Jadi ,

+ =

Ingat

2.Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.

sin + = cos{90 + }

= cos{ 90 }

= cos 90 + + sin 90

= +

() =

=

Jadi, + = +

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin (a +b ) kita dapat menentukan

rumus selisih dua sudut sebagi berikut:

sin = sin{ + }

= cos + sin()

= + ()

=

Jadi, =

Ingat !!

sin 90 = cos

cos 90 = sin

3.Menentukan rumus untuk tan ( )

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk

menentukan rumus tan ( + ) sebagai berikut :

+ =sin( + )

cos( + )

= +

=

=

+

1

=+

.

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Menentukan Sudut Rangkap

a. Menentukan rumus sin 2

Dengan rumus sin + = + dan dengan mengubah

2 = + didapat 2 = sin +

= +

= 2

Jadi ,2 = 2

b. Menentukan rumus cos 2

Dengan rumus cos + = dan dengan mengubah

2 = + didapat 2 = cos( + )

=

= 22

Jadi, 2 = 22

Rumus 2 = 22 dapat dinyatakan dalam bentuk lain

2 = 22

= 2 (1 2

= 2 1+2

= 22 1

Jadi . 2 = 22 1

2 = 12

2 = 1 2

2 = 1 2

Ingat!

2 + 2=1

2. Identitas Trigonometri

Rumus rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama

dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan

kebenaran dari suatu identitas trigonometri

Buktikan identitas berikut!

.

a. + 2 = 1 + 2

b.3 = 3 43

Bukti:

a. + 2 = 2 + 2 + 2

= 2 + 2 + 2

= 1 + 2 (terbukti)

b.3 dapat dinyatakan 2 + ,sehingga

3 = sin 2 +

= 2 + 2

= 2 + 1 22

= 22 + 23

= 2 1 2 + 23

= 2 23 + 23

= 3 43 (terbukti)

Latihan

a. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2, tentukan

nilai tan .

b. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan .tan

jika tan .+ tan =2 tan

Empat Fungsi Trigonometri Lainnya

Empat fungsi trigonometri tambahan yaitu tangent ,kotangen,sekan,kosekan

tan =

cot =cos

sin

sec =1

cos

csc =1

sin

Contoh 1.Buktikan bahwa tangent t adalah fungsi ganjil

Penyelesaian :

tan =sin()

cos()

tan =

tan =

Contoh 2 .Buktikan bahwa 1 + 2 = 2

Penyelesaian

1 + 2 = 1 + 2

2

1 + 2 = 2 + 2

2

1 + 2 =1

2

1 + 2 = 2 (terbukti)

Ringkasan fungsi trigonometri yang penting

Kesamaan ganjil-genap

sin =

cos =

tan =

Kesamaan Pythagoras

2 + 2x =1

1 + 2 = 2

1 + 2 = 2

Kesamaan penambahan

sin + = +

cos + = .

tan + = +

1 .

Kesamaan sudut ganda

2 = 2

2 = 2 2 = 22 1 = 1 22

Kesamaan setengah sudut

2 = 1 2

2

2 = 1 +2

2

Kesamaan jumlah

sin + sin = 2sin( +

2)cos(

2)

+ = 2 cos +

2 cos(

2)

Latihan

Buktikanlah

1. 1 + 1 =1

2

2. 1 + 1 = 2

3. =

LIMIT

A.GRAFIK FUNGSI

Gambarkan sketsa grafiknya dan tentukan daerah asal dan daerah nilainya

Daerah asalnya {x x } intervalnya (= (, )

Daerah hasilnya{() = 3,1,4} intervalnya (-3,1,4)

Pendahuluan Limit

Perkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hari

Saya mendekati batas kesabaran saya

Pemahaman secara intuisi

Suatu fungsi

= 3 1

x-1

Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada = 1 dimana 0

0= tak

terdefinisi.Secara lebih tepat apakah () mendekati beberapa bilangan tertentu

bilamana mendekati 1 ?

Tiga hal yang dapat dilakukan :

1.Menghitung beberapa nilai x dekat 1 dalam bentuk tabel

2.Menunjukkan nilai nilai tersebt dalam sebuah diagram skematis

3,Membuat sketsa grafik = ()

Semua hal di atas menunjukkan ke kesimpulan yang sama()

mendekati 3 bilamana x mendekati 1

Dalam lambang matematisnya

Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan

terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada

I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidak

Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup

dekat ke

nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan

L dengan cara

memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x

dalam daerah asal

fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x)

untuk x

mendekati a sama dengan L, ditulis xa

lim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:

xa

lim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x a| < maka |

f(x) - L| < .

Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun

pada nilai

x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f(x) = 3x 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001

untuk = 0,003.

Karena |(3x 4) 5| = |3x 9| = 3|x 3|, maka relasi antara dan pada

kasus ini adalah = 3

untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.

Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakan

xa

lim f(x) = L tidak ada.

Limit kiri dan kanan (sepihak)

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap

titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b)

kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

TURUNAN

Turunan Fungsi

Aturan Turunan

Aturan Rantai

Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Turunan Tingkat Tinggi

Turunan Fungsi Implisit

Laju yang berkaitan

Diferensial dan Aproksimasi

TURUNAN FUNGSI

Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x).

Bila Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ

dapatdinyatakan dengan :

=

=

()

Bila titik Q berimpit dengan dengan titik P maka garis PQ akan merupakan garis

singgung kurva f(x) di P sehingga gradien :

= lim ()

Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis

singgung kurva f(x) di x = a dan diberikan:

)(' af = lim ()

h

xfhxf

dx

dyxfy

h

)()(lim)(''

0

vAtau bisa juga dengan

Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.

Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :

)(' af = lim0 + ()

Atau bisa juga dengan

Notasi lain: )(' af =df (a)

dx=

dy (a)

dx= ya

Secara fisis, pengertian dari turunan fungsi f(x) di titik x = a dinyatakan sebagai

kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena

itu, didapatkan hubungan V(a) = f '(a) dan percepatan , A(x) , A( a)=()

Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka kontinu di x = a. Sifat tersebut tidak

berlaku sebaliknya. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contoh

Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab :

Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab 0 = lim0 = 0

Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :

0 = lim0 0+ (0)

= lim

0

|h |

Karena -1 = lim0

|h |

lim

0+

|h |

= 1 maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.

Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari

turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka

2.

3.

4.

5. dengan g(x) 0

TURUNAN ALJABAR

Beberapa bentuk aljabar :

Fungsi linear

Fungsi Kuadrat

Fungsi polinom

Fungsi (f) perkalian dari f. linear, f. kuadrat, f. polinom atau campurannya.

Fungsi pecahan dari linear, kuadrat, polinom atau campuran dari padanya.

Tentukan turunan dari bentuk aljabar berikut :

1. y = 2x + 3

jawab :

2. . y = 3x 5 jawab :

0)(' xf

Rrxr

dx

xd rr

;1

(x)g(x)f

dx

g(x)f(x)d ''

)()()()(

)()( '' xgxfxgxfdx

xgxfd

)(

)()()()(2

'')(

)(

xg

xgxfxgxf

dx

d xgxf

h

xhxy

h

]32[]3)(2[lim'

0

h

xhx

h

32322lim

0

22

lim 0

h

h

h

6x

36lim36

lim0h

2

0h

hxh

hhx

h

xhxhhxx 33223

0h

515155lim

Latihan

1. y = 12x + 1 2. y = 5 7x

Kesimpulan 1 :

1. y = b y = 0

2. y = ax y = a

Contoh soal:

1. y =3x2

Jawab :

2. y = 5x3

Jawab :

h

xhxy

h

]53[]5)(3[lim'

0

h

xhx

h

53533lim

0

33

lim 0

h

h

h

h

xhx 22

0h

3)(3limy'

h

xhhxx 222

0h

3363lim

h

xhx 33 5)(5y'

Kesimpulan

1. y = 3x2 y =6x

2. y = 5x3 y =15x2

Jadi : y = axn y = a.n.xn-1

= anxn-1

Turunan fungsi komposisi :

Dasar :

1. y = (3x 5)5 dapat diubah :

y = u5 dimana u = 3x 5

Sehingga :

= 54

=3

2. y = sin3(2x+3) dapat diubah : y = u3 dimana u = sin (2x+3)

sehingga :

= 32 dan

= 2 (2 + 3)

h

hxhhx 322

0h

1515lim

2322

0h15

1515lim x

h

hxhhx

Turunan fungsi perkalian :

y = u(x) . v(x) y = u.v +u.v

Contoh :

Tentukan turunan berikut :

1. y = 2x sin 3x

y=(2)sin 3x + 2x.(3 cos 3x)

= 2 sin 3x + 6x cos 3x

2. y = 3x2 cos 2x

y = (6x) cos 2x + 3x2(-2 sin 2x)

= 6x cos 2x 6x2 sin 2x

Turunan fungsi pembagian :

Contoh :

Tentukan turunan dari :

1. y = tg x

2. =32

3

3. =34

2

Jawab :

.

2

'.'.'

)(

)(

v

vuvuy

xv

xuy

x

xxy

cos

sintan.1

x

xxxxy

2cos

)sin)((sin)(coscos'

xx

xx 22

22

seccos

sincos

sin2x

4-3xy .3

x-3

2-3xy .2

Latihan

Tentukan turunan dari :

1. y = tg ax

2. =cos 3

cos 2

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga

limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :

lim = dan lim

=

2)3(

)1)(23()3(3'

x

xxy

22 )3(

7

)3(

2-3x3x-9y'

xx

x

xxxy

2sin

)2cos2)(43(2sin3'

2

x2sin

6x)cos2x-(83sin2x

2

Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :

( )

=lim0

sin +

= lim0

2 sin

2 cos (+

2)

lim2sin (

2)

= 1

( )

=

Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:

( )

=lim0

cos +

lim0

=2 sin

2 sin (+

2)

=

Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan

rumus perhitungan turunan :

= 2

= 2

=

(csc ) == csc cot

Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit

tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.

Teorema

Misal f(x) g(x) h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya.

Bila lim = lim

=

Maka lim

=

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi

bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari

penurunan bentuk turunan ke-(n-1)

Turunan pertama =()

Turunan kedua =2

2

Turunan ketiga =3

3

Turunan ke-n =

Contoh :

Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi = 1 + 2

Jawab :

Turunan Pertamanya adalah

1+2

Turunan kedua = 1 + 2 2

1+2

=1

(1+2)3/2

Turunan ketiga =3

(1+2)5/2

Latihan

Tentukan turunan kedua dari

1.

2.

FUNGSI IMPLISIT

Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas

dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka

dikatakan fungsi implisit.

Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk

dikerjakan dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan

turunannya. Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit,

oleh karena itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut.

Contoh :

y x 2 3 4

y x sin 2 1

Tentukan

bila y 4x 2xy 5

Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, =4+5

1+2 Digunakan aturan penurunan

didapatkan,

=

6

(1+2)2

Contoh :

Tentukan nilai

di ( 2,1 ) bila y 4x 2xy2 3

Jawab :

Bentuk fungsi dapat diubah menjadi fungsi eksplisit dalam y, =+3

422, Menggunakan

aturan penurunan didapatkan,

=

22+2+4

422 2

Karena

=

1

/ maka

=

422 2

22+2+4

Nilai turunan di (2,1) atau y=1

=

1

2

Contoh :

Tentukan nilai

= di x = 1 y 4x + 2x2y2 = 3

Jawab :

Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi

implisit. Misal turunan dari x dan y berturut-turut dinyatakan dengan dx dan dy. Bila

dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y ) maka kita lakukan scara bergantian, bisa

terhadap x dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. Hasil turunan

akan nampak bila

masing-masing ruas dibagi oleh dx.

y 4x + 2x2y2 = 3

4 + 4 2 + 42 = 0

4 + 42 + 42

= 0( )

=

442

1+42

Substitusi x=1 ke fungsi di dapat 22 + 1 = 0

Atau =1

2 = 1

Untuk (1,-1) ,

= 0

Untuk (1,1/2),

= 1

Contoh Soal:

Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

2. 2 + 22 + 3 = 0

3. cos 2 = 2 +

Jawab :

1.

1)sin(..1 22 yxxy

)1())sin((.2 22 yDxxyD xx

0'22)'()cos( yyxxyyxy

)cos(2')2)cos(( xyyxyyxyx

2.2x+2x2Dxy+4xy+3xDxy+3y=0

Dxy(2x2+3x)=2x 4xy 3y

=

243

22+3

3. sin(xy2)(2xyDxy+y2)=2yDxy+1

2xysin(xy2)Dxy2yDxy=1+y2sin(xy2)

=

1+2 si n(2)

2 ( 2)2

Cari persamaan garis singgung di titik yang diberikan

1.22 + 4 = 12; (2,1)

2.sin = ; (

2, 1)

Jawab :

x2(2y) y+2xy2+4xy+4y=12y

y(2x2y+4x12)=2xy2 4y

=224

22+412

=22

2+26

2,1 = = 2

Tangent line: y1=2(x2)

yxyx

xyyxy

2)cos(

)cos(2'

2. cos(xy)(xy+y) = y

y[xcos(xy)1]=ycos(xy)

= cos ( )

cos 1

= cos ( )

1 ( )

(

2, 1) , = 0

: 1 = 0(

2)

LAJU YANG BERKAITAN

Jika suatu variabel (y) bergantung pada waktu (t)

, maka turunannya Disebut Laju

Perubahan Sesaat

Laju perubahan jarak terhadap perubahan wktu

Laju perubahan posisi terhadap perubahan waktu

Laju perubahan volume udara yang dipompakan ke wadah elastic tertutup

Laju perubahan zat cair yang mengalir dari suatu wadah

Laju perubahan harga rumah pada real-estate

Jika y secara eksplisit dinyatakan dalam t maka kita langsung dapat menurunkan y

terhadap t

Jika y dinyatakan dalam suatu peubah lain ,sebut saja x ,dan kemudian ada hubungan

keterkaitan yang belum tentu eksplisit antara x dengan t ,maka gunakan aturan rantai

,dan penurunan emplisit

Contoh Soal 1 :

Sebuah balon kecildilepaspada jarak 150 dari seorang pengamat yang berdiri di tanah.

Jika balon naik secara lurus ke atas dengan laju 8feet per detik. Seberapa cepat jarak

antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian tertentu 50

feet?

Contoh 3 :

Seorang wanita berdiri diatas tebing mengawasi perahu motor menggunakan teropong

ketika perahu mendekati pantai tepat dibawahnya. Jika teropong berada 250 feet

diatas permukaan laut dan jika perahu mendekat dengan laju 20 feet per detik, berapa

laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 feet dari pantai ?

Jawab :

1. dt

dh = 8 S = 50

2 = 2 + 150 2

2S

= 2

Mencari nilai S

2 = 2 + 150 2

= 2 + 150 2

= 502 + 1502

= 2500 + 22500

= 25000

= 50 10

Subtistusikan kedalam diferensial implisit

=

50 10

=50(8)

=

400

50 10 =2,53 feet/detik

No.3

APROKSIMASI

APLIKASI TURUNAN

FUNGSI MAKSIMUM MINIMUM

Titik-titik stasioner suatu fungsi dan jenis- jenis ekstrim

1. Pengertian nilai stasioner dan titik stasioner.

Jika fungsi y=f(x) diferensiabel di x = a dengan f(a) = 0, maka

f(a) adalah nilai stasioner dari fungsi f(x) di x = a.

Dari gambar dapat di ketahui :

a. Nilai x yang menyebabkan f(x)mempunyai nilai stasioner dapat

di tentukan dari syarat f(x) = 0

b. Titik (a,f(a)) yang terletak pada grafik y = f (x) disebut sebagai

titik stasioner.

c. Nilai satasioner sering disebut nilai kritis dan titk stasioner

disebut titik kritis.

NILAI EKSTRIM

Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum

atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau

mempunyai gradien m = 0 [ f '( a) = 0] . Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a

disebut

nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.

a. Uji turunan pertama

Untuk menentukan jenis nilai stasioner . Misalkan f(x) merupakan fungsi yang mempunyai

turunan di x = a dan mencapai nilai stasioner pada titik itu dengan nilai stasioner.

f(x) > 0 untuk x < a ( fungsi f(x) naik )

f(x) = 0 untuk x = a (fungsi f(x) stasioner pada x = a )

f(x) < 0 untuk x > a ( fungsi f(x) turun )

Maka f(x) mencapai nilai balik maksimum pada x = a.

Nilai balik maksimum itu sama dengan f(a). f(x) berubah tanda dari positif menjadi negatif

melalui nol.

Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)

dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :

1. Tentukan turunan pertama dan kedua, f '(x)dan f "(x)

2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama (f ' (x) 0 ), misalkan nilai

stasioner adalah x = a

3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f "(a) 0 , sedangkan nilai f (a) merupakan nilai

minimum bila f "(a) 0 .

Contoh

Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi f (x) x4 2x3 x2 5

Jawab :

Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi adalah

x = -1, x = - dan x = 0. Turunan kedua, f "(x) 12x2 12x 2 .

Untuk x = -1, f "(1) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 ) = -5

Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5

Untuk x = - , 1

2 = 1 dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum

1

2 = 4

15

16

Untuk x = 0, f "(0) 2 dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( 0 ) = -5

Kecekungan fungsi dan titik belok fungsi

Definisi : Kecekungan Fungsi

Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f ' (x)naik pada

selang I, sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f ' (x) turun pada selang I.

Oleh karena itu dapat disimpulkan :

1. Bila f "(x) > 0 , x I maka f(x) cekung ke atas pada I dan

2. Bila f "(x) < 0 , x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

Contoh :

Tentukan selang kecekungan dari fungsi : =1+2

1+

Jawab :

Turunan pertama, =2+21

(1+)2

Turunan kedua , =4

(1+)3

Cekung ke atas, f "(x) 0 pada selang x > -1 dan cekung ke bawah pada selang

x < -1.

Titik Belok

Definisi : Titik Belok

Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila

terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan disisi

lain cekung ke bawah atau sebaliknya.

Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f "(b) = 0 atau f(x)

tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata syarat perlu mirip artinya dengan kata calon ,

maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua syarat itu

memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi syarat seperti

halnya yang tertulis pada definisi.

Contoh

Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :

= 23 1

= 4

= 1

3 + 1

Jawab :

Dari f (x) 23 1 maka f "(x) 12 x . Bila f "(x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari

titik belok, sehingga untuk menguji

apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.

Untuk x < 0 maka f "(x) 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x =

0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

Dari f (x) x4 maka f "(x) 12 x2 .

Bila f "(x) 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk menguji

apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.

Untuk x < 0 dan x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan

kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

Dari = 1

3 + 1 maka =2

953

Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f "(x) 0 ,

sedangkan untuk x > 0 maka f "(x) 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan

kecekungan. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok

INTEGRAL

A. INTEGRAL TAK TENTU

F(x) disebut anti turunan dari f(x) pada selang I bila F (x) = f(x) untuk x I

( bila x merupakan titik ujung dari I maka F (x) cukup merupakan turunan sepihak ).

Proses mencari anti turunan disebut integrasi ( integral ).

Notasi : f (x) dx F(x) C disebut integral tak tentu.

Dari rumus untuk turunan fungsi yang diperoleh pada pembahasan bab sebelumnyadapat

diturunkan beberapa rumus integral tak tentu sebagai berikut :

1. = +1

+1+ ; 1

2. sin = cos +

3. cos = sin +

4. sec = sec +

5. csc cot = +

6. 2 = +

7. 2 = +

8.

=

Penerapan dari beberapa rumus di atas diperlihatkan pada contoh berikut.

Contoh : Hitung integral tak tentu berikut :

a. sin2x 1dx

b. ( 1) 2 2 1

Jawab :

a. Misal u = 2 x + 1. Maka du = 2 dx . =1

2

sin 2 + 1

sin .1

2

1

2

1

2. cos + =

1

2cos 2 + 1 +

b. Misal u = x2 + 2x - 1. Maka du = 2 ( x + 1 ) dx.

1

2

1

2

1

33/2 +C

1

3 (2 + 2 1)3 +C

Sifat dasar dari bentuk integral tak tentu adalah sifat linear, yaitu :

[( + ] = +

Contoh :

Hitung integral : 2x cos2xdx Jawab :

2x cos2xdx 2 + cos 2

2 +1

2sin 2 +

Soal Latihan

Carilah anti turunan F(x) + C bila

1. f(x) = 3x2 + 10x 5

2. f(x) = x2( 20x7 - 7x5 + 6 ) Selesaikan integral tak tentu berikut:

x2x2 4dx 4, (2 + 1)2

NOTASI SIGMA ( )

Notasi Sigma merupakan notasi yang digunakan untuk menyatakan penjumlahan

bilangan.

Perhatikan contoh berikut

Untuk notasi:

dimana :

1 adalah batas bawah

n adalah batas atas

ui adalah suku dalam hal ini huruf yang dipakai tidak selalu i dapat juga menggunakan huruf

lain.

Sifat-sifat notasi sigma

Contoh

Rumus notasi sigma

4=1 = +1 (63+92+1)

30

Contoh 1

Contoh 2:

Contoh 3

Teorema Dasar Kalkulus Kedua dan Metode Subtitusi

a. Teorema Dasar Kalkulus Kedua

Misalkan f kontinu (karena terintegrasi) pada[a,b] dan misalkan F sembarang anti turunan

dari f pada [a,b]. Maka

Contoh

1.Perlihatkan bahwa dimana k adalah konstanta

Penyelesaian :

Terbuktinkk

kk

kkk

Jawab

nkkk

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

.....16164

116164

1616442

:

1616442

11

2

11 1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

aFbFxFdxxf bab

a

b

a

abkkdx )(

kxxF )( kxf )(

adalah suatu anti turunan . Sehingga menurut teorema dasar

kalkulus kedua

2.

3.

4.

5.

b

a

abkkakbaFbFkdx )()()(

2

1

2

1

322 ]22[)64( xxdxxx

12)22()168(

1

0)472(

))0(4)0(7)0(2())1(4)1(7)1(2(

472

4146

24612(

33

1

0

3

1

0

2

1

0

2

xxx

dxxx

dxxxx

1

0sin2

sin

]sin

cos

20

2

0

x

xdx

12

1

2

1

)1(2

1)1(

2

1

02cos2

1cos

2

1

02cos2

1

22cos

2

1

2cos2

1

2sin

2

0

2

0

x

xdx

Metode subtitusi untuk integral tentu

Misalkan g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g. Maka

Hitunglah

Misal :

Untuk batas batas baru diubah dalam u

Jika x = 1 maka u = 9

Jika x= 0 maka u = 6

Maka batas barunya berubah menjadi 6 sampai 9

jadi ,

b

a

bg

ag

duufdxxgxgf

)(

)(

)()('))((

1

02)62(

12

dxxx

x

)1(2

22

622

x

dudx

xdx

du

xxu

36

1

6

1

2

1

9

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

12

1

2

1

2

1

9

6

9

6

1

9

6

12

9

6

2

9

6

2

u

u

u

duu

dxu

Teorema nilai rataan untuk integral dan penggunaan simetris

Nilai rataan sebuah fungsi

Jika f terintegrasikan pada variabel [a,b] maka nilai rata rata f pada [a,b] adalah

Contoh

1. pada interval (0,2), maka nilai rata rata adalah

dxxfab

b

a

)(

1

)2(2040)( xxxT

3

160

)0(3

10)0(10)2(20))2(

3

10)2(10)2(20(

3

101020

)102020(

)2(2040(02

1

3232

2

0

32

2

0

2

2

0

xxx

dxxx

dxxx

Nilai rataan untuk integral

Jika f kontinu pada [a,b] maka terdapat suatu bilangan c antara a dengan b sedemikian rupa

sehingga

Contoh

Carilah semua nilai c yang memenuhi Teorema rataan untuk integral = + 1

pada interval [0,3]

Pembahasan

1

3 ( + 1)

3

0

1

3 ( + 1)1/2

3

0

1

3

(+1)3/2

3/2

3

0

1

3.

2

3 + 1 + 1

2

9(4 4)-2/9(1 1)

2

9. 8

2

9

16

9

2

9=

14

9

=14

9

=

b

a

dttfab

cf )(1

)(

= + 1

14

9= + 1

196

81= + 1

81 + 1 = 196

81 + 81 = 196

81 = 196 81

81 = 115

=115

81

Teorema simetris

Ingat kenbali bahwa fungsi genap adalah fungsi yang memenuhi f(-x) = f(x)

dan fungsi ganjil adalah f(-x) = - f(x)

Jika f fungsi genap maka

Jika f fungsi ganjil maka

Contoh

Tentukan apakah fungsi berikut termasuk fungsi genap,

ganjil, atau keduanya

v Fungsi genap

dxxfdxxf

a

a

)(2)(

a

a

dxxf 0)(

2)(

2)()(

2)(

2

2

2

xxf

xxf

xxf

Tentukan integral dari fungsi berikut

Karna fungsi diatas adalah Fungsi genap maka

Contoh

1. hitunglah

)432()(

4)(3)(2()(

)432()(

24

24

24

xxxf

xxxf

xxxF

7

34

7

17.2

5

20522

)1(4)1()1(5

2.2

)0()1(4)1()1(5

22

4.3

3.

5

22

)432(2

35

35

1

0

35

1

0

24

xxx

dxxx

4

))1(1(2

cos2|sin|2

|sin||sin|

|sin||sin|

|sin|

0

0

00

2

0

2

0

2

0

dxx

dxxdxx

dxxdxx

dxx

APLIKASI INTEGRAL

Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafik sumbu y=f(x), garis x=a, garis

x=b, dan sumbu X telah kita bahas dalam pembahasan integral tentu.

Namun untuk daerah yang lebih kompleks akan kita bahas secara detil pada

perhitungan luas daerah dengan menggunakan integral tentu.

Selain dari itu, integral tentu akan kita gunakan juga untuk menghitung volume benda

pejal yaitu benda yang dihasilkan bila suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar.

Panjang kurva akan kita bahas pada bagian akhir dari bab ini.

LUAS DAERAH

Perhitungan luas suatu daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), garis x

=a, garis x = b dan sumbu X telah kita bahas dalam pembahasan integral tentu. Namun

untuk daerah yang lebih kompleks akan kita bahas secara detil pada perhitungan luas

daerah dengan menggunakan integral tentu. Selain dari itu, integral tentu akan kita

gunakan juga untuk menghitung volume benda pejal yaitu benda yang dihasilkan bila

suatu daerah diputar dengan suatu sumbu putar. Panjang kurva akan kita bahas pada

bagian akhir dari bab ini.

Misal suatu daerah dibatasi oleh y = f(x) 0, x = a , x = b dan sumbu X. Maka

luas daerah dihitung dengan integral tentu sebagai berikut :

=

Bila f(x) 0 maka integral dari f(x) pada selang [ a,b ] akan bernilai negatif atau nol.

Oleh karena itu luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0, garis x = a, x = b dan sumbu

X, dituliskan sebagai berikut :

=

Untuk daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi yang dinyatakan secara eksplisit

dalam peubah y, yakni x = v(y), garis y = c, y = d dan sumbu Y, maka luas daerah :

=

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x) =3 32 + 3, sumbu X, garis x = 0 dan

x = 3.

Jawab :

Kita lihat bahwa f(x) 0 pada selang [ 0,1 ] dan f(x) 0 pada selang [ 1,3 ].

Luas daerah :

= 3

1

1

0

= 3 32 + 3 3 32 + 3,3

1

1

0

= 53/4

Bila suatu daerah dibatasi oleh dua buah grafik fungsi, misal y = f(x) dan y = g(x)

diberikan sebagai berikut :

(1) Misal daerah dibatasi oleh grafik y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b dengan f(x) g(x)

untuk x [a,b]. Maka luas daerah :

=

(2) Misal daerah dibatasi oleh grafik x = w(y), x = v(y), y = c dan y = d dengan w(y)

v(y) untuk y [c,d]. Maka luas daerah :

=

Contoh :

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y2 = 4x dan garis 4x - 3y = 4.

Jawab :

Langkah pertama yang dilakukan adalah mencari titik potong kedua kurva. Didapatkan

titik potong keduanya yaitu ( ,-1 ) dan ( 4,4 ).

Pada selang [ -1,4 ], 3+4

4

2

4

Maka Luas daerah = (3+42

4

4

1)

=125

24

Soal Latihan

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik berikut :

1. = 3 42 + 3y = 0 x = 0 , x = 3

2. = 2 4, x = 0, y = 0, y = 4

VOLUME BENDA PUTAR

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar

volume adalah hasilkali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda

putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas

kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume

benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

=

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah bagaimana bentuk

sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi tersebut, maka metode yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

Metode cakram yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume mentimun dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Bentuk cakram di samping dapat dianggap sebagai tabung dengan jari-jari r = f(x),

tinggi h = x. Sehingga volumenya dapat diaproksimasi sebagai V r2h atau V

f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil limitnya, dan nyatakan dalam integral diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxf

a

0

2)]([v

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu

putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang

bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat

di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram ( xo,0 ) dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan :

A( xo ) = 2 (xo). Oleh karena itu, volume benda putar :

= 2

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar

mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

= 2

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0 , y = g(x) 0 { f(x) g(x) untuk setiap

x [a,b] }, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :

= [ 2 2

Bila daerah yang dibatasi oleh x = w(y) 0 , x = v(y) 0 { w(y) v(y) untuk setiap

y [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

= [( 2 2

Contoh :

Hitung Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = x2 dan y2 = 8x diputar

mengelilingi

a. Sumbu X.

b. Sumbu Y

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).

a. Pada selang [0,2], 8 2 .Volume benda putarnya adalah

= [( 822

0- (2)2]

= 48

5

b. Pada selang [0,4], 2

8

Volume benda putar

= [( 24

0

2

8)2

=272

15

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh : y = 2 - 2 , y = -x dan sumbu Y

bila diputar mengelilingi garis y = -2

Jawab :

Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 2 - 2 -x.

Jarak kurva y = 2 - 2dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang

sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 -2) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

= [(4 2)20

1-(2 )2)

=36

5

Metode cincin

Metode cincin yang digunakan dalam menentukan volume benda putar dapat dianalogikan

seperti menentukan volume bawang bombay dengan memotong-motongnya yang

potongannya berbentuk cincin

Menghitung volume benda putar dengan menggunakan metode cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume cincin seperti gambar di samping, yaitu V= (R2 r2)h

Contoh

Jawab:

Metode Cakram

Metode Cincin Silindris

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung yang digunakan untuk menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume roti pada gambar disamping.

Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang

mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar

yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya

berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih

memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut r1 dan r2,

tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

= 2 1

= 2

Dengan : 21

2 ,r (rata rata jari jari) 2 1 =

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar mengelilingi

sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r = x , r = x dan tinggi tabung

h = f(x). Oleh karena itu volume benda putar =

= 2

Misal daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), y = g(x) { f(x) g(x) , x [a,b] }, x = a

dan x = b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar =

= 2(

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan

y = d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =

= 2

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh x = w(y), x = v(y) { w(y) v(y), y[ c,d ]},

y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar =

= 2

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabola

y = 2 - 2 dan di atas parabola y = 2diputar mengelilingi sumbu Y

Jawab :

Kedua parabola berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 1,1 ). Pada selang [ 0,1 ], 2 2 2. Bila

digunakan metode kulit tabung, volume =.

= 2 [2 21

0 2] =

Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada

selang 0 y 1 dibatasi = 2 dan sumbu Y sedang pada selang 1 y 2 dibatasi

= dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =

= ( 21

0 + ( 2

22

1 =

Contoh :

Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh y = 1 - 2, sumbu X dan

sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1

Jawab :

Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, ( 1 -

2) dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,

volume benda putar :

= 2 1 + 1 2 =5

6

0

1

Kata Mutiara Matematika

Bak deret bilangan prima , begitulah garis kehidupan manusia dari hari

ke hari

A + B = A + B Dua manusia yang tidak bisa disatukan

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Perjalanan kehidupan yang tidak

beraturan

A + B = 10 Suatu persoalan yang ditinjau dari sejumlah sisi

1 + 1 = 2, meskipun ditulis diatas tanah, hasilnya tetaplah 2 =

Kebenaran tidak akan berubah meskipun datang dari orang jelata

Pythagoras (Theorema Pytagoras)

* Derajat kebaikan seorang hamba yang paling tinggi adalah yang hatinya

dapat terpuaskan oleh Tuannya Yang Mahabenar sehingga dia tidak

membutuhkan perantara antara dirinya dengan Tuannya itu.

* Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, maka engkau

harus menanggung pahitnya kebodohan.

GW Von Leibnitz (Notasi Leibnitz,Penemu Kalkulus)

* Mencintai artinya berbagi kebahagiaan demi kebahagiaan orang yang

kita cintai

Ivan Panin (Ahli Matematika Rusia 1855-1942)

*Dalam setiap keindahan, selalu ada mata yang memandang. Dalam setiap

kebenaran, selalu ada telinga yang mendengar. Dalam setiap kasih, selalu

ada hati yang menerima.

Thales (Bapak Geometri)

*Orang yang bercita-cita tinggi adalah orang yang menganggap teguran

keras baginya lebih lembut daripada sanjungan merdu seorang penjilat

yang berlebih-lebihan.

TERIMA KAsih